Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje Pagráce Zpracoval: Ja Zaatar Štětia Obsah Asymptoticá otace Odhad fatoriálu Odhady biomicých oeficietů Největší ombiačí číslo3 Částečě uspořádaé možiy3 Pricip iluze a exluze5 Vytvořující fuce6 Biárí stromy6 Halleova věta, Systém růzých reprezetatů7 Koečá projetiví rovia8 Kostruce KPR9 Bloová schémata0 Toy v sítích0 Míra souvislosti v grafech -souvislost Ramseyovy věty3
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey (předáša, 309) Asymptoticá otace Def: Mějme f, g:nr, pa: () f O g c 0, 0 N 0 : f c g, tedy existuje c 0 taové, že od ějaého 0 pro všecha platí f c g, aebo taé: () f og lim sup lim sup f g =0 f g (3) f g g O f (4) f g g o f (5) f g f O g g Píšeme taé f =O g, ale e O g= f Odhad fatoriálu Úvod: Fatoriál!= 3 Pro 4 je! (důaz mi) Platí c R 0 N 0 : c! (hrubý odhad zespoda) Tvrz:! Důaz: BÚNO uvažme sudé Dolí odhad: Spárujeme od oců, vidíme, že pro je Tedy platí = Horí odhad: Aalogicy, použijeme AG-erovost ( a b ab = a tedy = )pro QED Mějme N, pa e e! e e Důaz: Vezmeme l!=ll l Dolí odhad: l! Taže platí x dx=[ x l x x ]!=! e = e e l! l!! e l = e Horí odhad: Platí l x dx l!, což se rová: l x dx=[ x l x x] = l a tedy! e l = e e=e e, QED Odhady biomicých oeficietů Úvod: =!!! =, tedy BÚNO můžeme počítat s 0 : 0 =!
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Pro je e Důaz: Doážeme silější tvrzeí, že e i Víme, že i x i =x a taé i x i i xi x x x i= 0 Tedy x i x = i xi i e x = x x e x x i= volme x= i= 0 i x i vždy e = e i= 0 i = e QED Úvod: Def: BÚNO uvažujme sudé / / e / = Pro m platí Důaz: = e Defiujeme P m = 3 5 m 4 6 m Rozšíříme P m = 3 5 m 4 6 m Horí odhad: Dolí odhad: m m m m m m, chceme Největší ombiačí číslo / průměr (odlišost o ostatu!) m P m m m m! 4 6 = 4 6 m m m! = m m m 4 = 3 m 3 5 4 5 m m m = P m m = = P m m m 3 5 m = 4 3 4 6 5 6 m m = m P m m P m 4 m P m 4 m = m, QED (předáša, 309) Částečě uspořádaá možia (ČUM) je X,, de X je eprázdá možia a je relace, terá je reflexiví, atisymetricá a trazitiví Částečě uspořádaé možiy Př: Hasseho diagramy {,,0},dělitelost Def: Mějme částečě uspořádaou možiu X,, pa a X je miimálí, poud pro všecha x X platí x a x=a, ejmeší, a x, maximálí, a x x=a a ejvětší, x a Def: f : X X ', de X,, X ', ' jsou dvě částečě uspořádaé možiy, je vořeí, poud () f je prosté () pro všecha x, y X platí x y, právě dyž f x ' f y Poz: X, je lieárí pro všecha x, y X platí x y ebo y x 3
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Nechť X, je ČUM, potom existuje její vořeí do X, Důaz: Chceme vořeí f : X X, položíme f x={y ; y X, y x} () předpoládejme f x= f y Pa platí x x x f x, x f x x f y x y Aalogicy y f x, y f x y x x y y x x= y, tedy f je prosté () předpoládejme x y Pa pro všecha z X platí z f x z x z y z f y f x f y echť f x f y Pa pro všecha z X platí z x z f x z f y z y Položíme z :=x a pa x y QED Def: R X je řetěžec, poud pro všecha r, r R platí r r r r A X je atiřetězec, poud pro všecha a, a A, a a platí a a a a Def: Déla je X, =max { R ; R řetězec v X, } Šířa je X, =max { A ; A atiřetězec v X, } O dlouhém a široém Mějme X, ČUM, X = Potom X, X, Důaz: Ozačíme X ={x X ; x miimálí v X, } X l (předpoládejme, že máme defiováo X,, X l ) l Položme X ' l = X X i i = (poud X ' l =, iteraci uočíme a položíme t :=l ) Zísáme X l ={x X ' l ; xmiimálí v X ' l, } X,, X t, zjevě atiřetězce () Pro t platí X i X, () X,, X t tvoří rozlad X (3) t X, : Mějme R řetězec Nechť x, y R, x, y X, x y Pa x y y x, SPOR Doážeme t= X, Volme x t libovolý v X t Pa máme x x t, de x i X i a tedy x X Z toho plye, že existuje x X taové, že x x x t Tato lze postupovat až do x, tedy x x t t X i i= t X, =t X, = X, X, QED Erdös-Szeresova (opaováí) Libovolá posloupost růzých čísel obsahuje mootóí podposloupost dély Důaz: Máme x,, x, X ={,, } Defiujeme i j i j x i x j Toto je částečé uspořádáí Víme, že lesající podposloupost ebo rostoucí podposloupost QED Spererova B = / Důaz: Poz: B = B Mějme 0, pa A= {,, } je atiřetězec v B a platí B a B / Stačí ám tedy už je doázat, že B / Vezměme A libovolý atiřetězec, chceme A / Položme R:= možia všech maximálích řetězců R R je tvořea,{x },{x,x }, a R =! Víme A R Počítejme počet p dvojic M,R, de M A,R R,M R : () Každý R je ejvýše jedou ve dvojici M,R, tedy p R =! () Fixujme M A: M ={m,,m }, M = Máme R R,M R {x,, x }={m,,m } Počet R s touto vlastostí je!! Tedy p= M! M!!, M A M A (Víme, že M! M!!! M = M A / = M M / ) 4
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey = A / / A / B QED (předáša 309) PIE = J {,, } A i = J {,, } J i J Pricip iluze a exluze A i Důaz prví: iducí Pro a platí Idučí ro i = Ai = i= A i A = A i A A i A i = = J i J A i A QED J {,, } Důaz druhý: pomocí biomicé věty x y = Nechť x i = x přispívá pravé straě J i J A i A = j {,, } J A i J {,, } i J A J A i J {,, } i J x J y J J A i a je prvem právě moži A i,,a i, BÚNO A i =A,, A i = A J {,, } Ai A = J, to má být rovo i i = 3 4 i= J ' A i J ' {,, } i J ' Platí 0= 0 3 počet podmoži sudé veliosti počet podmoži liché veliosti QED J = J {,, } J i J A i Přílad:Pravděpodobost, že permutace,, emá pevý bod Permutace bez pevého bodu je bijece p:{,, }{,, }, de i: pi i Počet všech permutací je! Ozačme P možiu všech permutací a V možiu permutací bez pevého bodu Pa V = P V = P A i perms pevým bodem i= A i =! Pravděpodobost, de A i ={ p ; p i=i} J J {,, } A i i J ={ p i J : p i=i }! i i! e =! J {,,} J J!= i!= i i! i i! (předáša 8309) Úloha: i =? = x x = (a) x = =0 x (b) =0 x l=0 xl =0 = =0, a=b x x i =0 Úloha: Úloha: i i liché 0 sudé = i =? = x x = (a) x l xl i i = i i =? x = i xi derivace =0 (b) x = x = i i xi =0 l=0 x 5
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Dosadíme x= : i i= = Opa: Biomicá věta x y = i xi y i Def: Př: Multiomicá věta: x x p = Zobecěá biom věta: x r = r,, p Z 0 ; i =0 p,, p x x p p, de i xi, de r r r r r i = ; i i! r Vytvořující fuce,, p =!! p! 0 = Uvažme posloupost reálých čísel a 0 Vytvořující fuce je mociá řada a x= a i x i Poud existuje R taové, že pro všecha i je a i i, potom mociá řada ax= a i x i overguje pro x, x = x x 3 overguje a, (posloupost,,,, ) Postup: Operace s mociými řadami a 0,a,a, ax= b 0,b,b, bx= i =0 ai x i Sčítáí: a xb x a 0 b 0, a b, Násobeí R : a x a 0, a, 3 Přidáí ul a začáte: x a x 0,, 0, a 0, a, 4 Posuutí doleva: a x