Kapitola 1 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY 1.1 ƒíselné OBORY 1.1.1 Ozna ení íselných mnoºin Mnoºina v²ech p irozených ísel : N = {1, 2, 3,..., n, n + 1,...} Základní vlastnost: Kdyº k N, potom k + 1 N; Stru n : k N k + 1 N. Mnoºina v²ech celých ísel : Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Základní vlastnosti: a) Mnoºina rozdíl libovolných dvou p irozených ísel, j N, k N j k Z; b) m Z r N s N : r s = m. Vysv tlení kvantikátor viz odst. 1.2.4. Platí: N Z, t.j. N je podmnoºina Z. Znamená to, ºe kdyº p N, potom p Z. Pozor: Implikace p Z p N je nepravdivý výrok!! t.j. Z není podmnoºina N. Q - mnoºina v²ech racionálních ísel (nelze zadat výpisem n kolika len!) Základní vlastnosti: a) Kaºdé racionální íslo lze vyjád it bu kone ným nebo nekone ným Obrázek 1.1. periodickým desetinným rozvojem. N je podmnoºina mnoºiny Z b) Kaºdé racionální íslo lze vyjád it ve tvaru zlomku s celo íselným itatelem a jmenovatelem, t.j. podílem dvou celých ísel (ve jmenovateli nesmí být nula).
2 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY Nap íklad: 1) x Q: x = 2, 3751; x = 3 25, x = 22 7 π (!) 2) y Q: y = 1, 27353535... = 1, 2735 (nekone ný periodický desetinný rozvoj) Otázka: Jak se li²í ísla 2, 5 a 2, 499999...? Odpov : Jsou to dva r zné zápisy téhoº racionálního ísla. Otázka: Je zápis π = 3, 14 správný? Odpov : Není: π / Q, 3, 14 Q. R - mnoºina v²ech reálných ísel. Základní vlastnosti: a) Kaºdé reálné íslo lze vyjád it desetinným rozvojem (bu kone ným nebo nekone ným). b) Kaºdé reálné íslo je limitou n jaké konvergentní posloupnosti racionálních ísel. c) Kaºdému bodu zvolené p ímky lze p i adit jediné reálné íslo; p ímce s tímto p i azením íkáme reálná osa resp. osa reálných ísel. Nap íklad: 1) 1 = 0, 25 je racionální íslo (kone ný desetinný rozvoj) 4 av²ak dále: 0, 25 = 0, 25000... je také reálné íslo (nekone ný desetinný rozvoj). 2) π R: π = 3, 1415926579... (nekone ný neperiodický desetinný rozvoj) Obrázek 1.2. Osa reálných ísel
1.1 ƒíselné OBORY 3 R Q - mnoºina v²ech iracionálních ísel. Výrok x R Q znamená: x R, a x / Q (x je reálné íslo a není racionální íslo). Stru n : x R Q x R x / Q. C - mnoºina v²ech komplexních ísel. Základní vlastnosti: a) Uspo ádaná dvojice reálných ísel: z C, t.j. z = [x, y], kde x R, y R. b) Kaºdému bodu zvolené roviny lze p i adit jediné komplexní íslo; rovin s tímto p i azením íkáme komplexní rovina nebo Gaussova rovina. Zápis: z = x + iy; i = [0, 1]; i 2 = 1; Pozor : zápis i = 1 je nesprávný!! Základní inkluze: N Z Q R C (inkluze: znak podmnoºiny) Obrázek 1.3. Gaussova rovina Otázka: Které íslo leºí ve v²ech t chto mnoºinách? Odpov : Kaºdé p irozené íslo. 1.1.2 Operace v íselných mnoºinách Vypí²eme, které operace s ísly lze v daném íselném oboru provád t, aby výsledek bylo íslo ze stejného íselného oboru.
4 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY N - s ítání, násobení, umoc ování p irozeným exponentem; Z - s ítání, od ítání, násobení, umoc ování p irozeným exponentem; Q - s ítání, od ítání, násobení, d lení (krom d lení nulou!!), umoc ování celo íselným exponentem (s výjimkou 0 0!); R - s ítání, od ítání, násobení, d lení, umoc ování nezáporných reálných ísel reálným exponentem; C - v²echny operace. Vlastnosti operací s ítání a násobení / s ísly komutativnost a + b = b + a a b = b a asociativnost a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c neutralita a + 0 = a a 1 = a distributivnost a (b + c) = a b + a c Otázky: 1. Jaké je nejv t²í reálné íslo men²í n º 1? (neexistuje). 2. Jaké je nejv t²í reálné íslo? (neexistuje). 3. Jaké je nejmen²í reálné íslo? (neexistuje). 4. Jaké je nejv t²í racionální íslo? (neexistuje). 5. Je "více" racionálních ísel neº ísel iracionálních? 6. Je "více" racionálních ísel neº ísel p irozených? Úloha: Vysv tlete "vrchcábovou" záhadu. 1. Myslete si 3 jednomístná p irozená ísla. 2. První íslo vynásobte 2 3. P i t te k výsledku 5 4. Výsledek vynásobte 5 5. K výsledku p i t te druhé íslo 6. Výsledek vynásobte 10 7. K výsledku p i t te t etí íslo 8. Sd lte mi výsledek a já vám eknu ísla, která ísla jste si mysleli. Vysv tlení hledejte mezi e²enými p íklady tohoto textu.
1.1 ƒíselné OBORY 5 1.1.3 Mocniny - stru ný p ehled a) a Q, n N: a n = } a a {{ a a} ; n initel b) a Q, n N: a n = 1 a n, a 0, a 1 = 1 a ; c) Pro a 0: a 0 = 1;! Výraz 0 0 není algebraicky denovatelný; lze mu dát smysl (nikoliv jednozna n ) pouze jako limita (tzv. neur itý výraz). d) a m a n = a m+n, a Q, m, n N; e) (a m ) n = a mn, a Q, m, n N; f) (ab) m = a m b m, a, b Q, m N; g) ( a b ) m = a m, a, b Q, b 0, m N; bm h) am a n = am n, a Q, m, n N, a 0; n-tá odmocnina z nezáporného reálného ísla: i) r = n a = a 1 n, n N, a 0, práv tehdy, kdyº a = r n ; Historická poznámka: je stylizované písmeno r: v latin radix, v angli tin root (square root) znamená ko en. j) a m n = ( a 1 n ) m = ( n a) m = n a m, m, n N, a 0. Otázka: Pro jaké a platí a) a 2 = a? b) a 2 = a? Poznámka: Platnost pravidel d) h) m ºeme roz²í it i pro a, b R, m, n Q (dokonce i na m, n R), ale neplatí pro v²echna, jak je vid t z bod i), j). Zcela obecn tato pravidla platí aº v oboru komplexních ísel. Otázka: Umíte denovat a stanovit nap íklad: 1 π, 3 π, (π) π ; (1 + 2i) 3 i, (i) i?
6 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY 1.1.4 Uspo ádání a nerovnosti Pro kaºdá dv ísla x R, y R platí práv jeden ze vztah x < y, x = y, x > y. íkáme, ºe mnoºina reálných ísel je uspo ádaná ; U komplexních ísel neumíme rozhodnout, které ze dvou komplexních ísel (s nenulovou imaginární ástí) je v t²í; umíme rozhodnout pouze o rovnosti: x + iy = a + ib x = a x = b. kde " " je znak ekvivalence, " " je znak konjunkce. Základní vlastnosti nerovnosti (ilustrujte na p íkladech): a) x, y, z R : (x < y y < z) = x < z; b) x, y, z R : x < y x + z < y + z; c) x, y, z R : (x > 0 y > 0) = xy > 0; (obrácená implikace neplatí!!) Otázky: Co znamená zápis a b? Co je správn (tj. která nerovnost je pravdivý výrok): 3 < 4, 3 4, 4 4, 4 < 4? Jaký je rozdíl mezi rovností a rovnicí? Jaký je rozdíl mezi nerovností a nerovnicí? Úkoly: Stanovte x R takové, aby platilo: 3 + x < 7. Prov te, zda platí 2 3,14 < 1, 9 π? 1.2 PODMNOšINY R, R 2, R 3 1.2.1 Sou adnicové systémy Mnoºinu R v²ech reálných ísel ozna ujeme také R 1, resp. (, + ).
