VLIV ZMĚNY FÁZE VLNOVÉHO POLE NA ZMĚNU BARVY INTERFERENČNÍHO POLE V METODĚ POLARIZAČNÍ INTERFEROMETRIE

VLIV ZMĚNY FÁZE VLNOVÉHO POLE NA ZMĚNU BARVY INTERFERENČNÍHO POLE V METODĚ POLARIZAČNÍ INTERFEROMETRIE A.Mikš J.Novák katedra fyziky Fakulta stavebí ČVUT v Praze 1 Úvod Abstrakt Měřeí malých dráhových resp. fázových rozdílů v optice se ejčastěji provádí iterferometrickými metodami. Při malých hodotách změy fáze bývá problematika vyhodocováí začě obtížá a je uto mít k dispozici fiačě velmi ákladá měřící zařízeí. Práce stručě popisuje avržeou metodu pro vyhodocováí malých fázových změ s použitím iterferece polychromatického světla a kolorimetrických metod. Čláek pojedává o aalýze vlivu změy optického dráhového rozdílu (resp. fáze vlového pole) a změu barvy iterferečího pole při užití metody polarizačí iterferometrie pro vyhodocováí fázových změ. S problematikou určeí fáze vlového pole se lze setkat v řadě oblastí vědy a techiky. V oblasti optické průmyslové metrologie se tyto metody používají apř. při kotrole kvality optických sousta tvaru povrchů deformací určováí topografie ploch drsosti povrchů apod.). Jiou oblastí ve které se setkáváme s problematikou vyhodocováí fáze vlového pole je oblast optické mikroskopie kde jde zejméa o měřeí optických a jiých vlastostí pozorovaého předmětu. V praxi se využívá moha typů metod které pracují a růzých fyzikálích způsobech. Nejčastěji používaými jsou metody iterferometrické jež jsou založey a dvousvazkové ebo vícesvazkové iterfereci moochromatických i polychromatických vlových polí [1-5]. Tyto měřící a vyhodocovací metody dosahují vysoké přesosti. Pro vyhodoceí změy fáze se využívá širokého spektra vyhodocovacích metod [351-1]. Měřeí malých fázových rozdílů v optice se ejčastěji provádí iterferometrickými metodami a a základě deformace iterferečích proužků můžeme určit změu fáze vyšetřovaého vlového pole. Při malých hodotách změy fáze bývá problematika vyhodocováí začě obtížá a je uto mít k dispozici začě ákladá měřící zařízeí. V práci je stručě popsá pricip jedoduché metody využívající iterferece polychromatického zářeí. Změa fáze se v iterferečím poli projeví změou barvy přičemž každé barvě můžeme přiřadit určitou hodotu změy fáze a tuto pak pomocí kolorimetrických metod vyhodotit. Metoda je vzhledem ke své jedoduchosti vhodá pro praktické využití v řadě oblastí vědy a techiky jako je apř. oblast topografie ploch drsost ploch a mikroskopie. Vyhodocovací metoda Pro vyhodocováí fáze vlového pole je možé využít též pricipu polarizačí iterferometrie. Pricip polarizačí iterferometrie je založe a iterfereci polarizovaých paprsků [13489]. Nejsáze toho dosáheme pomocí dvojlomých optických prvků [18] umístěých mezi polarizátorem a aalyzátorem. Pro ormovaou itezitu světla prošlého touto optickou soustavou pak platí [1489] ϕ( ) I ( α β ) = cos ( β α) si αsi β si (1) kde α je úhel mezi směrem kmitů propuštěých polarizátorem a jedím z hlavích směrů dvojlomého prvk β je úhel mezi směrem kmitů propuštěých aalyzátorem a jedím z hlavích

