Software pro modelování ternárních systémů slitin Modelování ternárních systémů slitin pomocí B-splajnových ploch Zuzana Morávková Jiří Vrbický Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Web programu: http://mdg.vsb.cz/zmoravkova/ternarnisystemy Program vznikl v rámci projektu MŠM 6198910013.
Obsah 1 Úvod 3 2 Plochy solidu a likvidu 3 2.1 Aproximace kvadratickými plochami.................. 3 3 Aproximace B-splajnovými plochami 3 3.1 Aproximace složitějších systémů..................... 3 3.2 B-splajnová křivka............................ 4 3.3 B-splajnová plocha............................ 5 4 Výpočet izotermických řezů 5 4.1 Popis výpočtu hodnot pro konstatní teplotu.............. 5 4.2 Příklad Ga-Sn-Zn............................. 6 5 Výpočet polytermických řezů 8 5.1 Newtonova metoda pro soustavu nelineárních rovnic.......... 8 5.2 Výpočet hodnoty na ploše........................ 8 5.3 Příklad Ag-Au-Pd............................. 10 6 Nalezení bodů v rovnovážné fázi 11 6.1 Rovnovážný rozdělovací koeficient.................... 11 7 Popis počítačového programu 12 7.1 Program................................. 12 7.2 Zásady pro volbu sítě........................... 13 7.3 Příklad Mo-V-Nb............................. 14 7.4 Příklad Al-Zn-Sn............................. 17 7.5 Zadání dat................................. 20 7.6 Zobrazení ploch a binárních diagramů.................. 20 7.7 Výpočet izotermických řezů....................... 20 7.8 Výpočet polytermických řezů...................... 21 7.9 Výpočet konod a koeficientů....................... 21
1 Úvod Fázové rovnováhy ve slitině tří prvků A-B-C (ternárním systému) lze charakterizovat plochami likvidu a solidu. Na osu x, resp. y se vynášejí hodnoty příměsi B, resp. C a na osu z teplota. Pro grafické zobrazení systému se použivají vrstevnicové grafy (izotermické řezy) a také tzv. polytermické řezy. Tyto polytermické řezy ukazují závislost teploty tání likvidu a solidu daného ternárního systému A-B-C na koncentraci jednoho z těchto prvků, přičemž je předem dán poměr koncentrací zbývajících dvou prvků. Přechod mezi tekutou a tuhou fází nastává pro jednoprvkové látky při teplotě tání. V případě slitin je proces krystalizace složitější, neboť vlivem příměsí jsou teploty začátku krystalizace (likvidus) a konce (solidus) různé. Při tomto procesu se vznikají nehomogenity, které mají negativní vliv na vlastnosti slitin. Rovnovážný rozdělovací koeficient popisuje míru rozdělování příměsí mezi tuhou a tekutou fází. 2 Plochy solidu a likvidu 2.1 Aproximace kvadratickými plochami Pro každou procentuální koncentraci x příměsového prvku B a y prvku C je dána teplota likvidu a solidu. Grafy těchto zobrazení tvoří dvě rovnovážné plochy, které lze pro malé koncentrace příměsí a v jednoduchých případech aproximovat kvadratickými plochami. Solidus tedy modelujeme takto: S(x, y) = k S 1 x 2 + k S 2 y 2 + k S 3 xy + k S 4 x + k S 5 y + t A m, (1) kde t A m je teplota tání základního prvku A a koeficienty k S i, i = 1,..., 5 jsou spočítány aproximací naměřených dat metodou nejmenších čtverců. Při popisu plochy likvidu postupujeme analogicky. Tato problematika byla popsána v článku [1], [2], [4]. 3 Aproximace B-splajnovými plochami 3.1 Aproximace složitějších systémů V případě, že je průběh ploch solidu a likvidu složitější a nelze ho popsat pomocí kvadratický ploch, je potřeba použít jiný aparát. Ukazuje se, že B-splajnové plochy jsou dobrý nástroj pro aproximaci složitějších systémů. V následujících kapitolách popíšeme konstrkci B-splajnových ploch, začneme popisem B-splajnovývh křivek, ze kterých se plochy tvoří. Problematika byla pospána v článcích [5] a [6].
