KINEMTIK DYNMIK TUHÉH TĚLES Studjní tet po řeštee F a ostatní zájece o fzku ohu Vbía bsah Úvod 3 Kneatka tuhého těesa 4. Pooha tuhého těesa př pohbu................. 4. Tansační pohb tuhého těesa.................. 5.3 Rotační pohb tuhého těesa koe nehbné os........ 6.4 Rovnný pohb tuhého těesa................... 7 a) Pops pohbu.......................... 7 b) Rchost a zchení bodů těesa př ovnné pohbu... 8 c) Pó ovnného pohbu těesa.................. 9 d) Zváštní případ pooh póu pohbu............. e) Poode nehbná a poode hbná............... Dnaka tuhého těesa 6. Úvod................................. 6. Pvní pusová věta........................ 7 a) Vnější a vntřní sí....................... 7 b) Hbnost soustav, hotný střed................ 7 c) Fouace pvní pusové vět................ 9.3 Duhá pusová věta....................... a) becná fouace duhé pusové vět............ b) Moent hbnost tuhého těesa vzhede k nehbné ose.. c) Fouace duhé pusové vět po otac koe nehbné os.4 Moent setvačnost tuhého těesa vzhede k nehbné ose.. 4 a) Výpočet oentu setvačnost................. 4 b) Steneova věta......................... 8 c) Moent setvačnost hoogenních těes jednoduchého geoetckého tvau o hotnost............. 9.5 Dnaka obecného ovnného pohbu tuhého těesa...... 3 a) Pohbové ovnce........................ 3 b) Vavý pohb těesa po nakoněné ovně........... 36
adáe S = ϕ, nebo ε = ϕ = a S. Pak pohbové ovnce jsou Řešení a S = ε = F = (g a S ), ( + )a S = g + T, ( + )a S = g T. 4 g, S = + gt, 3 +8 3 +8 4 g 3 +8, ϕ = gt (3 +8 ), 3 T = g, F = g. 3 +8 3 +8 b odvaování bo dokonaé, usí být T<Nf apoto f>. 3 +8 c) Př pokuzu T = fg. od není póe pohbu a po zchení závaží patí a = a S + ε. Pohbové ovnce pak jsou Řešení F = (g a S ε ), ( + )a S + ε =( + f)g, ( + )ε + a S =( f)g. a S = + f( +4 ) +3 g, ε = f( + ) g +3, F = ( + f) +3 g. Úvod Mechanka je přozený zákade fzk, neboť podává obaz o eatvní kdu a pohbu fzkáních těes. Pokud se budee zabývat podínka ovnováh těes, použjee etod, kteé ná dává statka. Ta ba předěte studjního tetu []. ude- nás zajíat pops pohbu těes, anž bcho se zabýva příčna jeho zěn, použjee etod kneatk. Ta popsuje poohu, chost a zchení těes. Káovnou echank je dnaka, poocí níž všetříe souvsost ez pohbe těes a sa a jejch oent, kteé na těesa působí. V předožené tetu se soustředíe na kneatku a dnaku tuhého těesa. Mechanka obecného postoového pohbu těes je ve sožtá, a poto se budee podobněj zabývat jen obecný ovnný pohbe tuhého těesa. Na úvod pobeee zváštní případ pohbu - tansační pohb a otační pohb koe nehbné os. Tí se fzkání a ateatcký apaát zjednoduší do té í, že bude zvádnutený vspěý student středních ško. V tetu se vužívá vektoové ageb, jednoduchých etod dfeencáního a ntegáního počtu. Př řešení úoh naazíe na jednoduché dfeencání ovnce, kteé se dají řešt sepaací poěnných. To je taková úpava dfeencání ovnce, př níž se na opačné stan ovnce od sebe odděí (sepaují) nezávse poěnná a závsé poěnná večna a jejch dfeencá. Takovou ovnc jž pak ze zpavda ntegovat. Pokud bcho se chtě zabývat obecný postoový pohbe tuhého těesa, naaz bcho na tenzoové večn, na tenzoovou agebu a anaýzu a na soustav dfeencáních ovnc. Tí bcho však výazně překoč áec středoškoských ožností. V předožené tetu jse se snaž o goozní obecný výkad, kteý běžné středoškoské učebnce postádají. Použtí obecných zákontostí je ustováno na jedenáct řešených příkadech. Učtou zběhost po řešení úoh, např. ve fzkání opádě, získá studující až po saostatné řešení předožených úoh, kteých je v tetu čtřcet. Po kontou spávnost jsou na závě tetu uveden výsedk úoh. 66 3
3g cos α 3. a) ω = b) α = g k 3. v = 3g., ( + k cos α g ) (zahnuje statckou a dnackou sožku). 3. pkujee zákon zachování oentu hbnost a zákon zachování enege. v = g( cos ϕ )( T + )(J + ). 33. a) ω = J ω v J +. Pode vztahu ez oente hbnost tče J ω a oente hbnost v stře se tč buď pouze zpoaí (ω > ), zastaví (ω =)nebo se oztočí v opačné sěu (ω < ). b) Úhová chost ω se nezění. 34. ϕ = π J (Deska se otočí v opačné sěu, než je sě oběhu čověka.) 35. a) ε = 3g 3g sn ϕ, b) ω = ( cos ϕ). 36. S = = konst., S = gt + 3g t 3g, ϕ = t. 37. Vpočtee výsednc spojtě ozožených odstředvých s a napíšee oentovou podínku ovnováh k bodu. pak ( ) ω F = g tg α + 3g sn α. 38. Řešíe užtí zákona zachování enege, přčež po výpočet chost hotného středu užjee póu pohbu P (ob. 75). 3g ω = ( sn ϕ). a fancouzský ateatk M. Chases [čt Šá] a uvádí se jako Chasesova věta (vz např. [9]). Vzhede k tou, že voné tuhé těeso v postou á šest stupňů vonost, je k úpnéu popsu jeho pohbu třeba řešt šest sožkových pohbových ovnc. Tto ovnce obsahují jako neznáé šest večn, kteé popsují pohbový stav těesa. Pohbové ovnce dostanee apkací pusových vět, přčeži.pusová věta dává pops tansace těesa a II. pusová věta pops otace těesa. V případě obecného ovnného pohbu řešíe tř sožkové ovnce, přčež dvě popsují tansac a třetí otac těesa.. Tansační pohb tuhého těesa Jak jse s uved, zůstává př tansační pohbu úsečka spojující bovoné dva bod těesa stáe ovnoběžná se svou výchozí poohou. Poto ají tajektoe všech bodů těesa př jeho tansac shodný tva a stejnou déku tajektoe jsou shodné, vzájeně posunuté křvk. Př tansační pohbu bovoná příka spojená s těese neění svůj sě. Uvažuje dva bod, těesa př tansační pohbu (ob. ). Po jejch poohové vekto patí = (t), = = (t) +, kde vekto je konstantní. Poto po chost a zchení dvou bovoných bodů těesa dostanee b. v v = = =, () dt d dt d a = dt dv = dv dt = a. () Všechn bod tuhého těesa se ted př tansační pohbu pohbují stejnou chostí a se stejný zchení. Pohbový stav tuhého těesa je př tansační pohbu jednoznačně učen pohbe jedného bodu, za kteý zpavda voíe hotný střed těesa. K řešení tansačního pohbu ted použjee poznatků po pohb jednoho hotného bodu. 64 5