1.2 PODMNOšINY R, R 2, R 3 7 Obrázek 1.4. Pravoúhlý (kartézský) sou adnicový systém v Obrázek 1.5. Kosoúhlý sou adnicový systém v R 2 R 2 R 2 - mnoºina v²ech uspo ádaných dvojic reálných ísel: R 2 {(x, y) : x R y R} Geometrické interpretace : Dvojici (x, y) nazýváme také bodem v rovin R 2 ; ísla x, y nazýváme sou adnice tohoto bodu. Bod zna íme také X = (x, y). V R 2 volíme dv r znob ºné áry, tzv. sou adnicové áry. Jejich pr se ík P nazýváme po átek ; P = (0, 0). íkáme, ºe jsme v R 2 zvolili sou adnicový systém nebo soustavu sou adnic. V R 2 m ºeme zavést nekone n mnoho sou adnicových systém. Poloha bodu je ur ena nejen dvojicí ísel (x, y), ale také zvoleným sou adnicovým systémem. Vzdálenost d(a, B) bod A, B je nezáporné íslo, které závisí na zvoleném sou adnicovém systému. Obrázek 1.6. Polární sou adnicový systém v R 2 Obrázek 1.7. K ivo arý sou- adnicový systém v R 2 V kartézském sou adnicovém systému (!) denujeme vzdálenost bod A, B vzorcem d(a, B) = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 ; A = (a 1, a 2 ), B = (b 1, b 2 )
8 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY R 3 - mnoºina v²ech uspo ádaných trojic reálných ísel: R 3 {(x, y, z) : x R, y R, z R}. Trojici (x, y, z) nazýváme také bodem v R 3. ƒísla x, y, z jsou sou adnice tohoto bodu ve zvoleném sou adnicovém systému. V R 3 zvolíme t í navzájem r znob ºné sou adnicové áry se spole ným pr se íkem P, který nazýváme po átek. Na obrázku 1.8 je pravoúhlý sou adnicový systém. Obrázek 1.8. Pravoúhlý (kartézský) sou adnicový systém v 1.2.2 Intervaly - speciální podmnoºiny R R 3 a, b = {x R : a x b} - uzav ený interval; teme: mnoºina t ch reálných ísel x, pro které platí uvedená nerovnost. (a, b) = {x R : a < x < b} - otev ený interval; (a, b = {x R : a < x b} - polouzav ený (polootev ený) interval; a, b) = {x R : a x < b} - polouzav ený (polootev ený) interval; a, + ) = {x R : a x} (a, + ) = {x R : a < x} (, b = {x R : x b} (, b) = {x R : x < b} P íklad : Ur it a znázornit na reálné ose: 1, 2) (0, 5) = 1, 5) ; sjednocení interval 1, 2) (0, 5) = (0, 2) ; pr nik interval Otázka: (3, 7) je bod v R 2 nebo interval na R?
1.2 PODMNOšINY R, R 2, R 3 9 1.2.3 Omezené íselné mnoºiny ƒíselná mnoºina A R je shora omezená, kdyº existuje reálné íslo c 2 R takové, ºe kaºdé íslo x A je nejvý²e (rovno) c 2, t.j. c 2 R x A : x c 2. ƒíselná mnoºina A R je zdola omezená, kdyº existuje reálné íslo c 1 R takové, ºe ºádné íslo x A není men²í neº c 1, t.j. c 1 R x A : x c 1. ƒíselná mnoºina B R je omezená, kdyº c 1, c 2 R x B : c 1 x c 2. Otázka: Jak byste ekli, ºe mnoºina C R je shora neomezená (zdola neomezená)? Jak byste formulovali negaci uvedených výrok? Maximum íselné mnoºiny A R je takové íslo M A, ºe x A : x M ; ozna ujeme M = max A, (M je nejv t²í íslo mnoºiny A). Minimum íselné mnoºiny A R je takové íslo m A, ºe x A : m x ; ozna ujeme m = min A, (m je nejmen²í íslo mnoºiny A). Supremum íselné mnoºiny A R je takové reálné íslo S R (!), které spl uje tyto dva poºadavky: a) x A : x S; b) x R : x < S x A : x > x ; (pro kaºdé íslo x men²í neº S existuje v mnoºin A íslo x, které je v t²í neº x ). Zna í se S = sup A. Inmum íselné mnoºiny A R je takové reálné íslo s R (!), které spl uje tyto dva poºadavky: a) x A : x s; b) x R : x > s x A : x < x ; (pro kaºdé íslo x v t²í n º s existuje v mnoºin A íslo x, které je men²í neº x ). Zna í se s = inf A; Nap íklad: max 2, 1 = 1; sup 2, 1 = 1; max 2, 1) neexistuje; sup 2, 1) = 1; max 5, + ) neexistuje; sup 5, + ) neexistuje;
10 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY Otázka: Je maximum (minimum) vºdy supremem (inmem)? Je supremum (inmum) vºdy maximem (minimem)? Absolutní hodnota reálného ísla x R je v t²í z ísel x a x; Zna íme: x = max{x, x}. D sledky denice: D sledek 1: Absolutní hodnota x ísla x je vºdy nezáporné íslo, t.j. x 0. D sledek 2: Pro x > 0 je x = x; Pro x < 0 je x = x; Pro x = 0 je x = 0. D sledek 3: Mnoºina B R je omezená, práv tehdy, kdyº c > 0 x B : x c. D sledek 4: a, b R: D sledek 5: a, b R: D sledek 6: a R: a + b a + b, trojúhelníková nerovnost. a b a b a + b a 2 = a 2 ; a2 = a ab = a b ; a = a b b, b 0. 1.2.4 Logické symboly, výroky, výrokové formy Výrok V je sd lení, u n hoº má smysl hovo it o pravdivosti i nepravdivosti, p i emº platí práv jedna moºnost, tj. výrok nem ºe být sou asn pravdivý i nepravdivý. Negace výroku V zna íme V, non V,V, V ). Axiom dvouhodnotové logiky: V je pravdivý práv tehdy, kdyº V je nepravdivý. "Tercium non datur". P íklad. V : x A, "x je prvkem mnoºiny A". V : x / A; "x není prvkem mnoºiny A", není pravda, ºe x je prvkem mnoºiny A.
1.2 PODMNOšINY R, R 2, R 3 11 Sloºené výroky Konjunkce V 1 V 2 je pravdivá práv tehdy, kdyº jsou pravdivé oba výroky V 1, V 2 ; v ostatních p ípadech je konjunkce nepravdivá. Slovn : V 1 a V 2. Disjunkce V 1 V 2 je pravdivá, je-li pravdivý alespo jeden z výrok V 1, V 2, Slovn : V 1 nebo V 2. Implikace V 1 = V 2 je nepravdivá, je-li V 1 pravdivý a V 2 nepravdivý; v ostatních p ípadech je implikace pravdivá. Slovn : z V 1 plyne V 2, V 1 je posta ující pro V 2, V 2 je nutné pro V 1. Ekvivalence V 1 V 2 je pravdivá, jsou-li oba výroky pravdivé nebo oba nepravdivé. Slovn : V 1 práv tehdy, kdyº V 2, V 1 je nutné a sta í pro V 2, V 2 je nutné a sta í pro V 1. P íklad. Vytvo te nové výroky pomocí logických operací. V 1 : Daný trojúhelník je pravoúhlý. V 2 : V daném trojúhelníku platí Pythagorova formule a 2 + b 2 = c 2, kde a, b jsou délky odv sen, c je délka p epony. V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 2 V 1 V 1 V 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1
12 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY Logické zákony 1. V 1 V 2 V 1 V 2 negace konjunkce je ekvivalentní disjunkci negací 2. V 1 V 2 V 1 V 2 negace disjunkce je ekvivalentní konjunkci negací 3. V 1 V 2 V 1 V 2 negace implikace - princip d kazu sporem 4. V 1 V 2 V 2 V 1 princip nep ímého d kazu 5. V 1 V 2 V 1 V 2 princip nep ímého d kazu 6. V V zákon dvojí negace ("negace negace") V V 7. V V, V V vºdy pravdivé výroky; tautologicky pravdivé výroky Kvantikované výroky a jejich negace 1. Zápis: x M: V (x) ƒteme: pro kaºdý prvek x M platí V (x) (kaºdý prvek x M má vlastnost V (x)). 2. Zápis: x M: V (x) ƒteme: existuje prvek x M s vlastností V (x). 3. Zápis:! x M: V (x) ƒteme: existuje práv jeden prvek x M s vlastností V (x).
