Jiří Petržela
vlastnosti lineárních obvodů přechodný děj obvodu je vždy tlumený, trvá omezenou dobu a je dán jeho vlastnostmi, počátečními podmínkami a buzením ustálený stav nezávisí na počátečních podmínkách spektrum signálu na výstupu obvodu je stejné jako spektrum signálu na vstupu platí princip superpozice, na kterém jsou založeny všechny efektivní metody analýzy těchto obvodů
vlastnosti nelineárních obvodů neplatí princip superpozice změna spektra zpracovávaných signálů (přesun energie ve spektru) na výstupu jsou jiné kmitočtové složky než na vstupu existence několika ustálených stavů, přičemž který ze stavů nastane závisí na počátečních podmínkách daný ustálený stav dává možnost usoudit o stavu obvodu v minulosti (paměť a hystereze)
Obr. 1: Různé druhy nelineárních obvodů.
parametry nelineárního dvojpólu nebo dvojbranu statický parametr P diferenciální parametr diferenční parametr = y x P = P d Δ = Q = d y d x Δ Δ y x Y X Q Q 0 0
Obr. 2: Grafická interpretace jednotlivých parametrů dvojpólu nebo dvojbranu.
parametry řízeného dvojpólu nebo dvojbranu jeden statický parametr z= Z tři diferenciální parametry ( x, z) y f P ( x, z) = = = x x P ( x z) z= Z Y X 0 0 0 ( x, z) d y d f, = = Z d x d x d = z= Z 0 z= Z 0 0 Z 0 0 K d ( x, z) = d y d z x= X 0 = d ( x, z) f d z x= X 0
A d ( x, z) = d x d z tři diferenční parametry P Δ, A Δ, K Δ dostaneme záměnou diferencí za derivace, tedy Δ d y Y = 0 = K P d d Obr. 3: Parametry řízeného dvojpólu nebo dvojbranu.
odlišnosti metod pro neexistuje žádná univerzální metoda používají se přibližné metody je-li to možné provedeme linearizaci postup analýzy seznámení se s funkcí obvodu z kvalitativního hlediska analýza obvodu vedoucí k získání nejdůležitějších parametrů
simulace a modelování nelineárního obvodu na počítači používané metody grafické graficko-početní analytické numerické
metoda tří rovin FT Obr. 4: Relativnost pojmů velký a malý signál, lineární záležitost.
FT Obr. 5: Relativnost pojmů velký a malý signál, uplatní se nelinearita.
Obr. 6: Konstrukce výsledné charakteristiky dvou nelineárních rezistorů.
první bod (A) přímky je dán u N = 0 i = u / R a pro druhý bod (B) přímky platí in = 0 un = u Obr. 7: Demonstrace metody zatěžovací přímky.
převodní charakteristika zatěžovací přímka pracovní charakteristika Obr. 8: Odvození pracovní charakteristiky mezi vstupem a výstupem.
analytické metody výsledek řešení je analytický výraz v obecném tvaru řešení pro libovolné parametry i počáteční podmínky soustava nelineárních diferenciálních rovnic představuje matematicky náročný problém, často neřešitelný snaha po zjednodušování
pro využití analytických metod potřebujeme popis nelineárních charakteristik vhodnými výrazy aproximace charakteristik analytický zápis budícího signálu x(t) řešením získáme časový průběh odezvy y(t) lze provést harmonickou analýzu výstupního signálu Y(ω), tímto určujeme spektrum
setrvačný nelineární obvod je obecně popsán 2 d x d x F x,, 2 d t d t,..., n d x n d t u buzených obvodů je tato rovnice nehomogenní = 0 u autonomních obvodů je čas nezávislou proměnnou vyšších řádů je obtížné, proto se snažíme na úkor přesnosti vyšší derivace zanedbat a řešení zjednodušovat
principy zjednodušování řešení princip kompenzace (viz přednáška 1) princip rozštěpování uzlů princip rozpojování zkratů aplikací Théveninova teorému (viz přednáška 1) aplikací Nortonova teorému (viz přednáška 1)
Obr. 9: K principu rozštěpování uzlů a rozpojování zkratů.