b) t + t = M h M p t =,96 s. ω Jeho devací pode času pode vzoce po devac součnu dvou funkcí př zachování pořadí funkcí (po vektoový součn dvou vektoů ve vztahu (3) nepatí koutatvní zákon) dostanee po zchení bodu postupně výaz c) ϕ = M h M p J M h t M =7,8 ad. p ω t aj t + t t. Pohbová ovnce př sepaac poěnných: dω ω = k J dt. a) ω = Jω J + kω t,. t = J k n, z = Jω 4πk. 3. ω = b) t = 9J kω. ω + P J t, z = J [ (ω 6πP + P ] J t)3 ω 3. 4. a) J =, b) J = ( + ), c) J = 3, d) J = 3, e) J = 3 5 5 3 3. 5. a) J = 3 sn α, b) J = 4 3 sn α. 6. a) J z =, b) J = J =. 7. J = 6 a. Dá se dokázat, že tento oent setvačnost nezávsí na sěu os, kteá pochází střede kche. 8. J = 3 5. 9. a) J = 3, b) J =, c) 3 = + 4. = a dt = d d ( )= dt dt + d dt dv = + ( ). (4) Pvní sožka zchení v (4) á zřejě sě tečn ke kužnc v bodě ajeted tečný a zchení t bodu. Duhá sožka zchení v (4) á zřejě sě noá ke kužnc v bodě ajetednoáový a zchení n bodu. Nebo.4 Rovnný pohb tuhého těesa a t =, (5) a n = v = ( ). (6) a) Pops pohbu Jak jse uved, bod těesa př ovnné pohbu opsují ovnné tajektoe, kteé eží ve vzájeně ovnoběžných ovnnách. Poto po pops ovnného pohbu postačí popsovat půět (S) těesa do jedné z těchto ovn, kteou voíe za zákadní (ob. 4). Tak ísto tojozěného těesa všetřujee pohb pošného útvau v ovně. Pooha těesa př ovnné pohbu bude jednoznačně učena poohou úsečk (S) ve vztažné soustavě v zákadní ovně, ted poohou efeenčního (vztažného) bodu (např. ) a sěe úsečk. Pohb budou popsovat ovnce ϕ = (t), = (t), (7) b. 4 ϕ = ϕ(t), v souadu s poznatke, že těeso vkonávající ovnný pohb á tř stupně vonost. S ohede na pops pohbu ovnce (7) ze ovnný pohb těesa ozožt na tansační pohb efeenčního bodu () anaotační pohb koe efeenčního bodu () vz ob. 5. Přto ze ukázat, že otační sožka ovnného pohbu nezávsí na vobě efeenčního bodu. Na ob. 6 je znázoněn ozkad pohbu po případ, že efeenční bode je bod. 6 7
Výsedk úoh. Tč C vkonává tansační pohb, poto v E = v, a E = a. Pak v E =3kt =3, s, a Et =6kt =,6 s, a En = v E =9k t 4 =9 s.. Dfeencání ovnce se sepaovaný poěnný: ω dω = k dt, ( n = 3 ) πn +kt = 38 n. π 3 3. = (ϕ sn ϕ), = ( cos ϕ)...ckoda. ϕ =: =,=,v=, ϕ = π : = (π ),=, v= v, ϕ = π : = π, =, v=v, ϕ = 3π : = (3π +),=, v= v, ϕ =π : =π, =,v= 4. a) = =... bod. b) + =, po,... čtvtkužnce o pooěu se střede v. 5. vz ob. 74 6. Paašutsta koná tansační pohb; jeho a. chost bude v a = =5, s. ( ) gt 7. J = s =,76 kg 8. b se soustava vůbec pohbovaa, usí být sn α > (sn α + f cos α )+ f cos α nebo g k = Příkad Tčsepohbujetak,žejejíkoncovébod, se tvae nacházejí na osách v,. Učete chost bodu, je- dána okažtá chost bodu a úhe ϕ (ob. 8). Pode vět o půětech chostí patí v sn ϕ = v cos ϕ, ϕ, v v ϕ b. 8Řešení: π ). Nebo sn ϕ v = v cos ϕ = v tg ϕ. c) Pó ovnného pohbu těesa Rchost bodů těesa př jeho ovnné pohbu ze jednoduše učt užtí póu pohbu. Póe pohbu nebo okažtý střede otáčení se nazývá bod P půětu těesa do ovn pohbu, jehož chost je v dané okažku nuová: v P = vz ob. 9. P b a v ω b. 9 C v C v M ϕ b. Nní je otázkou, zda pó pohbu ůžee po každý okažk bovoného ovnného pohbu naézt. Ukážee, že ano. Uvažuje bovonou úsečku v půětu těesa do ovn pohbu (ob. ), kteá př pohbu přejde do pooh jného sěu. Půsečík M setá úseček, je totž bod, koe něhož se úsečka otočí o úhe ϕ do nové pooh, neboť tojúheník M, M jsou shodné a pohb ze považovat za otočení tojúheníku M, k něuž náeží úsečka,koebodu M P o úhe ϕ.pokud nastane zváštní 6 9
bově přpojena ke svse otujícíu hříde, v bodě je ke hříde přpojena postřednctví ana tak, že osa tče svíá s osou hřídee úhe α. Učete vekost tahové sí v aně. () g S () ϕ b. 69 b. 7 38. Tenká tuhá hoogenní tč o déce =a kouže v koncových bodech, po dvou dokonae hadkých stěnách, z nchž jedna je svsá, duhá vodoovná (ob. 7). Tč je na svsé stěně vedena tak, ab bod b neustáe v dotku se stěnou. Tč se začaa pohbovat z kdové, téěř svsé pooh (ϕ 9 ). Učete vekost úhové chost tče jako funkc úhu ϕ. C F g C (, ) S( S, ) (, ) =a D P ϕ b. 7 b. 7 39. Těeso obecného tvau je zavěšeno na dvou ovnoběžných váknech, uchcených v bodech, C pode ob. 7. Těeso á hotnost aoent E o ω α F Je- zná pó, ze učt chost bovoného bodu C: v C = ω PC, kde ω = v P. Pó nejépe učíe gafck (vz příkad ) ze znaost nepaaeních chostí dvou bovoných bodů těesa. d) Zváštní případ pooh póu pohbu. Jestže se těeso př ovnné pohbu odvauje bez skuzu, je póe pohbu bod dotku těesa s podožkou (ob. 3). V dané okažku je v P =, jnak b se bod P use skat. Pooha bodu P je však okažtá bod P se přesouvá jstou chostí po podožce. ude- se odvaovat koue nebo váec po ovné podožce, bude chost v přesťování póu ovna chost středu těesa. V jných případech, napříkad př vaení ováu, budou tto chost ůzné.. ω Jsou- chost v, v bodů, těesa př ovnné pohbu vzájeně ovnoběžné a koé na úsečku a v ají- ůzné vekost, eží pó P vpůsečíku přík spojující bod, a P přík spojující koncové bod vektoů b. v 3, v (ob. 4a, b). 3. udou- v ít souhasně ovnoběžné vekto, v, na ozdí od případu ad, stejnou vekost a stejný sě jde o tní případ pooh póu pohbu, kteý zřejě eží v nekonečnu (ob. 5). 4. Jsou- chost v, v, bodů, těesa př ovnné pohbu souhasně ovnoběžné vekto a nejsou- koé k úsečce (ob. 6), tak předevší pode vět o půětech chostí usí být v cos α = v cos α,nebo v = v. Z toho je pak zřejé, že pó P. a) v v b) P v ω α v v ω P P v b. 4 b. 5 b. 6 v α v 58
bě těesa ají stejnou hotnost a stejný pooě. Vpočtěte: a) Zchení a k hotného středu kučk, a v váečku. b) Dobu t k, esp. t v, za kteou těesa pojdou bode, kteý je ve výšce h pod bode. Jakou př to dosáhnou postupnou chost hotné střed těes? Stanovte poě vekost jednotvých vpočtených večn po kučku a váeček. 3. Hoogenní tenká tč konstantního půřezu je ve stavu kdu odkoněna od svsce o úhe α. Tč á hotnost adéku. a) Učete její úhovou chost ω v okažku dopadu na pužnový náazník, jehož honí konec se nachází ve vodoovné ovně, kteá pochází čepe tče (ob. 63). b) Jaká bude největší úhová odchka α tče od vodoovné ovn po její dopadu na náazník, jehož tuhost je k a vzdáenost od čepu je. Př řešení předpokádejte, že tuhost náazníku je tak veká, že není nutné počítat se zěnou gavtační potencání enege tče, způsobenou její odchkou o aý úhe α. 3. Hoogenní tenká tč konstantního půřezu o déce je na jedno své konc otočně zavěšena (ob. 64). Jaká chost v usí být uděena vonéu konc tče, ab se tč dostaa ze svsé pooh do pooh vodoovné? Δϕ g = π g T ϕ T = v v b. 64, J 65> b. 3. Do bastckého kvada po učování chostí stře ponkne střea o hotnost neznáou v chostí (ob. 65), přčež střea zůstane v těese kvada. Působení stře se podéná osa kvada vchýí od svsce o úhe ϕ. Je znáa hotnost kvada, pooha T těžště a oent setvačnost J kvada k ose. Učete chost stře, je- znáa vzdáenost její tajektoe od os. týkají (ob. 9). Př ovnné pohbu těesa se poode hbná odvauje po pood nehbné. Zvášť jednoduché je učení poodí u vaení váce nebo koue (ob. 3). Poodí hbnou je zřejě obvodová kužnce váce (havní kužnce koue), poodí nehbnou je půsečnce poch, po níž se váec (koue) vaí, s ovnou pohbu. Příkad 3 Tč dék kouže po vedení, kteé se skádá ze čtvtkuhové část o pooěu a<azpříé a část pode ob.. Výchozí pooha tče je a naznačena na obázku. Učete nehbnou pood: α a) gafck, b) anatck. b. Řešení a) Gafck (vz ob. ) Př gafcké konstukc hedáe půsečík koc vztčených v koncových bodech, tče koo k tečná tajektoe těchto bodů (ob. ). Po bod tto koce pocházejí střede, pobod jsou to ovnoběžk. Po α nehbná poode zřejě asptotck ubíhá k nekonečnu. b) natck Počátek katézké vztažné soustav poožíe do bodu, osa bude ovnoběžná s příou částí vedení (ob. ). Rovnc nehbné poode vjádříe v poáních souřadncích. Zřejě patí kde přčež Pak cos α = (ϕ) = cos α cos ϕ a = Počáteční bod P() á poohu (ϕ) = C cos ϕ, C = cos α a cos ϕ, sn α = a ( sn ϕ). a cos ϕ ( sn ϕ) a. () = a a. 56 3