1.2 PODMNOšINY R, R 2, R 3 13 P íklady: a) x N : x > 0 "kaºdé p irozené íslo x je kladné" - pravdivý výrok; b) x Q : x < 5 "kaºdé racionální íslo je men²í neº 5" - nepravdivý výrok; c) x N : x > 0 "existuje p irozené íslo, které je kladné" - pravdivý výrok; d) x Q : x < 5 "existuje racionální íslo, které je men²í neº 5" - pravdivý výrok; e) x R : x 2 + 1 = 0 "existuje reálné íslo x takové, ºe jeho druhá mocnina je -1" - nepravdivý výrok; Negace kvantikovaných výrok : x M : V (x) = x M : V (x). Slovn : Není pravda, ºe pro v²echna x M platí V (x) existuje x M, pro které V (x) neplatí. Slovn : x M : V (x) = x M : V (x). Není pravda, ºe existuje x M takové, ºe platí V (x) pro v²echna x M je V (x) nepravdivý pro ºádné x M V (x) neplatí. 1.2.5 Mnoºiny a operace s nimi Sjednocení: A B = {x : x A x B} Pr nik : A B = {x : x A x B} Jestliºe dv mnoºiny X a Y nemají ºádné spole né prvky, íkáme, ºe tyto mnoºiny jsou disjunktní a ºe jejich pr nik je prázdná mnoºina : X Y = (znak prázdné mnoºiny). Rozdíl : A B = {x : x A x / B}. Dopln k mnoºiny A E do mnoºiny E : A E = E A, x A E x E x / A. Platí: A B = B A A B = B A A A = A A A = A
22 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY Kartézský sou in mnoºin A, B: A B = {(a, b) : a A b B} je mnoºina uspo ádaných dvojic prvk a A, b B}. Speciáln : A A = A 2 ; A A A = A 3, atd. R 2 = R R. Kartézský sou in není komutativní: A B B A, pokud A, B a A B. Úkol: Znázor te sjednocení, pr nik, rozdíl mnoºin geometricky (Vennovy diagramy). Uv domte si souvislost sloºených výrok V 1 V 2, V 1 V 2, V 2, V 1 V 2, V 1 V 2 s mnoºinovými operacemi V 1 : x A, V 2 : x B.
Kapitola 2 JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY 2.1 POSLOUPNOST JAKO E ENÍ DIFERENƒNÍ ROV- NICE 2.1.1 Dierence a posloupnosti diferencí Pro kaºdou posloupnost (y n ) + n=1 = {y 1, y 2, y 3,...} m ºeme stanovit posloupnost diferencí, tj.posloupnost rozdíl sousedních len.
24 JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY Ozna íme Posloupnost prvních diferencí y n = y n+1 y n, n N. ( y n ) + n=1 = { y 1, y 2, y 3,...}. Z takto vzniklé posloupnosti m ºeme op t stanovit posloupnost diferencí, tj. diverencí z diferencí Druhá diference: 2 y n = y n+1 y n = = ( y n ) = (y n+2 y n+1 ) (y n+1 y n ) = y n+2 2y n+1 +y n T etí diference: 3 y n = 2 y n+1 2 y n = ( 2 y n ) Obecn k-tá diference: k y n = ( k 1 y n ) = k 1 y n+1 k 1 y n P íklad: Pro danou posloupnost vypí²eme n kolik prvních len posloupností diferencí.
2.1 POSLOUPNOST JAKO E ENÍ DIFERENƒNÍ ROVNICE 25 (y n ) + 1 = {3, 5, 7, 9,...} y n+1 = y n + 2 ( y n ) + 1 = {2, 2, 2,...} posloupnost prvních diferencí, ( 2 y n ) + 1 = {0, 0, 0,...} posloupnost druhých diferencí, ( 3 y n ) + 1 = {0, 0, 0,...} posloupnost t etích diferencí. Obrázek 2.1. 2.1.2 Rekurentn dané posloupnosti vyjád ené pomocí diferencí Nap íklad posloupnost (y n ) + n=1 ur enou rekurentní formulí y n+1 = 3y n (geometrická posloupnost s q = 3) lze upravit na vztah prvních diferencí: y n+1 y n = 3(y n y n 1 ) tj. y n = 3 y n 1.
26 JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY To znamená, ºe kaºdá diference je trojnásobkem p edchozí diference. Je vid t, ºe posloupnosti diferencí jsou op t geometrické posloupnosti se stejným kvocientem 3: 3 = y n+1 y n = y n y n 1 = 2 y n 2 y n 1 = atd. P íklad: (y n ) + 1 = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...} = (2 k 1 ) + 1 : y n+1 = 2y n, tj. y n+1 y n = y n. ( y n ) + 1 = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...} ( 2 y n ) + 1 = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...} Pozorování: 2 n 1 = 2 n 2 n 1 = 2 n 1 (2 1) = 2 n 1 = ( 2 n 1 ) 1 = (2 n 1 ) + 1. 2.1.3 Jednoduché diskrétní modely v ekonomických a p írodních v dách Celá ada technických, biologických, ekonomických, ekologických zákonitostí má charakter rekurencí.
2.1 POSLOUPNOST JAKO E ENÍ DIFERENƒNÍ ROVNICE 27 P íklad: P edpov ekonomického r stu: V roce n = 1 je HDP dán hodnotou y 1 = 250 (mil. K ). Kaºdým rokem se HDP zvy²uje p krát, kde p = 0, 08 tj. 8%. a) Jaký bude HDP za n let? b) Za kolik let dosáhne HDP 2000 milion K? e²ení: Kaºdým rokem se p edchozí ("lo ská") hodnota HDP zvý²í o p násobek, tj. o hodnotu (diference) y n = 0, 08y n, y 1 = 250. Máme tedy rekurenci y n+1 y n = 0, 08y n, neboli (geometrická posloupnost) y n+1 = (1 + 0, 08)y n = 1, 08y n. Potom za n let bude hodnota HDP dána n-tým lenem y n = (1, 08) n 1 250. Na konci 1.roku, tj. na za átku 2.roku je HDP dán 2. lenem y 2. Nap íklad, za n = 8 (na konci 8.roku) let bude HDP y 9 = (1, 08) 8 250 = 462, 7325....
28 JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY Chceme-li ur it n, p i kterém HDP dosáhne 2000, musíme e²it exponenciální rovnici 2000 == (1, 08) n 1 250. Vypo teme n 1 = ln 2000 250 ln 1, 08 2.1.4 Odvození rekurentní formule. = 77, 85. V odstavci 2.1.1 jsme uvedli, ºe pro teoretickou analýzu i pro aplikace jsou nejvhodn j²í dva zp soby zadání (denování) posloupnost: a) vzorcem pro m-ty len (tzv. funk ní p edpis), b) rekurentn (m-ty len se ur uje z p edcházejících len ). Pouze pro dv nejjednodu²²í posloupnosti se pouºívají oba zp soby zadání a jsou navzájem jednodu²e p evoditelné: Geometrická posloupnost a) y m = aq m ; m-tý len, b) y m+1 = qy m, y 1 = aq; rekurence. Je evidentní, jak p ejít od jednoho tvaru k druhému. Aritmetická posloupnost a) y m = dm + c; m-tý len, b) y m+1 = y m + d, y 1 = d + c; rekurence.
2.1 POSLOUPNOST JAKO E ENÍ DIFERENƒNÍ ROVNICE 29 Také zde jsou vzájemné p evody elementární. U v²ech ostatních posloupností jiº vzájemné p evody nejsou tak jednoduché a u v t²iny posloupností se musíme spokojit z jedním zp sobem (z uvedených dvou) zadání a ten druhý v bec neumíme stanovit nebo, v tom lep²ím p ípad, pouze na základ ranovaných manipulací. Ukaºme si to na posloupnosti. o které jsme se zmínili v odst. 2.1.1 M jme posloupnost, jejíº m-ty len je y m = Chceme najít rekurentní formuli Z m-tého lenu dostaneme vztah m m + 1 m = y m 1 y m. Vyjád íme m + 1-ty len a s ním provedeme uvedené manipulace y m+1 = m + 1 m + 2 = m + 2 1 m + 2 Do posledního výrazu dosadíme za m: 1 y m+1 = 1 y m 1 y m + 2. = 1 1 m + 2.
30 JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY Nyní po jednoduchých úpravách dostaneme rekurenci y m+1 = 1 2 y m Tato posloupnost bude totoºná s tou, která byla dána m-tým lenem pouze tehdy, p ipojíme-li po áte ní (startovací) podmínku y 1 = 1 2. V odstavci 3.2. uvedeme základní principy postupu, ve kterém naopak z dané rekurence chceme ur it vzorec pro n-ty len. Této úloze se obecn íká diferen ní rovnice. 2.2 DIFERENƒNÍ ROVNICE 2.2.1 Diferen ní rovnice 1. ádu (jednokroková rekurence) P íklady jednokrokových rekurencí: y n+1 = ay n, a je konstanta; y n+1 = y n + d, d je konstanta; y n+1 = y n (1 y n ); y n+1 = 2y n + 1 n ; y n+1 = ϕ(n, y n ), ϕ je n jaký funk ní výraz.