x a i x i a, a, 5 Dosazeí x za x: a x 0 a 0, a, a, b i x i 6 Dosazeí x za x: ax a 0,0,,0,a,0,,0,a, 7 Derivováí (itegrováí): a ' x a, a,3 a 3, x at dt C,a 0, 0 a, 3 a, 8 Násobeí: a x b x= c i x i, de c = a i b i i =0 c 0 =a 0 b 0, c =a 0 b a b 0, c =a 0 b a b a b 0, Př: Def: Fiboacciho posloupost (zatím vyecháo) Biárí strom (reuretí defiice) (a) prázdý (0 vrcholů) (b) s jedím vrcholem (oře) (c) oře a uspořádaá dvojice biárích stromů Biárí stromy Úloha: Hledáme b počet biárích stromů s vrcholy b 0,b,b, má vytvořující fuci b x= b i x i i =0 6
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Pro :b = počet dvojic B L, B P, de B L, B P jsou biárí stromy a V B L V BP = b = =0 b b * bx b x=c 0 c xc x =b 0 b xb x, de c = b i b i i =0 ± * b x=x b x x b 4 x x b x=0 b, x= 4 x b x= x Zbývá tedy b x= 4 x= 4 x = =0 x lim b x=, to emůže být součet overgetí řady 4 x x 4 x :=b x Koeficiet u x 0 je = V 4 x je ultý absolutí čle 0 To lze vydělit x a dostáváme bx= = tedy b = 3 4 =! čleů 3 =! (Catalaova čísla) Opa: Teorie pravděpodobosti, zde vyecháo 4 x = 4 i 4i x, = = 4 3 4 5 6 =!!! = Def: Halleova věta, Systém růzých reprezetatů Mějme možiový systém M=M i ;,,, de M i je oečé Systém růzých reprezetatů je prosté zobrazeí f :{,, } M i, de pro všecha,, je f i M i Př: M ={,,3}; M ={,4,5}; M 3 ={,5}; M 4 ={,3,5} Def: Mějme graf G=V, E F E se azývá párováí v grafu G, poud pro všecha v V ; f, f ' F :v f v f ' f =f ' Úloha: Máme M možiový systém, G bipartití graf s partitami {,, } a M i a e E G e={i, x}, x M i M=M i ;,, emá SRR, poud existuje I {,, } taové, že M i I Druhý případ: 7
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Halleova I {,,}: I M=M i ;,, má SRR M i i I Halleova podmía Důaz: jasé matematicou iducí dle M i = : () Předpoládejme, že J {,,}, J, J = j J M j Položme J ' ={,,} J ; M J =M j ; j J ;M J ' =M j ' ; j ' J ' Pozorováí:,,: M i M J splňuje Halleovu podmíu a j J M j Dle idučího předpoladu: M J má SRR Položíme M'=M i M j j J M i ' I ' J ' : M i I ' i' = i I ' J M i j J M j M' splňuje Halleovu podmíu ;i J ', pa M j ' j J ' I ' J J = I ' J J = I ' () Předpoládejme, že x M i taové, že existuje právě jedo j, že i= x M j (BÚNO j= ) Zvolíme x jao reprezetata M a položíme M'=M i ;,, Dle předpoladu věty pro I {,, } platí HP a M i dle idučího předpoladu existuje SRR pro M' (3) eastae-li () ai (): x budiž libovolý prve M Položíme M i ' = M i pro,, M i {x}pro i= M'=M i ' ;,, splňuje Halleovu podmíu: Mějme I {,,} Protože eastala (): I M i i I a M i I i' M i i I, tedy I M i I i' Zbývá ověřit M i ', ale protože eastala (), ta i : x M i x M ' i a M i '= M i Zároveň M i ' = a dle idučího předpoladu má M' SRR a te je SRR pro M ( M i ' M i ) QED Tvrz: Nechť G je bipartití graf s partitami V, V a E 0, pro všecha x V, y V platí, že deg x deg y Pa existuje párováí F v G taové, že porývá V Důaz: V ={x,, x },V ={y,, y } Položme M= M i ;,, ta, že M i ={y j ; {x i, y j } E }, J {,, }, S J ={y V ; j J :{x j, y} E }= j J M j Chceme, aby platila Halleova podmía: J S J Počet hra G[{x ; j J } S ]= j j deg x j deg y j J y S J Ozačme =mi {deg x j ; j J }, =mi {deg y; y S J } Platí 0 : j J deg x j J ; y