Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých techologií a materiálů (CZ.1.07/2.3.00/09.0042)
I. Matematická statistika kombiatorika áhodý pokus, áhodý jev pravděpodobost jevů diskrétí áhodá veličia spojitá áhodá veličia číselé charakteristiky áhodé veličiy základí diskrétí typy rozděleí pravděpodobosti základí spojité typy hustoty pravděpodobosti systematizace fukcí rozděleí áhodých veliči áhodý vektor číselé charakteristiky áhodého vektoru mometové charakteristiky áhodého vektoru
Kombiatorika 1 1. Variace k-té třídy z prvků uspořádaé skupiy po k prvcích z daých prvků Počet variací k-té třídy z prvků bez opakováí V k = 1 2 k 1 = 1 2 k 1 V k =! k! Počet variací k-té třídy z prvků s opakováím V k ' = k 2. Permutace prvků každá uspořádaá -tice vybraá z prvků Počet permutací prvků bez opakováí P = 1 2 2.1=! Počet variací k-té třídy z prvků s opakováím! P ' = 1! 2! k! 1 2 k =
Kombiatorika 2 3. Kombiace k-té třídy z prvků skupiy o k prvcích z prvků Počet kombiací k-té třídy z prvků bez opakováí! C k = k! k! = k Počet kombiací k-té třídy z prvků s opakováím C k ' = k 1 k 4. Některé vlastosti kombiačích čísel k = k 0 = =1 k k 1 = 1 k 1
Náhodý pokus, áhodý jev Pokus je uskutečěí určitého, jedozačě staoveého systému podmíek. Jev je výsledek (a též každý důsledek) provedeého pokusu. (jev emožý, jev jistý, jevy áhodé) Základí jevový prostor Ω je eprázdá možia, jejíž prvky jsou možé výsledky pokusu, tzv. elemetárí jevy. Jev je podmožia jevového prostoru. (jev emožý V = prázdá možia, jev jistý U = celá možia Ω) ALGEBRA JEVŮ: Součet jevů A, B je jev, který astae právě tehdy, když astae alespoň jede z jevů A, B. Začíme A+B Souči jevů A, B je jev, který astae právě tehdy, když astaou oba jevy současě. Začíme A.B Rozdíl jevů A, B je jev, který astae právě tehdy, když astae jev A a eastae jev B. Začíme A-B Jev oa je opačý k jevu A, je-li o A A=U Jevy A, B jsou eslučitelé (disjuktí), když platí A. B=V Jevy A 1, A 2, A tvoří systém eslučitelých jevů, je-li A i. A j =V pro všecha i j Systém eslučitelých jevů je úplý, je-li A 1 A 2 A =U
Pravděpodobost jevů - defiice Axiomatická defiice pravděpodobosti: Nechť Ω je jevové pole. Pravděpodobost jevu A je reálé číslo P(A), pro ěž platí: 1. P A 0 axiom ezáporosti 2. P U =1 axiom jedotky 3. P A 1 A 2 = P A 1 P A 2 axiomaditivity jsou li jevy A 1, A 2, avzájem eslučitelé Klasická defiice pravděpodobosti: Nechť je dáo elemetárích jevů, které tvoří úplý systém eslučitelých jevů a jsou stejě možé. Rozkládá-li se jev A a m (m<) elemetárích jevů z tohoto systému, pak pravděpodobost jevu A je reálé číslo: P A = m Geometrická defiice pravděpodobosti: V roviě (případě a přímce ebo v prostoru) je dáa určitá oblast Ω a v í další uzavřeá oblast A. Pravděpodobost jevu A, který spočívá v tom, že áhodě zvoleý bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: P A = A kde A, jsou míry oblastí A a Ω. Statistická defiice pravděpodobosti: Nechť A je hromadý jev. Nastae-li v pokusech jev A právě jevu A: f P A =lim f Číslo se azývá absolutí četost jevu A, je relativí četost jevu A při pokusech. f f krát, defiujeme pravděpodobost
