Matematická statistika (Opravená a rozšířená verze textu přednášky z LS 2001/2002)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematická statistika (Opravená a rozšířená verze textu přednášky z LS 2001/2002)"

Transkript

1 Matematicá statistia (Opraveá a rozšířeá verze textu předášy z LS 00/00) Záladí Jaroš Fratiše a oletiv : Pravděpodobost a statistia, VŠCHT, Jarušová Daiela : Pravděpodobost a matematicá statistia, ČVUT, Jarušová Daiela, Hála Marti : Pravděpodobost a matematicá statistia Přílady, ČVUT, Jarušová Daiela, Hála Marti : Pravděpodobost a matematicá statistia Tabuly, ČVUT, Pavlí Jiří a oletiv : Sbíra příladů z pravděpodobosti a statistiy, VŠCHT, Rogalewicz Vladimír : Pravděpodobost a statistia pro ižeýry, ČVUT, 998. Doplňová Aděl Jiří : Matematicá statistia, SNTL, Aděl Jiří : Statisticé metody, Matfyzpress, Dupač Václav, Hušová Marie : Pravděpodobost a statistia, Karolium, Havrda Ja, Mía Staislav, Přiryl Petr : Numericé metody a matematicá statistia, ČVUT, Lieš Jiří, Mache Josef : Matematicá statistia, SNTL, Lieš Jiří, Mache Josef : Počet pravděpodobosti, SNTL, Réyi Alfréd : Teorie pravděpodobosti.. Úvod.. Matematicá statistia je obor, terý a jedé straě velmi úzce souvisí s teorií pravděpodobosti, ebot' je založe a stejých záladích pojmech, používá v zásadě stejé postupy jao oa a podstatě využívá jejích výsledů, ale a straě druhé se od í výzamě liší. Tato rozdílost mezi oběma teoriemi je dáa tím, že typy úloh, teré řeší matematicá statistia, jsou zpravidla zcela jié ež úlohy pravděpodobostí a v jistém smyslu jsou im dooce opačé. Úlohy teorie pravděpodobosti zpravidla vycházejí ze zalosti přesých, sutečých pravděpodobostí záladích áhodých jevů a a záladě zalosti těchto pravděpodobostí se hledají pravděpodobosti jiých, zpravidla složitějších áhodých jevů. Z "pravděpodobostí" zalosti áhodých veliči, apř. ze zalosti pravděpodobostí fuce u disrétích áhodých veliči resp. ze zalosti distribučí fuce ebo hustoty pravděpodobosti u absolutě spojitých áhodých veliči, se odvozují číselé charateristiy těchto áhodých veliči, jao jsou apř. středí hodota, rozptyl, obecé či cetrálí momety, orelačí oeficiety, vatily apod., dělají se závěry o vlastostech těchto áhodých veliči, apř. o jejich vzájemé ezávislosti, určují se pravděpodobosti toho, že tyto veličiy abudou jistých hodot ebo hodot z jistých itervalů, apod. Lze tedy říci, že v teorii pravděpodobosti předpoládáme, že záme sutečé rozděleí pravděpodobostí záladích áhodých veliči resp. matematicý model záladího souboru áhodých jevů. Naproti tomu ve statisticých úlohách je situace zpravidla v jistém smyslu opačá. Víme apř., že astaly určité jevy z jistého záladího souboru áhodých jevů, a chceme odhadout, jaé měly tyto jevy pravděpodobosti. Nebo jsme zísali pousem, pozorováím či měřeím určitý počet hodot zoumaé áhodé veličiy, jejíž rozděleí pravděpodobosti ezáme, a chceme a záladě těchto dat odhadout buď toto ezámé rozděleí ebo alespoň ěteré číselé charateristiy zoumaé áhodé veličiy, apř. středí hodotu ebo rozptyl, a a záladě taových odhadů pa případě dělat další závěry. Obecě tedy můžeme říci, že matematicá statistia se saží formulovat závěry a tvrzeí o áhodých veličiách a záladě dat zísaých pousem, pozorováím ebo měřeím, tj. a záladě zámých realizací áhodých veliči. Malou uázou typicého statisticého uvažováí je ásledující jedoduchý přílad... Přílad. Představme si, že máme mici, o íž máme rozhodout, zda je přesě symetricá a homogeí. Statisticou metodou to lze provést ásledujícím způsobem.

2 M6b-06-Statistics.b Hodíme -rát micí a zazameáme, olirát z těchto hodů pade lev. Z teorie pravděpodobosti víme, že počet lvů v micích je áhodá veličia X s biomicým rozděleím pravděpodobosti s parametry a p, de p je pravděpodobost, že v jedom hodu pade lev. To zameá, že pravděpodobost, že lev pade v hodech -rát, je dáa formulí P@X = D = J N p H pl. Je-li mice symetricá a homogeí, je p =, v opačém případě je p. Máme tedy rozhodout, zda platí p = ebo p. Řeěme, že jsme hodili micí 0000-rát, přičemž lev padl 50-rát. Je-li mice symetricá a homogeí, pa s použitím cetrálí limití věty můžeme celem sado vypočítat, že P@»X 5000» > 00D = P@X > 500D U Φ i y j è!!!!!!!!!!!! z = è!!!!!!! 500 π t ê t U 0.03 = 4.6 %. Jiými slovy, pravděpodobost, že počet lvů v ašich 0000 hodech se liší od průměré středí hodoty 5000 liší o více ež 00, je v případě symetricé a homogeí mice pouze 4.6%. To zameá, že za předpoladu, že mice je symetricá a homogeí, áš pous sočil výsledem, terý byl před pousem velmi epravděpodobý. Předpolad symetrie tedy asi eplatí a proto rozhodeme, že mice symetricá a homogeí eí. Nemůžeme si tím být sice zcela jisti, ale spolehlivost tohoto rozhodutí, ja se ve statistice říá, je velá, orétě 95.4%. Teto způsob uvažováí je typicý pro moho statisticých metod, speciálě pro tzv. testováí hypotéz. V ašem příladě jsme staovili hypotézu "mice je symetricá a homogeí" a a záladě výsledu pousu (0000 hodů micí) jsme tuto hypotézu dostatečě spolehlivě (95.4%) zamítli. Kdyby při ašem pousu lev padl pouze, řeěme, 508-rát, byla by situace poěud jiá, eboť tetorát bychom dostali, že P@»X 5000» > 80D = P@X > 5080D U Φ i 8ê y j è!!!!!!!!!!!! z = è!!!!!!! 500 π t ê t U = %. Výslede s taovouto pravděpodobostí se vša epovažuje za až ta velmi epravděpodobý a my bychom emohli aši hypotézu o symetrii a homogeitě mice zamítout s dostatečě velou pravděpodobostí (spolehlivost ašeho zamítutí by byla je 89%). Jao hraice mezi "velmi epravděpodobý" a "e ta velmi epravděpodobý" výslede se obvyle používá pravděpodobost 5%. Tato hraičí hodota je tzv. hladia výzamosti a začí se α. Volba hodoty této hraice je silě subjetiví záležitostí a může se měit ja v závislosti a řešeém problému, ta i a závažosti důsledů přijetí ebo zamítutí hypotézy.. Náhodý výběr a statistiy.. Ze zušeosti je zámo, že výsledy většiy pousů ja laboratorích, ta provozích, usutečňovaých při fyziálím, chemicém, techicém i jiém výzumu se vyzačují jistými áhodými flutuacemi. Velmi často je povaha experimetu taová, že experimetálě zísaá data jsou ve své podstatě realizacemi jedorozměré ebo vícerozměré áhodé veličiy se zcela určitým typem rozděleí pravděpodobosti. Podobě se v moha případech chovají i data charaterizující jedotlivé čley velého souboru, tj. údaje o áhodě vybraých čleech taového souboru lze též často považovat za realizace jisté áhodé veličiy. Tato áhodá veličia se obvyle azývá záladí soubor ebo populace a oečé možiy jejích hodot, teré zoumáme a a jejichž záladě prostředy teorie pravděpodobosti vyvozujeme závěry o celém záladím souboru, jsou tzv. výběrové soubory. Uazuje se, že vhodým matematicým pojmem postihujícím taovéto situace je pojem áhodého výběru... Defiice. Nechť X je áhodá veličia s jistým rozděleím pravděpodobosti F. Tuto áhodou veličiu azveme záladím souborem eboli populací. Náhodým výběrem o rozsahu, přesěji prostým áhodým výběrem o rozsahu ze záladího souboru X ebo ebo též áhodým výběrem o rozsahu z rozděleí F azveme

