Kreslení elipsy Andrej Podzimek 22. prosince 2005

Kreslení elipsy Andrej Podzimek 22. prosince 2005

Kreslení elipsy v obecné poloze O co půjde Ukázat přesný matematický model elipsy Odvodit vzorce pro výpočet souřadnic důležitých bodů Nalézt algoritmus pro kreslení elipsy Co od algoritmu očekáváme Jako parametry přijímá délky poloos, souřadnice středu a úhel natočení vůči vodorovné poloze. Měl by být rozšířením a zobecněním algoritmu Midpoint. Výpočty v celočíselné aritmetice, kdykoliv to půjde Rozdíly ve srovnání s algoritmem z přednášky Rovnice elipsy bude mít navíc člen se součinem xy. Složitější vzorec pro výpočet kontrolní proměnné Jen jedna osa souměrnosti

Matematický popis elipsy 1/3 Obecná rovnice kuželosečky v rovině: A x 2 B y 2 2C x y Dx E y F=0 Pokud vynecháme členy způsobující translaci: A x 2 B y 2 2C x y F=0 Základní rozměry elipsy:

Matematický popis elipsy 2/3 Označení a délka hlavní poloosy b délka vedlejší poloosy c vzdálenost od středu k ohnisku x c, y c souřadnice ohniska Základní vlastnosti elipsy Pro všechny body na obvodu elipsy je součet vzdáleností od obou ohnisek stejný. Vzdálenost od ohniska ke konci vedlejší poloosy je rovna délce hlavní poloosy. Vyjádření vlastností pro obecnou elipsu x c, y c jsou konstanty, zatímco x, y jsou proměnné. x x c 2 y y c 2 x x c 2 y y c 2 =2a

Matematický popis elipsy 3/3 Přeskupíme členy, poprvé umocníme, upravíme: x x c y y c =a 2 x x c 2 y y c 2 Opět přeskupíme, podruhé umocníme a vytkneme tak, abychom dostali odstupňovaný tvar. a 2 x c 2 x 2 a 2 y c 2 y 2 2 x c y c x y a 2 x c 2 y c 2 a 2 =0 Můžeme ještě upravit konstantní člen a tím získáme konečnou podobu rovnice: a 2 x c 2 x 2 a 2 y c 2 y 2 2 x c y c x y a 2 b 2 =0 Souvislost mezi koeficienty rovnice a rozměry elipsy: A=a 2 x c 2 B=a 2 y c 2 C= x c y c F= a 2 b 2

Nalezení důležitých bodů 1/3 Postup vykreslování Postup v kladném směru osy x Začne se v bodě s derivací 0 (podle y) Svisle do bodu s derivací 1 (podle x) Vodorovně do bodu s derivací 0 (podle x) Vodorovně do bodu s derivací -1 (podle x) Svisle do bodu s derivací 0 (podle y)

Nalezení důležitých bodů 2/3 Obecnou rovnici elipsy lze brát jako funkci dvou proměnných. Pak můžeme definovat implicitní funkci y(x) a zderivovat ji. dy x C y = A dx B y C x Můžeme definovat i funkci x(y) (symetrický případ). Postup získání bodů Porovnáváme výraz vpravo s hodnotami -1, 0, 1. Z výsledku vyjádříme x v závislosti na y s parametry A, B, C. Získáme jednu rovnici o dvou neznámých. Druhá rovnice je obecná rovnice elipsy. Dostaneme souřadnice bodů vyjádřené jen pomocí parametrů A, B, C, F. Vzorce lze pak ještě podstatně zjednodušit. Body jsou umístěné souměrně podle středu elipsy.

Nalezení důležitých bodů 3/3 Pro zjednodušení získaných vzorců se použije tento vztah mezi koeficienty rovnice elipsy: F=C 2 AB Zmíněným postupem získáme nakonec tyto body: P dx = 0= [ C A ; A ] P dx = 1= [ B C A B 2C ; A C ] A B 2C P dx = 1= [ B C A B 2C ; A C ] A B 2C P dy = 0= [ B; C ] B P dy = 0= [ B; C B ]

Algoritmus 1/3 Pozorování Kreslíme polovinu elipsy zbytek symetricky. Body dělí polovinu elipsy na čtyři segmenty podle sklonu a dominantního směru. Každý segment se kreslí zvlášť. Postup Nakreslíme první bod segmentu (předpočítaný) Inicializujeme kontrolní proměnnou. Podle kontrolní proměnné vybereme ze dvou možných dalších bodů. Nakreslíme vybraný bod. Podle vybraného bodu upravíme kontrolní proměnnou. Zacyklíme se až do konce segmentu. Opakujeme pro všechny segmenty, jen měníme směr. Pozor! U hodně excentrických elips je třeba zkontrolovat, zda je bod na správné straně od hlavní osy.

Algoritmus 2/3 Kontrolní proměnná je hodnota obecné rovnice elipsy jako funkce dvou proměnných. Dosadí se souřadnice midpointu. Uvnitř elipsy vyjde záporná hodnota, vně kladná. Je tomu tak díky průběhu funkce. Midpoint je na obrázku vyznačený křížkem. Je uvnitř elipsy a z toho plyne: Kontrolní proměnná je záporná. V dalším kroku se vykreslí P b. Inicializace kontrolní proměnné pro segment na obrázku: f x, y =A x 2 B y 2 2C x y F d i =f x 1, y 1 i i 2 =A x 2 B y 2 i i 2C x i y i F 2A C x i 2C B y i A C B 4

Algoritmus 3/3 Při úpravě kontrolní proměnné mohou nastat dva případy podle toho, který ze dvou bodů byl v posledním kroku vybrán. Omezíme se opět na segment na obrázku. Pokud byl vybrán pixel P b, mění se jen vodorovná souřadnice: Způsob úpravy: Vyjádřit funkční hodnotu ve druhém řádku Algebraickou úpravou izolovat výraz rovný d i. Do zbytku výrazu dosadit za x i. Pokud byl vybrán pixel P c, mění se obě souřadnice a stejným postupem získáme výsledek: =f x i 2, y i 3 2 =f x i 1 1, y i 1 1 2 =f x i 2, y i 1 2 =d i 2 A x i 1 2C y i 1 A C =d i 2 A C x i 1 2 C B y i 1 A C

Shrnutí postup výpočtu c= a 2 b 2 x c =c cos y c =c sin A=a 2 x c 2 B=a 2 y c 2 C= x c y c F= a 2 b 2 Cyklus neobsahuje žádné operace v plovoucí řádové čárce. Vzorce jsou platné jen pro třetí segment ze čtyř. Pro ostatní segmenty stačí správně volit znaménka a řídící proměnnou cyklu. P dy=0 =[ P dx=1 =[ B; C ] B B C A B 2C ; =[ P C dx=0 A ; A ] B C A B 2C ; =[ P dx= 1 =[ P B ; C ] dy=0 B A C ] A B 2C A C ] A B 2C d 0 =A x 0 2 B y 0 2 2C x 0 y 0 F 2 A C x 0 2C B y 0 A C B 4 =d i 2 A x i 1 2C y i 1 A C =d i 2 A C x i 1 2 C B y i 1 A C

Závěr Pokud se nevyžaduje antialiasing, lze veškeré opakované operace provádět v celočíselné aritmetice. Zdroje informací http://www.crbond.com/papers/ellipse.pdf http://www.crbond.com/papers/ellipse.pdf http://www.spiritone.com/~joeltr/polygonwar2_00000b.htm