S J deg y S J J S J J S J Halleova podmía platí, QED Př: Def: Latisé čtverce a obdélíy Latisý čtverec řádu je matice A řádu taová, že pro všecha i, j:a i, j {,, } a pro všecha i, r, s, r s:a i, r a i,s a r,i a s, i Úloha: Odhad počtu latisých čtverců: =! L! Def: Latisý obdélí řádu je matice A ' typu, terá splňuje podmíy latisého čtverce Tvrz: Každý latisý obdélí lze doplit a latisý čtverec Důaz: rozšíříme o řáde : A '=a i, j ;,, ; j=,, Hledáme a doplňující A ' a latisý obdélí Položíme M j ={,,} {a, j,,a, j }, M= M j ; j=,, a f :{,,}{,,} SRR pro M Defiujeme a, j = f j Toto je oretí rozšířeí A ' (předáša 7409) Koečá projetiví rovia Otestujeme již je Halleovu podmíu: J j J M j, J {,, } : Defiujeme G bipartití graf s partitami {x,, x },{ y,, y }, de {x i, y i } E j M i Platí:,,:deg x i = M i = =a j=,, :deg y j = M i = =b, b a Dle předchozího tvrzeí existuje SSR pro M, QED Def: Koečá projetiví rovia je dvojice X,P, de X je oečá eprázdá možia, P X a platí axiomy (P0) č X : č =4; P P: P č (P) P, P P, P P P P = 8
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey (P) x, x X, x x! P P: x, x P Tvrz: X,P je KPR, potom P, P P: P = P Důaz: P P Dle (P0) existuje č={a,b, c,d }, de platí: (a) existuje jede bod P P aebo (b) body jsou a P, P po dvou, BÚNO P =ab,p =cd Uvažme přímy Q =ac,q =bd Dle (P) existuje y X : y Q Q y P P Oidexujeme P ={x, x,, x }, položíme R i = yx i,,, R i P = x' i x, jia R i P SPOR, i j x' i x' j, jia R i R j SPOR, tedy P P Aalogicy doážeme P P P = P, QED Def: Řád KPR X,P je rove P pro P P Tvrz: X,P je KPR řádu, potom platí: (0) P P: P = () x X : {P P; x P } = () X = (3) P = Důaz: (0) z defiice () Vezměme libovolý x X Dle (P0) existuje a,b, c č {x}, že ab ac={a} x ab x ac P P: x P, ozačíme toto P={a 0,,a } a P i =a i x ;,, Ať Q P: x Q Q P =, tedy existuje i: a i Q {x,a i } P i Q P i =Q () Vezměme libovolou P P,P={x 0,, x },a P libovolý Položme P i =ax i ;,, i = P i = = (3?) Ať je b X Pro b=a o, jia: Položíme Q=ab P i Q={x i } a zároveň a,x i Q Q= P i, QED Def: Dualita je A,M, de M A M,B je duálí systém pro B={{M M; a M }, a A} Tvrz: Duálí systém e KPR řádu je KPR řádu Poz, jao důslede má (3) v předchozím tvrzeí Důaz: X,PP,T ; T=T x ; x X ; T x ={P P; x P } (P0)* P,,P 4 P růzé, tž x X : T x {P,,P 4 } X,P je KPR č X :č ={a, b, c, d } P =ab; P =bc ; P 3 =cd ; P 4 =da, ať x P P P 3 Pa x P P x =b ; x P P 3 x=c, SPOR Žádé tři přímy emají jede společý průsečí (P)* x, y X,x y: T x T y = (P) T x T y ={P P; x P, z P}! P P: x, y P (P)* (P) P, P P,P P! x: x P P P,P T x Ať P,P T y pro x y y P P SPOR QED? Př: Kostruce KPR Nechť = p e, de p je prvočíslo, e Potom existuje KPR řádu Důaz: Existuje F těleso s právě prvy X ={ x, y ; x, y F} {*, y; y F } {*,*} (P0) č={0,0, 0,,,0,,}, P P: č P (P) P = P, P =P P:, F : P ={ x, x ; x F } {*, } F : P ={, y; y F } {*, *} P * ={*, y ; y F } {*, *} = *, P P x = x x= = x, x P P, QED Def: Latisé čtverce A, B řádu jsou ortogoálí: A B i, j,i ', j ',i, j i ', j' a i, j,b i, j a i ', j ',b i ', j ' Tvrz: A,, A m budiž avzájem po dvou ortogoálí latisé čtverce řádu, pa m Důaz: Mějme A B latisé čtverce řádu, S ; A '=a ' i, j i, j =,a' i, j =a i, j Potom A ' B BÚNO je prví řáde A i =,, pro i,,m, tedy apř A i, a pro i j: A i, A j, m, QED 9