2.2 DIFERENƒNÍ ROVNICE 31 Automaticky se p edpokládá, ºe p í volb y 1 máme za úkol postupn vypo ítat y 2, y 3,..., atd. M jme dánu jednokrokovou rekurenci. Úlohu najít posloupnost (y n ) + n=1 spl ující tuto rekurenci pro kaºdé n N nazýváme diferen ní rovnice 1. adu. Posloupnost (y n ) + n=1, jejíº leny danou rekurenci spl ují se nazývá e²ení diferen ní rovnice. e²ení je ur eno jednozna n po áte ní (startovací) hodnotou y 1. P íklad. Stanovme posloupnost (y n ) + n=1,která je e²ením diferen ní rovnice 1. ádu (jednokrokové rekurence) y n+1 = 2y n + 3 y 1 = 1 Výpo et: Postupným dosazováním dostaneme y 2 = 2 + 3 = 5, y 3 = 2y 2 + 3 = 2 5 + 3 = 13 = 2 2 y 1 + 2 3 + 3, y 4 = 2y 3 + 3 = 29 = 2 3 y 1 + 2 2 3 + 3, y 5 = 2y 4 + 3 = 61 = 2 4 y 1 + 2 3 3 + 2 2 3 + 3. P i jisté intelektuální námaze stanovíme vzorec pro k-tý len y k = 2 k 1 1 + 3(2 k 2 + 2 k 3 +... + 2 + 1)
32 JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY P íklad. Pokusíme se zobecnit postup z p edchozího p íkladu.chceme e²it diferen ní rovnici 1. adu y n+1 = ay n + b, kde a, b jsou dané konstanty. Postupn dosazujeme: y 2 = ay 1 + b, y 3 = ay 2 + b = a(ay 1 + b) + b = a 2 y 1 + ab + b, y 4 = ay 3 + b = a(a 2 y 1 + ab + b) + b = a 3 y 1 + a 2 b + ab + b, indukcí odvodíme y k = a k 1 y 1 + b(a k 2 + a k 3 +... + a + 1) = a k 1 y 1 + b ak 1 1 a 1. 2.2.2 Diferen ní rovnice 2. ádu (dvoukroková rekurence) P íklady dvoukrokových rekurencí: y n+2 = ay n+1 + by n, a, b jsou konstanty; y n+2 = 2y n+1 + y n ; y n+2 = y n+1 + y n (Fibonacci); y n+2 = ϕ(y n+1, y n, n), ϕ je n jaký funk ní výraz.
2.2 DIFERENƒNÍ ROVNICE 33 Diferen ní rovnice 2. ádu je úloha najít posloupnost (y n ) + n=1, která pro kaºdé n N spl uje dvoukrokovou rekurenci. Posloupnost (y n ) + n=1 je e²ení diferen ní rovnice. Je ur eno jednozna n dv ma po áte ními (startovacími) hodnotami y 1, y 2. P íklady (uºite né pro analýzu tzv. numerických proces ). (a) Stanovme e²ení diferen ní rovnice y n+2 = 10 3 y n+1 y n s po áte ními hodnotami y 1 = 1, y 2 = 1 3. Výsledek: (y n ) = ( 1 3 n 1 ). Úkol: Pomocí kalkula ky e²te tuto rovnici s po áte ními hodnotami ( ) 99 1 y 1 = 1, y 2 = 0, 333. Ur íte nap. y 100 a porovnejte s hodnotou. 3 (b) Stanovme e²ení diferen ní rovnice y n+2 = 10 3 y n+1 y n s po áte ními hodnotami y 1 = 1, y 2 = 3. Výsledek: (y n ) = (3 n 1 ). (c) Úloha spo ení: K po áte ními vkladu 1000 K ukládáme ke konci kaºdého m síce 100 K s 10% úrokem. Stanovme velikost uspo ené ástky na konci m-tého m síce. Výsledek: Kaºdý m síc se ástka y m zv t²uje o úrok 0, 1y m a o vklad 100. Máme tedy diferen ní rovnici y m+1 = y m + 0, 1y m + 100 = 11 10 y m + 100, y 1 = 1000.
34 JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY Podle obecného vzorce y m = a k 1 y 1 + b ak 1 1 dostaneme (a = 0, 1, a 1 b = 100), ( ) m 1 11 y m = 1000 + 100 1, 1m 1 1. 10 0, 1 Za dva roky (m = 24) bude uspo ena ástka y 24 = 16908, 60466. Poznámka: V na²i bankách je v²ak ro ní úrok nejvý²e 2%, tj. m sí ní úrok je 0, 02/12. = 0, 017. Takºe y m+1 = 1, 017y m + 100, tj. y m = 1, 017 m 1 1000+100 1,017m 1 1 0,017. Tedy y 24 = 4259, 535663 ( istý vklad byl 3400K ). (d) Samuelson v model dynamiky národního d chodu: Ve známé knize ekonomického experta Samuelsona najdeme zákon r stu národního d chodu ve tvaru Y m+2 = a(1 + b)y m+1 aby m + G, kde Y m ozna uje národní d chod v roce m, a je koecient minimální tendence spot eby b je tzv. ekonomický akcelerátor, G jsou vládní(státní) výdaje (=náklady). Výsledek: Pro Y 1 = G 1 a, Y 2 = G 1 a je Y m = G 1 a, m 3.
2.2 DIFERENƒNÍ ROVNICE 35 2.2.3 Lineární diferen ní rovnice Lineární diferen ní rovnice 1. ádu se zapisuje ve tvaru y n+1 = ay n + b, kde a, b jsou dané konstanty; konstanta b se nazývá absolutní len nebo také nehomogenita rovnice. Lineární diferen ní rovnice 2. ádu se zapisuje ve tvaru y n+2 = ay n+1 + by n + c, kde a, b, c jsou dané konstanty; konstanta c se nazývá absolutní len nebo také nehomogenita rovnice. Z p edcházejících p íkladech jsme vid li, ºe e²ení diferen ních rovnic tohoto typu obsahuje v sob vºdy n jakou geometrickou posloupnost. Na tomto poznatku je zaloºena metoda charakteristické rovnice pro rovnice bez absolutního len : Hledáme proto e²ení rovnice y n+2 = ay n+1 + by n ve tvaru geometrické posloupnosti y n = q n,
36 JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY a hledáme q takové, aby pro v²echna n N platilo q n+2 = aq n+1 + bq n. Ko eny q 1, q 2 kvadratické rovnice, které se íká charakteristická rovnice, ur í dv geometrické posloupnosti (q1 n ) n=1, (q2 n ) + n+1, které jsou e²ením dané diferen ní rovnice, a proto i jejích lineární kombinace y n = C 1 q n 1 + C 2 q n 2, C 1, C 2 jsou libovolné konstanty, je e²ením dané rovnice.
ƒást I SPOJITÉ SYSTÉMY
Kapitola 3 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Sv t, který nás obklopuje je zapln n objekty. Jsou to objekty konkrétní (lidé, zví ata, t lesa, rostliny, p ístroje, bu ky, atd.) a objekty abstraktní ( ísla, body, teplota, as, hustota, ekonomické veli iny, atd.), které si lov k vymyslel, aby mohl zkoumat a vyuºívat vztahy ( relace) mezi konkrétními objekty. 3.1 RELACE A USPO ÁDANÉ DVOJICE 3.1.1 Motivace (A) Následující mnoºina obsahuje 6 prvk : matku, otce, dv dcery a dva syny. F = {matka, otec, Katka, Bar a, Tomá², Mirek }. Chceme zkoumat speciální typ vztahu (relace) mezi uvedenými prvky (tj. leny rodiny). Tento vztah denujeme jako "je sestrou". Máme tedy tyto
40 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ vztahy: Katka je sestrou Tomá²e, Katka je sestrou Mirka, Katka je sestrou Bar i, Bar a je sestrou Tomá²e, Bar a je sestrou Mirka, Bar a je sestrou Katky. Tento seznam vztah zapisujeme ve tvaru ²esti dvojic: (K,T), (K,M), (K,B), (B,T), (B,M), (B,K). Je evidentní, ºe dvojice (K,T) není totoºná s dvojicí (T,K), nebo Tomá² není sestrou Katky. Tedy v uvedených dvojicích záleºí na po adí. íkáme, ºe tyto dvojice jsou uspo ádané. Úkoly: Sestavte uspo ádané dvojice z prvk mnoºiny F pro vztahy (relace): "je bratrem", "je matkou", "je otcem", "je sourozencem".