další principy využitelné při řešení idealizace jednodušší výpočtové schéma linearizace (eliminace nelineárních prvků) úplná eliminace akumulačních prvků statický model náhrada nelineárních akumulačních prvků modelem rozklad obvodu a jeho postupné řešení po částech rozklad řešení na kmitočtová pásma
Obr. 10: Princip postupného řešení, směr od zátěže.
princip rozkladu na kmitočtové pásma pro každé kmitočtové pásmo řešíme obvod zvlášť pomocí odpovídajících zjednodušených modelů nejčastější je rozdělení na tři pásma oblast nízkých kmitočtů oblast středních kmitočtů oblast vysokých kmitočtů
příklad na řešení tranzistorového zesilovače v zapojení se společným emitorem rozkladem na kmitočtová pásma obvod obsahuje vazební i parazitní kapacity Obr. 11: Schéma zapojení jednostupňového tranzistorového zesilovače.
prvek pásmo 1 pásmo 2 pásmo 3 pásmo 4 pásmo 5 C v ponechat zkrat zkrat zkrat zkrat C e rozpojit rozpojit ponechat zkrat zkrat C be rozpojit rozpojit rozpojit rozpojit ponechat C bc rozpojit rozpojit rozpojit rozpojit ponechat C p rozpojit rozpojit rozpojit rozpojit ponechat Obr. 12: Kmitočtová závislost modulu přenosu tranzistorového zesilovače.
analytické metody metoda stavových proměnných metoda linearizace diferenciálních rovnic metoda ekvivalentní linearizace metoda pomalu se měnící amplitudy izokliny (graficko-početní metoda) simulace obvodů na počítači (numerická metoda)
metoda stavových proměnných hlavní stavové rovnice vedlejší stavové rovnice d s = f d t x = f ( s,, t) 1 y ( s,,t) 2 y rychlost změny stavů vektor stavových proměnných vektor obvodových veličin vektor budicích veličin
stavy a děje v elektronickém obvodě stavem rozumíme souhrn hodnot obvodových veličin v určitém časovém okamžiku děj je posloupnost stavů, které za sebou následují v čase pracovní bod je obrazem stavu stavová trajektorie je obrazem děje výchozí Pv a klidový Pk pracovní bod specifikuje začátek a konec děje
Obr. 13: Definice pracovního bodu a limitního cyklu.
Obr. 14: Přehled typických stavových portrétů dynamických systémů 2. řádu.
metoda linearizace diferenciálních rovnic spočívá v aproximaci charakteristiky nelineárního prvku několika na sebe navazujícími přímkami přechod od nelineární diferenciální rovnice k několika lineárním stavový prostor je rozdělen na lineární oblasti, pro každou oblast platí jiná rovnice dílčí rovnice se často liší pouze hodnotami koeficientů získanou soustavu rovnic lze řešit analyticky některou ze známých metod
v prvním úseku od A do B platí diferenciální rovnice 1 i() t dt + U R () p + 1i t = U 0 C a v druhém úseku nabíjení kondenzátoru platí 1 i() t dt + R () 2i t = U 0 C u=r 1 i+up Obr. 15: Příklad k metodě linearizace diferenciálních rovnic.
metoda ekvivalentní linearizace spočívá v náhradě nelineárního odporu R N fiktivním lineárním s modifikovaným (středním) odporem R S definovaným poměrem amplitud prvních harmonických R S = U = ( ) 1 / I1 f I1 parametr R S je závislý na velikosti budící veličiny a poloze pracovního bodu obdobně jsou definovány i jiné parametry, například modifikovaná strmost, přenosová admitance nebo kapacita platí zde princip harmonické a energetické rovnováhy
z charakteristik je patrný rozdíl mezi diferenciálním P d a středním P S parametrem Obr. 16: Ke kvazilineární metodě.
Obr. 17: Příklad aplikace kvazilineární metody v prostředí Mathcadu.
metoda pomalu se měnících amplitud amplituda kmitů se mění pomalu ve srovnání s časovou konstantou obvodu hledáme časovou změnu amplitudy místo změny okamžitých hodnot snížíme řád rovnice Obr. 18: K metodě pomalu se měnících amplitud.
dynamický vs. statický model hledáme obvodové veličiny za předpokladu, že se mění velmi pomalu derivace podle času rovny nule náhrada induktoru zkratem a kapacitoru rozpojením větve dil duc ul = L = 0 ic = C = 0 dt dt Obr. 19: Náhrada nelineárního setrvačného obvodu statickým obvodem.
obvod lze popsat soustavou diferenciálních rovnic ( ) ( ) ( ) 0 0 0 / / 3 3 3 1 2 3 1 1 1 1 2 0 2 2 3 = + = + = + dt di L R i u u i u i dt du u C R u u R u i po zjednodušení dostáváme ( ) ( ) 0 0 0 / / 3 3 1 2 3 1 1 2 0 2 2 3 = + = = + R i u u i u i R u u R u i této soustavě rovnic odpovídá rezistivní obvod
numerické řešení sestavíme stavové rovnice (soustava diferenciálních rovnic) k řešení využíváme programy typu Matlab a Mathcad, jejichž vestavěné funkce využívají iterační předpisy nelineární obvod je popsán rovnicí F ( x) = 0 řešení musí konvergovat k hledanému kořenu x obecný rekurentní předpis x = k + 1 Ψ k, [ x F( x) ]
numerické řešení výpočet ukončíme, když rozdíl výsledků následujících posledních kroků je menší než dovolená chyba numerické metody Pickardova iterace metoda regula-falsi xk + 1 xk iterace Newton-Raphsonova Δ
postup při numerickém řešení uvažovaný nelineární obvod rozdělíme na lineární podobvod a nelineární odpor R N lineární část nahradíme Théveninovým ekvivalentem Obr. 20: K řešení nelineárního obvodu iteračními postupy.
Pickardova iterace iterační předpis je x k +1 = x k F ( x ) k pro zajištění konvergence musí bod U 3 ležet mezi U 1 a U 2 zdroj proudu řízený z předchozího kroku Obr. 21: K řešení nelineárního obvodu Pickardovým iteračním postupem.
iterace regula-falsi (metoda sečen) iterační předpis lze zapsat ve tvaru x0 x xk + 1 = xk F x F k ( ) ( x ) metoda je vždy konvergentní, ale pomalejší statický odpor z předchozího kroku 0 k F ( x ) k Obr. 22: K řešení nelineárního obvodu iteračním postupem regula-falsi.
iterace Newton-Raphsonova (metoda tečen) iterační předpis můžeme vyjádřit jako F xk xk +1 = xk F x ( ) ( ) k nejpoužívanější metoda, rychlá, existuje několik modifikací dynamický odpor a zdroj napětí Obr. 23: K řešení nelineárního obvodu Newton-Raphsonovou metodou.
řešení setrvačných nelineárních obvodů obvody mohou obsahovat i nelineární akumulační prvky vede na integraci nelineárních diferenciálních rovnic integrační metody explicitní implicitní pracují na principu náhrady derivací diferencemi
metody zjištění hodnoty určitého integrálu obdélníková metoda lichoběžníková metoda Simpsonova metoda nejpoužívanější integrační metody Eulerova, jednokroková nebo modifikovaná Runge-Kuttova, přesnost výpočtu podle řádu
Eulerova metoda n+ 1 = yn + h ( x y ) y f, je to metoda jednoduchá, ale nepřesná n n využívá extrapolaci přímkou je zde podobnost s lichoběžníkovou metodou kvůli možné numerické nestabilitě je v programu vhodná implementace automatické změny délky kroku chyba metody je přibližně 2 Δ h
modifikovaná Eulerova metoda k k y 1 2 = = n+ 1 h h = y f f n ( x, y ) n ( x + h / 2, y + k / 2) + n k 2 n n 1 jednokrokové metody vyšších řádů rozšiřují Eulerovu metodu o další stupně Taylorova rozvoje funkce aproximace y n+1 je určena nejen na základě hodnot x n a y n, ale také na hodnotách mezi nimi chyba metody je přibližně 3 Δ h
Runge-Kuttova metoda čtvrtého řádu ( ) ( ) ( ) ( ) 6 / 3 / 3 / 6 /, 2 / 2, / 2 / 2, /, 4 3 2 1 1 3 4 2 3 1 2 1 k k k k y y k y h x f h k k y h x f h k k y h x f h k y x f h k n n n n n n n n n n + + + + = + + = + + = + + = = + nejpoužívanější metoda, obsahuje ji Matlab i Mathcad chyba metody je přibližně 5 Δ h
příklad na usměrňovač s kapacitní zátěží obvod popíšeme stavovou rovnicí charakteristika diody je dána exponenciálou i d = I ( ( ) ) 9 exp a u 1 I = 10 a 40 0 d 0 = optimální velikost kroku integrace je kompromisem mezi přesností a rychlostí výpočtu zjistíme experimentálně se zvyšující se kapacitou na výstupu se zmenšuje zvlnění výstupního napětí a zvyšuje jeho střední hodnota
parametry diody stavovou proměnnou je napětí na kondenzátoru počáteční podmínka vstupní signál Obr. 24: Implementace Eulerovy integrační metody v prostředí Mathcadu.