3.2 B-splajnová křivka Nechť jsou dány řídicí body P i = (x i, y i ) R 2, i = 0,..., n. Zvolíme stupeň p B-splajnová křivky a sestrojíme bázové funkce {N i,p (u)} n i=0 definované nad uzlovým vektorem: U = (0,..., 0, u }{{} p+1,..., u n, 1,..., 1). }{{} p+1 p+1 Báze pro p = 0 jsou definovány takto: { 1, u ui, u N i,0 (u) = i+1 ) 0, u u i, u i+1 ). A pro báze k = 1,..., p jsou dány rekurentní vzorce: N i,k (u) = u u i N i,k 1 (u) + u i+k+1 u N i+1,k 1 (u) u i+k u i u i+k+1 u i+1 Pak B-splajnová křivka je zadaná parametricky: S(u) = n x = N i,p (u)p i y = i=0 n N i,p (u)x i i=0 n N i,p (u)y i i=0 Obr 1.: Bázové funkce a B-splajnová křivka pro p = 3 a U = (0, 0, 0, 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1, 1, 1).
3.3 B-splajnová plocha Nechť je dána síť řídicích bodů P ij = (x ij, y ij, z ij ) R 3, i = 0,..., n, j = 0,..., m. Uvažujeme bázové funkce {N i,p (u)} n i=0, resp. {N i,p (v)} m j=0 definované nad uzlovým vektorem: U = (0,..., 0, u p+1,..., u n, 1,..., 1), resp.v = (0,..., 0, u p+1,..., u m, 1,..., 1). Pak B-splajnová plocha je zadaná parametricky: x = n m S(u, v) = N i,p (u)n j,p (v)p ij y = i=0 j=0 z = n m N i,p (u)n j,p (v)x ij i=0 n i=0 n j=0 m N i,p (u)n j,p (v)y ij j=0 i=0 j=0 m N i,p (u)n j,p (v)z ij Obr 2.: Příklad bázové funkce N 3,3 (u)n 5,3 (v). Obr 3.: B-splajnová plocha. 4 Výpočet izotermických řezů Pro grafické zobrazení systému se použivají vrstevnicové grafy - izotermické řezy. 4.1 Popis výpočtu hodnot pro konstatní teplotu Izotermický řez je vrstevnice plochy S(u, v).
Pro zvolenou hodnotu z hledáme řešení (u, v) 0, 1 0, 1 rovnice: z = n m N i,p (u)n j,p (v)z ij. i=0 j=0 Řešení budeme hledat numericky, volíme hodnotu parametru ũ postupně z intervalu 0, 1 s krokem h. Nejprve pro j = 0,..., m spočítáme hodnoty: c j = n N i,p (ũ)z ij. i=0 Báze N j,p (v) na intervalu v k, v k+1 ) má tvar polynomu stupně nejvýše p: N j,p (v) vk,v k+1 ) = p a jk;l v l, l=0 kde a jk;l R jsou koeficienty. Pro každý interval v k, v k+1 ), k = p,..., n uzlového vektoru V hledáme řešení ṽ v k, v k+1 ) polynomické rovnice: z = m j=0 c j p a jk;l v l. l=0 4.2 Příklad Ga-Sn-Zn Plochu likvidu systému slitiny Ga-Sn-Zn jsme aproximovali B-splajnovou plochou třetího stupně.
Obr 4.: Vypočítané izotermické řezy. Obr 5.: Zadané izotermické řezy.