3 M6b-06-Statistics.b 3 libovolou posloupost (vetor) =HX,..., X L ezávislých áhodých veliči majících stejé rozděleí pravděpodobosti jao áhodá veličia X. Možiu všech hodot, jichž může áhodá veličia abývat, azveme výběrovým prostorem a aždý bod tohoto prostoru, tj. možou orétí hodotu áhodého vetoru, azveme realizací áhodého výběru..3. Pozáma. Náhodá veličia je z matematicého hledisa reálá resp. vetorová fuce a pravděpodobostím prostoru. Defiičím oborem záladího souboru X je tedy jistý, většiou ale ezámý pravděpodobostí prostor HW, A, PL, jehož prvy-elemetárí áhodé jevy můžeme iterpretovat jao reprezetaty souborů všech áhodých fatorů ovlivňujících výslede experimetu či pozorováí. Přirozeým defiičím oborem áhodého výběru =HX,..., X L z tohoto záladího souboru pa eí prostor HW, A, PL, ale pravděpodobostí prostor HW, A, QL, de W je obvylý -ásobý artézsý souči W äwäωäw, A je ejmeší s-algebra podmoži prostoru W obsahující všechy možiu tvaru A ä A äωä A, de A i, i =, Ω,, jsou libovolé prvy s- algebry A, a pravděpodobost Q je jedozačě charaterizováa platostí vztahu QHA ä A äωä A L = i= PHA i L pro libovolé prvy A,ΩA ze s-algebry A..4. Pozáma. Výběrovým prostorem je zpravidla Ñ ebo -rozměrý iterval. Abychom se vyhuli jistým ompliacím, budeme vždy implicitě předpoládat, že výběrový prostor je borelovsá podmožia prostoru Ñ, tj. je prvem ejmeší s-algebry podmoži prostoru Ñ obsahující všechy -rozměré itervaly..5. Pozáma. Je-li záladí soubor X p-rozměrý, jsou všechy áhodé veličiy v áhodém výběru =HX,..., X L z tohoto záladího souboru taé p-rozměré. Je-li p, potom aždá realizace výběru je vlastě matice typu Hp, L resp. H, pl v závislosti a oveci. V dalším výladu budeme implicitě předpoládat p =, poud ebude řečeo ěco jiého, i dyž většia z ásledujících úvah a tvrzeí zůstává po víceméě zřejmých modifiacích v platosti i pro p >..6. Přílad. Představme si, že jistým přesě defiovaým postupem zjišťujeme obsah určité chemiálie, apř. yseliy chlorovodíové v ějaém roztou. Na možství HCL ve zoumaém roztou můžeme pohlížet jao a áhodou veličiu X s jistým rozděleím pravděpodobosti F, terá může abývat hodot 0-00 [%]. Tato áhodá veličia představuje záladí soubor, áhodý vetor =HX,..., X L, terý představuje obsah HCL v možém výběru vzorů, je áhodým výběrem o rozsahu z rozděleí F a možé výsledy aalýzy těchto vzorů, tj. -tice Hx,..., x L čísel z itervalu X0, 00\, tvoří výběrový prostor. Vybereme-li áhodě -tici vzorů a provedeme jejich aalýzu, dostaeme orétí prve výběrového prostoru, tj. realizaci áhodého výběru. Defiičím oborem záladího souboru je jistý pravděpodobostí prostor HW, A, PL, terý ezáme. Prvy možiy W můžeme v tomto případě považovat apř. za reprezetaty všech možých experimetů, z ichž aždý spočívá v aalýze jedoho z možých vzorů zoumaého roztou. Aalýza áhodě vybraých vzorů je tedy reprezetováa uspořádaou -ticí Hw, Ω, w L prvů možiy W a X i je áhodá veličia, terá této -tici přiřazuje výslede aalýzy i- tého vzoru. Jiou možostí je iterpretovat prvy možiy W přímo jao výsledy aalýz všech možých vzorů, tj. jao prvy itervalu X0, 00\. Při této iterpretaci je X ideticé zobrazeí tohoto itervalu do Ñ a áhodá veličia X i prostě -tici Hw, Ω, w L přiřazuje číslo w i..7. Z dat zísaých pousem ebo pozorováím, tj. z realizací áhodých výběrů, se zpravidla vypočítávají hodoty růzých uazatelů, apř. průměrá hodota, miimálí ebo maximálí hodota, apod. Něteré z těchto uazatelů umožňují stručě a přehledě shrout aměřeé výsledy, jié zase umožňují určité závěry o rozděleí pravděpodobosti pozorovaých áhodých veliči a ěteré mohou být i oečým cílem pousů. Např. při opaovaém zjišťováí ocetrace ějaé láty v áhodě vybraých vzorcích roztou, viz přílad.6, jde oec oců o staoveí ocetrace této láty v celém roztou a smyslem opaováí je zmešeí chyby výsledu a vyloučeí případých hrubých omylů. Jestliže metoda staoveí je taová, že středí hodota všech veliči X i je rova sutečé hodotě ocetrace, tj. eí-li metoda měřeí zatížea systematicou chybou, pa jde vlastě o úlohu zjištěí středí hodoty určitého rozděleí pravděpodobosti. Ituitivě je jasé, že tuto sutečou ocetraci můžeme odhadout aritmeticým průměrem aměřeých hodot x,..., x, tj. číslem ñ = x i, i=

4 4 M6b-06-Statistics.b a že teto odhad asi bude tím lepší, čím větší bude. Je vša taé zřejmé, že pro aalýzu jiých vzorů, tj. pro jiou realizaci áhodého výběru =HX,..., X L bude teto odhad jiý. To zameá, že teto aritmeticý průměr má též áhodý charater a představuje realizaci áhodé veličiy tj. realizaci aritmeticého průměru veliči X,..., X. = X i, i= Náhodá veličia je příladem tzv. statistiy eboli výběrové charateristiy áhodého výběru..8. Defiice. Statistiou eboli výběrovou charateristiou áhodého výběru =HX,..., X L se azývá aždá fuce tvaru ghx,..., X L, de g je borelovsy měřitelá fuce, jejíž defiičí obor obsahuje výběrový prostor příslušý výběru..9. Pozáma. Možia A ÕÑ se azývá borelovsá, je-li prvem ejmeší s-algebry a Ñ obsahující všechy otevřeé podmožiy prostoru Ñ. Reálá resp. vetorová fuce g se azývá borelovsy měřitelá, jestliže její defiičí obor je borelovsy měřitelá možia a možia g - HGL je borelovsy měřitelá pro aždou otevřeou podmožiu G jejího oboru hodot. Borelovsy měřitelé jsou apř. všechy spojité fuce a aždá fuce, terá je bodovou limitou borelovsy měřitelých fucí, je opět borelovsy měřitelá. V orétích úlohách tedy můžeme s lidým svědomím předpoládat, že podmía borelovsé měřitelosti je splěa..0. Nejčastěji používaé statistiy. Nejčastěji se používají statistiy, jejichž hodoty v případě áhodého výběru dostatečě velého rozsahu s velou pravděpodobostí dobře aproximují ejběžější charateristiy záladího souboru, jao jsou středí hodota, rozptyl, momety a ěteré další. Výběrový průměr: = X i. i= Výběrový průměr je empiricým protějšem středí hodoty áhodé veličiy. Jestliže m je středí hodota a s je směrodatá odchyla (rozděleí) záladího souboru, z ěhož áhodý výběr =HX,..., X L pochází, potom díy ezávislosti áhodých veliči X,..., X sado vypočteme, že E = i= E HX i L = µ Podle Čebyševovy věty tedy pro aždé > 0 platí erovost = µ, varh L = P@» µ» D i= σ. varhx i L = σ To zameá, že pro libovolou realizaci Hx, Ω, x L áhodého výběru bude erovost = σ.»ñ µ» = ƒ x i µ i= ƒ platit s pravděpodobostí alespoň - ÅÅÅÅÅÅÅÅ s. Dále odtud plye, že = ÅÅÅÅ m pro Ø, tj. že i= lim P@» µ» D = 0 pro aždé > 0. X i overguje podle pravděpodobosti