Podmíěá pravděpodobost Podmíěá pravděpodobost: Podmíěá pravděpodobost vyjadřuje pravděpodobost uskutečěí jevu A za předpokladu, že astal jev B. Zapisuje se P A/ B a je rova: P A/ B = P A.B P B Nezávislé jevy: Dva jevy A, B azýváme ezávislé, ezávisí-li pravděpodobost jedoho z ich a tom, zda se druhý uskutečí či ikoliv, tj. platí-li: P A/ B =P A Vlastosti ezávislých a eslučitelých jevů: Jsou-li jevy A, B eslučitelé, pak: P A B =P A P B Jsou-li jevy A, B ezávislé, pak: P A. B =P A. P B
Úplá pravděpodobost, Bayesovy vzorce Úplá pravděpodobost: Nechť je dá úplý systém vzájemě eslučitelých jevů H 1 H 2 H a libovolý jev A, který může astat pouze současě s ěkterým z jevů. Pro pravděpodobost jevu A platí: P A =P H 1. P A/ H 1 P H 2. P A/ H 2 P H. P A/ H = i=1 H i P H i. P A/ H i Bayesova věta: Nechť je dá úplý systém vzájemě eslučitelých jevů H 1 H 2 H a libovolý jev A, který může astat pouze současě s ěkterým z jevů H i. Pak pravděpodobost, že astae jev H i za předpokladu, že astal jev A, je: P H, kde i / A = P H i. P A/ H i P A = P H k. P A/ H k P A k=1
Opakovaé pokusy Beroulliho posloupost Beroulliho posloupost: Je-li pravděpodobost jevu A v každém pokusu P(A) = p, pak pravděpodobost jevu Beroulliho poslouposti ezávislých pokusů uskutečí právě k-krát, je určea vztahem: P A k = k. pk. 1 p k Př. Házíme pětkrát kostkou. Jaká je pravděpodobost, že šestka pade dvakrát? A k, že se jev A v Řešeí: jev A: pade 6 (při jedom pokusu) P(A) = p = 1/6 počet pokusů: = 5 jev astoupí dvakrát: k = 2. Tedy: P A k =P A 2 = 5 2. 1 6 Praxe: Biomické rozděleí Bi(,p) p x = x. px. 1 p x 2. 5 =10. 6 3 53 6 0,16 5 Poissoovo rozděleí Po(X) p x = x x!.e
Opakovaé pokusy výběry bez vraceí Výběry bez vraceí: Nechť je dá soubor N prvků, z ichž M má určitou vlastost a (N-M) ikoliv. Vybereme postupě prvků, z ichž žádý evracíme. Pravděpodobost, že mezi vybraými bude k takových, že mají sledovaou vlastost, vypočteme podle vzorce, odvozeého z klasické defiice pravděpodobosti: k Př. Máme 10 kvalitích výrobků a 5 zmetků. Vybereme dva výrobky a sledujeme pravděpodobost výskytu zmetků mezi těmito dvěma vybraými. Řešeí: P k = M k. N M P x = 5 x. 10 N x 2 15, x=0,1, 2 2 Praxe: Hypergeometrické rozděleí H(N,M,) podle ormy ČSN x P x = M x. N M N
Náhodá veličia Obor hodot M: Čísla přiřazeá elemetárím jevům tvoří obor hodot M proměé, kterou azýváme áhodá veličia. Náhodá veličia X: Náhodá veličia je reálá fukce defiovaá a možiě všech elemetárích jevů, která každému jevu přiřadí reálé číslo. Př. Hod micí Záko rozděleí áhodé veličiy: Záko rozděleí áhodé veličiy je pravidlo, jež každé hodotě ebo možiě hodot z každého itervalu přiřazuje pravděpodobost, že áhodá veličia abude této hodoty. Děleí áhodé veličiy: diskrétí... obor hodot M je koečá ebo ekoečá posloupost spojité... obor hodot M je otevřeý ebo uzavřeý iterval