5 Výpočet polytermických řezů Pro grafické zobrazení systému se také použivají tzv. polytermické řezy. které ukazují závislost teploty tání likvidu a solidu daného ternárního systému A-B-C na koncentraci jednoho z těchto prvků, přičemž je předem dán poměr koncentrací zbývajících dvou prvků. Při výpočtu těchto řezů je potřeba řešit soustavu dvou nelineárních rovnic. Na tento problém použijeme Newtonovu metodu. 5.1 Newtonova metoda pro soustavu nelineárních rovnic Připomeňme si Newtonovu metodu pro řešení soustavy dvou nelineárních rovnic. Máme soustavu dvou rovnic ve tvaru F(X) = O ( ) F1 (X kde X = (X 1, X 2 ) jsou neznámé a dále F(X) = 1, X 2 ). F 2 (X 1, X 2 ) Zvolíme vhodně počáteční aproximaci X (0) a další aproximaci spočítáme ze vztahu: X (k+1) = X (k) J 1 (X (k) )F(X (k) ), kde J 1 (X (k) ) je hodnota inverzní matice k Jakobiánu J v bodě X (k), který má tvar: F 1 F 1 J = X 1 X 2 F 2 F 2. X 1 X 2 Výpočet ukončíme tehdy, je-li X (k) X (k 1) menší než požadovaná přesnost. Metoda konverguje pro regulární Jakobián a počáteční aproximaci dostatečně blízko přesnému řešení. 5.2 Výpočet hodnoty na ploše Při určování polytermických řezů a jiných aplikacích je často potřeba pro zvolené hodnoty x, ỹ najít hodnotu na B-splajnové ploše. Připomeňme, že B-splajnová plocha je popsána parametrickými rovnicemi: x = S x (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)x ij y = S y (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)y ij z = S z (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)z ij
kde u, v 0, 1 jsou parametry a N ip jsou polynomy p-tého stupně. Problém nalezení hodnoty z ke zvoleným hodnotám x, ỹ vede na soustavu nelineárních rovnic: } x = S x (u, v) ( ) ỹ = S y (u, v) Řešení této rovnice označíme ũ, ṽ a po dosazení do vztahu dostaneme požadavanou hodnotu. z = S z (ũ, ṽ) Soustavu ( ) budeme řešit Newtonovou metodou. K výpočtu Jakobiánu budeme potřebovat parciální derivace: Jakobián J má tvar: S x u (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)x ij S x v (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp(v)x ij S y u (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)y ij S y v (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp(v)y ij. J(u, v) = v 0 S x S (u, v) u S y S (u, v) u x (u, v) v. y (u, v) v Inverzní matice J 1 k Jakobiánu má tvar: S y J 1 1 (u, v) (u, v) = v S x (u, v) v det J(u, v) S y S. x (u, v) (u, v) u u ( ) u 0 Počáteční aproximace zvolíme jako aritmetický průměr hodnot v uzlech sítě v příslušném intervalu. Další aproximaci spočítáme ze vztahu: ( ) ( ) ( ) u k+1 u k v k+1 = v k J 1 (u k, v k Sx (u ) k, v k ) x S y (u k, v k ) ỹ
5.3 Příklad Ag-Au-Pd Plochy likvidu a solidu systému slitiny Ag-Au-Pd jsme aproximovali B-splajnovou plochou třetího stupně. Na Obr.6. je zobrazen polytermický řez likvidu a solidu pro poměr Ag:Pd=1:1, který je spočítán výše uvedeným způsobem. Na Obr.7. je pro srovnání zobrazen tentýž graf z knihy Handbook of Ternary Alloy Phase Diagram. Obr 6.: Vypočítané polytermické řezy. Obr 7.: Zadané polytermické řezy.
6 Nalezení bodů v rovnovážné fázi Ke známé koncentraci x S příměsového prvku B v tuhé fázi potřebujeme určit jeho koncentraci x L v tekuté fázi. Nechť l LIK (a L, n L ) (resp. l LIK (a L, b L )) je délka křivky likvidu z bodu a L do n L (resp. b L ). Analogicky označme délku solidu l SOL. Ke známemu bodu n L na křivce likvidu hledáme bod v rovnovážné fázi n S na křivce solidu (viz Obr. 8) z rovnice: l SOL (a S, n S ) l SOL (a S, b S ) = l LIK(a L, n L ) l LIK (a L, b L ), (2) Spojnici bodů v rovnováze nazýváme konoda (viz Obr. 9). Obr 8.: Body v rovnováze. Obr 9.: Konody 6.1 Rovnovážný rozdělovací koeficient A B C Rovnovážný rozdělovací koeficient k 0 B příměsi B v ternárním systému A B C je dán jako izotermní poměr (při konstantí teplotě) koncentrace x S příměsového prvku B v tuhé fázi a jeho koncentrace x L kapalné fázi (analogicky definujeme koeficient pro prvek C): k 0 A B C B = x S x L k 0 A B C C = y S y L. A B C Koeficient nabývá hodnot k 0 B < 1 v systémech, kde příměs B snižuje teplotu A B C A B C tání a hodnot k 0 B > 1 v případech, kdy ji zvyšuje (analogicky pro k 0 C ).