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey (předáša 5409) Pro existuje KPR řádu, právě dyž existuje vzájemě ortogoálích latisých čtverců řádu Důaz: Mějme A,,A ortogoálí latisé čtverce řádu, X,P KPR řádu Zde platí ásledující: X = P = ; P P: P = ; x X : {P P; x P } = Zvolíme r, s libovolé body, P=rs, ostatí body ozačíme l,,l Budiž P,, P přímy tž r P i, s P i,,, a Q,,Q přímy tž s Q i,r Q i,,,, Ozačme i, j=,,: x i, j = P i Q j průsečí Dále ostruujeme přímy dle latisého čtverce: a=,, ; b=,, L a,b ={l a } {x i, j ; A a i, j =b} Ověříme axiomy: (P0) č={x,,x,, x,,x, } (z obr) (P) P s ostatími OK P i Q j dle defiice OK P i L a, b :! j : A a i, j =b OK L a,b Lc,d : a=c La,b Lc,d ={l a } a c A a A c! i, j: x i, j : A a i, j =b ; A c i, j =d OK (P) Zřejmé QED Mějme mociu prvočísla, potom existují A,, A avzájem ortogoálí latisé čtverce řádu Důaz: Mějme K omutativí těleso řádu Ozačme prvy t 0 =0,t =,, t, =,, ;i, j=0,, a budiž A i, j =t t i t j Je A latisý čtverec? V i-tém řádu jsou prvy t t i t 0,t t i t,,t t i t růzé, v j-tém sloupci jsou prvy t t 0 t j,, t l t t j růzé, ještě zbývá ověřit ' A A' Ať i, j,i', j' : A i, j, A ' i, j = A i', j ', A ' i ', j ' růzé t t i t j =t t i' t j ' ; t ' t i t j =t ' t i ' t j ' 0 Bloová schémata Def: Nechť X je oečá možia, B X ;,,t, Z, t,, pa X,B je bloové schéma typu t,,, poud platí () X = () B B: B = (3) T X t existuje přesě moži B i,,,, že B i B, T B i t i t t ' =t i ' t t ' t i =t i ' ; t j =t j' i=i ' ; j= j ', SPOR QED Př: () Triviálí bloové schéma: X =,B= X,= t t () KPR řádu K,P je zároveň bloové schéma typu,, (3) Bloové schéma typu,, existuje, právě dyž Ať existuje bloové schéma typu t,,, potom jsou ásledující zlomy celočíselé: t t,,, t t t t Důaz: X,B dle zadáí, platí B = t t Zvolme S X, S =s t a počítejme počet dvojic T, B taových, že S T X t, T B B : (a) S lze a T rozšířit s t s způsoby, T je v blocích (b) libovolé B taové, že S B, obsahuje s t s růzých T X t taových, že S T B Tedy počet bloů obsahujících S je (a) (b), s t s s = t s s ts t s! s ts t s! celé číslo s=0,,t QED Def: Steierovsé systémy trojic jsou bloová schémata typu t=,=, =3 Př: Faova rovia, KPR řádu KPR řádu 3 bez bodů jedé přímy afií rovia (předáša 409) Toy v sítích Def: Síť je G, s,t,c, de G je orietovaý graf V, E, 0
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey s, t V, s t (s: source, zdroj, start, t: target, spotřebič, sto) a c: E R 0 + (apacita) Def: To je f : E R 0 + taová, že e E : f e ce a v V,v s,t : x,v E Veliost tou je f = s, x : Pro všechy sítě existuje to f s, x x, s f x, s= x, t f x,v= v, x E f x, t t, x f t, x f v, x Poz, Def: Pro aždou síť existuje maximálí to do odvoláí uvažujeme BÚNO G souvislý (v rámci této předášy) Řez mezi s a t je R E taová, že v síti G ', s,t,c' eexistuje žádá orietovaá cesta ze s do t, de G '=V,E R Def: Je-li A V, s A, t a, ozačme R A,V A:={e E ;e=a,b, a A, b A} Potom R A,V A je řez a azývá se elemetárí řez Def: Mějme G,s,t,c síť, f to, ať s=v 0, e, v,, v, e, v =t je eorietovaá cesta ze s do t, že i j :v i v j ; e