3.1 RELACE A USPO ÁDANÉ DVOJICE 41 (B) Uvaºujme vztah mezi teplotou T (ve stupních C) pacienta a asem t (hodiny m ení teploty b hem dne). Tuto relace nazveme "pr b h teploty T pacienta b hem dne" t (hod) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 T ( 0 C) 37 37,5 37,8 38 39 39,8 40,3 41,5 42,3 37 33 23 Úkoly: (a) Zjist te, zda uspo ádané dvojice ísel (11,38), tj. t = 11, T = 38, (45,6), tj. t = 45, T = 6, pat í do dané relace. (b) Zjist te, zda uspo ádané dvojice ísel (9;42,3), t = 9, T = 42, 3, pat í do dané relace. Vlastn se ptáme, zda v 9 hodin m l pacient teplotu 42, 3 o C. 3.1.2 Denice Mnoºina v²ech prvních prvk relace se nazývá deni ní obor relace. Budeme ji zna it písmenem D. Mnoºina v²ech druhých prvk relace se nazývá obor hodnot relace. Budeme ji zna it H. Relaci, tj. mnoºinu uspo ádaných dvojic prvk pak nap íklad zna- íme D H, tj, jako kartézský sou in mnoºin D a H. V relaci "je sestrou" je D = {K, B}, H = {T, M, B, K}, tj. pouze K a B mohou být sestrou, av²ak T, M, B, K mají sestry.
42 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Relaci "pr b h teploty... " máme dánu tabulkou: D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 H 37 37,5 37,8 38 39 39,8 40,3 41,5 42,3 37 33 23 Poznámka: V 9 hodin z ejm pacient zem el a od tohoto okamºiku teplota jeho t la klesá. 3.2 REÁLNÉ FUNKCE 3.2.1 Pojem funkce - denice a) M jme mnoºinu D = D f reálných ísel a mnoºinu H = H f také reálných ísel. Zobrazení (relace, p i azení) f, které kaºdému íslu x D f R p i adí práv jedno íslo y H f R se nazývá reálná funkce jedné reálné prom nné. Zna íme f : D f H f, nebo f : x y = f(x), x D f. Poznámka: Indexem f u D f a H f rozli²ujeme obory jednotlivých funkcí. Nap íklad g : D g H g.
3.2 REÁLNÉ FUNKCE 43 b) M jme mnoºinu D = D f n-tic reálných ísel (vektor ) a mnoºinu H = H f reálných ísel. Zobrazení (relace, p i azení) f, které kaºdé n-tici x D f R n p i adí práv jedno íslo u H f R se nazývá reálná funkce n reálných prom nných. Zna íme op t f : D f H f, kde v²ak f : x u = f(x 1, x 2,,..., x n ); x = (x 1, x 2,,..., x n ). c) Relace f = D f H f (mnoºina dvojic (x, f(x))) se tedy nazývá reálná funkce, kdyº ve dvojicích (x, f(x)), x D f se x vyskytuje pouze jednou, tj. v ºádných dvou dvojicích (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )) nemáme totéº íslo na prvních místech. Vysv tlení: Funkce f je pravidlo, podle kterého se dvojice (x, f(x)) D f H f vytvá ejí. Tabulka názv prvky D f prvky H argument funkce funk ní hodnota nezávisle prom nná relace závisle prom nná závislost vstup, vzor p i azení výstup, obraz
44 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Obrázek 3.1. Kybernetický symbol funkce 3.2.2 Ilustrativní p íklady (a) Stanovme mnoºinu e²ení lineární rovnice 3x y 1 = 0, x R. Jak jsme uvedli v odst. 1.3.2, mnoºinu e²ení dostaneme tak, ºe jednu neznámou volíme a druhou neznámou dopo ítáme. Touto metodou, tj. postupným dosazováním dostaneme (zápis do tabulky) x 0 1-1... x... f(x) -1 2-4... 3x 1... Tím jsme dostali zobrazení f : y = 3x 1, x R, y R. (b) Stanovme mnoºinu e²ení rovnice xy 12 = 0. Pro názornosti si analogicky jako v p edchozím p íkladu postupným dosazováním sestavíme tabulku x 1-1 2-2... x... f(x) 12-12 6-6... 12 x...
3.2 REÁLNÉ FUNKCE 45 Máme tak zobrazení f : y = 12, x (, 0) (0, + ), y (, 0) (0, + ). x (c) Zvolme D mnoºinu dn v m síci, resp. mnoºinu ísel ozna ující datum a ozna me H mnoºinu nan ních ástek ve vlastní pen ºence studentky Kate iny vºdy ve 22 hodin ve er. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 30 31 H 500 400 200 150 120 70 40 0 0 0... 0 0 Funkce f je práv dána touto tabulkou. Pouze ve zcela specických situacích se tato funkce dá zapsat n jakou "formulkou". 3.2.3 Gracké znázor ování reálné funkce jedné reálné prom nné (a) Zvolíme v rovin systém dvou navzájem kolmých p ímek. Jednu dvojici ozna íme jako sou adnicové osy. Pr se ík zvolených os nazveme po átek. Kaºdou dvojici (x, f(x)) pak zobrazujeme jako bod v této rovin známým zp sobem. Mnoºina t chto bod se nazývá kartézský graf funkce f. (b) Zvolíme v rovin bod P a systém polop ímek vycházejících z tohoto bodu. Dvojici (v, g(v)), kde g(v) 0 pak zobrazujeme jako bod v této rovin
46 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ podle obrázku: Obrázek 3.2. Obrázek 3.3. mnoºina t chto bod se nazývá polární graf funkce g. 3.2.4 Zp soby zadání reálné funkce jedné reálné prom nné (a) analyticky, tj. (algebraickou) formulí pro výpo et f(x). Nap íklad: f(x) = x 2 ; f(x) = 1 x + 1 ; g(t) = t + 1; h(s) = s 2. Deni ní obor D tvo í pak pouze ta reálná ísla, která je moºné pouºít k výpo tu jediné reálné funk ní hodnoty; íkáme, ºe D obsahuje ta ísla, pro která má daná formule smysl.
3.2 REÁLNÉ FUNKCE 47 (b) Tabulkou hodnot: Pro jistý výb r ísel x i D stanovíme dvojice [x i, f(x i ]; ísla f(x i ) jsou obvykle výsledky m ení n jaké závislosti. (c) Gracky: Dvojice (x, f(x)), x D, f(x) H zobrazujeme jako body v sou adnicové rovin se sou adnicovým systémem(!) : kartézským, polárním. Viz odst. 4.2.3. (d) Uºitím n kolika algebraických formulí. Nap íklad: f 1 (x) = x, x 0, 1, f = f 2 (x) = 1 (x 1) 2, x (1, 2, D f = R. f 3 (x) = 0, x / 0, 2. Poznámka: Grafem funkce f 1 je úse ka, grafem funkce f 2 je ást kruºnice se st edem v bod (1, 0) a polom rem 1, grafem funkce f 3 jsou dv polop ímky leºící v ose x (ud lejte obrázek). (e) Implicitn : Jak v matematice, tak v aplikacích se studují funkce, které jsou denovány jako e²ení funkcionálních rovnic, nej ast ji tzv. rovnic diferenciálních. Do této kategorie lze za adit i funkce, které jsou denovány prost ednictvím tzv. integrál závislých na parametru.