7 Popis počítačového programu Modelování ternárníchsystémů bylo zprogramováno v systému Matlab a byl vytvořen počítačový program s grafickým uživatelským rozhraním. 7.1 Program
7.2 Zásady pro volbu sítě Při modelování ternárních diagramů pomocí B-splajnových ploch je prvním krokem volba vhodné sítě uzlových bodů. Pro jednotlivé ternární systémy je tato volba individuální, takže neexistuje obecný algoritmus pro vytvoření sítě. Pro výběr uzlových bodů přesto platí určité zásady, které je nezbytné dodržet. Síť je tvořena m n uzlovými body, přičemž nutně m, n 4. Tyto body obdržíme jako průsečíky dvou systémů úseček, jejichž krajní body leží vždy na hraničních křivkách uvažované oblasti. Z teorie B-splajnových ploch vyplývá že tyto krajní body jsou tzv. ukotvené, tedy tyto body leží na příslušné ploše. První systém je tvořen právě m 4 úsečkami a druhý právě n 4 úsečkami. Úsečky patřící do stejného systému se nesmí protínat ve vnitřních bodech uvažované oblasti, mohou však mít společné krajní body. To znamená, že se může jednat o svazek úseček vycházejících z jednoho bodu a dokonce několik úseček může být totožných. Je-li ve shodě s výše uvedenými podmínkami zvolen první systém m úseček, potom pro volbu druhého systému n úseček je nutné ještě navíc dodržet, aby každá z těchto n úseček protínala úsečky prvního systému právě v m bodech, které ovšem nemusejí být všechny navzájem různé. Volba hustoty sítě, tj. volba počtu m n, je opět velmi individuální, závisí na změnách tvaru izotermických křivek. V oblastech, kde mají izotermy inflexní body nebo se mění z konvexní na konkávní, je vhodné zvolit hustš síť uzlových bodů. V případě, že ternární diagram obsahuje brázdy rozdělující zkoumanou oblast na disjunktní podoblasti, je nutné sestavit síť uzlových bodů pro každou podoblast odděleně. Přitom je nutné dodržet zásadu, aby uzlové body ležící na brázdách byly společné pro všechny sítě jednotlivých podoblastí.
7.3 Příklad Mo-V-Nb Obr. 10: Zadaní systému Mo-V-Nb Obr. 11: Volba sítě a bodů
Mo V Nb T 1 100 0 0 2623 0 2 90 10 0 2594 0 3 80 20 0 2578 0 4 70 30 0 2526 0 5 60 40 0 2487 0 6 50 50 0 2461 0 7 40 60 0 2355 0 8 30 70 0 2262 0 9 20 80 0 2150 0 10 10 90 0 2024 0 11 0 100 0 1890 0 12 100 0 0 2623 0 13 90 9 1 2593 0 14 80 18 2 2560 0 15 70 27 3 2526 0 16 60 36 4 2488 0 17 50 45 5 2430 0 18 40 54 6 2358 0 19 30 63 7 2262 0 20 20 72 8 2148 0 21 10 81 9 2012 0 22 0 90 10 1875 0 23 100 0 0 2623 0 24 90 8 2 2594 0 25 80 16 4 2560 0 26 70 24 6 2528 0 27 60 32 8 2488 0 28 50 40 10 2434 0 29 40 48 12 2361 0 30 30 56 14 2263 0 31 20 64 16 2153 0 32 10 72 18 2009 0 33 0 80 20 1860 0 34 100 0 0 2623 0 35 90 7 3 2594 0 36 80 14 6 2561 0 37 70 21 9 2528 0 38 60 28 12 2491 0 39 50 35 15 2438 0 40 40 42 18 2372 0 41 30 49 21 