i =v i, v i e i =v i,v i Tato cesta je easyceá (vylepšující), je-li f e i ce i pro e i =v i, v i a f e i 0 pro e i =v i, v v, asyceá jia Lemma:Mějme G,s,t,c síť, f to f je maximálí, právě dyž eexistuje vylepšující cesta ze s do t Důsl: Důaz: Ať s=v 0,e,v,,v,e,v =t je vylepšující cesta Položme = mi {c e i f e i }0, e i =v i,v i = mi { f e i }0 ; =mi{, }0 a oečě e i =v i,v i f ' e= f e, poud e e i,,,, f e, poud e=e i =v i,v i, f e, poud e=e i =v i,v i Platí, že f ' je to, f ' = f f, SPOR A={v V ; vylepšující cesta ze s do v}, s A,t A, potom R A, V A je řez e R,e= a,b,a A,b A f e=ce (jia by max f mi c R f to R řez Nechť G,s,t,c je síť, pa max f to Již máme Pro spor ať f je maximálí to, R miimálí řez, ale f c R f =mi R řez c R šlo prodloužit vylepšující cestu do b) c R= c e= e R e R f e f (*) Ať R' je libovolý řez a f' je libovolý to, potom f ' c R ' Protože f = c R, ta f je max QED (*) Nerovost: f x, v= f = v A Alg: Ford-Fulerso (pro ce Z e ) e: f e=0 Existuje-li vylepšující cesta ze s do t, zvětšíme to podél cesty a opaovat () 3 To je maximálí, oec e =a,b v, x f a, b c R f v, x x, v e= b ',a ' v A v, x f b ', a ' c R 0 f v, x v A x, v Platí e=b,a,b A,a A f e=0 a tedy f e= f e R A={v V ; vylepšující cesta ze s do v}, s A, t A a R A, V A je řez c R A, V A= f c R, SPOR QED f x, v Důsl: Je-li G,s,t,c síť s celočíselými apacitami, potom existuje celočíselý maximálí to Je-li G, s,t,c síť a e:ce Q, potom existuje maximálí to
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey f :{,, } M i a i {,,}: f i M i SRR odpovídá párováí veliosti X = M i ; i, x E x M i Budiž f celočíselý to f, E {e ; f e=} je párováí SRR existuje, právě dyž existuje celočíselý to veliosti Úloha: Kapacita a vrcholech Míra souvislosti v grafech Def: Mějme graf G=V, E, N G je vrcholově -souvislý, poud V a pro U V : U je G U souvislý G je hraově -souvislý, poud pro F E : F je G F souvislý U V je vrcholový řez, je-li G U esouvislý F E je hraový řez, je-li G F esouvislý Vrcholová souvislost je V G=mi { U ;U vrcholový řez }, poud G K, jia V K = Hraová souvislost je E G =mi { F ; F hraový řez} Lemma:Mějme G=V, E,e E, pa E G E G e E G Důaz: Uvažme F miimálí hraový řez F ' =F {e} je řez G e, ale emusí být miimálí F F ' F E G e F ' F E G Lemma:Mějme G=V, E,e E, pa V G V G e V G Důaz: Uvažme U V miimálí řez G G U eí souvislý Položme H :=G e V H V H e Vezměme U' miimálí řez H, V H = U ' H U má ompoety C,,C r,r e={x, y} a může astat: () x U ' ebo y U ' Položme F'' miimálí řez G e, F ' ' {e} je řez G F ' ' {e} = F ' ' = E G e, QED EG e E He U ' He U ' =H U ' () i: x, y C i ompoeta grafu H e U ' graf esouvislý (3) x C, y C, r = a máme dvě možosti: buď C = C = He K ; V H =, V H e= aebo C C {x},c ompoety H e U ' {x }, QED Tvrz: V G E G Důaz: iducí dle E () E V G esouvislý, V G= E G =0 a dooce platí pro aždý G esouvislý () G souvislý, E G, F miimálí hraový řez F e F Položíme G ' :=G e, dle IP V G' E G ' Platí E G' = E G a V G Lemma V G ' E G ' = E G, QED IP -souvislost Tvrz: Graf G=V, E je -souvislý, právě dyž u,v V ružice v G, terá obsahuje i v Tvrz: Ušaté lemma Každý -souvislý graf lze sísat z ružice přidáím uší, de