SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá
Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru Ω P jsou stochasticy ezávislé vzhledem P rávě dyž Platí: Nechť je áhodý vetor jsou říslušá margiálí distribučí fuce ro i. Pa áhodé veličiy... jsou stochasticy ezávislé rávě dyž Libor Žá : P P P Β T i F i i : T F F F R SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Dále latí: T Nechť je disrétí áhodý vetor i i i jsou říslušá margiálí ravděodobostí fuce ro i. Pa áhodé veličiy... jsou stochasticy ezávislé rávě dyž T R : T Nechť je sojitý áhodý vetor f i i i jsou říslušá margiálí hustoty ravděodobosti ro i. Pa áhodé veličiy... jsou stochasticy ezávislé rávě dyž T R : f f f
SP Náhodý vetor Libor Žá Náhodý vetor T ezávislost Poud ro všecha R latí: F F F a složy áhodého vetoru azýváme ezávislé. V říadě disrétího áhodého vetoru dostáváme: V říadě sojitého áhodého vetoru dostáváme: f f f
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Dále latí: Nechť ezávislé a T je áhodý vetor a... jsou stochasticy a oud eistují středí hodoty E i i a E E E b oud eistují a jsou oečé středí hodoty E i a C 0 i j i j i D i D i i i c echť i a j jsou ezávislé áhodé roměé a i j 0 j d ro borelovsé fuce y jsou áhodé veličiy i g i i Y g i stochasticy ezávislé. i i
Náhodý vetor fuce áhodého vetoru Nechť je zobrazeí se složami Zobrazeí se azývá regulárí v možiě dyž: M je otevřeá Fuce mají sojité rví derivace 3 de je Jaobiá Libor Žá g R R : T g g g g M R 0 det : g J M j i j i g J. g g g SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV Libor Žá Náhodý vetor fuce áhodého vetoru T Nechť je sojitý áhodý vetor s hustotou ravděodobosti a y g je regulárí a rosté zobrazeí a f otevřeé možiě G ro iž latí: G f d Pa áhodý vetor f Y y Y g f g má hustotu: ydet J g 0 y y g jia G
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV Libor Žá Náhodý vetor fuce áhodého vetoru T Nechť je disrétí áhodý vetor s ravděodobostí fucí a g : R R je borelovsá fuce. Pa ravděodobostí fuce Y y trasformovaé áhodé veličiy Y g je dáa vztahem: Y y Gy Gy R g y 0 jia
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV Libor Žá Náhodý vetor fuce áhodého vetoru T Nechť je sojitý áhodý vetor s hustotou ravděodobosti f a R g : R je borelovsá fuce. Pa hustota f Y y trasformovaé áhodé veličiy Y g je dáa vztahem f y y G Y y f d d Gy R g y 0 jia
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV Libor Žá Náhodý vetor vybraá rozděleí a fuce NV Nechť jsou stochasticy ezávislé sojité áhodé roměé s hustotou ravděodobosti f f. Pa áhodá veličia Y= + má hustotu: ebo Jedá se o ovoluci hustot f f. f Y f Y f f y y d f y f y d
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV Libor Žá Fuce áhodého vetoru - řílady Přílad: T Nechť je áhodý vetor se sdružeou hustotou ravděodobosti: 0 [ ] 6 0 f 0 jia Určete ty rozděleí Y Přílad: T Nechť je áhodý vetor a... jsou stochasticy ezávislé ~ A i. Určete ty rozděleí Y. i Y í i
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV Libor Žá Fuce áhodého vetoru - řílady Přílad: Nechť ~ N0. Určete ty rozděleí Y. Platí: Nechť U i ~ N0 i Pa jsou stochasticy ezávislé veličiy. Y i U i ~ Platí: Nechť ~ ~ jsou stochasticy ezávislé veličiy. Pa Y ~
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV Libor Žá Fuce áhodého vetoru - řílady Platí: Nechť ~ N0 ~ jsou stochasticy ezávislé.. Pa Y ~ t Platí: Nechť ~ ~ jsou stochasticy ezávislé.. Pa Y ~ F
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Gama fuce Γ Gama fuce ědy taé ozačovaá jao Eulerův itegrál druhého druhu je zobecěím fatoriálu ro obor omleích čísel. Pro >0 je defiovaá ve tvaru: Vlastosti: a je sojitá ro aždé >0 a má sojitou derivaci 0 t t e dt b!! N c d e t t e l t dt 0 3
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Gama fuce Γ Graf Γ ro reálé
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Gama fuce Γz z-omleí reálá část Γz imagiárí část Γz absolutí hodota Γz
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Gama fuce Γz z-omleí absolutí hodota Γz
eta fuce taé ozačovaá jao Eulerův itegrál rvího druhu je zobecěím ombiačího čísla. Pro >0 je defiovaá ve tvaru: Vlastosti: a b c d eta fuce Libor Žá 0 0 : 0 dt t t 0 0 : 0 dt t t 0 : 0 SP Náhodý vetor Dodate
Náhodá veličia s Gama rozděleím ~Γ λ je zobecěím Erlagova rozděleí ro R λr λ>0 má hustotu ravděodobosti: Gama rozděleí Γ λ Libor Žá Charateristiy: - stejé jao u Erlagova rozděleí středí hodota: roztyl: oef. šimosti: oef. šičatosti: jia e f 0 0 E D A 3 A 6 3 3 6 4 SP Náhodý vetor Dodate
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Gama rozděleí Γ λ ѳ = /λ
Náhodá veličia s eta rozděleím ~ α β α β R α β >0 má záladí rostor Z = R a hustotu ravděodobosti: eta rozděleí α β Charateristiy: středí hodota: roztyl: Libor Žá Rozděleí ; odovídá rovoměrému sojitému rozděleí a itervalu 0 f E D f SP Náhodý vetor Dodate
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá eta rozděleí α β
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Pearsoovo χ rozděleí χ Náhodá veličia má arsoovo χ rozděleí χ s stui volosti N. Hustota ravděodobosti: f 0 e 0 jia Charateristiy: středí hodota: E roztyl: oef. šimosti: D 4 A3 0
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Pearsoovo χ rozděleí χ Pozáma: Seciálí říad Γ-rozdělei s arametry = / a λ = ½. Rozdělei součtu vadratů ezávislých ormovaých ormálích veliči.
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Studetovo t - rozděleí t Náhodá veličia má Studetovo t- rozděleí t s stui volosti N. Hustota ravděodobosti: f 0 0 jia Charateristiy: středí hodota: roztyl: E 0 ro D ro 3 oef. šimosti: mediá: A3 0 ro 4 ~ 0
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Studetovo t - rozděleí t
Náhodá veličia má Fischerovo F- rozděleí F s stui volosti N. Hustota ravděodobosti: Fischerovo-Sedecorovo rozděleí F Charateristiy: středí hodota: roztyl: Libor Žá Pozáma: je beta fuce ro E 0 d 5 ro 4 D f SP Náhodý vetor Dodate
SP Náhodý vetor Dodate Libor Žá Fischerovo-Sedecorovo rozděleí F