2274 0 42 20 56 24 2163 0 43 10 63 27 2024 0 44 0 70 30 1885 0 45 100 0 0 2623 0 46 90 6 4 2594 0 47 80 12 8 2562 0 48 70 18 12 2529 0 49 60 24 16 2495 0 50 50 30 20 2444 0 51 40 36 24 2388 0 52 30 42 28 2292 0 53 20 48 32 2191 0 54 10 54 36 2060 0 55 0 60 40 1924 0 56 100 0 0 2623 0 57 90 5 5 2596 0 58 80 10 10 2566 0 59 70 15 15 2533 0 60 60 20 20 2502 0 61 50 25 25 2453 0 62 40 30 30 2405 0 63 30 35 35 2321 0 64 20 40 40 2225 0 65 10 45 45 2116 0 66 0 50 50 1986 0
67 100 0 0 2623 0 68 90 4 6 2596 0 69 80 8 12 2566 0 70 70 12 18 2535 0 71 60 16 24 2507 0 72 50 20 30 2463 0 73 40 24 36 2419 0 74 30 28 42 2354 0 75 20 32 48 2272 0 76 10 36 54 2181 0 77 0 40 60 2084 0 78 100 0 0 2623 0 79 90 3 7 2598 0 80 80 6 14 2571 0 81 70 9 21 2543 0 82 60 12 28 2515 0 83 50 15 35 2481 0 84 40 18 42 2440 0 85 30 21 49 2401 0 86 20 24 56 2332 0 87 10 27 63 2267 0 88 0 30 70 2200 0 89 100 0 0 2623 0 90 90 2 8 2599 0 91 80 4 16 2575 0 92 70 6 24 2550 0 93 60 8 32 2525 0 94 50 10 40 2500 0 95 40 12 48 2465 0 96 30 14 56 2430 0 97 20 16 64 2395 0 98 10 18 72 2353 0 99 0 20 80 2311 0 100 100 0 0 2623 0 101 90 1 9 2602 0 102 80 2 18 2581 0 103 70 3 27 2560 0 104 60 4 36 2541 0 105 50 5 45 2521 0 106 40 6 54 2499 0 107 30 7 63 2485 0 108 20 8 72 2466 0 109 10 9 81 2447 0 110 0 10 90 2430 0 111 100 0 0 2623 0 112 90 0 10 2605 0 113 80 0 20 2587 0 114 70 0 30 2572 0 115 60 0 40 2560 0 116 50 0 50 2546 0 117 40 0 60 2534 0 118 30 0 70 2519 0 119 20 0 80 2506 0 120 10 0 90 2491 0 121 0 0 100 2477 0
7.4 Příklad Al-Zn-Sn Obr. 12: Zadaní systému Al-Zn-Sn Obr. 13: Volba sítě a bodů
Body u vrcholu Sn. Al Zn Sn T 1 0 0 100 232 0 2 0 0 100 232 0 3 0 14.9 85.1 199 0 4 0 14.9 85.1 199 0 5 0 0 100 232 0 6 0 0 100 232 0 6 0 14.9 85.1 199 0 8 0 14.9 85.1 199 0 9 2.4 0 97.6 228 0 10 2.4 0 97.6 228 0 11 2.4 12.9 84.7 197 0 12 2.4 12.9 84.7 197 0 13 2.4 0 97.6 228 0 14 2.4 0 97.6 228 0 15 2.4 12.9 84.7 197 0 16 2.4 12.9 84.7 197 0 Body u vrcholu Zn. Al Zn Sn T 17 0 14.9 85.1 199 0 18 0 30 70 266 0 19 0 40 60 304 0 20 0 60 40 350 0 21 0 80 20 379 0 22 0 100 0 420 0 23 2.4 12.9 84.7 197 0 24 2.6 27.4 70 257 0 25 3 37 60 292 0 26 3.8 56.2 40 335 0 27 4.5 75.5 20 364 0 28 5 95 0 400 0 29 2.4 12.9 84.7 197 0 30 4.7 25.3 70 250 0 31 6.5 33.5 60 277 0 32 9 51 40 317 0 33 10 70 20 346 0 34 11.3 88.7 0 381 0 35 2.4 12.9 84.7 197 0 36 4.7 25.3 70 250 0 37 6.5 33.5 60 277 0 38 9 51 40 317 0 39 10 70 20 346 0 40 11.3 88.7 0 381 0