směrů dvojlomého prvk u a v jsou pravoúhlé souřadice vyšetřovaého bodu iterferečího pole je vlová délka světla a ϕ( ) je fázový rozdíl iterferujících vlových polí platí π ϕ( u ) = δ( ) () kde δ() je dráhový rozdíl iterferujících vlových polí. Volíme-li vzájemou polohu polarizátoru a aalyzátoru tak aby jejich propusté směry byly avzájem kolmé tj. β - α = π/ a úhel α = π/4 potom má vztah (1) pro itezitu I tvar I( ) = si ϕ( ) = si πδ( ). (3) Hodoty barevých podětů v bodě o souřadicích ( poté určíme ze vztahů ( = x( ) W ( ) I( )d Y ( = y( ) W ( ) I( )d (4) Z ( = z( ) W ( ) I( )d. Barevé souřadice (xy) barvy iterferečího pole v bodě ( poté určíme ze vztahů ( x( = ( + Y ( + Z( Y ( y( = ( + Y ( + Z(. Jak je z předchozích vztahů patro jsou barevé poděty závislé a dráhovém rozdílu δ = δ() a můžeme tedy a základě jejich hodot teto dráhový rozdíl určit záme-li jeho závislost a vlové délce světla. Položme yí δ = δ + δ A( ) (5) kde δ je kostatí čle daý astaveím měřícího zařízeí a δ A () je fukcí souřadic a vlové délky světla. Volíme-li apř. δ = 565 m pak pro δ = A bude mít iterferečí pole purpurovou barvu. Pro eulovou hodotu δ A v ěkterém místě iterferečího pole dojde ke změě této purpurové barvy a to i pro velmi malé hodoty δ A. Proto se této barvě také říká citlivá barva [1] eboť okem můžeme sado rozpozat i velmi malé hodoty δ A. Růzé způsoby experimetálího uspořádáí je možo ajít v kihách [1]. Detekovaé iterferečí pole je tedy zabarveo v závislosti a velikosti dráhového rozdílu mezi iterferujícími vlami. Pro měřeí je možo použít apříklad ásledujícího iterferometru (obr.1). Rovoměrě osvětleá štěrbia S je vyšetřovaým objektivem O zobrazea do roviy lokalizace iterferečích proužků Wollastoova hraolu W který je umístě mezi dvěma zkřížeými polarizátory P 1 a P. V důsledku dvojlomu dojde ve Wollastoově hraolu k rozděleí vstupujícího vlového pole a dvě pole která jsou vůči sobě úhlově pootočea a která spolu ásledě iterferují. Vziklý iterferečí obrazec pozorujeme pomocým mikroskopem složeým z objektivu O 1 a okuláru O buď vizuálě ebo s pomocí CCD kamery. Mikroskop je zaostře a roviu výstupí pupily VP. Předpokládejme yí že máme fyzikálě dokoalou optickou soustav ze které vystupuje ideálí kulová vloplocha Σ. Wollastoův hraol ám provede úhlový střih a jelikož půjde o iterfereci dvou kulových vl úhlově otočeých kolem společého střed bude se zoré pole jevit rovoměrě zabarveé použijeme-li bílého světla eboť mezi oběma vloplochami bude kostatí dráhový rozdíl a pro ulový dráhový rozdíl bude zoré pole temé. V případě že bude vyšetřovaá

optická soustava zatížeá aberacemi ebude již vystupující vloplocha plochou kulovo ale ějakou obecou plochou. V zorém poli yí uvidíme iterferečí proužky které ám charakterizují změu dráhového rozdílu mezi oběma iterferujícími vlami. V případě velmi malých aberací apř. u kvalitích mikroskopových objektivů je deformace vloplochy velmi malá a tudíž již euvidíme iterferečí proužky a iterferečí pole bude erovoměrě zabarveé. Vlivem malého ekostatího dráhového rozdílu mezi iterferujícími vlami se změí barva pozorovaého iterferečího pole (obr.). VP 1 y O Σ VP O rovia detekce W O 1 CCD Z S P 1 P pozorovací mikroskop Obr.1: Střihový iterferometr pro testováí kvality optických soustav Obr.: Změa barvy iterferečího pole v závislosti a změě dráhového rozdílu Změu barvy iterferečího pole můžeme vypočítat s pomocí vztahů (3) (4) a (5). V tabulce 1 jsou uvedey hodoty barevých souřadic (xy) které odpovídají růzým dráhovým rozdílům δ A. Pozorovaá barva bude záviset a hodotě kostatího dráhového rozdílu δ. Pro aši aalýzu jsme zvolili δ = 545 m a ormalizovaý zdroj A.