Diskrétí áhodá veličia Diskrétí áhodá veličia: Nechť X je diskrétí áhodá veličia s oborem hodot {x 1, x 2, x }, která těchto hodot abývá s pravděpodobostmi { p 1, p 2, p }. Údaje sestavíme do tabulky, ve které je každé hodotě x i přiřazea právě jeda hodota. p i x i x 1 x 2 x p i p 1 p 2 p Fukce rozložeí pravděpodobosti áhodé veličiy X (též frekvečí fukce) : Pravděpodobostí (frekvečí) fukci áhodé veličiy X azýváme fukci p x =P X =x Vlastosti frekvečí fukce: 1. p x i 0 2. p x i =1 i=1 3. P x 1 X x 2 = x 1 x 2 P x Distribučí fukce áhodé veličiy X: Reálá fukce, která přiřazuje každé hodotě áhodé veličiy X pravděpodobost, že X abude hodoty meší ež toto x i, se azývá distribučí fukce F(x). Matematicky zapsáo: P X = x i F x =P X x = x i x x i
Diskrétí áhodá veličia - příklad Př. Máme 5 kvalitích výrobků a 7 zmetků. Náhodá veličia X představuje počet kvalitích výrobků mezi pěti vybraými. Vytvořte pravděpodobostí a distribučí fukci takové áhodé veličiy. 5 x. 7 5 x P x = 12 5 F x =P X x = x i x P X = x i frekvečí fukce bodový graf frekvečí fukce úsečkový diagram frekvečí fukce histogram distribučí fukce
Spojitá áhodá veličia Distribučí fukce áhodé veličiy X: Reálá fukce, která přiřazuje každé hodotě x i áhodé veličiy X pravděpodobost, že X abude hodoty meší ež toto, se azývá distribučí fukce F(x). Matematicky zapsáo: F x =P X x Vlastosti distribučí fukce: x i 1. 0 F x 1 2. P x 1 X x 2 =F x 2 F x 1 ; x 1 x 2 3. F x je eklesající 4. F =0, F =1 5. F x je zleva spojitá,resp. spojitá Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy X: Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy X defiovaé a itervalu fukce defiovaá vztahem: f x = df x =lim dx h 0 F x h F x =lim h h 0 P x X x h h Vlastosti hustoty pravděpodobosti: x 1. f x 0 2. F x = 3. F x = f x dx=1 4. f x =Ḟ x f d a,b je ezáporá, reálá
Spojitá áhodá veličia - příklad Př. Zázorěte distribučí fukci a hustotu pravděpodobosti spojité áhodé veličiy, daé vztahem f x = 1. 2. exp [ 1 2. x 2], x,
Číselé charakteristiky áhodé veličiy Náhodá veličia X je jedozačě určea rozděleím pravděpodobosti pomocí pravděpodobostí fukce ebo hustoty pravděpodobosti, případě pomocí distribučí fukce. Tyto fukce jsou však často poměrě složité a jejich určeí pracé. Proto je výhodé shrout iformace o áhodé veličiě do ěkolika čísel, které ji dostatečě charakterizují číselé charakteristiky. Děleí áhodé veličiy podle způsobu kostrukce: mometové charakteristiky kvatilové charakteristiky ostatí charakteristiky Děleí áhodé veličiy podle vlastostí, které charakterizují: charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky šikmosti charakteristiky špičatosti