Body u vrcholu Al. Al Zn Sn T 41 100 0 0 660 0 42 80 0 20 600 0 43 70 0 30 589 0 44 60 0 40 577 0 45 50 0 50 565 0 46 30 0 70 508 0 47 20 0 80 459 0 48 10 0 90 377 0 49 2.4 0 97.6 228 0 50 10 0 0 0 660 0 51 80 2.6 17.4 592 0 52 70 4 26 583 0 53 60 5.3 34.7 569 0 54 50 6.6 43.4 555 0 55 31.5 9.1 59.4 503 0 56 21.5 10.4 68.1 450 0 57 11.5 11.7 76.8 364 0 58 2.4 12.9 84.7 197 0 59 100 0 0 660 0 60 80 5.3 14.7 595 0 61 70 8 22 579 0 62 60 10.6 29.4 564 0 63 50 13.3 36.7 545 0 64 33 17.8 49.2 496 0 65 22.9 20.5 56.6 444 0 66 12.9 23.1 64 362 0 67 4.7 25.3 70 250 0 68 100 0 0 660 0 69 80 7.2 12.8 594 0 70 70 10.7 19.3 575 0 71 60 14.3 25.7 558 0 72 50 17.9 32.1 522 0 73 34 23.7 42.3 491 0 74 23.9 27.3 48.8 446 0 75 13.9 30.9 55.2 365 0 76 6.5 33.5 60 277 0 77 100 0 0 660 0 78 80 11.2 8.8 590 0 79 70 16.8 13.2 565 0 80 60 22.4 17.6 540 0 81 50 28 22 517 0 82 36 35.9 28.1 477 0 83 25.9 41.5 32.6 439 0 84 15.9 47.1 37 378 0 85 9 51 40 317 0 86 100 0 0 660 0 87 80 15.6 4.4 589 0 88 70 23.3 6.7 558 0 89 60 31.1 8.9 530 0 90 50 38.9 11.1 502 0 91 38 48.2 13.8 465 0 92 28 56 16 433 0 93 18 63.8 18.2 389 0 94 10 70 20 346 0 95 100 0 0 660 0 96 80 20 0 592 0 97 70 30 0 561 0 98 60 40 0 534 0 99 50 50 0 510 0 100 40 60 0 483 0 101 30 70 0 452 0 102 20 80 0 418 0 103 11.3 88.7 0 381 0
7.5 Zadání dat Data, který odečteme z dostupných materiálů zadáme do souboru podle pravidel popsaných v předchozí kapitole. Soubory se vstupními daty pak do proramu načteme z následujících polí. 7.6 Zobrazení ploch a binárních diagramů Program vstupní data zpracuje a vytvoří B-splajnové plochy. V následující části programu si lze tyto plochy zobrazit, stejně jako binární diagramy. 7.7 Výpočet izotermických řezů Izotermické řezy si můžeme zobrazit buď v celém rozsahu, nebo v zadaném rozmezí.
7.8 Výpočet polytermických řezů Pro zobrazení polytermických řezů si můžeme zvolit buď řez plochou pro daný poměr prvků nebo pro konstantní hodnotu jednoho z prvků. 7.9 Výpočet konod a koeficientů Pro vykreslení konod zadáme teplotu pro daný izotermický řez a počet konod. Rovnovážný koeficient se spočítá pro zadanou hodnotu dvou prvků.
Reference [1] Z.Morávková: Výpočet rovnovážného koeficietnu v ternárních systémech, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, 2005. [2] Z.Morávková, I. Svobodová, J. Drápala:Modelování eutektických ternárních systémů, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, 2007. [3] Z.Morávková, J. Drápala, I. Svobodová:Modelování binárních systémů, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, 2008. [4] Z.Morávková, J. Drápala, I. Svobodová:Počítačová simulace krystalizace v ternárních systémech eutektického a peritektického typu, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, 2008. [5] Z.Morávková, J. Vrbický, J. Drápala, M. Madaj: Využití B-splajnových ploch v ternárních systémech slitin, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, 2010. [6] Z.Morávková, J. Vrbický, J. Drápala, M. Madaj: Výpočet polytermických řezů v ternárních systémech slitin, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, 2011.