48 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Úkol: Pro formule f(x) = x 2, g(x) = 1 x, h(x) = x2 identikujte (stanovte) následující funk ní hodnoty: f(1) g(1) h(1) f(0) g( 1) h( 1) f(x 2 ) g(0) h(0) f(x 2 + 1) g(x + 1) h(x + 1) f( 1) g(x 2 ) h(x 2 ) f(x + 1) g(x 2 + 1) h(x 2 + 1) f(x 2 ) + 1 g(x 2 ) + 1 h(2x) + 2x f(2x) + 2x g(2x) + g(x 2 ) h(2x) + h(2x) f(2x) + f(2x) g( x) g(x) h( x) + h(x) Návod: Máme-li nap. pro f(x) = x 2 stanovit hodnotu f(x 2 + 1), p ezna íme na f(z) = z 2 a bereme z = x 2 + 1. Takºe f(x 2 + 1) = (x 2 + 1) 1. 3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 3.3.1 Lineární funkce Lineární funkce je denována takto: f : y = a 1 x + a 0, x D f R (, + ) (deni ní obor), y H f R, a 0, a 1 jsou daná (reálná) ísla a jednozna n ur ují danou funkci.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 49 Grafem je p ímka (viz. obr 3.4). Obrázek 3.4. Vlastnosti: Lineární funkce je neomezená zdola, tj. neomezen klesá pro klesající x; je neomezená shora, tj. neomezen roste pro rostoucí x; a pro a 1 > 0 je ost e rostoucí na D, tj. platí implikace x 1, x 2 D : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ), a pro a 1 < 0 je ost e klesající na D, tj. platí implikace x 1, x 2 D : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). Poznámka: Uvedené vlastnosti se dají "vy íst" z dané formule ale student se musí nau it "vid t" je v obr. 3.4, resp. v obr. 3.5. Úloha(!!): Stanovme lineární funkci f, známe-li koecient a 1 a víme-li, ºe v bod x 0 R funkce nabývá hodnoty f(x 0 ) = y 0. Odpov : Pro y = a 1 x + a 0 musí platit y 0 = a 1 x 0 + a 0. Ode tením t chto
50 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ dvou výraz dostaneme y y 0 = a 1 (x x 0 ). Obrázek 3.5. Pr se íky grafu s osami: Pro x = 0 : ȳ = y 0 a 1 x 0 Pro y = 0 : y 0 = a 1 (x x 0 ) x = x 0 y 0 a 1 ; Úkol(!!): Nakreslete a porovnejte grafy funkcí y = a 1 x, y = a 1 (x x 0 ), y y 0 = a 1 x, y y 0 = a 1 (x x 0 ), y = a 0. a 1, x 0, y 0, a 0 volte, x R.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 51 3.3.2 Kvadratická funkce Kvadratická funkce je denována takto: f : y = a 2 x 2 + a 1 x + a 0, x D f = R (, + ), a 0, a 1, a 2 0 jsou daná reálná ísla a jednozna n ur ují danou kvadratickou funkci. Grafem je k ivka, které se íká parabola; koecienty a 0, a 1, a 2 ur ují její polohu v sou adnicovém systému. (obr. 3.6, obr. 3.7) Obrázek 3.6. Obrázek 3.7.
52 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Vlastnosti: Pro a 2 > 0 je kvadratická funkce omezená zdola, H f = min f(x), + ); je kvadratická funkce neomezená shora,tj, neexistujemax f(x); kvadratická funkce neomezen roste pro x + i pro x ; poslední vlastnost (neomezený r st) zapisujeme symbolicky takto: Pro a 2 < 0 lim x (a 2x 2 + a x + a 0 ) = +, lim x + (a 2x 2 + a x + a 0 ) = + je kvadratická funkce omezená shora, H f = (, max f(x) ; je kvadratická funkce neomezená zdola, tj. neexistuje min f(x); kvadratická funkce neomezen klesá jak pro x + tak i pro x ; poslední vlastnost (neomezený pokles) zapisujeme symbolicky takto: lim x (a 2x 2 + a x + a 0 ) =, lim x + (a 2x 2 + a x + a 0 ) =.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 53 Úkol:(!!) 5 Nakreslete grafy funkcí f : y y 0 = a 2 (x x 0 ) 2, pro r zné volby x 0, a 2. P íklad:(!) Je dána kvadratická funkce f : y = 2x 2 5x + 7. Upravte funk ní p edpis na tvar z p edcházejícího úkolu. Odpov : Vyjád íme y = 2x 2 5x + 7 = 2(x 2 5 2 x) + 7 a výraz x2 5 2 x doplníme na úplný tverec: [ ( y = 2 x 5 ) ] 2 25 ( + 7 = 2 x 5 ) 2 25 ( 4 16 4 8 + 7 = 2 x 5 ) 2 + 31 4 8. Výsledek: f : y = 2 ( x 5 4) + 31 8. Vidíme, ºe y 0 = 31 8, a 2 = 2, x 0 = 5 4. 3.3.3 Obecná polynomiální funkce Obecný tvar: f : y = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a }{{} 0, P n (x) polynom stupn n a n 0, n N, x R, a i reálné koecienty. Taylor v tvar: f : y y 0 = b n (x x 0 ) n + b n 1 (x x 0 ) n 1 +... + b 1 (x x 0 ), b i jsou reálné koecienty, y 0 = f(x 0 ). Mocninná funkce (Speciální p ípad): f : y = x n, x R, n N.
54 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Úkol(!): Nakreslete si grafy mocninných funkcí pro n = 3, 4, 5; formulujte chování t chto funkcí pro x + a pro x. 3.3.4 Racionální lomená funkce - p íklady (A) f : y = a x, D f = R {0}, a je daný koecient. Grafem je k ivka, které se íká rovnoosá hyperbola. viz. obr. 3.8, obr. 3.9. Obrázek 3.8. Obrázek 3.9.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 55 Vlastnosti pro a > 0 Kdyº x + pak y 0+, x y 0, x 0+ y +, x 0 y. Funkce ost e klesá pro x < 0 a také pro x > 0 Vlastnosti pro a < 0 Kdyº x + pak y 0, x y 0+, x 0 y, x 0 y +. Funkce ost e roste pro x < 0 a také pro x > 0. V²imneme si, ºe výrok x 1, x 2 D : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ), a < 0 neplatí, tj. uvedená funkce z obr. 3.9 není ost e rostoucí na deni ním oboru D f. P íklady(!): Zkoumejte (analyzujte) funkce (graf, vlastnosti) dané formulemi: (a) f : y = 1 x 1, (b) f : y = (c) f : y = 2 + 1 x, x x + 1, návod: x x + 1 = x + 1 1 x + 1 = 1 1 x + 1
56 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ (B) f : y = a x 2, D f = R {0}, a je daný koecient. (viz. obr. 3.8, obr. 3.9). Obrázek 3.10. Obrázek 3.11. Vlastnosti pro a > 0 Kdyº x + pak y 0+, x y 0+, x 0+ y +, x 0 y +. Pro x < 0 funkce ost e roste, pro x > 0 funkce ost e klesá. Vlastnosti pro a < 0 Kdyº x + pak y 0+, x y 0+, x 0 y, x 0 y. Pro x < 0 funkce ost e klesá, pro x > 0 funkce ost e roste. P íklady: Zkoumejte (analyzujte) funkce (graf, vlastnosti) dané formulemi: (a) f : y = x2 + 2x + 3, x + 1 Návod: x2 + 2x + 3 x + 1 = (x + 1)2 + 2 x + 1 = x + 1 + 2 x + 1
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 57 Daná funkce f je sou tem dvou funkcí, lineární funkce f 1 : y = x + 1 a jednoduché racionální lomené funkce f 2 : y = 2 x + 1. Graf f bude sou tem (sloºením) graf funkcí f 1, f 2. Nakreslete si pe livé obrázek! (obr. 3.12) Obrázek 3.12. 3.3.5 Speciální funkce elementárního typu (A) f : y = x, x D f = 0, + ), y H f = 0, + ). Grafem je ást paraboly o rovnici y 2 x = 0 (viz obr. 3.13) Vlastnosti: 1) x + y + ; 2) ost e roste na celém deni ním oboru.
58 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Obrázek 3.13. (B) g : y = 3 x, x Dg = (, + ), y H f = (, + ). Vlastnosti: zformulujte sami! Grafem je k ivka, které se íká kubická parabola (viz obr. 3.14) Obrázek 3.14.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 59 (C) ϕ : y = x 3, x D ϕ = 3, + ), y H ϕ = 0, + ). Vlastnosti: zformulujte sami! (v²imneme si, ºe graf funkce ϕ nakreslíme kdyº graf funkce f z (A) (obr. 3.13) posuneme o 3 vpravo po ose x (viz obr. 3.15). Obrázek 3.15. (D) Funkce jednotkového skoku (Heavisideova funkce) 1, pro x 0, η : y = η(x) = D η = R; H η = {0, 1}. 0, pro x < 0, (viz obr. 3.16)
60 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Obrázek 3.16. (E) Znaménková funkce (signum) sgn : y = sgn(x) = (viz obr. 3.17) 1, pro x > 0, 0, pro x = 0, 1, pro x < 0, D s = R; H s = { 1, 0, 1}. Obrázek 3.17. Úkol: Nakreslete grafy funkcí: ψ : y = η(x a), a R. h : y = sgn(x a), a R.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 61 (F) Impulsní funkce f : y = f(x) = (viz obr. 3.18) 0, pro x < a, 1, pro a x b, 0, pro x > b, D f = R; a, b daný interval. Obrázek 3.18. (G) Po ástech konstantní funkce f : y = C i, x x i, x i+1 ), i = 1, 2, 3,..., n; D f = x 1, x n ), H f = {C i } n i=1, tj. oborem hodnot je kone ná posloupnost ísel C i (viz. obr. 3.19).