h=5 10-5 h=10-5 h=10-6 Obr. 25: Důsledky špatné volby kroku Eulerovy integrační metody, Mathcad.
Obr. 26: Jednocestný usměrňovač s C=100μF, C=4μF a C=500nF, Mathcad.
lineární rezistor počáteční napětí na kapacitoru numerická integrace vestavěnou funkcí Obr. 27: Typické časové průběhy lineárního obvodu prvního řádu v Mathcadu.
nelineární rezistor řízený napětím hodnota kapacitoru integračního článku neharmonické odezvy pro různé počáteční podmínky Obr. 28: Stavové portréty nelineárního obvodu prvního řádu v Mathcadu.
nelineární rezistor řízený proudem stavovými proměnné i L a u C počáteční podmínky pro i L a u C Obr. 29: Skript pro výpočet časových průběhů stavových veličin v Mathcadu.
buzení impulsem harmonické buzení Obr. 30: Stavové portréty lineárního obvodu 2. řádu pro R=100Ω, Mathcad.
buzení impulsem harmonické buzení Obr. 31: Stavové portréty lineárního obvodu 2. řádu pro R=10Ω, Mathcad.
Obr. 32: Stavové portréty nelineárního obvodu druhého řádu, Mathcad.
Obr. 33: Skript pro výpočet časových průběhů stavových veličin v Mathcadu.
Obr. 34: Skript pro výpočet časových průběhů stavových veličin v Mathcadu.
po částech lineární rezistor reálné hodnoty součástek Obr. 35: Skript pro výpočet časových průběhů stavových veličin v Mathcadu.
Obr. 36: Stavové portréty chaotického Chuova oscilátoru v Mathcadu.
působení harmonických zdrojů na nelineární rezistor v nelineárních obvodech vzniká změna tvaru signálu změna spektra (přesun energie ve spektru) i ve spektrální oblasti lze popsat chování obvodu možnosti určení spektrální odezvy analyticky, při aproximaci nelineárních charakteristik numericky obvodový simulátor Pspice, Microcap programy typu Matlab nebo Mathcad
používané typy aproximací pro kmitočtovou odezvu lomená přímka výstupním signálem jsou oříznuté části harmonického signálu na vstupu nelineárního prvku spektrální složky výstupního signálu jsou funkcemi úhlu otevření, tedy I n =α n (φ)i m grafické vyjádření této závislosti je Schulzův diagram, průběhy vykazují extrém (optimum)
používané typy aproximací pro kmitočtovou odezvu mocninové polynomy rekurentní vztahy exponenciálou Besselovy funkce prvního nebo n-tého řádu možnosti praktického využití nelineárních obvodů při působení více harmonických zdrojů různých kmitočtů na nelineární prvek mohou vznikat kombinační kmitočty ω = k ω + k ω +... + i 1 1 2 2 k n ω n
Obr. 37: Průběhy proudu na různých nelineárních rezistorech v Mathcadu.
Obr. 38: Kmitočtová spektra proudů nelineárními rezistory v Mathcadu.
Obr. 39: Průběhy proudu na různých nelineárních rezistorech v Mathcadu.
Obr. 40: Kmitočtová spektra proudů nelineárními rezistory v Mathcadu.
děkuji za pozornost otázky? 15.12.2009