Mometové charakteristiky Počátečí momet k-tého řádu k = i=1 k = x j k p x j prodiskrétí áhodou veličiu x k f x dx pro spojitou áhodou veličiu Cetrálí momet k-tého řádu k = i=1 x j k p x j prodiskrétí áhodou veličiu k = x k f x dx pro spojitou áhodou veličiu Vztahy mezi počátečími a cetrálími momety 2 = 2 1 2 3 = 3 3 2 1 1 3 4 = 4 4 3 1 6 2 2 4 1 3 1 = k 0 k 1 k 0 k 1 1 k 1 1 2 k 2 1 k 2 1 k k k 1
Výzam mometových charakteristik Charakteristika polohy - prví počátečí momet = středí hodota E x = 1 = i=1 x j p x j ebo E x = 1 = x f x dx Charakteristika variability - druhý cetrálí momet = disperze D x = 2 = x j 1 2 p x j ebo D x = 2 = x 1 2 f x dx i=1 Charakteristika šikmosti třetí cetrálí ormovaý momet A= 3 kde 3 3 = i=1 x j 1 3 p x j ebo 3 = x 1 3 f x dx Charakteristika špičatosti čtvrtý cetrálí ormovaý momet B= 4 3 kde 4= 4 i=1 x j 1 4 p x j ebo 4 = x 1 4 f x dx
Výzam mometových charakteristik 2 Charakteristika šikmosti koeficiet šikmosti A Charakteristika špičatosti koeficiet špičatosti B
Kvatilové charakteristiky p-kvatil Nechť F(x) je distribučí fukce áhodé veličiy X. Pak hodota F x p = p x p, pro kterou platí: kde p 0,1 se azývá p-kvatil. Výzam p-kvatilu Prakticky používaé kvatily:
Základí typy rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodé veličiy I Beroulliho (alterativí) rozděleí A(p) Alterativí rozložeí pravděpodobosti s parametrem p má áhodá veličia X, která abývá pouze dvou hodot: 1 v případě přízivého výsledku (jev astae), 0 v případě epřízivého výsledku (jev eastae). Pravděpodobostí fukce má tvar: P X =0 =1 p P X =1 = p Základí charakteristiky alterativího rozděleí jsou: E X = p, D X =1 p Rovoměré rozděleí R() Rovoměré rozložeí pravděpodobosti s parametrem má áhodá veličia X, abývající růzých hodot x i,i=1, 2, se stejou pravděpodobostí. Pravděpodobostí fukce má tvar: P X =x i = 1, pro i=1, 2,
Základí typy rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodé veličiy II Biomické rozděleí pravděpodobosti s parametry a p má áhodá veličia X, která abývá hodot počtu výskytu áhodého jevu při ezávislých pokusech, přičemž teto áhodý jev má v každém pokusu stálou pravděpodobost výskytu p. Pravděpodobostí fukce má tvar: p x = x. px. 1 p x Základí charakteristiky alterativího rozděleí jsou: E x =.p, D x =.p. 1 p Biomické rozděleí Bi(,p)
Základí typy rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodé veličiy III Poissoovo rozděleí pravděpodobosti s parametrem λ má áhodá veličia X, abývající hodot x i, i=1, 2,, když pravděpodobostí fukce má tvar: p x = x x!.e, 0 Základí charakteristiky alterativího rozděleí jsou: E x =, D x =, A x = 1, B x =1 3 Poissoovo rozděleí Po(λ)