Tabulka 1: BAREVNÉ SOUŘADNICE PRO DRÁHOVÝ ROZDÍL δ A (δ = 545 NM ZDROJ A) δ A [m] x y barva 453 47 světle purpurová 1 36395 17936 purpurová 3369 1658 tmavě purpurová 5 1888 19479 modrá 75 17893 5691 modrozeleá 1 767 31531 světle zeleá 15 881 39564 světle žlutozeleá 36167 4461 žlutozeleá Dráhový rozdíl mezi iterferujícími vlami můžeme alézt zpětou aalýzou pozorovaého iterferečího pole. Zabývejme se yí případem kdy itezita světla I je kvadratickou fukcí dráhového rozdílu δ A. Podle vztahu (3) tedy platí I πδ si πδ πδ + π( A/ + B + C)si = si + π ( A/ + B + C) cos πδ. (6) Dosazeím do (4) dostáváme pro hodoty barevých podětů v bodě o souřadicích ( vztahy = + + A 1 + B + C 3 + A 11 + B + C 33 + AB 1 + AC 13 BC 3 + AY1 + BY + CY3 + A Y11 + B Y + C Y33 + ABY1 + ACY13 BCY3 + AZ1 + B Z + C Z3 + A Z11 + B Z + C Z33 + AB Z1 + AC Z13 BC Z3. Y = Y + Z = Z + Pro koeficiety ve vztazích (7) platí (7) πδ x( ) W ( ) πδ 1 = π si d = x( ) W ( )si d πδ πδ 3 = π x( ) W ( )si d = π x( ) W ( )si d x( ) W ( ) πδ 11 = π cos d = π πδ x( ) W ( )cos d (8) πδ x( ) W ( ) πδ 33 = π x( ) W ( )cos d 1 = π cos d πδ πδ 13 = π x( ) W ( )cos d 3 = π x( ) W ( )cos d. Vztahy platící pro Y resp. Z získáme záměou hodot x () za y () resp. z () v předchozích vztazích. Jak je ze vztahů (8) patro pro daou hodotu δ a spektrálí rozděleí eergie W() světla zdroje se hodoty uvedeých koeficietů eměí. Vztahy (7) ám umožňují vypočítat hodoty fukcí A = A( B = B( a C = C( v bodě (. Mohem jedodušší je pro výpočet A B a C užít ěkterou z optimalizačích metod [4]. Abychom to mohli provést defiujme si fukci jejíž miimum máme alézt ve tvaru

g( A B C) Z = ( ) + ( Y Y ) + ( Z ) (9) kde Y Z jsou změřeé hodoty barevých podětů v bodě o souřadicích ( a (ABC) Y(ABC) a Z(ABC) jsou pravé stray rovic (7). Užitím optimalizačích metod a fukci g(abc) získáme požadovaé hodoty ABC. 3 Citlivost změy barvy iterferečího pole a změu fáze V práci je zkoumáa závislost fázové změy resp. změy dráhového rozdílu a změu barvy iterferečího pole. Pro aalýzu byly použity růzé barevé systémy (YZ LAB LUV). Nyí budeme chtít určit hodotu kostatího dráhového rozdílu δ který je ejcitlivější a změu fáze vlového pole. Zabývejme se problémem závislosti vzdáleosti dvou bodů v diagramu chromatičosti a dráhovém rozdílu δ. Jsou-li x(δ δ A ) a y(δ δ A ) trichromatické souřadice bodu v diagramu chromatičosti odpovídající dráhovému rozdílu δ = δ + δ A x(δ ) a y(δ ) trichromatické souřadice bodu odpovídající dráhovému rozdílu δ = δ potom pro vzájemou vzdáleost těchto bodů v diagramu chromatičosti platí [ x( δ ) x( δ δ )] + [ y( δ ) y( δ δ )] ρ. (1) ( δ δ A) = A A Jak je ze vztahu (9) patro závisí tato vzdáleost a hodotách δ a δ A. Pro daou hodotu δ A bude existovat taková hodota δ = δ (δ A ) kdy bude tato vzdáleost abývat maximálí hodoty. Na obr.3 je zázorěa závislost δ a dráhovém rozdílu δ A = A = 1 m. Jak je z obrázku patro bude vzdáleost bodů ρ δ δ ) maximálí pro δ = 544 m. ( A Obr.3: Graf závislosti ρ δ δ ) pro δ A = A (CIE YZ) ( A Nevýhodou barevého systému CIE YZ je to že stejé lieárí vzdáleosti dvou bodů v růzých částech barevého trojúhelíka stejým subjektivě vímaým rozdílům vjemu barvy. Pokud je tedy uté změu barvy charakterizovat subjektivě apř. při pozorováí iterferečího obrazce lidským okem potom je vhodé použít barevé systémy CIE LUV resp. CIE LAB které v celém barevém

prostoru přisuzují stejým subjektivě vímaým rozdílům vjemů barvy přibližě stejé vzdáleosti. Při použití přibližě rovoměré soustavy CIE LUV máme 3 L = 116( Y / ) 1/ 16 pro ( Y / ) > 8856 L = Y 933( Y / Y ) pro ( Y / Y ) 8856 u = 13L ( u u ) v = 13L ( v v ) Y 4 u = + 15Y + 3Z 9Y v = + 15Y + 3Z u 4 = + 15Y + 3Z v 9Y = + 15Y + 3Z kde YZ jsou trichromatické složky barevého podětu a Y Z jsou trichromatické složky ormalizovaého světla použitého pro výpočet (apř. zdroj A) upraveé tak aby pro dokoalý rozptylovač světla bylo = 1. Pro vystižeí subjektivího rozdílu barvy se poté používá výpočtu vzdáleosti Y E uv = ( L ) + ( u ) + ( v ). S použitím předchozích vztahů byla provedea aalýza vlivu změy dráhového rozdílu δ a dráhovém rozdílu δ A. Na obr.4 je zázorěa závislost δ a dráhovém rozdílu δ A = A = 1 m. Jak je z obrázku patro bude vzdáleost E δ δ ) maximálí pro δ = 547 m. uv ( A Obr.4: Graf závislosti E uv ( δ δ A ) pro δa = A (CIE LUV)

4 Přesost vyhodoceí změy fáze Předpokládejme yí že položíme koeficiety B = C = ve vztahu (6). Potom pro ormalizovaou hodotu itezity iterferečího pole můžeme psát πδ πδ πδ πδ I = si si + π( A / ) si + π ( A / ) cos. (11) Vztahy (7) se poté zjedoduší ásledově = + Y Y + AY + A Z = Z + A Z + A. (1) + A 1 A 11 = 1 Y11 1 Z11 Z předchozích vztahů lze již zpětě vypočítat dráhový rozdíl A calc pro hodoty barevých podětů Y Z odpovídající dráhovému rozdílu δ A = A pro ormalizovaý zdroj A a kostatí dráhový rozdíl δ = 545 m. Výsledky počítačové simulace jsou zázorěy v tabulce kde A calc je vypočítaá hodota dráhového rozdíl která odpovídá barevým podětům Y a Z (přesě vypočtey pro dráhový rozdíl A) a δa je relativí chyba vypočteých hodot. Jak je možo pozorovat z tabulky použitá kvadratická aproximace vyhovuje velmi dobře pro dráhový rozdíl A 5 m (chyba meší ežli 5 %). Tabulka : VÝPOČET DRÁHOVÉHO ROZDÍLU S POUŽITÍM KVADRATICKÉ APROIMACE B=C= A [m] Y Z A calc [m] δa [%] 1 114.3 56.9 1433.4 9.9753.5 955.7 51.9 1669.5 19.78 1.9 3 84.1 54. 