5 M6b-06-Statistics.b 5 Výběrový rozptyl: S = S = HX i L = i= H L i j X i i j y X i z i= i= y z,. Tato statistia je mírou variability experimetálích výsledů a je experimetálí aalogií rozptylu varhx i L = s. Má-li rozděleí, z ěhož áhodý výběr pochází, středí hodotu m a směrodatou odchylu s, potom a tedy H L EHS L = E i i j j X i i j y y X i z zz = i= i= = E i j X i y z = EHX i L EH L = EHHX i µ + µl L EIH µ + µl M = i= i= i= = varhx i L + i= i= µ varh L µ = σ + µ σ µ = H L σ. EHS L = σ. Podobým způsobem, jaým jsme určili středí hodotu výběrového rozptylu, můžeme ajít formuli pro rozptyl statistiy S, avša její odvozeí je podstatě složitější. Má-li rozděleí, z ěhož áhodý výběr pochází, středí hodotu m, rozptyl s a čtvrtý cetrálí momet m 4, potom rozptyl statistiy S je dá formulí y varhs L = µ 4 3 H L σ4,. Podle Čebyševovy erovosti tedy za uvedeých předpoladů pro > a libovolé > 0 platí erovost P@»S σ» D J µ 4 3 H L σ4 N µ 4. Pro libovolou realizaci Hx, Ω, x L áhodého výběru odtud plye aalogicý závěr jao v případě výběrového průměru a středí hodoty m záladího souboru. Pozáma. Kdybychom byli defiovali S formulí S = ÅÅÅÅ i= IX i - M, s íž se též můžete setat v ěterých učebicích, dostali bychom složitější vztah vztah EHS L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ - s. Podstatý rozdíl vša mezi oběma defiicemi eí, eboť pro z veličia ÅÅÅÅÅÅÅÅ - s overguje s. Výběrová směrodatá odchyla: S = i j i= HX i L y z Výběrová směrodatá odchyla je tedy druhou odmociou z výběrového rozptylu. Tato statistia je aalogií směrodaté odchyly s áhodé veličiy X i. Protože platí pro výběr z libovolého rozděleí erovost Výběrový r-tý obecý momet: varhsl = EHS L E HSL = σ E HSL 0, EHSL σ. M r = M r H L = X r i, r =,,... i=

6 6 M6b-06-Statistics.b Speciálě tedy prví obecý momet M splývá s výběrovým průměrem X. Pro středí hodotu a rozptyl statistiy M r se za předpoladu existece obecého mometu m r sado odvodí formule EHM r L = m r, varhm r L = Hm r m r L. Existuje-li tedy obecý momet m r = EHX i r L, potom pro z výběrový momet M r overguje podle pravděpodobosti m r. Výběrový r-tý cetrálí momet: M ' r = M ' r H L = HX i L r i= Speciálě tedy M ' = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ S, taže výběrový rozptyl S se eshoduje s druhým cetrálím mometem. Výběrový oeficiet šimosti a špičatosti: A 3 = M 3 ' HM ' L 3ê, A 4 = M 4 ' HM ' L 3 Pozáma. Zde zavedeá symbolia eí bohužel všeobecě přijata, taže se v literatuře můžete setat apř. s tím, že M r zameá výběrový r-tý cetrálí momet, zatímco M r ' zameá výběrový r-tý obecý momet. Lišit se může i defiice výběrového oeficietu špičatosti. 3. Rozděleí výběrové statistiy èèè Protože statistiy jsou áhodé veličiy, můžeme a ě apliovat všechy výsledy teorie pravděpodobosti. Prví z ásledujících dvou vět pouze opauje vlastosti výběrového průměru, teré už záme z odstavce, ve terém jsme výběrový průměr defiovali, a druhá představuje dobře zámé tvrzeí z teorie pravděpodobosti. 3.. Věta. Výběrový průměr áhodého výběru =HX,..., X L z populace se středí hodotou m a směrodatou odchylou s má rozděleí se stejou středí hodotou m a směrodatou odchylou së è!!!!. á 3.. Věta. Jestliže záladí soubor, z ěhož áhodý výběr =HX,..., X L pochází, má ormálí rozděleí NHm, s L, potom výběrový průměr má ormálí rozděleí NHm, s ê L. á V případě, že o rozděleí záladí populace ic evíme, máme dispozici pouze ásledující větu, terá je jedím ze záladích výsledů teorie pravděpodobosti a je všeobecě záma jao cetrálí limití věta Věta. Nechť X, X,..., X i,... je eoečá posloupost vzájemě ezávislých áhodých veliči se stejým rozděleím F, středí hodotou m a rozptylem s, taže pro aždé přirozeé je =HX,..., X L áhodý výběr z rozděleí F. Jestliže X je výběrový průměr výběru, potom pro aždé reálé x Ä É x lim P µ z ÇÅ σë è!!! x ÖÑ = è!!!!!!! π t ê t, a to stejoměrě a Ñ. á Výše uvedeý limití vztah zameá, řečeo e zcela přesě, že distribučí fuci ormovaé (stadardizovaé) áhodé veličiy Y = X -m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ së è!!!! lze pro dostatečě velá přibližě ahradit distribučí fucí ormovaého ormálího rozděleí, a tedy distribučí fuci statistiy lze pro dostatečě velá přibližě ahradit distribučí fucí s ormálího rozděleí s parametry m a ÅÅÅÅÅÅÅÅ, přičemž chyba, teré se dopustíme, epřesáhe předem daou ladou è!!!! mez. Potíž je pouze v tom, že evíme, co jsou to dostatečě velá.

7 M6b-06-Statistics.b 7 4. Rozděleí výběrových statisti S a S 4.. Rozděleí c. Říáme, že áhodá veličia X má rozděleí c HL eboli rozděleí c s stupi volosti, má-li stejé rozděleí pravděpodobosti jao veličia Y = X + Ω + X, de X, X,..., X jsou vzájemě ezávislé áhodé veličiy s rozděleím NH0, L. Je-li F distribučí fuce taové áhodé veličiy, pa zřejmě FHxL = 0 pro x < 0 a libovolé, a proto stejou vlastost má i její hustota pravděpodobosti f. Je-li =, potom pro x > 0 je zřejmě F HxL = P@Y xd = PAX è!!! xe PAX < è!!! xe = è!!!! x è!!!!!!! π t ê t, è!!!! x a tedy è!!!! x i f HxL = x j è!!!!!!! π t ê t y è!!!! z = x è!!! x i j è!!!!!!! xê π + è!!!!!!! xê y z = π x ê xê è!!! ΓHêL. Odtud lze již poměrě sado pro hustotu pravděpodobosti f veličiy Y = X + Ω + X s rozděleím c odvodit matematicou iducí formuli f HxL = l o 0 pro x 0, m o x ê xê ê ΓH L pro x > 0. Idučí ro z a + se opírá o ezávislost áhodých veliči X + Ω + X, X +, o vlastosti Eulerových fucí Gamma a Beta a taé o větu, podle íž hustota pravděpodobosti součtu dvou ezávislých áhodých veliči je ovolucí jejich hustot. Nejprve použijeme zmíěou větu o hustotě pravděpodobosti součtu, potom provedeme jedoduché úpravy a jedoduchou substituci, přičemž použijeme vlastosti zmíěých Eulerových fucí, a postupě dostaeme x x Hx tl f + HxL = f Hx tl f HtL t = ê Hx tlê 0 0 ê ΓHêL t ê tê è!!! ΓHêL t = = xê H+Lê ΓHêL ΓHêL 0 x Hx tl ê t ê t = À t = x u t = x u À = = xê x ê x ê x H+Lê ΓHL ΓHêL H ul ê u ê u = 0 xê x H+Lê H+Lê ΓHêL ΓHêL BJ, N = = xê x H+Lê ΓH L ΓH L H+Lê ΓHêL ΓHêL ΓH + L = xê x H+Lê H+Lê ΓH + L, což bylo třeba doázat. 4.. Statistia S a rozděleí c. Rozděleí statisti S a S áhodého výběru = HX,..., X L jsou záma pouze za určitých předpoladů o rozděleí záladího souboru. Najdeme rozděleí těchto statisti za předpoladu, že záladí soubor má ormálí rozděleí NHm, s L, a současě uážeme, že statistiy, S jsou ezávislé. Z defiice statistiy S především plye, že H L S σ = H L S Ø = HY i ØL, i= de áhodé veličiy Y i = X i-m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mají zřejmě ormálí rozděleí NH0, L. Uážeme, že existují ezávislé áhodé s veličiy U,..., U - s ormovaým ormálím rozděleím, pro ěž

8 8 M6b-06-Statistics.b H L S σ = HY i ØL = U i. i= i= Uvažujme čtvercovou matici i.. y  = j z řádu, terá má v prvím řádu a a diagoále jedičy a a ostatích místech uly. Apliujeme-li a posloupost jejích řádových vetorů Ü = H,,, L,, Ü = H0,, 0, L Gramův-Schmidtův ortoormalizačí proces, dostaeme jistou ortogoálí matici tvaru i è!!!! è!!!!.. è!!!! y À = j a a.. a a... a z = Á.Â, de Á je souči elemetárích matic odpovídajících jedotlivým roům v Gramově-Schmidtově procesu. Položme Ô T = HU,, U L T = À.Ø T. Protože zřejmě U = è!!! Ø a protože lieárí zobrazeí s ortogoálí maticí zachovává salárí souči aritmeticých vetorů, je a tedy Ø + U i = U i = Ô.Ô = Ø.Ø = Y i, i= i= i= H L S σ = HY i ØL = Y i Ø = U i. i= i= i= Jistě jste si povšimli, že až dosud jsme předpolad, že záladí soubor má ormovaé ormálí rozděleí, vlastě epotřebovali. Teď teto předpolad využijeme tomu, abychom doázali, že áhodé veličiy U = è!!! Ø, U,..., U mají ormovaé ormálí rozděleí a jsou ezávislé. Protože áhodé veličiy Y,..., Y jsou ezávislé a mají ormovaé ormálí rozděleí, áhodý vetor Ø má hustotu pravděpodobosti de ghòl = exp J ò.òn, ò = Hy,..., y L a ò.ò = y i. Protože ásobeí vetoru ortogoálí maticí zachovává salárí souči, áhodý vetor Ô má hustotu pravděpodobosti ghî.àl» det À» = ghî.àl = exp J i= Hî.ÀL.Hî.ÀLN = expj î.în.

9 M6b-06-Statistics.b 9 Odtud již sado plye, že áhodé veličiy U = è!!! Ø, U, Ω, U mají všechy ormovaé ormálí rozděleí a jsou ezávislé. Jsou tedy ezávislé i áhodé veličiy = ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! s U + m a S = ÅÅÅÅÅÅÅÅ s - i= U i. Doázali jsme tedy ásledující větu o rozděleí výběrového rozptylu S Věta. Je-li S výběrový rozptyl áhodého výběru = HX,..., X L ze záladího souboru s ormálím rozděleím NHm, s H-L S L, potom statistia ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ má rozděleí c s - stupi volosti a proto S má hustotu s pravděpodobosti h HxL = 0, x 0, x H L lo σ f J σ N = m H L x 3 o exph x H L L, σ x > 0. ΓH L σ Statistiy, S jsou romě toho ezávislé. á 4.4. Pozáma. Vypočteme-li pomocí alezeé hustoty středí hodotu EHS L, dostaeme ám už zámý výslede EHS L = s. Z právě vysloveé věty už sado vyplývá ásledující věta o rozděleí výběrové směrodaté odchyly S Věta. Výběrová směrodatá odchyla S = è!!!!!! S áhodého výběru = HX,..., X L ze záladího souboru s ormálím rozděleí NHm, sl má rozděleí c s - stupi volosti a proto má hustotu pravděpodobosti Statistiy, S jsou romě toho ezávislé. á 0 pro x 0, lo g HxL = x h Hx L = m H L x o expi H L x σ M pro x > 0. ΓH L σ 4.6. Pozáma. Pomocí alezeé hustoty pravděpodobosti g bychom už celem sado mohli vypočítat středí hodotu EHSL a rozptyl varhsl. Dostali bychom EHSL = J N ΓH L ΓH L σ, varhsl = i j Γ H L Γ H y L z σ. 5. Empiricá distribučí fuce, čárový diagram a histogram V apliacích matematicé statistiy máme obvyle dispozici pouze realizace áhodého výběru z rozděleí ěteré áhodé veličiy X. O rozděleí pravděpodobosti této áhodé veličiy přitom evíme buď vůbec ic ebo, v lepším případě pouze víme, do jaé ze zámých tříd rozděleí patří. Prví představu o tomto rozděleí můžeme zísat pomocí empiricé eboli výběrové distribučí fuce ebo pomocí čárového diagramu, azývaého též úsečový diagram ebo tyčový diagram, ebo pomocí tzv. histogramu. 5.. Defiice. Nechť ñ =Hx,..., x L je libovolá realizace (prostého) áhodého výběru ze záladího souboru X. Empiricou ebo též výběrovou distribučí fucí se azývá fuce F a možiě reálých čísel defiovaá předpisem F HxL = χ H,x\ Hx i L, i= de c H-,x\ je charateristicá fuce itervalu H-, x\. Následující věta říá, že z dostatečě velého áhodého výběru lze s pravděpodobostí, eboli téměř jistě, zísat libovolě podrobou iformaci o distribučí fuci záladího souboru. Jejím edostatem je, že eříá ic o rychlosti této overgece. 5.. Věta (V. I. Gliveo). Nechť X, X,..., X i,... je eoečá posloupost ezávislých áhodých veliči defiovaých a pravděpodobostím prostoru HW, A, PL a majících stejou distribučí fuci F a echť x = X HwL, x = X HwL, Ω, x i = X i HwL, Ω je posloupost jejich realizací, taže pro aždé přirozeé vetor ñ =Hx,..., x L je

10 0 M6b-06-Statistics.b realizací prostého áhodého výběru =HX,..., X L z rozložeí F. Jestliže F je empiricá distribučí fuce určeá realizací ñ áhodého výběru, potom s pravděpodobostí lim z F HxL = FHxL stejoměrě a Ñ Přílad. Pomocí počítačových algebraicých systémů, jao jsou apř. Wolframova Mathematica 4, ebo Maple 5, lze Gliveovu větu velmi pěě ilustrovat graficy. Každý z ásledujících čtyř diagramů zobrazuje distribučí fuci ormálího rozděleí NH0, L a empiricou distribučí fuci jedé realizace jedoho ze čtyř (pseudo)áhodých výběrů z tohoto rozděleí. Všechy čtyři realizace jsou počátečí úsey ñ dély =00, 400, 600 resp sezamu ñ dély 00 * 0, terý byl geerová ve Wolframově systému Mathematica 4 fucí Radom[NormalDistributio[0,]] z balíču Statistics`CotiuousDistributios` po astaveí geerátoru pseudoáhodých čísel istrucí SeedRadom[ ]

11 M6b-06-Statistics.b O rychlosti overgece empiricých distribučích fucí F distribučí fuci F rozděleí NH0, L dává určitou představu ásledující sezam přibližých hodot maxim, terých diferece»f HxL - FHxL» abývá a úsecích dély 00ä sezamu ñ, de = 0,, Ω, 0: , , , , , , , , , , < 5.4. Čárový diagram. Nechť ñ =Hx,..., x L je realizace áhodého výběru = HX,..., X L. Nechť x < x <... < x r je prostá posloupost všech prvů možiy 8x,..., x < a echť i je počet všech celých čísel j z itervalu X, \, pro ěž x j = x i *. Jiými slovy, i je četost, tj. počet výsytů prvu x i * v poslouposti ñ. Čárový diagram realizace ñ áhodého výběru zázorňuje a jedé souřadé ose hodoty x *, x *,..., x r * této realizace a a druhé jejich četosti

12 M6b-06-Statistics.b i ebo jejich relativí četosti i ÅÅÅ Å. Je to vlastě graf fuce f defiovaé a možiě 8x *, x *,..., x * r <, jejíž hodota v * bodě x i je rova i resp. i ÅÅÅÅÅ. Pro větší ázorost se místo i *, fhx * i LD zpravidla reslí úsečy, spojující aždý z těchto bodů s příslušým * i, 0D. Má-li záladí soubor disrétí rozděleí a je-li rozsah výběru dostatečě veliý, může čárový diagram dát víceméě spolehlivou představu o pravděpodobostí fucí záladího souboru. V případě záladího souboru se spojitým rozděleím to může platit jeom tehdy, jsou-li x i ioliv přesé, ale začě hrubě zaorouhleé hodoty veliči X i, eboť se praticy estae, aby dvě ezávislé áhodé veličiy se spojitým rozděleím abyly přesě stejé hodoty. Např. všechy čley sezamu ñ z příladu 5.3 jsou růzé, ale po zaorouhleí a 4 resp. 3 resp. resp. desetié místo dostaeme 3759 resp. 587 resp. 76 resp. 87 růzých čísel Přílad. Každý z ásledujících šesti diagramů zobrazuje pravděpodobostí fuci biomicého rozděleí s parametry = 0, p = ê a relativí četosti jedé realizace jedoho ze šesti (pseudo)áhodých výběrů z tohoto rozděleí. Tyto realizace jsou počátečími úsey ñ dély =00, 400, 600, 6400, 5600 resp sezamu ñ dély 00 * 0, terý byl geerová v systému Mathematica 4 fucí Radom[BiomialDistributio[0,/]] z balíču Statistics`DiscreteDistributios` po astaveí geerátoru pseudoáhodých čísel istrucí uvedeou v příladu 5.3. Pod aždým diagramem je uvede příslušý sezam četostí ,, 6,, 5, 5, 6, 8, 3, 4, 0< , 3,, 43, 87, 03, 65, 54, 3, 9, <

13 M6b-06-Statistics.b , 4, 79, 80, 337, 40, 30, 97, 57, 0, < , 6, 308, 73, 39, 554, 80, 778, 7, 75, 6< , 66, 35, 978, 58, 689, 56, 3078, 054, 6, 6<

14 4 M6b-06-Statistics.b , 005, 4533, 836, 07, 55, 0938, 69, 447, 96, 98< 5.6. Třídí četosti a histogram. Zaorouhlováí hodot áhodých veliči je vlastě zvláštím případem tříděí dat. Nechť ñ =Hx,..., x L je tedy libovolá posloupost reálých čísel. Zvolme reálá čísla c 0 < c < Ω < c a uvažujme itervaly I = Xc 0, c \, I = Hc, c \,, I = Hc, c \. Itervaly I, Ω, I lze volit i jia, vždy vša musí být disjutí a jejich sjedoceí musí obsahovat všechy čley poslouposti ñ. Obvyle se taé volí stejě velé, i dyž stejá veliost eí podmíou. Nechť j je počet čleů poslouposti ñ ležících v itervalu I j. Itervalům I, Ω, I se říá třídy, čísla, Ω se azývají (absolutí) třídí četosti a čísla ê, Ω, ê jsou tzv. relativí třídí četosti. Součet třídích četostí se zřejmě rová a součet relativích četostí se rová. Četosti resp. relativí četosti, tj. rozděleí čleů poslouposti ñ do jedotlivých tříd, dobře graficy zázorňuje sloupcový diagram, jehož sloupce mají za zálady itervaly I, Ω, I, přičemž výša sloupce ad záladou I j je pro aždé j rova j resp. j ê. Jestliže ad aždým itervalem I j sestrojíme sloupec o výšce ÅÅÅÅÅÅÅÅ j d j, de d j je šířa třídy I j, dostaeme tzv. histogram. Termiologie vša eí ustáleá a ta histogramem se často azývá i sloupcový diagram, jehož sloupce mají výšy rové absolutím ebo relativím četostem. Je-li ñ realizace áhodého výběru =HX,..., X L ze záladího souboru X se spojitým rozděleím pravděpodobosti, pa histogram může posytout přibližou představu o hustotě pravděpodobosti áhodé veličiy X. Obecě lze říci, že při vhodé volbě tříd I, Ω, I tato představa bude tím přesější, čím větší bude rozsah tohoto výběru, a že graf hustoty pravděpodobosti áhodé veličiy X prote horí záladu většiy sloupců přibližě v jejím středu. Nelze vša očeávat, že histogram bude poaždé vystihovat tvar hustoty pravděpodobosti ta věrě jao a diagramech v ásledujícím příladu Přílad. Každý z ásledujících šesti diagramů zobrazuje hustotu pravděpodobosti ormálího rozděleí NH0, L a histogram jedé realizace jedoho ze šesti (pseudo)áhodých výběrů z tohoto rozděleí. Všech šest realizací jsou úsey dély 00, 400, 600, 6400, 5600 resp sezamu ñ z příladu 5.3. Výša aždého sloupce je součiem převráceé hodoty šířy jeho zálady a příslušé relativí třídí četosti. Pod aždým diagramem je uvede příslušý sezam četostí.

15 M6b-06-Statistics.b , 0, 8, 4, 4,, 5, 0, 0< ,, 9, 95, 63, 90, 8, 3, 0<

16 6 M6b-06-Statistics.b , 4, 0, 400, 593, 395, 87, 9, < , 4, 3, 00, 96, 733, 305, 560, 83, 749, 56, 8, 7,, 0< ,,, 3, 7, 6, 66, 65, 308, 555, 989, 460, 977, 583, 97, 38, 300, 576, 066, 478, 948, 57, 36, 58, 77, 3, 9, 5,, 0, 0<

17 M6b-06-Statistics.b 7 80, 0, 0,,, 4, 5, 6, 7,, 39, 69, 05, 55, 55, 37, 546, 748, 060, 374, 88, 4, 85, 3499, 4083, 473, 540, 5833, 649, 6393, 6498, 6405, 606, 573, 533, 480, 4034, 3563, 859, 336, 867, 433, 08, 779, 500, 38, 67, 8,, 76, 37, 7,, 7, 4,, 3,, 0, 0, 0< 6. Bodové odhady parametrů: záladí pojmy 6.. Chceme-li e zoumáí reálého jevu áhodého charateru použít teorii pravděpodobosti, musíme ejprve vytvořit jeho pravděpodobostí model. Prvím roem tomuto modelu je charaterizace zoumaého jevu vhodou reálou ebo vetorovou áhodou veličiou X a odhad typu rozděleí pravděpodobosti této áhodé veličiy. Typ rozděleí lze často určit teoreticou úvahou, a záladě zušeostí s jevy podobého charateru, pomocí předběžých testů ebo ombiací všech těchto postupů. Rozděleí pravděpodobosti určitého typu je zpravidla charaterizováo jedím ebo ěolia parametry, tj. prvem J =HJ, Ω, J L ějaé podmožiy Q prostoru Ñ. To zameá, že jeho distribučí fuce je prvem jisté parametricé soustavy 8F J ; J œ Q<. Náhodé veličiě X, terou zoumáme, přitom odpovídá zcela určitá hodota parametru J, terou vša ezáme a terou čistě teoreticými úvahami staovit elze. Druhý ro hledaému pravděpodobostímu modelu proto spočívá v co ejpřesějším odhadutí této správé hodoty parametru J pouze a záladě experimetálích dat, tj. a záladě realizací ñ áhodých výběrů ze záladího souboru X. Běžě se používají dva typy odhadů. Odhadujeme-li správou hodotu parametru J a záladě realizace ñ áhodého výběru jediým prvem J` œ Q, mluvíme o bodovém odhadu. Protože pro jiou realizaci stejého áhodého výběru zřejmě dostaeme stejým postupem jiý odhad, musíme a bodový odhad J` pohlížet jao a áhodou veličiu. Nevýhodou bodového odhadu zpravidla je, že evíme ic o jeho přesosti. Proto se často dává předost tzv. itervalovému odhadu, terý spočívá v udáí dvou čísel, dolího a horího odhadu, mezi imiž správá hodota parametru J s jistou zámou pravděpodobostí, zvaou oeficiet spolehlivosti, leží. 6.. Defiice. Nechť X je (reálá) áhodá veličia, jejíž distribučí fuce je prvem parametricé soustavy 8F J ; J œ Q<, de Q je eprázdá (borelovsá) podmožia prostoru Ñ a J =HJ, Ω, J L, a echť t : QzÑ je (borelovsy měřitelá) fuce. Možiu Q azveme parametricým prostorem, fuci t azveme parametricou fucí a aždou statistiu t` H L, de =HX, Ω, X L je áhodý výběr ze záladího souboru X, azveme bodovým odhadem parametricé fuce t Pozáma. Odhad t` H L parametricé fuce t je tedy áhodá veličia. Protože rozděleí pravděpodobosti áhodého vetoru závisí a parametru J, závisí a tomto parametru ja rozděleí pravděpodobosti odhadu t` H L, ta i růzé jeho číselé charateristiy, apř. středí hodota a rozptyl, ačoliv fuce t` samotá a J ezávisí. Budeme-li chtít tuto sutečost, terou je třeba mít stále a zřeteli, zdůrazit, budeme psát apř. E J t` H L místo E t` H L, var J t` H L místo var t` H L, atd Defiice. Bodový odhad t` H L parametricé fuce t se azývá estraý, jestliže E J t` H L = thjl pro aždé J œ Q. V opačém případě se odhad azývá vychýleý a rozdíl BHϑL = B τˆh L HϑL = E ϑ τˆh L τhϑl se azývá vychýleí ebo jedostraost odhadu. Jestliže t` H L je estraý odhad parametricé fuce t a pro aždý jiý estraý odhad t è H L fuce t platí impliace ϑεθ var ϑ τˆh L var ϑ τ H L, potom říáme, že t` H L je ejlepší estraý odhad parametricé fuce t Přílad. Z čláu.0, v ěmž jsme defiovali výběrový průměr a výběrový rozptyl, víme, že pro aždý áhodý výběr ze záladího souboru s oečou středí hodotou a oečým rozptylem E = µ, EHS L = σ.

18 8 M6b-06-Statistics.b To zameá: Je-li 8F J ; J œ Q< libovolá parametricá soustava distribučích fucí a Ñ s oečou středí hodotou a oečým rozptylem a patří-li distribučí fuce záladího souboru X do této soustavy, potom výběrový průměr je estraým odhadem parametricé fuce J Ø E J X a výběrový rozptyl S je estraým odhadem parametricé fuce J Ø var J X Středí vadraticá chyba odhadu a relativí eficiece. Nestraost sama o sobě ještě ezaručuje, že odhad je dobrý. Kromě estraosti je důležitá veliost jeho rozptylu. Ze dvou estraých odhadů si vždy vybereme odhad s meším rozptylem. Vychýleé odhady můžeme porovávat pomocí veličiy zvaé středí vadraticá chyba odhadu, což je fuce a parametricém prostoru Q, defiovaá pro odhad t` H L formulí KHϑL = K τˆh L HϑL = E ϑ HτˆH L τhϑll = B τˆh L HϑL + var ϑ τˆh L, ϑ Θ. Pro estraý odhad tedy středí vadraticá chyba odhadu splývá s jeho rozptylem. Jsou-li t` H L, t` H L dva odhady téže parametricé fuce, pa za lepší považujeme te, jehož středí vadraticá chyba je meší. Číselým vyjádřeím poměru vality obou odhadů je tzv. relativí eficiece eboli vydatost odhadu t` H L vzhledem odhadu t` H L, což je fuce a parametricém prostoru defiovaá jao poměr K τˆh LHϑL K = E ϑhτˆh L τhϑll τˆh LHϑL E ϑ HτˆH L τhϑll = B τ ˆH LHϑL + var ϑ τˆh L HϑL + var ϑ τˆh L. B τˆh L 6.7. Postačující statistiy. Předpoládejme, že distribučí fuce záladího souboru X je prvem parametricé soustavy 8F J ; J œ Q<, de Q je eprázdá borelovsá podmožia prostoru Ñ a J =HJ, Ω, J L, a že astává jede z těchto dvou případů: (a) distribučí fuce F J je pro aždé J œ Q fucí soů, tj. příslušé rozděleí pravděpodobosti je disrétí, ebo (b) distribučí fuce F J je pro aždé J œ Q absolutě spojitá. V případě (a) ozačme f J HxL pravděpodobostí fuci áhodé veličiy X, v případě (b) echť stejý symbol zameá hustotu pravděpodobosti veličiy X. Sdružeá pravděpodobostí fuce resp. sdružeá hustota pravděpodobosti áhodého výběru =HX, Ω, X L ze záladího souboru X je tedy pro aždé J œ Q dáa formulí Říáme, že statistiy f ϑ HñL fhñl = fhx,, x L = f ϑ Hx i L. S H L = S HX,, X L,, S r H L = S r HX,, X L, de =HX, Ω, X L je áhodý výběr z rozděleí X, jsou postačující pro parametr J, jestliže sdružeou pravděpodobostí fuci resp. sdružeou hustotu pravděpodobosti f J HñL áhodého výběru lze vyjádřit ve tvaru de g, h jsou ezáporé borelovsé fuce. Výzam postačujících statisti spočívá v ásledující větě. i= f ϑ HñL = ghs HñL,, S r HñL; ϑl.hhñl, 6.8. Věta. Nechť =HX, Ω, X L je áhodý výběr ze záladího souboru X s rozděleím závislým a parametru J =HJ, Ω, J L œ Q ÕÑ, echť S H L, Ω, S r H L jsou postačující statistiy pro parametr J a echť t : Q ØÑ je parametricá fuce. Potom e aždému odhadu t` H L fuce t existuje borelovsá fuce t * Hs, Ω, s r L ta, že pro odhad fuce t platí impliace τ H L = τ HS H L,, S H LL ϑ Θ E ϑ τ H L = E ϑ τˆh L, ϑ Θ E ϑ Hτ H L τhϑll E ϑ HτˆH L τhϑll. Důslede: existuje-li ejlepší estraý odhad pro t, potom existuje ejlepší estraý odhad pro t tvaru t * HS H L, Ω, S r H LL Rozděleí expoeciálího typu. Nechť X je disrétí ebo spojitá áhodá veličia X, jejíž distribučí fuce je prvem parametricé soustavy 8F J ; J œ Q<, de Q je eprázdá borelovsá podmožia prostoru Ñ a

19 M6b-06-Statistics.b 9 J =HJ, Ω, J L. Řeeme, že X má rozděleí expoeciálího typu, jestliže její pravděpodobostí fuce resp. hustota pravděpodobosti je dáa předpisem typu fhx, ϑl = 0 fi fhx, ϑl = exp i j Q j HϑL U j HxL y z RHϑL VHxL, j= r de možia 8x; f Hx, JL > 0< ezávisí a J œ Q a Q obsahuje -rozměrý iterval. Je-li =HX, Ω, X L áhodý výběr z taového záladího souboru X, pa pro sdružeou hustotu pravděpodobosti f Hñ ; JL áhodého vetoru zřejmě platí vztah de fhñ, ϑl > 0 fhñ; ϑl = exp i j RHϑL + Q j HϑL S j HñL y z expi j VHx i L y z = j= i= = ghs HñL,, S r HñL; ϑl.hhñl, S j HñL = U j Hx i L, hhñl = exp i j VHx i L y z, i= i= ghs,, s r ; ϑl = exp i r j RHϑL + y Q j HϑL s j z. j= r To zameá, že S H L, Ω, S r H L jsou postačující statistiy pro parametr J Přílad. Sado se ověří, že expoeciálího typu jsou apř. expoeciálí rozděleí, ormálí rozděleí, logaritmico-ormálí rozděleí, Rayleighovo rozděleí, Maxwellovo rozděleí, Weibullovo rozděleí a Poissoovo rozděleí. Jao přílad rozděleí epatřících expoeciálímu typu lze uvést rovoměré rozděleí a Cauchyovo rozděleí. Biomicé rozděleí s pravděpodobostí fucí fhx, p, νl = J ν x N px H pl ν x, x = 0,,, ν, je expoeciálího typu, poud je pevě zvoleo a jediým parametrem je p. Nejlepší estraý odhad je většiou přijatelým řešeím úlohy odhadu. Pro ěteré parametricé fuce vša vůbec žádý estraý odhad eexistuje ebo je jeho ostruce příliš obtížá, taže se většiou evyplatí. V taových případech volíme apř. odhady, teré mají dobré asymptoticé vlastosti, což zameá, že aproximují sutečou hodotu odhadovaé fuce tím lépe, čím větší je rozsah výběru. Jeda taová vlastost je formalizováa v ásledující defiici, další pa v defiici Defiice. Pro aždé přirozeé echť =HX, Ω, X L je áhodý výběr ze záladího souboru, jehož distribučí fuce je prvem parametricé soustavy 8F J ; J œ Q<. Odhad t` H L,, přesěji posloupost odhadů t` H L,, parametricé fuce t, se azývá ozistetí, jestliže ϑ Θ fl > 0 lim P ϑ@» τˆh L τhϑl» D = 0, tj. overguje-li posloupost 8t` H L< = podle pravděpodobosti P J thjl pro aždé J œ Q. 6.. Pozáma. Nestraost odhadu zameá, řečeo poěud zjedodušeě, že odhad je zatíže jeom áhodou, ioliv systematicou chybou. Kozistece odhadu zameá, že pro realizace dostatečě velých áhodých výběrů, tj. pro libovolý dostatečě velý počet pozorováí, bude chyba odhadu s pravděpodobostí libovolě blízou jedé libovolě malá Přílad. Má-li áhodá veličia X oečou středí hodotu m a oečý rozptyl s, potom podle Čebyševovy věty pro aždý áhodý výběr =HX, Ω, X L ze záladího souboru X platí erovost

20 0 M6b-06-Statistics.b µ» D σ. Má-li záladí soubor avíc čtvrtý cetrálí momet m 4, potom podle téže věty platí taé pro 3 erovost P@»S σ» D J µ 4 3 H L σ4 N µ 4. To zameá: Je-li 8F J ; J œ Q< libovolá parametricá soustava distribučích fucí a Ñ s oečou středí hodotou a oečým rozptylem a patří-li distribučí fuce záladího souboru X do této soustavy, potom pro aždou posloupost =HX, Ω, X L,, áhodých výběrů z X výběrový průměr,, je ozistetím odhadem parametricé fuce J Ø E J X. Jestliže F J má avíc čtvrtý cetrálí momet m 4 pro aždé J œ Q, potom výběrový rozptyl S,, je ozistetím odhadem parametricé fuce J Ø var J X. Za stejých předpoladů je ozistetím, ioliv vša estraým odhadem parametricé fuce J Ø var J X statistia M, ' = HX i L = S = S S i=, eboť zřejmě pro aždé > 0 a aždé J œ Q platí erovost ' P M, var ϑ X» > D P ϑ A S var ϑ X E + P ϑas E, v íž obě pravděpodobosti a pravé straě overgují ule Pozáma. V defiici ozistetího odhadu se ědy požaduje splěí silější podmíy ϑ Θ P ϑ Alim τˆ H L = τ HϑLE =, tj. aby posloupost 8t` H L< = overgovala thjl P J -jistě pro aždé J œ Q. Výběrový průměr a výběrový rozptyl jsou ozistetími odhady parametricých fucí J Ø E J X resp. J Ø var J X, viz posledí přílad, i v tomto sillějším smyslu. To plye z ásledující věty, teré se říá silý záo velých čísel (pro stejě rozděleé áhodé veličiy): Nechť 8X < = je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči. Potom právě dyž E» X» < a m = E X. PAlim i= X i = µ E = Pro výběrový průměr je důaz triviálí, v případě výběrového rozptylu je třeba použít vztahy = i= HX i µl = S = i= i= i= HX i µl HX i L = HX i µl H µl + H µl, H µl = uvědomit si, že áhodé veličiy HX i - ml, i =,, Ω jsou ezávislé, a použít silý záo velých čísel. Ja už bylo řečeo výše, pro ěteré parametricé fuce estraý odhad buď vůbec eexistuje ebo je příliš obtížé jej určit. Často vša lze v taových případech ajít vychýleý odhad, jehož vychýleí lesá s rostoucím rozsahem áhodého výběru poměrě rychle ule. Tato vlastost je formalizováa v ásledující defiici.

21 M6b-06-Statistics.b 6.5. Defiice. Pro aždé přirozeé echť =HX, Ω, X L je áhodý výběr ze záladího souboru, jehož distribučí fuce je prvem parametricé soustavy 8F J ; J œ Q<. Odhad t` H L,, přesěji posloupost odhadů t` H L,, parametricé fuce t, se azývá asymptoticy estraý, jestliže ϑ Θ lim BHϑL = lim E τˆh L τhϑl = Přílad. Odhadem parametricé fuce J Ø var J X uvažovaé v příladech 6.5 a 6.3 je taé výběrový druhý cetrálí momet ' = HX i L, =,,... i= M, Protože pro aždé J œ Q a aždé > ' = M, S, E ϑ M, ' = E ϑ S = var ϑ X, teto odhad je asymptoticy estraý a ozistetí. Následující věta je sadým důsledem Čebyševovy erovosti Věta. Pro aždé přirozeé echť =HX, Ω, X L je áhodý výběr ze záladího souboru, jehož distribučí fuce je prvem parametricé soustavy 8F J ; J œ Q<. Jestliže odhad t` H L,, parametricé fuce t je asymptoticy estraý a splňuje podmíu potom je ozistetí. lim var τˆh L = 0, 7. Bodové odhady parametrů: metoda mometů 7.. Metoda mometů je rychlý a početě jedoduchý způsob ostruce bodového odhadu parametrů rozděleí pravděpodobosti záladího souboru. Odhady touto metodou zísaé jsou vša velmi hrubé a hodí se pouze pro předběžé posouzeí problému, formulaci hypotéz ebo jao výchozí bod iteračích metod. Podstata metody mometů je velmi jedoduchá. Předpoládejme, že distribučí fuce záladího souboru X je prvem parametricé soustavy 8F J ; J œ Q<, de J =HJ, Ω, J L, a že X má pro aždé J œ Q obecé momety m = m HϑL,, m = m HϑL. Je-li =HX, Ω, X L je áhodý výběr z X a je-li M r, = ÅÅÅÅ i= X r i jeho výběrový r-tý obecý momet, potom E ϑ M, = m HϑL,, E ϑ M, = m HϑL, taže se lze domívat, že hodoty J`, Ω, J` parametrů J, Ω, J, teré řeší soustavu rovic m HϑL = M,ñ,, m HϑL = M,ñ, de ñ je realizace výběru, budou přibližě rovy sutečým hodotám parametrů J, Ω, J. Metoda mometů spočívá v tom, že za odhad parametru J vezmeme J` =IJ`, Ω, J` M. Jejím vážým edostatem je, že edává žádou iformaci o přesosti tohoto odhadu. Stae-li se, že výše uvedeých rovic estačí jedozačému určeí parametrů, můžeme přidat další rovice stejého typu, poud X má ovšem příslušé obecé momety. 7.. Přílad. Nechť =HX, Ω, X L je áhodý výběr ze záladího souboru s biomicým rozděleím s parametry N a p. Chceme-li odhadout parametry metodou mometů, postupujeme apř. tato. Nejprve určíme prví dva obecé momety tohoto rozděleí:

22 M6b-06-Statistics.b m = E X = N p, m = E X = EHX E X + E XL = EHX E XL + HE XL HE XL, m = var X +HE XL = N p H pl + N p = N p + N p N p. Potom je porováme s výběrovými obecými momety M =, M = ÅÅÅÅ i= X i a dostaeme rovice Vyřešíme-li je, dostaeme odhady N p = M, N p + N p N p = M. ˆ N = M M + M, pˆ = + M M. M M 8. Bodové odhady parametrů: metoda maximálí věrohodosti 8.. Uvažujme teto velmi jedoduchý přílad. Nechť X, X, X 3, X 4 je áhodý výběr z alterativího rozděleí s parametrem p, o ěmž víme, že buď p = 0. ebo p = 0.4 ebo p = 0.8. Máme odhadout hodotu tohoto parametru a záladě realizace x = 0, x = 0, x 3 =, x 4 = 0. Pravděpodobost taovýchto výsledů je pro aždou hodotu parametru p rova P@X = X = X 4 = 0, X 3 = D = p H pl 3. Pro p = 0. je tedy tato pravděpodobost rova 0.04, zatímco pro p = 0.4 je rova a oečě pro p = 0.8 je rova Zísaé výsledy mají tedy ejvyšší pravděpodobost v případě p = 0., a proto jsme aloěi považovat za správou spíše tuto hodotu parametru p ež ostatí dvě. V souladu s touto úvahou proto volíme za odhad sutečé hodoty parametru p hodotu p` = 0., tedy tu z jeho možých hodot, pro terou je zísaý výslede ejpravděpodobější. Metoda ostruce bodových odhadů parametrů založeá a této úvaze je záma jao metoda maximálí věrohodosti a obecě je vyložea v ásledujících odstavcích. 8.. Maximálě věrohodý odhad. Předpoládejme, že distribučí fuce záladího souboru X je prvem parametricé soustavy 8F J ; J œ Q<, de Q je eprázdá borelovsá podmožia prostoru Ñ a J =HJ, Ω, J L, a že astává jede z těchto dvou případů: (a) distribučí fuce F J je pro aždé J œ Q fucí soů, tj. příslušé rozděleí pravděpodobosti je disrétí, ebo (b) distribučí fuce F J je pro aždé J œ Q absolutě spojitá. V případě (a) ozačme f J HxL pravděpodobostí fuci áhodé veličiy X, v případě (b) echť stejý symbol zameá hustotu pravděpodobosti veličiy X. Sdružeá pravděpodobostí fuce resp. sdružeá hustota pravděpodobosti áhodého výběru =HX, Ω, X L ze záladího souboru X je tedy pro aždé J œ Q dáa formulí f ϑ HñL fhñ; ϑl = fhx,, x ; ϑl = f ϑ Hx i L. Nyí už můžeme vyslovit defiici maximálě věrohodého odhadu: Říáme, že vetor statisti J`H L =IJ`H L, Ω, J`H LM, de J` :Ñ ØÑ je borelovsy měřitelé zobrazeí, je maximálě věrohodý odhad parametru J, jestliže i= ϑ Θ fh, ϑˆh LL fh ; ϑl. Maximálě věrohodým odhadem parametricé fuce thjl pa azýváme fuci tij`h LM, de J` H L je maximálě věrohodý odhad parametru J Fuce věrohodosti. Nechť jsou splěy předpolady odstavce 8. a echť fhñ; JL ozačuje pro aždé J œ Q sdružeou pravděpodobostí fuci resp. sdružeou hustotu pravděpodobosti áhodého výběru =HX, Ω, X L ze záladího souboru X. Fuce věrohodosti je fuce L : Q ØÑ defiovaá v tomto otextu pro aždé ñ œñ formulí

23 M6b-06-Statistics.b 3 fhñ; ϑl 0 LHϑL = fhñ; ϑl. Je-li J` H L maximálě věrohodý odhad parametru J a je-li LHJL fuce věrohodosti určeá realizací ñ áhodého výběru, potom platí impliace ϑ Θ LHϑˆHñLL LHϑL. Má-li tedy fuce věrohodosti LHJL v bodě J`HñL parciálí derivace, jsou tyto derivace utě ulové. Odtud plye: je-li ñ realizace áhodého výběru a je-li příslušá fuce věrohodosti LHJL a svém defiičím oboru diferecovatelá, potom maximálě věrohodý odhad J`HñL parametru J je třeba hledat mezi jejími stacioárími body. Při výpočtech je přitom zpravidla výhodější pracovat s fucí l LHJL, terá má stejé stacioárí body jao fuce LHJL. Rovice teré je tedy třeba řešit, se azývají věrohodostí rovice. l LHϑL = 0, i =,,, ϑ i 8.4. Přílad: Expoeciálí rozděleí. Nechť =HX, Ω, X L je áhodý výběr ze záladího souboru X s expoeciálím rozděleím, taže hustota pravděpodobosti f Hx, ll veličiy X je dáa formulí fhx, λl = λ λ x pro x > 0, fhx, λl = 0 pro x 0 a sdružeá hustota pravděpodobosti áhodého vetoru je dáa formulí fhñ, λl = fhx,, x L =: i= λ λ x i, 0, ñ > 0, Hñ > 0L. Fuce věrohodosti příslušá realizaci ñ = Hx, Ω, x L splňující podmíu ñ > 0 má tedy tvar Protože LHλL = i= l LHλL = Hl λ λ x i L, i= λ λ xi. l LHλL λ N = λ i= x i, věrohodostí rovice má tvar N λ x i = 0 λ ñ = 0 λ = ñ E X = λ = ñ. i= To zameá, že maximálě věrohodým odhadem parametru l = ÅÅÅÅÅÅÅÅ expoeciálího rozděleí je statistia ÅÅÅÅÅÅ E X, tj. převráceá hodota výběrového průměru. Maximálě věrohodým odhadem středí hodoty E X = ÅÅÅÅ je výběrový průměr. O tomto odhadu už víme, že je l estraý a ozistetí. Maximálě věrohodým odhadem rozptylu var X = ÅÅÅÅÅ l je druhá mocia výběrového průměru. Protože E = E i j y X i z i= E X =! λ, = E i j X y i z + i= E i j y X i X j z i<j = J + N λ = J + N var X, λ H L + λ =

24 4 M6b-06-Statistics.b maximálě věrohodý odhad rozptylu je vychýleý ale asymptoticy estraý. Protože počet posloupostí i, i, Ω, i celých ezáporých čísel se součtem 4 je stejě jao počet rozmístěí 4 stejých předmětů do přihráde rove J H L H L H 3L N = 4! = , 4 rozptyl tohoto odhadu je dá formulí = 4 i + +i =4 i 0,,i 0 var = E 4 E = 4! i! i! E HX i i X L λ 4 J + N = = 4 i + +i =4 i 0,,i 0 4! i! i! i! i! λ 4 λ 4 J + N = = 4! 4 λ 4 i + +i =4 i 0,,i 0 λ 4 J + N = 4 4 λ 4 J N λ 4 J + N = = λ 4 H + L λ 4 = λ 4. Pro Ø tedy var êêê Ø 0, což zameá, že maximálě věrohodý odhad êêê rozptylu záladího souboru je ozistetí Přílad: Normálí rozděleí. Nechť =HX, Ω, X L je áhodý výběr ze záladího souboru X s ormálím rozděleím NHm, s L, taže X má hustotu pravděpodobosti fhx, µ, σl = σ è!!!!!!! π Hx µl σ, xεñ, a áhodý vetor má sdružeou hustotu pravděpodobosti f Hñ, µ, σl = σ H πl ê i= Hx i µl σ, ñ Ñ. Fuce věrohodosti má tedy pro aždou realizaci ñ =Hx, Ω, x L áhodého výběru tvar LHµ, σl = σ H πl ê i= Hx i µl σ. Odtud postupě dostáváme l LHµ, σl = lhσl lh πl i= Hx i µl σ, l LHµ, σl µ Hx = i µl, i= σ l LHµ, σl σ = σ + i= Hx i µl σ 3, taže věrohodostí rovice mají tvar Hx i µl σ = 0, σ + Hx i µl σ 3 = 0. i= i=

25 M6b-06-Statistics.b 5 Protože jejich řešeí je zřejmě dáo formulemi µ = i= x i = ñ, σ = i= Hx i µl = i= Hx i ñl = S = M ', maximálě věrohodým odhadem středí hodoty m resp. rozptylu s ormálího rozděleí je výběrový průměr resp. druhý výběrový cetrálí momet M '. Výběrový rozptyl S je tedy estraým, ioliv vša maximálě věrohodým odhadem rozptylu ormálího rozděleí Přílad: Logaritmico-ormálí rozděleí. Logaritmico-ormálí rozděleí LNHm, s L (používá se často při popisu veliosti částic disperzích fází ovových materiálů ebo veliosti částic sypých materiálů a v teorii spolehlivosti) je rozděleí pravděpodobosti s hustotou lo fhx, µ, σ L = m o σ x è!!!!!!! π Hl x µl σ pro x > 0, 0 pro x 0. Náhodý výběr =HX, Ω, X L ze záladího souboru s tímto rozděleím má tedy sdružeou hustotu pravděpodobosti fhñ, µ, σ lo L = m i= x i o σ H πl ê i= a fuce věrohodosti má pro aždou jeho realizaci ñ =Hx, Ω, x L > 0 tvar Hl x i µl σ pro ñ > 0, 0 pro Hñ > 0L, LHµ, σl = i= x i σ H πl ê i= Hl x i µl σ. Pro fuci l LHm, sl a její parciálí drivace postupě dostaeme l LHµ, σl = Věrohodostí rovice mají tedy tvar i= l x i l σ lh πl i= LHµ, σl l x = i µ µ σ, LHµ, σl σ i= = σ + i= Hl x i µl σ 3. Hl x i µl σ, l x i µ i= σ = 0, σ + i= Hl x i µl σ 3 = 0 a jedié řešeí µ = l x i, σ = Hl x i µl = Hl x i L i j y l x i z. i= i= i= i= Maximálě věrohodými odhady parametrů m a s logaritmico-ormálího rozděleí jsou tedy statistiy µ ˆ = l X i, σˆ = Hl X i µˆl. i= i=

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

S k l á d á n í s i l

S k l á d á n í s i l S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1. Přirozená topologie v R n

1. Přirozená topologie v R n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

3. část: Teorie hromadné obsluhy. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

3. část: Teorie hromadné obsluhy. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 3. část: Teorie hromadé obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d. Zálady teorie pravděpodobosti Náhodý pous je děj, jehož výslede eí ai při dodržeí všech předepsaých podmíe předem zám. Náhodý jev je výsledem áhodého

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných - 6 - Difereciálí počet fucí více proměých Difereciálí počet fucí více reálých proměých 1 Spoitost, limity a parciálí derivace Fuce více reálých proměých Defiice Pod reálou fucí reálých proměých rozumíme

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

66. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Liberec, března 2017

66. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Liberec, března 2017 66. ročí matematicé olympiády III. olo ategorie A Liberec, 26. 29. březa 2017 MO 1. Na hromádce leží 100 očíslovaých diamatů, z ichž 50 je pravých a 50 falešých. Pozvali jsme svérázého zalce, terý jediý

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č. Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více