62 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Obrázek 3.19. (H) Po ástech lineární funkce f : y = a i x + b i, x x i, x i+1, i = 1, 2, 3,..., n; D f = x 1, x n, H f = min f(x i ), max f(x i ). Grafem je lomená ára. Obvykle se p edpokládá, ºe a i x i + b i = a i 1 x i + b i 1, pro i = 2, 3,..., n 1 (viz obr. 3.20). Obrázek 3.20.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 63 3.3.6 Obecná mocninná funkce Pro pevné r R denujeme mocninnou funkci p edpisem f : y = x r, x (0, + ) D f, y (0, + ) H f. Poznámka. Pro n která speciální r lze stejným p edpisem denovat mocninnou funkci na ²ir²ím deni ním oboru. Nap íklad pro n N viz odst. 4.3.1-4.3.3. Úkol. Posu te náro nost výpo tu funk ních hodnot mocninné funkce f : y = x 2,371 pro x = 2; 3; 3, 14; π. Jste schopni vypo ítat tyto funk ní hodnoty bez kalkulátoru? P íklady: (A) f 1 : y = x 3 = 1 x 3 ; D f = (, 0) (0, + ), H f = (, 0) (0, + ); Obrázek 3.21.
64 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ (B) f 2 : y = x 2 3 = 3 x2 ; D f = R, H f = 0, + ); Obrázek 3.22. (C) f 3 : y = x 3 2 = x 3 ; D f = 0, + ), H f = 0, + ); Obrázek 3.23.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 65 (D) f 4 : y = x 1 3 = 3 x ; Df = R, H f = R; Obrázek 3.24. (E) f 5 : y = x 1 3 = 3 x 1 = 1 3 x ; D f = (, 0) (0, + ), H f = (, 0) (0, + ). Obrázek 3.25.
66 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ 3.3.7 Exponenciální funkce Pro a > 0, a 1 denujeme f : y = a x, D f = R, H f = (0, + ). Obrázek 3.26. Celou adu p írodov dných závislostí lze popsat exponenciální funkcí P íklady: ( y = e x, kde e = lim 1 + 1 n = 2, 718281825.... n + n) (A) g 1 : y = 2 x, x R;
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 67 Obrázek 3.27. Poznámka: P i výpo tu funk ních hodnot pro libovolné reálné íslo x si student musí poloºit otázku, jak vypo ítat 2 x. Jist umíme (?) vypo ítat 2 5, 2 3, 2 2 3, 2 3, 2 2 1,4 = ( 10 2 14 ), 2 3,14 1 = ( 100 ). Av²ak jak stanovit nap. 2 314 2 2. Na tuto otázku není lehké odpov d t v tuto chvíli a v této (p edpokládané) matematické kvalikaci. Student si musí po kat na náro n j²í a hlub²í výklad matematické analýzy. Zde pouze ekneme, ºe obecné mocniny (viz také odst. 4.3.6) se denují jako limity jistých konvergentních posloupností.
68 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ (B) g 2 : y = 2 x, x R; (C) g 3 : y = 1 2 (4x ), x 3, 3 ; Obrázek 3.28. Obrázek 3.29. (D) g 4 : y = 10e 0,5x, x 3, 3 ; (E) g 5 : y = 10e 0,5x, x 3, 3. Obrázek 3.30. Obrázek 3.31.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 69 3.3.8 Základní goniometrické funkce (A) g 1 : y = sin x, D f = R, H f = 1, 1. Obrázek 3.32. (B) g 2 : y = cos x, D f = R, H f = 1, 1. Obrázek 3.33. Ze st ední ²koly víme, ºe funk ní hodnoty sin x a cos x se ur ují z jednotkové kruºnice, v níº x je délka oblouku v radiánech - viz obrázek. Obrázek 3.34.
70 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ (C) g 3 : y = tg x = sin x cos x, D f = R {(2k + 1) π 2 }, k celé íslo, H f = R. Obrázek 3.35. (D) g 4 : y = cotg x = 1 tg x = cos x sin x, D f = R {kπ}, k celé íslo, H f = R. Obrázek 3.36.
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 71 3.3.9 Uºite né vzorce pro goniometrické funkce Níºe uvedené vzorce platí pro argumenty z deni ního oboru. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, tg (x + y) = sin 2 x + cos 2 x = 1, 1 + tg 2 x = 1 cos 2 x, tg x + tg y 1 tg xtg y. 1 + cotg 2 x = 1 sin 2 x. sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos 2 x sin 2 x, tg 2x = 2tg x 1 tg 2 x. sin( x) = sin x cos( x) = cos x (lichost), (sudost), tg ( x) = tg x (lichost), cotg ( x) = cotg x (lichost).
72 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ 1 cos x = 2 sin 2 x 2, 1 + cos x = 2 cos 2 x 2, tg 2 x 2 = 1 cos x 1 + cos x, sin x + sin y = 2 sin x+y 2 cos x y 2, cos x + cos y = 2 cos x+y 2 cos x y 2, cos x cos y = 2 sin x+y 2 sin x y 2. sin(x π ) = cos x, 2 [sinus posunutý o π 2 vpravo je -kosinus], sin(x + π ) = cos x, 2 [sinus posunutý o π 2 vlevo je kosinus], cos(x π ) = sin x, 2 [kosinus posunutý o π 2 vpravo je sinus], cos(x + π ) = sin x, 2 [kosinus posunutý o π 2 vlevo je -sinus], sin(x π) = sin x, [sinus posunutý o π vpravo je sinus], sin(x + π) = sin x, [sinus posunutý o π vlevo je -sinus], cos(x π) = cos x, [kosinus posunutý o π vpravo je -kosinus], cos(x + π) = cos x, [kosinus posunutý o π vlevo je -kosinus].
3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 73 3.3.10 Hyperbolické funkce (A) h 1 : y = cosh x = ex + e x, D f = R, H f = (0, + ) 2 hyperbolický kosinus - grafem je tzv. et zovka. Obrázek 3.37. Graf funkce h 1 Obrázek 3.38. Graf funkce h 2 (B) h 2 : y = sinh x = ex e x, D f = R, H f = R. 2 (C) h 3 : y = tgh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x, D f = R, H f = ( 1, 1). Obrázek 3.39. Graf funkce h 3 (D) h 4 : y = cotgh x = cosh x sinh x = ex + e x e x e x, D f = (, 0) (0, + ), H f = (, 1) ( 1, + ).
74 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Obrázek 3.40. 3.3.11 Uºite né vzorce pro hyperbolické funkce cosh 2 x sinh 2 x = 1, tgh x = 1 cotgh x, tgh x cotgh x = 1, 1 tgh 2 x = cotgh 2 x 1 = 1 cosh 2 x, 1 sinh 2 x, sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, sinh( x) = sinh x, lichá funkce
3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ (REÁLNÉ) PROM NNÉ 75 cosh( x) = cosh x, sudá funkce sinh 2x = 2 sinh x cosh x, cosh 2x = sinh 2 x + cosh 2 x, tgh 2x = 2 tgh x 1 + tgh 2 x, sinh x 2 = cosh x 1 2, cosh x 2 = cosh x+1 2, sinh x + sinh y = 2 sinh x+y 2 cosh x y 2, cosh x + cosh y = 2 cosh x+y 2 cosh x y 2, cosh x cosh y = 2 sinh x+y 2 sinh x y 2. 3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ (REÁLNÉ) PROM NNÉ 3.4.1 Restrikce (zúºení) funkce a rovnost funkcí (A) Je dána funkce f : y = f(x), x D f a interval I D f. Funkce g : y = g(x), x I se nazývá restrikce funkce f na I, jestliºe platí g(x) = f(x) pro x I.
76 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Nap íklad, funkce g : y = x 2, x 1, 2 je restrikcí funkce f : y = x 2, x R (viz. obr. 3.41). Obrázek 3.41. Funkce g je restrikce Obrázek 3.42. Funkce f funkce f na interval 1, 2 (B) Funkce ϕ a ψ jsou si rovny (pí²eme ϕ = ψ), kdyº 1. D ϕ = D g, 2. ϕ(x) = ψ(x) pro kaºdé x spole ného deni ního oboru. P íklad: Z následujících funkcí
3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ (REÁLNÉ) PROM NNÉ 77 ϕ 1 (x) = x 2, ϕ 2 (z) = z 2, ϕ 3 (s) = s 2, ϕ 4 (t) = t 2, x (, + ), z (0, + ), s 0, + ), t (0, + ), pouze ϕ 2 = ϕ 4!
78 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ 3.4.2 Funkce monotónní, injektivní, bijektivní na intervalu M jme funkci f : D f H f a nech interval I D f obsahuje aspo dva body x 1, x 2 I. 1. Funkce f je ost e rostoucí na I, kdyº: x 1, x 2 I : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). 2. Funkce f je rostoucí na I, kdyº: x 1, x 2 I : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). 3. Funkce f je ost e klesající na I, kdyº: x 1, x 2 I : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). 4. Funkce f je klesající na I, kdyº: x 1, x 2 I : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Úkol: Rozhodn te, která z funkcí odst. 4.3.5, 4.3.6, 4.3.10 jsou rostoucí a které jsou ost e rostoucí.