a) Hotnost spojovací tčk je zanedbatená. b) Hotnost spojovací tčk je. Stanovte poě T a /T b odpovídajících peod. 4. Váec o hotnost a pooěu se otáčí koe své otační os úhovou chostí ω. Jakou b use ít úhovou chost ω př otac koe své povchové přík, ab se nezěna jeho knetcká enege? 5. Setvačník (ob. 58) ůžee oztočt tak, že na jeho pouzdo o pooěu navnee šňůku a za její voný konec táhnee sou až do jejího odvnutí. Vpočtěte úhovou chost setvačníku o oentu setvačnost J odvnua se ze stavu kdu déka šňůk bez pokuzu př působení sí F = konst. 7 J b. 58 h R b. 59 g Příkad 4 Tenká tčka dék kouže svý konc, po osách, katézské soustav souřadnc (ob. ). Gafck najděte nehbnou pood a hbnou pood. Řešení (ob. 3) Poode nehbná je čtvtkužnce o pooěu se střede v počátku. p h Poode hbná je půkužnce o pooěu / se střede S ve středu tčk. kažtý pó pohbu P je bod dotku obou kužnc. / Poznáka: od tčk, s výjkou bodů, a S, opsují eptcké tajektoe. od S se pohbuje po kužnc. b. S / p n b. 3 P 6. Je dáno Maweovo kvado jako soustava dvou bízko sebe uístěnných vácových kotoučů o pooěu R a o cekové hotnost, kteé jsou spojen čepe o pooěu,jehož hotnost zanedbáe (ob. 59). Na čepu je jední konce přpevněno a navnuto neoztažtené vákno, kteé je duhý konce přpevněno k závěsu. Po navnutí vákna a po uvonění kotoučů z honí kdové pooh se vákno odvjí bez pokuzu. Vpočtěte: 8 a) Rchost středu kotoučů př jejch přeístění do vzdáenost h od kdové pooh. b) Zchení středu kotoučů. 54 5
4. dvoďte vztah po oent setvačnost J vzhede k ose geoetcké souěnost těchto hoogenních otačních těes o hotnost : a) Tenkostěnná tubka o střední pooěu. b) Tustostěnná tubka o vnější pooěu a o vntřní pooěu. c) Tenkostěnná kuová skořepna o střední pooěu. d) Koý kuže o kuhové zákadně s pooěe. e) Koý kooý kuže o kuhových zákadnách s pooě, <. 5. a) dvoďte vztah po oent setvačnost J tenké hoogenní tče dék koseo, s níž tč svíá úhe α a kteá pochází její konce (ob. 5). Hotnost tče je. b) Jaký bude oent setvačnost J, kdž na vnější konec tče přdáe hotný bod o téže hotnost? o α b. 5 S z b. 53 6. dvoďte vztah po oent setvačnost tenkého hoogenního pstence o hotnost a střední pooěu : a) k ose z pocházející hotný střede S koo k jeho ovně (ob. 53), b) k osá,, kteé eží v ovně pstence a pochází bode S. 7. dvoďte vztah po oent setvačnost J hoogenní kche o déce han a vzhede k ose, kteá pochází její geoetcký střede koo ke stěně kche. Hotnost kche je. 8. Vpočtěte oent setvačnost J vzhede k ose sete hoogenního otačního těesa, kteé sestává z vácové část a dvou pookuových částí pode ob. 54. Je dáno: ozě ahotnost ceého těesa. 9. dvoďte vztah po oent setvačnost tenké hoogenní tčk o hotnost aodéce: 5. Pvní pusová věta a) Vnější a vntřní sí Na soustavu hotných bodů a ted na tuhé těeso obecně působí dvě soustav s sí vnější a sí vntřní. Vnější sí souvsejí s působení jných bodů nebo těes, kteé k dané soustavě nepočítáe. Výsednc vnějších s, působící na -tý F bod, označíe. Patří se např. tíhová sía, kteou působí Zeě na uvažované těeso na její povchu. Vnější sa jsou sí vzájeného působení př bezpostřední dotku těesa s jný těes, dáe sí eektcké a sí agnetcké. Vntřní sí souvsejí se vzájený působení bodů uvažované soustav. tuhého těesa jsou to např. vazbové sí, kteé uskutečňují soudžnost těesa. Potože vntřní sí jsou sa vzájeného působení, F j patí po ně Newtonův pncp akce a eakce. s F značíe- j síu, kteou působí j-tý bod na F j F -tý bod, a j síu, kteou naopak působí -tý j bod na j-tý bod (ob. 4), bude b. 4U j F j F + j =. Ztohopne,žesoučet vntřních s po ceou soustavu hotných bodů (esp. po těeso) je nuový. Po oent uvedených s vzhede k bovonéu oentovéu bodu podobně patí F j + j F j =, neboť obě sí ají stejné aeno s a jsou vzájeně opačného sěu (ob. 4). Ted součet oentů vntřních s k bovonéu bodu je nuový. Př všetřování dnackých účnků s na tuhé těeso jako ceek ted stačí zkouat jen účnek vnějších s. K tou je třeba poznaenat, že vntřní sí ohou ít vv na pohb soustav hotných bodů, ohou způsobovat přeskupování bodů uvntř dané soustav. U tuhého těesa k tou však dojít neůže, potože u něj je vzdáenost ez bod pode defnce stáe konstantní (tva těesa je konstantní). b) Hbnost soustav, hotný střed Jednou z důežtých dnackých chaaktestk soustav hotných bodů je hbnost soustav, defnovaná jako vektoový součet hbností jednotvých bodů soustav: ( d n n = p v = dt = d n ). (9) dt = = 7 =
4. Tenká tčka dék se kouže po vedení ve tvau a) půkužnce (ob. 47a) tak, že bod přejde do bodu C, b) dvou vzájeně koých stěn (ob. 47b). dvoďte ovnc nehbné poode v souřadncích katézských soustav naznačených na ob. 47. 5. Je dán kkový echansus pode ob. 48, u něhož : =:3. Gafckou etodou najděte nehbnou pood ojnce po ϕ, π. ϕ g - b. 48 J b. 49 6. Paašutsta o hotnost = 9 kg seskočí padáke z baónu, kteý je v eatvní kdu vůč povchu Zeě. dpoová sía vzduchu je úěná duhé ocnně chost pode vztahu F = kv, kde po daný padák je k =35,3. Vpočtěte, jaké aání chost ůže paašutsta dosáhnout.. 7. Jaký je oent setvačnost kotouče kadk o pooěu = 8, jestže závaží o hotnost =4, kg poběhne dáhu s =, za dobu t =,3 s. Na počátku je závaží v kdu (ob. 49). 8. Vpočtěte oent setvačnost J otačního těesa ze soustav na ob. 5, jestže závaží o hotnostech, se pohbují po dsných pochách a uazí dáhu s ze stavu kdu za dobu t. Je dáno,,,s,t,α,α a součnte skového tření f.stanovte podínku po to, ab se soustava vůbec pohbovaa. 9. Je dána soustava s dvojtou kadkou pode ob. 5, u níž znáe, R, J,,. Učete: a) Úhové zchení kadk. b) Úhovou chost kadk v čase t, je- v t =ω = ω. 5 s pohbu tuhého těesa, se s títo poje pacuje u tansačního pohbu tuhého těesa. c) Fouace pvní pusové vět Uvažuje tuhé těeso, kteé se pohbuje v necání vztažné soustavě. ude- na -tý bod tohoto těesa působt vnější F sía a výsednce vntřních s j j od ostatních bodů těesa, bude po časovou zěnu jeho hbnost F p patt dp dt = + j F F j. (3) Suací přes ceé těeso po evou stanu ovnce (3) dostanee dp dt = d p = d S), (4) dt dt (v ted časovou zěnu hbnost těesa, vjádřenou vztahe (). Podobně suací po pavou stanu ovnce (3) dostanee F + F j = F = F, j ted výsednou vnější síu působící na těeso, neboť výsednce všech vntřních s je nuová. Zěnu hbnost těesa tudíž způsobuje výsednce působících s pode ovnce dp dt =. (5) Je foáně shodná s pohbovou ovncí jedného hotného bodu a je pohbovou ovncí tansačního pohbu tuhého těesa. Rovnce (5) se označuje jako F pvní pusová věta po tuhé těeso. Časová zěna hbnost těesa je ovna výsedné síe působící na těeso. Potože pode kascké echank neuvažujee závsost hotnost těesa na jeho chost ve vztažné soustavě a potože hotnost tuhého těesa se jnak s čase neění (jnak je tou např. u aket), ůžee ovnc (5) přepsat s vužtí vztahu () do tvau dv S dt = a S = F, (6) 9
.8 Sovnání otačního pohbu s tansační pohbe Ze zavedených večn a odvozených vztahů ez večna po tansační pohb tuhého těesa a po otační pohb tuhého těesa koe nehbné os je ožné sedovat anaoge, kteé ají hubší fzkání souvsost. Po získání epší oentace ez těto večna a vztah je vhodné s uděat jejch shnutí a vzájené sovnání. tansační pohb otační pohb eeent d dáh ds, eeent úhové d dáh chost = d v dt úhová chost = d dt a dv M F F L v J p zchení = úhové zchení = dt dt hotnost oent setvačnost J sía oent sí = hbnost = oent hbnost = F dp M dl F J M a ds F M d F M v I. pusová věta = dt II. pusová věta = dt pohbová ovnce = pohbová ovnce = eeent páce dw = eeent páce dw = výkon P = výkon P = knetcká enege E k = v knetcká enege E k = Jω dostanee pohbovou ovnc, jejíž evá stana bude ít tva dl dt = d L = dl dt dt. Jde ted o časovou zěnu oentu hbnost tuhého těesa. Pavá stana ovnce bude ít po suac tva F + F j = F = M = M, j půjde ted o výsedný oent vnějších s působící na tuhé těeso, neboť výsedný oent všech vntřních s je nuový. Tento oent á sě okažté os otace. becná pohbová ovnce otačního pohbu ted zní dl dt =. (8) M Výsedek (8) se označuje jako duhá pusová věta. Časová zěna oentu hbnost těesa vzhede k bovonéu pevnéu bodu je ovna výsednéu oentu vnějších s vzhede k téuž bodu. pkace duhé pusové vět (8) na těeso konající obecný postoový pohb je náočná, neboť vede k soustavě dfeencáních ovnc s tenzoový večna. Poto se nní soustředíe jen na řešení jednodušších úoh a to na otac tuhého těesa koe nehbné os a poté na obecný ovnný pohb tuhého těesa. b) Moent hbnost tuhého těesa vzhede k nehbné ose Výaze (7) je defnován oent hbnost -tého bodu těes vzhede k bodu (). ude- těeso otovat koe nehbné os, bude nutné počítat jeho oent hbnost vzhede k ose (anaogck oentu sí vzhede k ose vz č..3 v []). bcho zjednoduš označení večn a výpočet oentu hbnost těesa k nehbné ose, uvědoíe s, že bod těesa opsují př toto pohbu kuhové tajektoe se střede na nehbné ose. 48
Ceková enege ve vodoovné ovně je E v = E ka = Jω = 3 ( ) v = 6 v. Z ovností cekových enegí v obou poohách dostanee po chost koncového bodu tče výaz v = 3g cos ϕ. b) Př dopadu tuhé tče na pužný náazník o konstantní tuhost k dojde ke zpoaenéu otočnéu zabzdění tče; úhové zchení označíe ε. )Na eeent d tče působí eeent R sí (ob. 44) d náazník df = a d = ε d. q() df Déková hustota sí ted je F b. 44 q() = df d = ε. Sía ted naůstá neáně od os (vz ob. 44). Výsedná sía á vekost F = g()d = ε d = ε. (8) b náazník zcea zacht náazovou síu, usíe jej uístt tak, ab eže na nostece výsednce (8). Její poohu R učíe z podínk, že oent výsednce je oven součtu oentů sožkových s. Sožkové sí jsou ozožen spojtě, poto tento součet přejde v ntegá. Ted nebo F R = ε R = ε g() d, d = ε 3. Z pvního a třetího čenu dostanee po poohu výsednce a tí po poohu náazníku výaz R =. (8) 3 Tato pooha se v dnace nazývá střed ázu nebo střed pekuze. Tí jse dospě k zákonu zachování oentu hbnost. Potože J = konst., dostáváe vzhede k () současně výsedek = konst.. (4) Příkad 5 Na hříde s nasazený setvačníke o pooěu a o cekové oentu setvačnost J vzhede k ose hřídee působí hnací oent sí o vekost M = M kω, kde M N M(ω) b. 7 Řešení a k jsou konstant a ω je okažtá úhová chost. Na obvod stvačníku (ob. 7) současně působí čest bzd, přčež přítačná sía je N a součnte skového tření f. Hříde se ozbíhá z kdového stavu. Učete a) Maání úhovou chost ω hřídee. b) Závsost ω = ω(t) ačast, kd hříde dosáhne úhové chost ω. a) Potože hnací oent sí je závsý na úhové chost a bzdný oent sí Nf je konstantní, dosáhne hříde aání úhové chost ω př vovnání vekost těchto oentů s, ted kdž M kω = Nf, odtud ω = M Nf. k b) Pohbová ovnce pode () ve skaání tvau bude J dω dt = M kω Nf. b se hříde vůbec oztoča, usí být M Nf = M >. 46 3
becně ted patí E k + E p = konst. (79) Tento vztah vjadřuje zákon zachování echancké enege: Ceková echancká enege těesa v konzevatvní po v uvažované necání vztažné soustavě je konstantní. Zákon zachování enege(79) spou s výaz (69), (73) a (77) po knetckou eneg ůžee s výhodou vužít př řešení nohých úoh z echank těesa. Přto např. př výpočtu chost nebo úhové chost neusíe řešt dfeencání pohbovou ovnc, jak s ukážee na násedujících dvou příkadech. & Příkad Tenká tuhá hoogenní tč o déce =a a hotnost kouže koncový bode, =a po dokonae hadké vodoovné poše (ob. 4). Tč se začaa pohbovat z kdové, téěř svsé pooh (ϕ π/). Učete vekost úhové chost jako ϕ funkc úhu ϕ. b. 4 Řešení K řešení vužjee zákona zachování echancké enege (79). V opěné bodě působí na tč R eakce vodoovné poch, kteá však v případě neestence tření je koá k poše, a tudíž př pohbu tče nekoná pác (ob. 4). Jednou sou, kteá způsobuje zěnu knetcké enege v soustavě spojené s vodoovnou pochou je tíhová g sía. Potože počáteční chost tče ba nuová a tíhová sía je svsá, pohbuje se hotný střed po svsé příce. Mechancká enege v počáteční pooze á sožk E k =,E p = ga, v obecné pooze pode (77) je E k = v S + J Sω, E p = ga sn ϕ. ω S v S a ϕ g ' b. 4 ω P R v a ntegac povádíe přes ceý obje V těesa. Pochází- osa hotný střede, nazývá se oent setvačnost centání oent setvačnost. Je- u hoogenního těesa tato osa osou sete jde o havní centání oent setvačnost. EeentdV voíe tak, ab ntegace ba co nejjednodušší, jak to bude ukázáno na násedujících příkadech. Máe počítat oent setvačnost k učté ose a znáe- oent setvačnost k ose ovnoběžné s touto osou, kteá pochází hotný střede, použjee k výpočtu s výhodou Steneovu větu (vz násedující odstavec ad b). Moent setvačnost je zřejě adtvní večna. Toho ze výhodně vužít př výpočtu oentu setvačnost těes sožených z n částí, jejchž oent J znáe. Pak n J = J. (7) = Tento postup se vužívá např. př řešení úoh č. 8 a. Má- hoogenní těeso dutnu nebo otvo, odečtee od ceku oent setvačnost těesa, kteé b vpňovao dutnu nebo otvo. Tohoto postupu se vužje např. př řešení úoh č.. dtvnost oentu setvačnost vužjee př výpočtu oentu setvačnost hoogenního těesa, kteé s představíe sožené z nekonečného počtu částí, jejchž eeentání oent dj znáe. Pak řada (7) přejde v ntegá J = dj. (8) (J) Tohoto postupu je vužto např. v příkadě 7 a v úoze 4 d), e), kd s těesa představíe sožena z eeentáních desek poěnného pooěu. Příkad 6 Vpočtěte oent setvačnost hoogenního kuhového váce k jeho otační ose. Váec á pooě R ahotnost. Řešení K řešení užjee vzoce (6). Z váce vjee R d eeent souěný k ose. Jeho půřez á tva ezkuží (ob. 8) o pooěu atoušťced. značíe- výšku váce, bude dv =πd. Integujee v ezích od =do = R. Pak J = ϱ R dv =πϱ R b. 8 3 d = πϱr4 = R, (9) 44 5
Páce (7) se opět pojeví eeentání příůstke knetcké enege otačního pohbu těesa v uvažované necání vztažné soustavě, v níž je osa otáčení nehbná: dw =de k. Dosadíe- do (7) ze II. pusové vět () dostanee de k = J dω dt dϕ dϕ = J dω = Jωdω. dt Jestže těeso ěo ve výchozí pooze ϕ úhovou chost ω a v konečné pooze ϕ úhovou chostí ω, bude vkonaná páce ovna příůstku knetcké enege: ϕ ω W = Mdϕ = Jωdω = ϕ ω Jω Jω = E k E k. (7) Knetcká enege těesa př jeho otační pohbu koe nehbné os vuvažované necání vztažné soustavě, v níž á úhovou chost, je E k = Jω. (73) c) Knetcká enege př ovnné pohbu Tuhé těeso nechť koná v uvažované necání vztažné soustavě ovnný pohb. Po jeho knetckou eneg patí E k = v = (v v ). (74) Rchost -tého bodu v nní vjádříe poocí chost v S hotného středu v uvažované vztažné soustavě. Zřejě patí (vz ob. 34b) v v = S + v, kde je chost -tého bodu vzhede k hotnéu středu. v Po dosazení do (74) dostanee E k = (v S v + ) (v S + )= v v S v + S + v v. (75) Sua ve duhé čenu výazu (75) představuje hbnost těesa ve vztažné soustavě spojené hotný střede. Sovnáe- výaz (9) a () ůžee anaogck psát = S, (76) v v 4 Takže sečtení výše uvedených vztahů dostanee 3J = ( + + z )d = () () d, kde je vzdáenost eeentu od bodu (nkov od os jako ve vztahu (5)). Poto uvedený ntegá á význa poáního oentu stvačnost. Po výpočet tohoto ntegáu ůžee zvot hotný eeent, jehož bod ají stejnou vzdáenost od bodu, ted eeent tvau kuové skořepn o pooěu a toušťce d. Její hotnost je d =4πϱ d. Takže př ntegac od =do = R dostanee 3J =8πϱ R 4 d = 8 5 πϱr5 = 6 5 R. dtud jž dostanee výsedek (3). Třetí způsob Po výpočet oentu setvačnost koue áe ještě jednu ožnost vob eeentu ve tvau tenké vácové skořepn poěnného půěu,toušťk d a výšk (ob. 3). Užjee vzoce (6), kde R b. 3 d =π d. Pak př ntegac od =do = R dostanee J =4πϱ R 3 d. Souřadnce,, eeentu jsou vázán Pthagoovou větou, kteou budee ještě dfeencovat: = R, d = d. Jekož přejdee na poěnnou,usíe tansfoovat eze užtí vztahu = R. Tak po spodní ez dostanee = R a po honí ez =. Pak J = 4πϱ R (R )d =4πϱ =4πϱ [R 3 3 5 5 ] R 7 R (R 4 )d = = 8 5 πϱr5 = 5 R. dv
ϕ = f g t cos α. (63) J S b řešení (6) a (6) ěo ss, usí být výaz v závoce kadný, tj. usí patt sn α>fcos α, tj. tg α>f. (64) Potože všetřovaný případ ad ) nastává až př nespnění podínk (59), tj. po tg α J P f J S apotoževždje J P JS >, je podínka (64) vžd spněna..6 Knetcká enege tuhého těesa a) Knetcká enege př tansační pohbu Na těeso nechť působí vnější sí, kteé ají výsednc F pocházející hotný střede. Všechn bod těesa opsují stejné tajektoe; budee sedovat tajekto hotného středu, do kteého př tansační pohbu soustřeďujee cekovou hotnost těesa. Hotný střed nechť se v čase t nachází v bodě (ob. 4a), kde působí výsedná sía F. kteý se nazývá Steneova věta: Moent setvačnost J tuhého těesa vzhede k bovoné ose je oven součtu oentu setvačnost J S vzhede k ose pocházející hotný střede S ovnoběžně s uvažovanou osou a součnu hotnost těesa se duhou ocnnou vzdáenost d obou os. Příkad 8 Vpočtěte oent setvačnost soustav dvou dotýkajících se pevně spojených stejných hoogenních kouí pode ob. 33 k ose o. Každá z kouí á hotnost a pooě. Řešení Užtí Steneov vět a výsedku (3) dostanee J =(J S + )=( 5 + )= 4 5. o b. 33 c) Moent setvačnost hoogenních těes jednoduchého geoetckého tvau o hotnost a) τ b) v d α d V násedující tabuce uvedee oent někteých hoogenních těes jednoduchého tvau. Jedná se vesěs o havní centání oent setvačnost (s výjkou oentu J v pvní případě). dvození většn uvedených vzoců je předěte úoh ve třetí část této pubkace. tajektoe n b. 4 Tatosíapřpřeístěníhotného středu do souezné pooh vkoná eeentání pác dw = F d = F d cos α. (65) % Tenká tč Koý váec Kuhová deska 3 J =, J = 3 J = J = J 3 = 4 ( + 3 ) Jestže se přeístění do vkoná za časový nteva dt, je působící okažtý výkon P = dw dt F = dt =. (66) v F d F n 4 9
. Těeso se odvauje a současně sýká, ted ez těese a nakoněnou ovnou je pokuz a tečná sožka eakce dosahuje hodnot sí skového tření ad ) Řešení po dokonaé odvaování Dosazení z (53) za ϕ do (5) dostanee T = F t = fn = fgcos α. (54) T = J S ẍs. (55) Po dosazení (55) do (48) dostanee po -ovou sožku zchení hotného středu výaz ẍ S = g sn α. (56) J S + Zpětný dosazení (56) do (55) vchází po tečnou sožku eakce výaz T = J S J S + g sn α = J S J P g sn α, (57) kde J P = J S + je, v souadu se Steneovou větou, oent setvačnost k ose, kteá pochází okažtý póe pohbu P. Dvojí ntegací ovnce (56) př uvážení počátečních podínek S () =, v S () = je S = + J S + gt sn α. (58) b př odvaování nedošo k pokuzu usí být tečné sožk eakce (57) enší než sía skového tření, nebo T<fN.Musí ted být spněna podínka J S J P g sn α<fgcos α, nebo po úhe α skonu nakoněné ovn usí patt tg α< J P J S f. (59) Nní budee dosažené výsedk (56) až (59) konketzovat po nejdůežtější hoogenní těesa: po váec a po kou..5 Dnaka obecného ovnného pohbu tuhého těesa a) Pohbové ovnce Př obecné ovnné pohbu těesa eží tajektoe, chost a zchení jednotvých bodů těesa v navzáje ovnoběžných ovnách ovnoběžných se zvoenou zákadní ovnou. Za tuto ovnu zvoíe ovnu (, ) katézké soustav. Pak pooha, chost a zchení -tého bodu a vnější sía působící na -tý bod těesa budou ít souřadnce = {,, }, v = {v,v, }, a = {a,a, }, F = {F, F, }. sa okažté otace bude ít sě os z, a poto úhová chost, úhové zchení a oent vnější sí působící na -tý bod budou ít souřadnce = {,,ω}, = {,,ε}, M = {,,M }. Po pohb těesa budou patt pusové vět, kteé ají obecný tva (4) a (8): kde p = dp dt =, (3) F dl dt =, (33) M v = v S, = L v (34) je hbnost a oent hbnost těesa př ovnné pohbu. V těchto vjádřeních je osa, vzhede k níž počítáe oentové večn (L, M), voena obecně jako osa z vztažné soustav,, z. Výhodné je tento výpočet zjednodušt vobou dvou zváštních pooh oentové os, kteá bude pocházet. hotný střede,. póe pohbu.. Moentová osa pochází hotný střede ShotnýbodeS spojíe počátek vztažné soustav (ob. 34). Pak po poohový vekto -tého bodu ěřený v původní soustavě a po jeho chost patí = S +, = v S v +, v 38 3
ovnce (4) až (44) ají tva / ẍ S =, F J S ϕ, ω ÿ S = F g, (46) P S J S ϕ = F g b. 38#Pohbové, kde J S =. Na konc tče, v bodě P, je okažtý pó pohbu a tudíž ez -ovou sožkou okažtého zchení hotného středu a úhový zchení patí ÿ S = ϕ. (47) Po dosazení do (46) za J S aÿ S řešení dostanee a) F = g 4, b) ẍ S =, ÿ S = 3 g, ϕ = 3g 4. Tahová sía ve vákně je zřejě poovční než ve statcké případě, kd jsou v čnnost obě vákna. Nní ještě ukážee duhý způsob, kd oentová osa bude pocházet póe P, kteý je na evé konc tče. Pak pode pohbové ovnce (45) bude patt: 3 ϕ = g. dtud ϕ = 3g v souadu s předchozí řešní. Zchení hotného středu vpočtee z vazbové podínk (47). Títo postupe ovše neůžee vpočítat F síu, potože její oent k P je zřejě nuový. b) Vavý pohb těesa po nakoněné ovně udee zkouat vavý pohb tuhého otačního těesa po nakoněné ovně. b toto těeso konao ovnný pohb, usí ít s nakoněnou ovnou buď bodový dotk (jde např. o kou, otační epsod nebo anuod), nebo dvojbodový dotk, přčež příka spojující tto bod usí být ovnoběžná s otační osou je oent hbnost těesa vzhede k ose z pocházející hotný střede, nazývaný též spnový oent hbnost. značení obtání a spnový ají původ v atostce, kde se zavádí např. obtání oent hbnost eektonu a spnový oent hbnost eektonu, zvaný spn. Časovou zěnu oentu hbnost dostanee součte devovaných vztahů (37) a (38): dl dt = S p } {{ S } v + S a S + + v v } {{ } a. (39) Pvní a třetí čen je zřejě nuový (jde o vektoový součn ovnoběžných vektoů). Upavíe nní čtvtý čen, kdž s uvědoíe, že vzhede k (5) a (6) patí: a = a t + a n = + v, a t, a n. Vzájenou poohu vektoů vdíe na ob. 35. Z uvedených vztahů pne: ) = t + n = a a a } {{ }, ( )= = a = J S, z S a t v M = b. 35 a t a n F = JS je oent setvačnost vzhede k ose z, kteá pochází hotný střede S. Tak ůžee vztah (39) přepsat do tvau dl dt = S a S + J S. (4) Výsedný oent s, kteý je oven výsednéu oentu vnějších s, ůžee anaogck ozožt na dva čen ( S + ) F = S F + M S, (4) ) K goóznější (avšak zdouhavější) úpavě bcho použ vzoec po ozps dvojného vektoového součnu: a (b c)=b(a c)-c(b a ). 36 33 " kde
kde M S je výsedný oent vnějších s vzhede k ose z pocházející hotný střede. Poovnáe- evé a pavé stan vztahu (4), (4) dostanee II. pusovou větu, ze kteé vpývají pohbové ovnce tuhého těesa konajícího obecný ovnný pohb: a S = F,J S = M S. Př vjádření ve sožkách dostanee d S d t = F, (4) d S d t = F, (43) J S d ϕ d t = M S, (44) kde S, S jsou souřadnce tajektoe hotného středu, F,F souřadnce výsednce vnějších s, J S oent setvačnost těesa k ose pocházející hotný střede a M S vekost výsedného oentu vnějších s k téže ose.. Moentová osa pochází póe pohbu S těese vkonávající obecný ovnný pohb spojíe vztažnou soustavu,, z tak, že její počátek poožíe do póu pohbu (ob. 36). Moentovou osou ted bude osa z.!z vastností póu vpývá, že chost všechbodůjsoukoékpůvodčů,nebo v v =. Pak oent hbnost (34) těesa k ose z je ω = L ( ) P a po jeho devac pode času patí b. 36 dl dt = v v + } {{ } ( )+ ( v ). } {{ } 34 Vekto v kuaté závoce ve třetí čenu je ovnoběžný s vektoe, ovněž vekto ve vektoové součnu pvního čenu jsou vzájeně ovnoběžné, poto jsou oba čen nuové. Nní upavíe duhý čen. Vekto, avektoový součn jsou vzájeně koé. Poto ( )=, ( )= = J P. ) Večna J P je oent setvačnost k ose z pocházející póe pohbu. Moent vnějších s počítáe ovněž k ose pocházející póe: F M = P. Duhá pusová věta ted dává pohbovou ovnc ve tvau kteou ze psát skaáně J P = M P, J P ε = J P d ϕ d t = M P. (45) Př řešení úoh, pode dspozce zadání, ze výhodně užít jeden nebo duhý způsob sestavení pohbové ovnce. Někd ze jednoduše užít postup oba, jak s ukážee na násedující příkadě. Příkad 9 "Hoogenní tenká tč o hotnost a déce je zavěšena na dvou stejných ovnoběžných váknech, pode ob. 37. g Po okažk, kd bude vákno přestřhnuto, učete: F a) F Tahovou síu ve vákně. b) Zchení hotného středu S a úhové zchení tče. b. 37 Řešení Výsedná tíhová sía působí v těžšt g T totožné s hotný střede S (ob. 38), vzhede k něuž budee psát přísušné oent. ) Úpavu ze přío povést užtí dříve zíněného vzoce po ozps dvojného vektoového součnu. 35
a) b) S S b. 34 kde S je poohový vekto hotného středu a v S jeho chost. Nejpve vpočtěe oent hbnost těesa vzhede k ose z dosazení těchto vztahů do výazu (34): neboť L = + S ( S + ) (v S + )= v S v S + v + v = S v S + = S =, v = S =, v v v v S v S + v, (35) potože S =, S = je pooha a chost hotného středu vzhede ke vztažné soustavě, pevně spojené s hotný střede (vz ob. 34a). Výaz (35) ůže být foáně přepsán do tvau v kde L = L S + L, (36) L S = S p S (37) je oent hbnost hotného středu těesa vzhede k ose z, nazývaný též obtání oent hbnost a L = v (38) (např. soustava dvou stejných spojených kouí anebo ůzná otační těesa spňující tuto podínku) nebo těesa dotýkající se ovn povchovou příkou ovnoběžnou s otační osou (např. váec, nko však kuže). b těeso bo schopno se odvaovat, usí být nakoněná ovna dsná a ez těese a ovnou usí působt tření. V dosavadních úohách jse předpokáda, že těeso se odvauje dokonae, bez pokuzu. Ne vžd budou spněn podínk po tento předpokad. Naší úkoe je tto podínk stanovt. Uvažuje hoogenní otační těeso o hotnost a oentu setvačnost J S vzhede k otační ose, kteé se na pooěu dotýká nakoněné ovn se skone α (ob. 39). Mez těese a ovnou působí skové tření, jehož koefcent je f.soustavu souřadnc zvoíe tak, že osa bude ít sě spádnce nakoněné ovn. Rovna působí na těeso eakcí, kteá á noáovou (N) a tečnou (T )sožku. Skaání pohbové ovnce (4) až (44) po uvažované těeso jsou ẍ S = g sn α T, (48) ÿ S = N g cos α, (49) J S ϕ = T. (5) V těchto třech ovncích je pět neznáých: N, T, S, S,ϕ.b soustava ba řeštená, usíe přpojt ještě dvě ovnce (esp. podínk). Jednou z nch je podínka vazb, pode níž se hotný střed pohbuje po příce ovnoběžné s osou, nebo S T S ϕ N, J S g b. 39 S = = konst., esp. ÿ S =. (5) Pak z ovnce (39) po noáovou sožku eakce pne $ N = g cos α. (5) Daší dopňkové ovnce závsí na to, zda těeso př odvaování pokuzuje nebo ne. Mohou nastat tto případ:. Těeso se dokonae odvauje, ted bez pokuzu. Pak ez bode dotku těesa a nakoněnou ovnou je nuová eatvní chost a bod dotku je okažtý póe pohbu ( P). dtud dostanee vazbovou ovnc α S = ϕ, esp. ẍ S = ϕ. (53) 3 37
Dutý kuhový koý váec Tenkostěnná vácová tubka J = ( + ) J = α) Váec J S =, J P = 3, ẍ S = g sn α, 3 J P J S =3, Koue Tenkostěnná kuová skořepna Koý kuže 3 3 J = J = J 3 = 5 J = J = J 3 = 3 J = 3 Kooý koý kuže Tenký kuhový pstenec Kche Hano Epsod a a b 3 3 3 3 c a c b J = 3 5 5 3 3 J = J = J 3 = J = J = J 3 = 6 a T = g sn α, 3 S = + 3 gt sn α, tg α<3f,tj. α<6,7 po f =,, α < 36,9 po f =,5. β) Koue J S = 5, J P = 7 J P 5, = 7 J S, ẍ S = 5 g sn α, 7 J = (b + c ) J = (a + c ) J 3 = (a + b ) J = 5 (b + c ) J = 5 (a + c ) J 3 = 5 (a + b )!3 T = g sn α, 7 S = + 5 4 gt sn α, tg α< 7 f,tj. α<9,3 po f =,, α < 4, po f =,5, ad ) Řešení po odvaování povázené skání Noáová tečná sožka eakce je po tento případ znáa: vz výaz (5) a (54). Dosazení za T do ovnc (48) a (5) dostanee ẍ S = g(sn α f cos α), (6) ϕ = f g cos α. (6) J S Po ntegac s ohede na ntegační podínku S () = dostáváe souřadnce pohbujícího se těesa S = + gt (sn α f cos α), (6) 39
b) Steneova věta Nní odvodíe větu, kteá uožní vpočíst oent setvačnost J těesa vzhede k bovoné ose, znáe- oent setvačnost J S vzhede k ovnoběžné ose, kteá pochází hotný střede. Po výpočet poožíe počátek čákované vztažné soustav do hotného středu S (ob. 3). Nečákovaná soustava á os ovnoběžné se soustavou čákovanou, přčež os, spývají. Půjde ná o to najít vztah ez = oente J k ose z a oente z z J S kosez, kteá pochází hotný S střede S. sz, z ají vzájenou d vzdáenost d. Pode defnčního vztahu () patí po tto oent setvačnost vztah b. 3 J = J S = ( + ), ( + ). Vkonaná páce dw se pojeví vzůste knetcké enege těesa v uvažované necání vztažné soustavě: dw =de k. Dosadíe- za síu do (65) z I. pusové vět (4), dostanee de k F = d = dt dv d d = dv = v dv. (67) dt Po výpočet skaáního součnu chost v a jejího příůstku dv s uvědoíe, že v = v, kde je jednotkový vekto ve sěu tečn τ k tajekto (ob. 4a). Pak dv = v d(v ) =v ( dv + vd ) =vdv( )+v d = v dv, v neboť =a d =( je koé d aásěnoán k vzob. 4b). Pak de k = v dv. Povede- ntegac ez dvěa pooha, hotného středu, v nchž á těeso chost v,v, dostanee po pác a po příůstek knetcké enege: v W = d = v F dv = v v v = E k E k. (68) Knetcká enege těesa př tansační pohbu v uvažované necání vztažné soustavě, v v níž á chost,je Z ob. 3 je zřejé, že =( + d), =. E k = v. (69) Po dosazení do výazu po J dostanee J = ( + )+d + d = J S + d, potože začátek čákované soustav eží v hotné středu těesa (po jeho poohu vtétosoustavěpatí S = ) a tudíž pode () je =. Dosta jse tak důežtý vztah J = J S + d, (3) b) Knetcká enege př otační pohbu koe nehbné os Př otac tuhého těesa koe nehbné os á vekto eeentu úhové dáh, vekto úhové chost vektom oentu sí (esp. sové dvojce) d sě os otáčení (vz např. ob. 6). Pak po eeent páce, kteou vkoná M oent př eeentání pootočení dϕ = ds ůžee vzhede k (65) postupně psát dw F = d = F ds = Fdϕ = Mdϕ. (7) Jestže se tato eeentání páce vkonaa v eeentání časové ntevau dt, bude okažtý výkon P = dw dt = M dϕ dt = Mω = M. (7) 8 4
kde = πr ϱ je hotnost váce. Moent setvačnost váce po učtou hotnost zřejě nezávsí na jeho výšce. Stejný vzoec ted patí po tenkou kuhovou desku stejného pooěu a stejné hotnost. Příkad 7 Vpočtěte oent setvačnost hoogenní koue o hotnost a pooěu R vzhede k ose, kteá pochází její střede. Řešení Pvní způsob K řešení použjee nejpve vzoec (8). Kou s představíe soženou z eeentáních desek d (vstev) o pooěu atoušťced (ob. 9). R Deska á v souadu s (9) eeentání oent setvačnost dj = d, kde b. 9 d = π ϱd, = R. Pak po ntegac v ezích od = R, = R dostanee J = πϱ R R kde = 4 3 πr3 ϱ je hotnost koue. (R ) d = 8 5 πϱr5 = 5 R, (3) Duhý způsob Po oent setvačnost vzhede k osá,, z, kteé pocházejí bode, patí R d J = ( + z )d, () z J = ( + z )d, () z b. 3 J z = ( + )d. () U koue vzhede k její set pode středu, patí J = J = J z = J. v kde S je chost hotného středu v soustavě s ní pevně spojené zřejě v je S = a čen (76) je nuový. Pak přjde vztah (75) po knetckou eneg do tvau E k = v S + v = v S + ω = v S + J Sω, (77) kde J S je oent setvačnost těesa k ose pocházející hotný střede. Vztah (77) vjadřuje Köngovu větu: Knetcká enege tuhého těesa př jeho obecné ovnné pohbu je ovna součtu knetcké enege hotného středu (odpovídá tansační sožce pohbu) a knetcké enege pohbu těesa vzhede k hotnéu středu (odpovídá otační sožce pohbu)..7 Zákon zachování echancké enege Uvažuje pohb těesa v sové po, kteé je konzevatvní. Přto konzevatvní poe je takové poe, u něhož páce působící sí vkonaná po uzavřené tajekto těesa v toto po je nuová. To ůže být jen, kdž páce ez dvěa bod tajektoe závsí pouze na výchozí a konečné pooze těesa, nko na tvau tajektoe. V takové po ůžee defnovat potencání (poohovou) eneg E p. Příkade konzevatvních poí v echance je poe gavtační a poe pužných s, v eektoagnetsu je to poe eektostatcké. Pode výše uvedené defnce, ted páce, kteou konzevatvní poe vkoná př přeístění z pooh do pooh je W = E p E p. (78) Z toho je zřejé, že potencání enege je defnována až na konstantu ta se př výpočtu páce pode (78) vuší. Poto je nutné pode chaakteu úoh vot nuovou hadnu potencání enege. Jak jse pozna v č..6, pojeví se páce vkonaná na těese vzůste jeho knetcké enege v uvažované necání vztažné soustavě sovnej s výaz (68) a (7). Ted W = E p E p = E k E k, nebo E k + E p = E k + E p. 6 43
Rovnc upavíe do tvau vhodného k ntegac tí, že odděíe (sepaujee) poěnné ω a t : dω J M =dt. kω Integujee v ezích od ω = doω aodt = dot: J ω k dω t k M kω = dt. Integací J [ ] ω n(m k kω) = J k n M M = t. kω dtud ) ω = M Nf ( e kj t. k Zčasovéhopůběhuω vdíe, že hříde dosáhne aa ω až v tní případě t..4 Moent setvačnost tuhého těesa vzhede k nehbné ose a) Výpočet oentu setvačnost Moent setvačnost těesa vzhede k nehbné ose defnujee výaze (): J =. Je to večna, kteá je íou setvačných účnků těesa př otační pohbu. Tato večna zřejě závsí nejen na hotnostech eeentů těesa, ae předevší na jejch ozožení vzhede k otačníose.přtosetvačnosthotných eeentů se upatňuje s duhou ocnnou jejch vzdáeností od os otace. Jednotkou oentu setvačnost v soustavě SI je kg. Př výpočtu oentu setvačnost těes předpokádáe spojtě ozoženou hotnost. Pak suace nekonečné řad () přejde na učtý ntegá J = () d, (5) kde ntegac povádíe přes ceou hotnost těesa. Je- těeso hoogenní, tak d = ϱ dv, ϱ= konst. adv je eeent objeu. Pak se ntegá (5) zjednoduší do tvau J = ϱ (V ) dv (6) Po výpočet chost v S hotného středu S ůžee s výhodou použít póu pohbu P (ob. 4). Patí v S = ω = ωa cos ϕ. Uvážíe-, že J S = (a) / dostanee po dosazení do vztahu (79) po zákon zachování enege ovnc nebo ga = a ω cos ϕ + 3 a ω + ga sn ϕ, g( sn ϕ) = aω 6 ( + 3 cos ϕ). dtud dostanee hedané řešení 6g ω = a sn ϕ +3cos ϕ. Příkad Tenká tuhá hoogenní tč o hotnost a déce je ze stavu kdu, kd je odkoněna od svsce o úhe ϕ, voně puštěna (ob. 43). (a) Vpočtěte chost jejího koncového bodu př dopadu na vodoovnou ovnu. b) Do jaké vzdáenost R od os je ϕ nutné ve vodoovné ovně uístt náazník o tuhost k,ab zacht ceou síu náazu, tj. ab eakce v závěsu os tče nezávsea na síe náazu. k c) Vpočtěte vekost sí náazu př R uístění náazníku pode bodu ad b). b. 43 Řešení a) Řešíe užtí zákona zachování echancké enege. Nuovou hadnu potencání enege voíe ve vodoovné ovně. Ceková enege ve výchozí pooze je E = E pa = g cos ϕ. (8) 4 45
Po výpočet příspěvku -tého bodu těesa k jeho cekovéu oentu hbnost zvoíe počátek ve středu této kužnce (ob. 6). Pak bude vekost jeho poohového vektou totožná s pooěe přísušné kuhové tajektoe. Potože vede toho chost v -tého bodu je koá k původč, ůžee po vekost oentu hbnost -tého bodu psát L = p sn 9 = v = ω, o kde ω je úhová chost otace. Potože takto vpočtené příspěvk od jednotvých bodů ají stejný sě sě nehbné os otace bude ít oent hbnost ceého těesa 6 b. vekost L = L = ω = ωj, (9) kde L M J = () je oent setvačnost tuhého těesa vzhede k nehbné ose o. této večně pojednáe saostatně v čánku.4. Jekož úhová chost je vekto ežící v ose otace, je oent hbnost tuhého těesa otujícího koe nehbné os vekto L = J, () v c) Výše vpočtená vekost výsednce setvačných s, kteá je dnackou sou náazu, je podíněna znaostí úhového zchení ε.to závsí na tuhost náazníku a jeho vekost běhe náazu vzůstá. Výpočet konečné vekost sí F ůžee však uděat přío úvahou o eneg. Ceková echancká enege E vpočtená v bodě ad a) se po náazu přeění na potencání pužnou eneg E p náazníku pode vztahu E = E p = k a = k ( F k ) = F k, kde a = F je dnacká sožka defoace př náazu. Po dosazení za k E z výazu (8) dostanee po konečnou vekost sí náazu výaz F = gk cos ϕ. (83) Po dosazení tohoto výazu do (8) bcho oh vpočítat vekost přísušného úhového zchení př největší defoac náazníku. Ceková sía, působící př náazu na náazník, bude koě dnacké sožk (83) zahnovat ještě statckou tíhovou sožku, kteá závsí na pooze R pode (8). Ceková sía á vekost F c = 3 4 g + gk cos ϕ. ežící ovněž v nehbné ose otace. c) Fouace duhé pusové vět po otac koe nehbné os Vjádříe- oent hbnost tuhého těesa otujícího koe nehbné os poocí vztahu () a uvážíe-, že po dané ozožení hotnost tuhého těesa vzhede k nehbné ose otace je J = konst., ůžee výsedek (8) přepsat do jednoduchého tvau d d (J ) =J = J = M, () dt dt kde je vekto úhového zchení, kteý ovněž eží v ose otace. Je- výsedný oent s M nuový, je dl dt = atedl = konst. (3) 47
a kde S je zchení hotného středu. Je- výsednce F vnějších s nuová, je = atedp = konst. Nebo- dt hbnost těesa je konstantní. Dospíváe tak k zákonu zachování dp hbnost. Díčí patnost tohoto zákona dostanee po půět. Je- půět výsedné sí do učté os necání soustav nuový, je ve sěu této os hbnost těesa konstantní. F Např. po =jev S = konst..3 Duhá pusová věta a) becná fouace duhé pusové vět naogck oentu sí vzhede k danéu pevnéu bodu = (vz např. []) M F defnujee oent hbnost např. -tého bodu soustav bodů vzhede k danéu pevnéu L bodu jako vektoový součn poohového vektou a hbnost p = v, tj. α L = p. (7) Má vekost L = p sn α, jeho b. 5 sě je zřejý z ob. 5. udee nní hedat souvsost ez časovou zěnou oentu hbnost a výsedný oente sí, kteý působí na tuhé těeso př otac koe okažté os otace v necání vztažné soustavě. Poté budee výpočet specazovat na otac koe nehbné os. Po oent hbnost -tého bodu patí vztah (7). Jeho devací pode času (jako součnu dvou funkcí) dostanee p 3 Úoh. Kka čtřkoubového echansu (ob. 45), jehož čen tvoří paaeoga se otáčí pode ovnce pohbu ϕ = kt 3, kde k> je konstanta. Učete chost a zchení bodu E ojnce v čase t. Dáno = CD = = =,, D = C, k =, s 3, t =s. ϕ E C D 45* b. b. 46. Moto se oztáčí tak, že součn úhové chost a úhového zchení jeho otou je stáý, tj. ωε = k,kde k>. táčk otou na počátku jsou n. Vpočtěte otáčk n otou v čase t. Je dáno: k =s 3,n = 9 n, t =3s. + 3. dvoďte paaetcké ovnce tajektoe bodu, kteý eží na povchu váce o pooěu,z jeho počáteční pooh naznačené na ob. 46. Váec se dokonae odvauje po ovně. Za paaet vote úhe ϕ otočení váce koe os pocházející střede S. Učete souřadnce bodu vtěchtozváštních π poohách: ϕ =,, π, 3π, π a vpočtěte v těchto poohách vekost chost bodu, v á-středs chost. S v dl dt = dt + dp dt. p d Pvní součn na pavé staně je nuový neboť vekto hbnost á stejný sě jako vekto chost. Ve duhé součnu dosadíe síu pode vztahu (3). Ted dl dt = F + F j. j a) b) C ϕ ϕ, π Povedee- suac těchto příspěvků vzhede k okažté ose po ceé těeso, b. 47,49
Zde jse oh povést naznačenou úpavu devace pode času, neboť pode kascké echank ůžee bát = konst. Nní výaz (9) upavíe užtí poju hotný střed. Je to bod, poocí něhož zjednodušíe výpočet hbnost soustav tí, že do něj uístíe cekovou hotnost soustav, tj. n =. = Pooha S hotného středu se defnuje ze vztahu n S =, () = nebo S = n. () = Po soustavu hotných bodů nebo po tuhé těeso, kteé se nacházejí v hoogenní tíhové po, je hotný střed zřejě totožný s těžště. Hotný střed neusí být eáný bode soustav hotných bodů nebo tuhého těesa (je tou např. u anuodu nebo u dutého váce). Je to fktvní bod o hotnost ovné hotnost ceé soustav hotných bodů nebo tuhého těesa, kteý uístíe do takové pooh () v postou, že poocí něj ůžee dnack popsat pohb soustav bodů nebo tuhého těesa způsobený výsedncí vnějších s (nko však oente výsednce vnějších s). udee- v daší tetu hovořt o pohbu hotného středu, budee tí ít na s výše popsanou dnackou ekvvaenc tuhého těesa. Zavedee- vztah () do (9), ůžee po hbnost soustav psát p = d dt ( S)= d S dt = v S, () kde v S je chost hotného středu. Nebo hbnost soustav hotných bodů je ovna hbnost jedného hotného bodu, kteý b se pohbova jako hotný střed těesa a ve kteé b ba soustředěna ceá hotnost soustav. Př výpočtu hbnost tuhého těesa vkonávajícího ve zváštní případě posuvný pohb není an nutné pacovat s hotný střede, neboť pode () jsou chost všech bodů stejné a tudíž je ožné ve vztahu (9) v vtknout před suu. Pak je hbnost těesa ovna součnu hotnost a chost bovoného bodu těesa př jeho tansační pohbu. Z hedska unvezánost poju hotný střed po obecné případ soustav hotných bodů, např. u ovnného J s α α 5/g b. J R b. 5 kadná oentace. Roto o oentu setvačnost J =,5 5 kg, je poháněn kokový pusní otoe. Moent setvačnost otou zanedbáváe. Hnací oent á konstantní vekost M h =,5 4 N a uděí otou jeden pus po dobu t =, s. Pohb otou je současně bzděn pasvní odpo, jejchž výsedný oent á vekost M p =,3 6 N. Vpočtěte: a) Jaké aání úhové chost oto dosáhne. b) Za jak douho od počátku pusu se oto zastaví. c) Jaký úhe oto opíše od počátku pusu do svého zastavení.. Roto tubín o oentu setvačnost J voně dobíhá z počáteční úhové chost ω pod působení odpoových s, kteé ají oent o vekost M = kω, kde ω je okažtá úhová chost a k> je konstanta. Učete: a) Závsost ω = ω(t). b) Dobu t, za níž se ω zenší na ω /.. Stejnosěný eektooto je př úhové chost ω přepnut do dnaového chodu, přčež na jeho oto začne působt bzdcí oent sí o vekost M b = kω, kde k> je konstanta. Roto á oent setvačnost J. Vpočtěte, za jakou dobu t apokokaobátkáchz kesne úhová chost otou na poovnu. 3. Moto o konstantní výkonu P oztáčí setvačník ze stavu, kd á počáteční úhovou chost ω. Soustava otou se setvačníke á oent setvačnost J. Vpočtěte, jakou úhovou chost získá setvačník za čas t a počet z otáček, kteé poto vkoná. 8 5