198.8 9.65.45 5 78.7 751.8 379.1 47.483 5.3 4 Závěr V práci byla stručě popsáa jedoduchá metoda vyhodoceí malých fázových změ vlového pole využívající iterferece polychromatického zářeí. Změa fáze se v iterferečím poli projeví změou barvy. Každé barvě můžeme přiřadit určitou hodotu změy fáze a tuto změu pak pomocí kolorimetrických metod vyhodotit. Je provedea podrobá teoretická aalýza vlivu změy fáze vlového pole a změu barvy iterferečího pole s užitím výpočetího prostředí MATLAB. Práce byla podpořea v rámci projektu MSM68477 Miisterstva školství ČR. Literatura [1] M.Fraco Optical Iterferometry Academic Press N.Y. 1966. [] M.Fraco S.Mallick Polarizatio Iterferometers: Applicatios i Microscopy ad Macroscopy Wiley-Itersciece N.Y. 1971. [3] D.Malacara Optical Shop Testig Joh Wiley & Sos N.Y. 199. [4] M.Bor E.Wolf Priciples of Optics Pergamo Press N.Y. 1964. [5] A.Mikš Iterferometrické metody vyhodocováí sférických ploch v optice. I: Jemá mechaika a optika. 1 roč. 46 č. 1 s. 9-35. [6] A.Mikš Aplikovaá optika 1 Vydavatelství ČVUT Praha. [7] M.Jiráček A.Mikš V.Opočeský J.Růžek P.Scheufter M.Spěvák P.Stýblo M.Urba Techické základy fotografie. Komora fotografických živostí Praha. [8] Č.Strouhal Vl.Novák Optika JČMF Praha 1919. [9] J.Fuka B.Havelka Optika SPN Praha 1961. [1] K.Creath Progress i Optics Vol.VI E.Wolf Ed. Elsevier Sciece Publisher Amsterdam 1988. [11] P. de Groot Applied Optics 34 473-473 (1995).

[1] K.G.Larki B.F.Oreb J. Opt. Soc. Am. A 9 174-1748 (199). [13] J.Schwider Progress i Optics Vol.I E.Wolf Ed. Elsevier Sciece Publisher Amsterdam 199. [14] Novák J.: Five-step phase-shiftig algorithms with ukow values of phase shift. Optik. 3 Vol. 114 No. p. 63-68. [15] Novák J.: Aalýza vícekrokových algoritmů pro metodu elektrooptické holografie. Jemá mechaika a optika. 3 roč. 48 č. 4 s. 18-113. [16] Novák J.: Aalysis of Phase Evaluatio Algorithms i a Iterferometric Method for Static Deformatio Measuremet. Acta Polytechica Vol.4 No.4 p.35-41. [17] Novák J.: New Phase Shiftig Algorithms Isesitive to Liear Phase Shift Errors. Acta Polytechica Vol.4 No.4 p.51-56. [18] Novák J.: Vícekrokové algoritmy ezávislé a lieárí chybě fázového posuvu. Jemá mechaika a optika. roč. 47 č. 11-1 s. 348-35. [19] Novák J.: Aalýza chyb při měřeí deformací metodou elektro-optické holografie. Jemá mechaika a optika. roč. 45 č. 6 s. 166-17. [] Mikš A. Novák J.:Iterferometric method for deformatio measuremet of structures i idustry. Proc. of SPIE Vol.536 SPIE p.-4. [1] Novák J. Mikš A.: Compariso of multiframe phase-shiftig algorithms with ukow value of phase shift. Proc. of SPIE Vol.5144 SPIE 3 p.86-95. [] McCamy C.S.: Simulatio of Daylight for Viewig ad Measurig Color. Color Res. Appl. 19 pp.434-445 (1994). [3] Malacara D.: Color Visio ad Colorimetry: Theory ad Applicatios. SPIE Vol. No.: PM15 (4). [4] Gill P.E. Murrey W.: Numerical Methods for Costraied Optimizatio. Academic Press N.Y. 1974. [5] http://www.cie.co.at/framepublicatios.html [6] http://www.cvrl.org/ Prof.RNDr.Atoí MikšCSc katedra fyziky FSv ČVUT Praha. tel: 4354948 fax: 333336 e-mail: miks@fsv.cvut.cz Ig.Jiří NovákPhD katedra fyziky FSv ČVUT Praha. tel: 4354435 fax: 333336 e-mail: ovakji@fsv.cvut.cz