Základí typy rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodé veličiy IV Geometrické rozděleí Ge(p) Geometrické rozděleí pravděpodobosti s parametrem p má áhodá veličia X, která abývá hodot počtu eúspěšých pokusů, které předcházejí prvímu úspěšému pokusu při ezávislých opakovaých pokusech, přičemž áhodý jev má v každém pokusu stálou pravděpodobost výskytu p. Pravděpodobostí fukce má tvar: p x = x. px. 1 p x Základí charakteristiky geometrického rozděleí jsou: E x = 1 p p, D x = 1 p p 2 Hypergeometrické rozděleí H(N,M,) Hypergeometrické rozděleí pravděpodobosti s parametry N, M, má áhodá veličia X, která abývá hodot počtu jedotek se zkoumaou vlastostí v vybraých jedotkách při výběru bez vraceí, přičemž je vybíráo ze souboru o velikosti N jedotek, mezi imiž je M jedotek se zkoumaou vlastostí. Pravděpodobostí fukce má tvar: x P x = M x. N M N Základí charakteristiky alterativího rozděleí jsou: E x =. M N, D x =. M N. 1 M N. M N 1
Základí typy rozděleí hustoty pravděpodobosti spojité áhodé veličiy I Trapézové (lichoběžíkové) rozděleí Tra(a,b,c,d) Hustota pravděpodobosti má obecý tvar: f x =0 pro x a, f x = x a h pro a x c, c a f x =h pro c x d, f x = b x h pro d x b, b d f x =0 pro b x, 2 kde h= [ b a ] [ d c ] = 2 r 2s t Triagulárí (trojúhelíkové) rozděleí Tri(a,b,c) Limití případ trapézového rozděleí pro c=d (s=0) Rektagulárí (rovoměré) rozděleí Rec(a,b) Limití případ trapézového rozděleí pro a=c a d=b (r=s=0) f x =0 pro x a,b, f x =h pro x a, b,kde h= 1 b a
Základí typy rozděleí hustoty pravděpodobosti spojité áhodé veličiy II Gaussovo (ormálí) rozděleí N(μ,σ 2 ) Hustota pravděpodobosti má tvar: f x = 1. 2.exp [ 1 2. x 2], x, Pravidlo 3σ: P x ; =68,27% P x 2 ; 2 =95,45%, resp. přesě P x 1,96 ; 1,96 =95% P x 3 ; 3 =99,73 %, resp. přesě P x 2,57 ; 2,57 =99% Normovaé gaussovo rozděleí N(0,1) Hustota pravděpodobosti má tvar, který je trasformací Gaussova rozděleí pro μ=0 a σ=1: f x = 1 2.exp [ 1 2. x 2], x,
Základí typy rozděleí hustoty pravděpodobosti spojité áhodé veličiy III (Studetovo) t-rozděleí t() Hustota pravděpodobosti má tvar: f x = 1. 1 2. 2 1 x2 2 1 Log-ormálí rozděleí t() Hustota pravděpodobosti má tvar: f x = 1 x 2 exp [ 1 2 l x 2], x 0 Expoeciálí rozděleí Exp(λ) Hustota pravděpodobosti má tvar: f x = e x x 0 f x =0 x 0
II. Systematizace fukcí rozděleí áhodých veliči Pearsoova soustava typy křivek Pearsoovy soustavy Johsoova soustava B-A2 diagram Burrova soustava
Používaé soustavy fukcí rozděleí áhodých veliči Pearsoova soustava Obecá fukce Pearsoovy soustavy pro hustotu pravděpodobosti áhodé veličiy je defiováa jako řešeí difereciálí rovice df f = x 0 1 x 2 x dx 2 přičemž růzé tvary fukce hustoty pravděpodobosti jsou dáy volbou parametrů 0, 1, 2, Johsoova soustava Základí myšlekou Johsoovy soustavy je ávrh takových elieárích trasformací, které převedou ormálí rozděleí a další typy. Jako základ je bráa hustota pravděpodobosti ormovaého ormálího rozděleí: f x = 1 2.exp [ 1 2. x2], x, Burrova soustava Burrova soustava je založea (a rozdíl od Pearsoovy a Johsoovy soustavy) a defiici distribučí fukce, která má obecý tvar: F x =[1 exp G x ] k přičemž G(x) je vhodá fukčí závislost.
Pearsoova soustava TYP I - beta rozděleí 1. druhu 2 2 / 4 1 0 0, c 1 x c 2 růzé, reálé kořey c 1, c 2 Variaty: typ I (a,b); typ I-j (c,d); typ I-u (e) TYP 0 - ormálí rozděleí 1 = 2 =0 ; 0 0 df f = x dx 0 TYP VII 2 2 / 4 1 0 =0, 2 0, x komplexí kořey Variata: typ VII (o) TYP II TYP VI - beta rozděleí 2. 2 2 / 4 1 0 =0, 2 0, c 1 x c 1 druhu df f = x symetrické kořey c 0 1 x 2 x dx 2 2 / 4 1 0 1,c 1 x 2 1 = c 2 růzé, reálé kořey c 1 > c 2 Variaty: Variata: typ II (f); typ II-u (g) typ VI (m); typ VI-j () TYP III - gama rozděleí 2 2 / 4 1 0 =, 2 =0, c 1 x jede reálý koře Variaty: typ III (h,i); typ III-j (j) TYP IV 0 2 2 / 4 1 0 1, x komplexí kořey Variaty: typ IV (k) TYP V 2 2 / 4 1 0 =1,c 1 x jede dvojitý reálý koře c 1 Variata: typ V (l)
Typy křivek Pearsoovy soustavy
Johsoova soustava Gaussovo ormovaé ormálí rozděleí N(0,1) f x = 1 2.exp [ 1 2. x2] f B x = m 2 Johsoovo rozděleí typu S B omezeé rozděleí x B =b exp x k m 1 exp x k m a b x a b z a exp { 1 2 [ k m l 2 x a b x a ] } f U x = m 2 Johsoovo rozděleí typu S U eomezeé rozděleí x U =bsih x k m a 1 x a 2 b exp{ 1 [ 2 2 k m l x a b x a 2 b 1] 2} Johsoovo rozděleí typu S L log-ormálí rozděleí f L x = x L =bexp x k m m x a 2 exp { 1 2 [ a k ml x a b ] 2 }
B-A 2 diagram
III. Teorie chyb a ejistot model měřeí kvatitativí parametry měřeí pojem chyba a ejistota měřeí stadardí ejistota typu A stadardí ejistota typu B zákoy šířeí ejistoty, rozšířeá ejistota měřeí
Model měřeí obecý model měřeí: Y 1 = f 1 X 1,1 ; X 1,2 ; ; X 1,1 Y 2 = f 2 X 2,1 ; X 2,2 ; ; X 2,2 Y m = f m X m,1 ; X m,2 ; ; X m, m model měřeí pro jedu výstupí veličiu: Y = f X 1 ; X 2 ; ; X model měřeí pro přímé měřeí: Y =X model měřeí pro jedu hlaví vstupí veličiu: Y 1 = f 1 X 1,1 =x 1,1 ; ; X 1, k1 = X 1, H ; ; X 1, 1 = x 1,1 = f 1 X 1, H Y 2 = f 2 X 2,1 =x 2,1 ; ; X 2, k 2 = X 2, H ; ; X 2,2 =x 2,2 = f 2 X 2, H Y m = f m X m,1 =x m,1 ; ; X m, k m = X m, H ; ; X m, m =x m, m = f m X m, H
Kvatitativí parametry měřeí Citlivostí koeficiet C udává velikost odezvy měřící sestavy a změu hodoty a vstupu (přičemž ostatí vstupí veličiy jsou bráy jako parametry). C j,i = Y j = f j X j, i X j, i X j,i Rozsah R výstupí veličiy je velikost itervalu, ve kterém se achází hodoty výstupí veličiy (obor hodot), odpovídající hodotám vstupí veličiy v itervalu všech možých hodot (defiičí obor). R j max =max { f j X j, H } ; R j mi =mi { f j X j, H } R j =R j max R j mi Rozlišeí měřeí r je rovo ejmeší detekovatelé změě hodoty výstupí veličiy, která je reakcí a miimálí změu vstupí veličiy. r j = f j X j, H mi j, H f j X j, H Počet rozlišitelých úroví k výstupí veličiy udává počet možých výsledků měřeí od miimálí hodoty (dolí mez) po maximálí hodotu (horí mez) s krokem rovým rozlišeí. k j = R j 1= R j r j r j r j Počet rozlišitelých pásem k' výstupí veličiy udává počet itervalů o velikosti rozlišeí, které tvoří celý rozsah. k ' j = R j r j
Pojem chyba a ejistota měřeí Přesost měřeí je těsost shody mezi aměřeou hodotou veličiy a pravou (kovečě pravou) hodotou. Kovečě pravá hodota měřeí je hodota výsledku měřeí, přiřazeá pro daý účel k veličiě kovecí (dohodou). Chyba měřeí je dáa algebraickým rozdílem mezi aměřeou hodotou a pravou hodotou. q=q q Děleí chyb měřeí podle charakteru výskytu: hrubé chyby systematické chyby áhodé chyby Nejistota měřeí určuje iterval, ve kterém se pravá hodota měřeí achází (obecě uto dodat s určitou pravděpodobostí ebo lépe spolehlivostí) q± q q= q max q mi 2 Mírou ejistoty měřeí je směrodatá odchylka daé hodoty. Takto vyjádřeá ejistota se skládá ze stadardí ejistoty typu A a stadardí ejistoty typu B, bývá proto ozačováa jako kombiovaá stadardí ejistota u.
Stadardí ejistota typu A Stadardí ejistota typu A je způsobea áhodými vlivy (příčiy jejího vziku jsou ezámé). Je staovea z opakovaých měřeí stejé hodoty za stále stejých podmíek statistickým přístupem (výpočtem směrodaté odchylky souboru aměřeých hodot). Je začea symbolem u A. Odhadem hodoty q ěkteré vstupí veličiy Q, vytvořeým a základě statisticky ezávislých pozorováí (měřeí), je aritmetický průměr: q j q= 1 j=1 Odhadem rozptylu aměřeých hodot je pak výběrová směrodatá odchylka: s q = 1 q j q 2 j=1 Výběrová směrodatá odchylka výběrových průměrů je dáa vztahem: q = s q 1 = 1 q 1 j q 2 j=1 Stadardí ejistota typu A je rova: u A q =k t q Koeficiet k t je korekčí faktor, zohledňující malý počet měřeí. Jeho hodoty jsou uvedey v tabulce: 9 8 7 6 5 4 3 2 k t 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,7 2,3 7,0
Stadardí ejistota typu B Stadardí ejistota typu B je dáa zámými a odhadutelými příčiami. Určuje se též a základě statistického přístupu, ovšem jiým postupem ež statistickou aalýzou série měřeí. Je staovea odborým úsudkem a základě všech dostupých iformací o možé variabilitě této veličiy, o mezích chybách použité měřící techiky, o stavu prostředí, v ěmž měřeí probíhá a podobě. Je začea symbolem u B. Zdroje stadardí ejistoty typu B jsou: eúplé defiice měřeé veličiy údaje výrobců v techické dokumetaci a ormách údaje uváděé v kalibračích listech ebo jiých certifikátech zalosti a zkušeosti z používáí měřících přístrojů a zařízeí edostatečá zalost všech vlivů a měřeí epřesé změřeí referečích a pracovích podmíek hodoty kostat a parametrů získaých z vějších zdrojů drift a stabilita použitých měřicích přístrojů rozlišitelost měřicích přístrojů Základem je odhad mezích hodot daé veličiy: q q max ; q mi ; q max q mi =2 q Dále je provedea úvaha o typu rozděleí áhodé veličiy a je poměr mezí a směrodaté odchylky: = q q Stadardí ejistota typu B je rova: u B q = q
Zákoy šířeí ejistoty, rozšířeá ejistota Kombiovaá stadardí ejistota je rova: u q = u A 2 q u B 2 q Výsledá stadardí ejistota epřímého měřeí je dáa zákoem šířeí ejistoty v obecém tvaru: u 2 y j = C 2 j, i u 2 x j,i 2 i=1 i=1,k i Záko šířeí ejistoty v kvadratickém tvaru: u y j = i=1 2 C j,i u 2 x j, i C j,i C j, k u x j,i u x j, k r x j,i, x j, k Záko šířeí ejistoty v lieárím tvaru: u y j = C j, i u x j, i i=1 Rozšířeá ejistota měřeí: U y j =k U j u y j Koeficiety rozšířeí: k U =1.96 pro spolehlivost 95% k U =2.58 pro spolehlivost 99%