3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ (REÁLNÉ) PROM NNÉ 79 5. Funkce f ost e monotónní na I, kdyº je bud' ost e rostoucí nebo ost e klesající na I. 6. Funkce f monotónní na I, kdyº je bud' rostoucí nebo klesající na I. 7. Funkce f : I do R je prostá v I (injektivní), kdyº: x 1, x 2 I : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). 8. Funkce f : I na H f je prostá na H f (bijektivní vzájemn jednozna ná), kdyº má tyto vlastnosti: (a) x 1, x 2 I : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), tj. r zné vzory mají r zné obrazy; (b) y H f x I : f(x) = y, tj. kaºdý prvek z H f je obrazem n jakého prvku z I. Úkoly: Zjist te který z následujících výrok je pravdivý? a) Je-li funkce f ost e monotónní na I, potom je prostá v I. b) Je-li funkce f prostá v I, potom je ost e monotónní na I. c) Existuje funkce, která je prostá a není ost e monotónní.
80 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Úkol: K výroku z bodu 7 formulujte výrok ekvivalentní a poté jeho negaci. Vyuºijte zákony z odst. 1.2.4. Odpov 1: Výrok ekvivalentní: x 1, x 2 I : f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Odpov 2: Negace: x 1, x 2 I : x 1 x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) ; funkce není prostá, kdyº alespo ve dvou r zných bodech nabývá stejné hodnoty. 3.4.3 Omezenost, sudost, lichost, periodi nost M jme funkci f : D f H f a interval I D f. 1. Funkce f je omezená zdola na I, kdyº: K > 0 x I K f(x). 2. Funkce f je omezená shora na I, kdyº: K > 0 x I f(x) K. 3. Funkce f je omezená na I, je-li omezená zdola i shora, tj. kdyº: K > 0 x I f(x) K. Ilustrativní p íklady: Funkce omezené (pouze) zdola: f(x) = x 2, f(x) = x 4, f(x) = e x, f(x) = 1 x
3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ (REÁLNÉ) PROM NNÉ 81 pro x > 0; funkce omezené (pouze) shora: f(x) = x 2, f(x) = 1 x pro x < 0; funkce omezené: f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = arctg x, f(x) = arccotg x. 4. Funkce f je sudá na symetrickém oboru D f, kdyº: x D f : f( x) = f(x). 5. Funkce f je lichá na symetrickém oboru D f, kdyº: x D f : f( x) = f(x). Poznámka: Deni ní obor D f je symetrický, má-li tuto vlastnost: x D f x D f. Ilustrativní p íklad: funkce y = x 2 je sudá na (, + ), funkce y = x 3 je lichá na (, + ). 6. Funkce f je periodická na D f, kdyº existuje takové íslo T > 0, ºe platí: a) x D f je x + T D f, x T D f, b) x D f : f(x + T ) = f(x). Nejmen²í íslo T spl ující tyto podmínky se nazývá základní perioda.
82 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Ilustrativní p íklady: goniometrické funkce - a dal²í (bude dopln no). Úkol: Pro funkci y = sin(3x 7) stanovte základní periodu. Výsledek: [ ] 2π 3. 3.4.4 Rovnice o jedné neznámé Úvodní informace o rovnicích najde tená v odst. 1.3. Je dána funkce f : D f R a íslo ȳ R. Úloha najít x D f takové, ºe platí rovnost f( x) = ȳ se nazývá rovnice o jedné neznámé a zapisuje se f(x) = ȳ. ƒíslo x se nazývá ko en nebo také e²ení rovnice (úlohy).
3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ (REÁLNÉ) PROM NNÉ 83 Podmínky e²itelnosti rovnice f(x) = ȳ, ȳ je dané íslo, f je daná funkce. Nech H f R je obor hodnot funkce f : D f R. 1. Kdyº ȳ H f, potom rovnice f(x) = ȳ má aspo jeden ko en x D f (viz. obr. 3.43). 2. Kdyº f je ost e monotónní na D f, potom rovnice f(x) = ȳ, ȳ R má nejvý²e jeden ko en x D f. 3. Kdyº f je ost e monotónní na D f a ȳ H f, potom rovnice f(x) = ȳ má práv jeden ko en x D f. 3. Kdyº f je prostá (bijektivní) na D f a ȳ H f, potom rovnice f(x) = ȳ má práv jeden ko en x D f (zobecn ní bodu 3) (viz. obr. 3.44).
84 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ Nap íklad: a) rovnice e x = 2 nemá e²ení (ko en) v R; b) rovnice x 2 = 2 nemá e²ení (ko en) v R; c) rovnice x 2 = 5 má dv e²ení v R; d) rovnice sin x = 2 nemá e²ení (ko en) v R; e) rovnice cos x = 1 2 má nekone né mnoho e²ení (ko en ) v R; f) rovnice cos x = 1 2 nemá e²ení (ko en) v π 2, π ; g) rovnice cos x = ȳ, ȳ 1, 1 má práv jedno e²ení (ko en) na D f = 0, π. Obrázek 3.43. Obrázek 3.44. Funkce f je prostá, ale není ost e monotónní
3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ (REÁLNÉ) PROM NNÉ 85 3.4.5 Inverzibilní a inverzní funkce Závislosti i p i azení popisované reálnou funkcí jedné reálné prom nné nemají navºdycky stanoveno, která prom nná je nezávisle prom nná a která závisle prom nná. Nap íklad m ºeme vy²et ovat závislost vý²e mzdy pracovníka (závisle prom nná) na po tu jím vyrobených výrobk za den (nezávisle prom nná). Stejn tak nás m ºe zajímat závislost po tu výrobk (závisle prom nná) na vý²i mzdy pracovníka, který je vyrábí (nezávisle prom nná). Hovo íme o inverzních závislostech, resp. o inverzních funkcích. Schematicky: Obrázek 3.45. Úkol: Hledejte ve svém okolí p íklady inverzibilních závislostí, tj. takových závislostí, které mají smysl "ob ma sm ry". Nap íklad p em ny energie, závislost tlaku na hustot v n jakém prost edí, atd. Abychom inverzibilní závislosti mohli zkoumat matematickými metodami, musíme (bohuºel) p edev²ím p esn formulovat pojmy.
86 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ P edev²ím: Inverzní funkce je vztah k jiné funkci a nikoliv vlastnost! Inverzibilita je vlastnost dané funkce! 3.4.6 Matematická denice inverzní funkce M jme prostou funkci f : D f na H f, D f R, H f R, tj. takovou, která zobrazuje deni ní obor D f na obor hodnot H f vzájemn jednozna n. Funkce f 1 : H f na D f, která kaºdému íslu y H f p i azuje jediný ko en x H f rovnice f(x) = y se nazývá inverzní funkce k funkci f. Zápisy: y = f(x) x = f 1 (y), f : D f na H f f 1 : H f na D f. Deni ní obor inverzní funkce je obor hodnot p vodní funkce Obor hodnot inverzní funkce je deni ní obor p vodní funkce Funkce f a f 1 jsou navzájem inverzní. 3.4.7 P íklady K dané funkci budeme sestrojovat funkci inverzní.
3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ (REÁLNÉ) PROM NNÉ 87 (A) Je dána funkce (restrikce lineární funkce) f : y = 2x + 1, x 1, 2 D f, y 1, 5 H f. Obrázek 3.46. Obrázek 3.47. Vidíme, ºe funkce f je ost e rostoucí na D f (x 1 < x 2 2x 1 +1 < 2x 2 +1). Rovnice 2x + 1 = y má pro kaºdé y H f jediný ko en x D f a dokonce jej umíme vypo ítat: x = y 1 2 = y 2 1 2. Inverzní funkce je tedy denována takto: f 1 : x = y 2 1 2. P ipome me, ºe u f 1 x zna í závisle prom nnou a y nezávislé prom nnou.
88 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ 3.4.8 Logaritmická funkce (A) P irozená logaritmická funkce je dána p edpisem f : y = ln x, D f = (0, + ), H f = R, kde p i azení x y je dáno rovnicí e y = x, e = 2, 718281825..., tj. kaºdému x (0, + ) je p i azen jediný ko en y R dané rovnice. Tento ko en se nazývá logaritmus ísla x p i základu e. P irozená logaritmická funkce je tedy denována jako inverzní funkce k p irozené exponenciální funkci z odst. 4.3.7. Graf: