Polární rozklad deformačního gradientu a tenzory přetvoření

Polární rozklad deformačního gradientu a tenzory přetvoření

https://en.wikipedia.org/wiki/finite_strain_theory

Deformační gradient Musí tedy existovat jednoznačné zobrazení konfigurace : 1 t t x X, a inversní vztah X x,. P(X 1,X, X 3 )=materiálový bod v nedeformované (referenční, materiálové) konfiguraci 0 Ω P (x 1,x,x 3 )=materiálový bod v deformované (prostorové) konfiguraci t Ω U(X,t)=u(x,t)=x-X je posuv bodu P Deformace bude zcela popsána, jestliže budeme ke každému bodu P znát jeho polohu po deformaci P mezi souřadnicemi nedeformované a deformované x x x X X X 1 X, t x, t x x x X x X X X x x x X X X 1 1 1 1 3 1 Deformační gradient: F, F, F, dx FdX. 1 3 3 3 3 1 3

Multiplikativní rozklad deformačního gradientu F Přetvoření kontinua je rozděleno do dvou fází, jako první se uplatní tenzor, který je v rovnici vpravo.

F=RU=VR tenzor rotace R popisuje natáčení kontinua a tenzory protažení U a V popisují deformaci kontinua enzor rotace R Pravostranný symetrický tenzor protažení U Levostranný symetrický tenzor protažení V Determinant ortonormálního tenzoru rotace det(r)=1 enzory protažení jsou symetrické a pozitivně definitní Jakobián J=det(F)=det(U)=det(V)>0 (vyjadřuje změnu objemu a nezávisí na R) Vlastní čísla U a V jsou stejná = hlavní protažení Pravý Cauchy-Greenův symetrický tenzor přetvoření C=F F 1 1 1 F RU R F U R R I F U F U I,, 1 1 1 U U U F FU I C U U C.

Určení vlastních čísel a vlastních vektorů (modální matice) tenzoru přetvoření C Odmocnění C a určení vlastních čísel U a V (hlavních protažení) Návrat do původního souřadného systému, určení matice rotace R F =deformační gradient 1.0000 0.4950 0.5000-0.3330 1.0000-0.470 0.9590 0 1.5000 C=F'*F C =Pravý Cauchy-Green tenzor přetvoření.0306 0.160.008 0.160 1.450 0.0005.008 0.0005.5610 [u,c]=eig(c) u =modální matice C (i U)(vlastní vektory tenzoru C= hlavní směry) 0.7483-0.0679 0.6599-0.106-0.991 0.0347-0.653 0.1056 0.7506 c =na diagonále matice jsou vlastní čísla C tj. kvadráty hlavních protažení 0.49 0 0 0 1.561 0 0 0 4.3376 U=sqrt(c) U =pravostranný tenzor v hlavních protažení λ i 0.499 0 0 0 1.107 0 0 0.087 U=u*U*u' Vynásobení modální maticí návrat do původního souř. syst. U = 1.1880 0.0787 0.789 0.0787 1.118-0.044 0.789-0.044 1.3955 R=F*inv(U) R = matice rotace.088 0.4417 0.401-0.6756 0.893-0.1186 1.9456 0 0.70 V=F*inv(R) V =levostranný tenzor protažení 1.069 0.1090 0.6547 0.1090 1.0386-0.85 0.6547-0.85 1.6309 [v,v]=eig(v) v =modální matice V -0.5053-0.7353-0.4517 0.1779 0.434-0.8883-0.8444 0.59 0.083 V =levostranný tenzor v hlavních protaženích λ i.087 0 0 0 0.499 0 0 0 1.107

Analogicky můžeme vyjít od rozkladu F na rotaci a levostranný tenzor protažení : 1 1 1 F V R R V F RR I V F V F I,, 1 1 1 V V V FF V I b V V b b F F Ve vztazích nyní vystupuje levý Cauchy-Greenův tenzor přetvoření b=ff., kde. b=f*f b = levý Cauchy-Green 1.4950 0.0385 1.7090 0.0385 1.1719-0.6898 1.7090-0.6898 3.1697 [v,b]=eig(b) v =modální matice V -0.7353 0.4517 0.5053 0.434 0.8883-0.1779 0.59-0.083 0.8444 b = levý Cauchy-Green v hlavních směrech 0.49 0 0 0 1.561 0 0 0 4.3376 V=sqrt(b) V =levostranný tenzor protažení v hlavních směrech 0.499 0 0 0 1.107 0 0 0.087 V=v*V*v' V =levostranný tenzor protažení v původním systému 1.069 0.1090 0.6547 0.1090 1.0386-0.85 0.6547-0.85 1.6309

Invarianty symetrických tenzorů druhého řádu hodnoty, které se zachovávají při transformaci souřadnic ij ij I f f. Př.: Hlavní invarianty tenzoru malých přetvoření : Určení vlastních čísel: det I 0 11 1 13 3 det 3 0 I1 I I3 0, sym 33 I1 11 33 kk stopa tenzoru ij, I1 tr ij. I I 3 11 1 3 11 13 det det det kvadrat. invariant. 1 3 33 13 33 det ij kubický invariant. ij

Invarianty pravého Cauchy-Green tenzoru přetvoření x x C F F U, C F F, k k IJ ki kj XI XJ I tr C C, 1 KK 1 3 1 1 I tr C tr C CJJ CIKC KI 1 3 3 1, I det C. 3 1 3

Greenův-Lagrangeův tenzor přetvoření x1 X1 xi dx FdX dxi dx j FijdX j d x F d X ; X j x X dl d X d X 3 3 Délka úsečky v nedef. konfig. dl dx dx dx, nebo též. Délka úsečky v def. konfig. dl d x d x d X F F d X dl d X Cd X. C F F symetr. poz dl dl d X CI d X d X E d X, kde E C it. def. Cauchy-Green 1 I symetrický Greenův-Lagrangeův tenzor přetvoření

Lagrangeovské a Eulerovské tenzory přetvoření Lagrangeovské: 1 1 1 Greenův E F F I C I U I. Biotův B U - I. Henckyho H ln U. Eulerovské: 1 1 1 Almansiův e I F F I V. 1 enzor malého přetvoření = RU UR I, není invariantní vzhledem k rotaci.

Determinant deformačního gradientu F Mějme tři délkové elementy v nedeformované konfiguraci, které neleží v jedné rovině: 1 3 dx, dx, dx, odpovídající délkové elementy v deformované konfiguraci budou: dx i FdX i, pak objemy v nedef. a def. konfiguraci budou: 1 3 dx1 dx1 dx 1 1 3 1 3 dv= dx dx dx det dx dx dx a 1 3 dx 3 dx 3 dx 3 1 3 dx1 dx1 dx 1 1 3 1 3 dv dx dx dx det dx dx dx det F dv JdV. 1 3 dx3 dx3 dx 3 dv Jakobián transformace J det F má tedy i fyzikální význam - je to změna elementu dv objemu při deformaci kontinua. J>0, pokud je J=1, pak jde o tzv. izochorickou deformaci (objem se při deformaci nezmění), nebo může jít o translaci či rotaci kontinua jako tuhého celku.

Nansonův vztah transformace plošného a objemového elementu Mějme element plochy da s jednotkovou vnější normálou N v nedeformované (referenční, materiálové) konfiguraci Po deformaci bude tento element v deformované konfiguraci da s vnější normálou n Podobně pro element objemu dv v nedeforrmované a dv v deformované konfiguraci da dv n = J daf N, JdV. dl=element délky v nedeformované konfiguraci

Podmínky kompatibility Lagrangeovské i Eulerovské tenzory přetvoření mají v 3-d šest nezávislých složek, které jsou odvozeny z vektoru posunutí U pomocí šesti rovnic U U U U K L M M EKL X L X K X L X K Vyloučíme-li složky posuvů z těchto rovnic dostáváme tzv. rovnice kompatibility, které musí splňovat složky tenzorů přetvoření, aby z nich bylo možno dostat integrací složky posuvu Př. Pro malá přetvoření a rovinnou deformaci (plane strain) platí u1 u 1 u1 u 11 1 11,, 1,. x1 x x x1 x x1 x1x Pro 3-d přibudou ke třem rovnicím stejného typu, jako je rov. pro -d, další tři rovnice typu x x x x x x 33 3 13 1 1 3 1 3.