ucho je cesta, terá má s původím grafem společé právě ocové vrcholy Důaz: G je -souvislý V 3,e={u,v} E, E G V G G e souvislý cesta z u do v v G e Pe ružice G' maximálí podgraf G vzilý přidáváím uší e ružici Ať existuje e' E E G' Možosti: () e' ={x, y }, x, y V G' e' ucho v OK () x V G ', y V G ' G x souvislý Buď P' cesta z y do V G v G Pa P 'e ' je ucho OK (3) x, y V G cesta z x do V G ' v G Buď e'' posledí hraa této cesty, e' '={a,b},a V G ',b V G' Převedeo a případ () QED Ford-Fulersoova Mějme G=V, E, N Pa E G u, v V, u v hraě disjutích cest z u do v Důaz: Ať F je miimálí řez F a u, v jsou v růzých ompoetách G F
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Existují P,, P hraě disjutí cesty z u do v: i: P i F e i P i F :i j e i e j a tedy {e,,e } F, {e,, e } =, SPOR Mějme G' síť, zdrojem budiž u, spotřebičem v, c, f maximálí celočíselý to v G' eobsahující ružice dély, R miimálí řez f = R Položme F ={{x, y}; x, y R} f R f a ajdeme P,, P disjutí cesty uv () = : hray s f = obsahují to z u do v, tedy miimálí to je cesta z u do v () : hray s f = obsahují to z u do v P cesta z u do v Na P astavíme f =0, jia f f = f a postup iducí QED Meger Mějme G=V, E, N Pa V G u, v V, u v vrcholově disjutích cest z u do v (až a ocové vrcholy) Důaz: Ať U je miimálí vrcholový řez U, u, v v růzých ompoetách G U Existují P,, P vrcholově disjutí cesty z u do v a i: P i U v i P i U :i j v i v j Pa {v,,v } U, {v,,v } =, SPOR Symetricá orietace v G, x V, x u, v : Zdroj u u ' ', spotřebič v v',c, F ={ x', x ' ' ; x V {u, v}}, f maximálí to v síti, R maximálí řez, že e R F ajdeme e' :e=x ' ', y' Buď x u :e' = x', x' ' jeda z ich ebo y v:e' = y', y' ' Předpolad: {u,v} E, jia totéž v G e {u, v} Položíme R' =R bez hra e R F, ale s e' R' R, R' řez R ' = R, R ' F U ={x;x ', x' ' R ' } U řez v G U = F QED Ramseyovy věty N N N G=V, E, V =N : K G E G iduovaě R budiž miimálí taové N Důaz: Uážeme R 4 Vezměme G=V, E, V =, v libovolý vrchol z V V V {v }, že Vezměme v libovolý vrchol z V V V {v }, že Dále iducí v i z v i : Tvrz: Pro 4 je R = buď v V :{v,v } E V V = 3 ebo v V :{v,v } E buď v V :{v,v } E V V 4 ebo v V :{v, v } E V i V i {v i }, že buď v V i :{v,v i } E V i V i i ebo v V i :{v,v i } E (pro v u v i víme, že je s imi (e)spoje) Kočíme s v a máme posloupost v,,v taovou, že i ji buď {v i,v j } E v i ozačíme ebo {v i,v j } E v i ozačíme Existuje zaméo a existuje i,,i taové, že G [{v i,,v i }] je K pro aebo E pro Důaz: Mějme N =,G áhodý graf s N vrcholy a {u,v} E s pravděpodobostí (ezávisle) -prvová podmožia vrcholů iduuje K s pravděpodobostí, E stejě ta Pravděpodobost, že G má iduovaý podgraf K :=P N a E :=P N K ebo E :=P I P P = = N N! =! N! N = = = Pravděpodobost, že G emá iduovaý podgraf K ebo E : P N = P I 0 graf s vrcholy bez K, E QED r N,, r N N N c : E K {,,r } i 0 {,,r } U V K u,u U :c {u, u }=i 0 U i 0 Česy: Pro aždé r N a všechy r-tice,, r N existuje přirozeé číslo N, že pro libovolé obarveí c hra grafu K pomocí r barev existuje barva i 0 a podmožia vrcholů U taová, že hraa mezi aždými dvěma jejími vrcholy má barvu i 0 a počet vrcholů je alespoň i0 Uf Důaz: Ozačme miimálí taové N jao R,, r, R r r Doážeme R,, r R,, i, i, i, r iducí dle i : r i= () == r = stačí N = (existuje-li i, aby i = N =, triviálí) Tedy dále platí i: i Ať v je libovolý vrchol, V i ={u V ; r, c{u, v}=i} V i R,, i, i, i,, r, použijeme IP: 3
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey i 0 U V i : i 0 i i 0 = i-tému z,, i, i, i,, r i 0 =i U '=U {v} QED?!, r, p N N N X, X N c: X p {,, r} i 0 {,,r } Y X, Y : c Y p i 0 Česy: Pro libovolá přirozeá čísla, r, p existuje N taové, že a libovolé možiě X o veliosti N pro c libovolé obarveí p-tic jejích prvů r barvami existuje barva i 0 taová, že pro i ajdeme Y podmožiu X veliosti alespoň taovou, že a í c je ostatě rovo barvě i 0 Neoečá verze předchozí r, p N X eoečou c: X p {,,r} i 0 {,,r} Y X eoečá :c ^Y p i 0 Česy: Pro libovolá přirozeá čísla r, p a pro libovolou eoečou možiu X a pro c libovolé obarveí p-tic jejích prvů r barvami existuje barva i 0 taová, že ajdeme Y eoečou podmožiu X, že c parcializováo a Y je ostatě rovo i 0 Důaz: Iducí dle p () p=: c: X {,, r} triviálí () p : X ={x,} spočetá, x : c' : X {x } p {,,r} ta, že c' {y,, y p }=c{x, y,, y p } Existuje Y X {x } eoečá, že c' ^ Y p c x Y : c' ' Y {x } p {,,r}: c' ' {y,, y p }=c{x, y,, y p } x i Y i : c i : Existuje Y Y {x } eoečá, že c' ' ^ Y p c A ta dále: Y i {x i } p {,,r}: ci {y,, y p }=c{x i, y,, y p } Existuje Y i Y i {x i } eoečá, že c i ^ Y i p c i Tím dostáváme eoečou posloupost x,x, taovou, že i j p j p j i : c{x i, x j,, x j p }=c i i 0 taové, že pro eoečou I N : c i =i 0 a Y ={x i ;i I } Potom c ^ Y p =i 0 a Y je eoečá QED Poz: Odhady Ramseyových čísel Erdös-Szeeres (935): Rödl (986): Thomaso: Rm, m m ; dolí odhad: R e R c, c log c, c 0 R R Erdös-Szeeres N N N taové, že libovolá N-prvová možia bodů v roviě v obecé poloze (žádé tři eleží a přímce) obsahuje bodů v ovexí poloze Důaz: Iducí dle () =4 : stačí N =5 Poud je ovexí obal pěti bodů 4 ebo 5-úhelí, OK Pro 3-úhelí: () 4 : buď X možia vodů (v obecé poloze) a buď c obarveí X 4 ovexí / eovexí čtveřice Y X : Y = Y 4 stejého typu, dle () ovexí, tedy Y je ovexí Sporem, triagulujeme y bodů, je-li bod v trojúhelíu, spolu s ím tvoří čtveřici, terá eí ovexí N R p=4,r =, QED Schur r N N N c:{,, N }{,, r} x, y {,, N }, x y : cx=c y=cx y Důaz: N :=R,r,3 Položíme c' : {,, N } {,, r}: c' {i, j}=c i j Najdeme : c' {,}=c' {,}=c' {,}=c 0 a x=, y= Potom platí, že c x=c' {,}=c 0 ; c y=c' {,}=c 0 ; c x y=c ' {,}=c 0 Ale může astat x= y budeme hledat čtveřice, N :=R,r,4 a pro x= y použijeme y '= QED N G bez trojúhelíů taový, že G Důaz: 3 Položíme X : X = R,,3,V G = X a 4
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey E G ={{{u,v},{x, y}}; uv= x y} G emá trojúhelí, sporem: {x, y },{x, y },{x 3, y 3 }, BÚNO x i y i, x x x 3 x y = x y ; x y = x 3 y 3 ; x y = x 3 y 3 x = x 3 x x 3, SPOR G =? Buď c libovolé obarveí, z z z 3 X, že v ={z, z 3 }, v ={z, z 3 }, v 3 ={z, z } Pa {v,v 3 } E c v =cv Tedy G To by mělo být všecho Poud ajdete ějaé chyby, prosím ozamte mi je obratem a zaatar@gmailcom, pomůžete sobě, mě i všem ostatím, co výpisy užívají Taé se a mě obraťte v případě jaýcholiv requestů a případé chybějící části apod Zaatar 5