. Koherence.. Časová koherence.. Souvslost časově proměnného sgnálu se spektrální závslostí.3. nterference nemonochromatckého záření.4. Fourerova spektroskope.5. Prostorová koherence. Koherence Koherence znamená souvslost. V našem přípaě se rozumí souvslost mez vlnam světla. Projeví se přeevším př skláání vln. Záklaním prncpem zůstává prncp superpozce, tzn. sečítání, přípaně ntegrace, ntenzt elektrckého a magnetckého pole v prostoru a čase. Vzhleem k povaze etektorů světla měříme nejčastěj tok energe a z hleska jejch setrvačnost praktcky vžy měříme stření časové honoty a z hleska prostorového rozložení stření prostorové honoty. Koherence úzce souvsí s kvaltou nterferenčního jevu, často se v této souvslost používá termín vtelnost. Př sečítání koherentních vln postupujeme stanarně, tak je popsáno v přecházejícím ostavc. Výslekem je zpravla jasný nterferenční jev. V přípaě částečně koherentních vln bue nterference zeslabena, vtelnost bue menší. V přípaě nekoherentních vln je možné přímo sečítat toky energe, respektve ntenzty světla. Poku jsou vlny nekoherentní nebo částečně koherentní vlvem závslost fáze na čase mluvíme o časové koherenc. Protože exstuje vzájemná souvslost tohoto typu závslost a spektrálního složení světla, patří rovněž efekty spojené s touto skutečností o stejné kategore koherence. Poku sečítáme vlny z různých míst plošného zroje s omezenou souvslostí mluvíme o prostorové koherenc... Časová koherence Přepoklááme vlny, které jsou časově nestablní z hleska fáze. Jako moel zvolíme vlnu ky se fáze mění skokem, ale je konstantní během oby, jejch průměrná honota je. Fourerovou transformací tomu opovíají vlny s frekvenčním ntervalem vz kap3.3. Zaveeme élku l, pak l c c.. Poku je ráhový rozíl mez vlnam tohoto typu menší než l, pak vlny nterferují, protože vzájemné fáze jsou relatvně stablní, v opačném přípaě je nterference slabá nebo žáná. Vztahy rovněž obře vysvětlují souvslost mez časovou stabltou a spektrálním složením nterferujících vln. Analogcky lze postupovat se stejným závěry poku jako moel nterferujících vln zvolíme pulsy.
K popsu nterference a koherence se obře hoí přestava Youngova pokusu nebo Mchelsonova nterferometru. Přepokláejme, že časový rozíl obou rah je s / c, pak platí Et E t E t.. a pro ntenztu světla EE E E E E Re E te t..3 Zaveeme korelační funkc, která určuje vlastnost nterferenčního efektu E te t..4 a relatvní korelační funkc, respektve stupeň koherence smysl tohoto názvu bue zřejmý pozěj..5 Pak pro ntenztu lze psát a v přípaě Re Re..6 Re Re..7.. Souvslost časově proměnného sgnálu se spektrální závslostí Uvažujme kumulovanou ntenztu světla měřenou etektorem za velm louhou obu. V přípaě pulzů je to oba elší než oba jeho trvání, v přípaě kontnuálních zrojů je to oba za kterou průměrná velkost ntenzty se jž nemění. Z formálních matematckých ůvoů bueme ntegrovat ntenztu v nekonečných mezích, ale jsme s věom fyzkálního smyslu takové ntegrace. Současně přepoklááme stejné ampltuy pro E a E, jným slovy symetrcké rozělení ampltuy vlny v nterferometru. Pak E t, E t, t E te tt E t E t t Re E te t t nebo.. Pole Parsevalova teorému vz Apenx t, t tt t t Re E te t t.. tt t t..3 Tento výsleek lze rovněž nterpretovat tak, že celková kumulovaná energe měřená v louhém časovém ntervalu nebo šrokém ntervalu frekvencí, je stejná. Protože F.T. a nverzní F.T. nezmění třetí ntegrál.. E te t pak pole autokorelačního teorému, vz Apenx, platí t e e E te t t..4 e E te a po osazení o.. t t E E..5
t, t Re e..6 Zkráceně Defnujeme stupeň koherence Re..7 e..8 Nebo Re..9 Což je vztah formálně stejný s..7, musíme však rozlšovat způsob měření ntenzt. V zásaě platí, že zajímavá nformace o nterferenc je uložena ve funkc. Poznámka: Je zřejmé, že ntegrace v čase v neomezených mezích je velm výhoná pro matematckou formulac problému, zejména v tomto přípaě pro využtí Parsevalova teorému. Ve skutečnost vžy měříme v omezeném čase a to znamená omezení frekvencí, ale to v prax nemusí hrát vážnou rol. ntegrály pole času v nekonečných mezích lze spolehlvě nahrat střením honotam za fyzkálně rozumnou obu T. T / tt tt.. T T /.3. nterference nemonochromatckého záření Pro ntenztu nterferující jené monochromatcké vlny např. př Youngově pokusu platí cos k s cos.3. Ukázal jsme, že vlny s různým frekvencem praktcky nenterferují a tey můžeme sečítat přímo ntenzty světla, cos cos.3. Ve shoě s efncí funkce lze psát Re.3.3 Což je vztah totožný s..7. Poobně lze efnovat stupeň koherence e.3.4 Respektve cos Re Re.3.5 Nebo 3
Re.3.6 Je zřejmé, že o kvaltě nterference rozhouje stupeň koherence, přípaně. Pro posouzení vlvu koherence efnujeme koherentní obu, která uává obu zpožění za kterou se významně zeslabí nterference. Jena z možností efnc c.3.7 Poobně efnujeme koherentní élku l c.3.8 c c Kvaltu nterfenčního jevu posuzujeme pole vtelnost proužků max mn V.3.9 max mn Ke současně platí V.3. V častém přípaě spektrálního rozložení světla ve tvaru Gaussovy křvky e.3. Dostaneme z.3.4 po ntegrac e e.3. Respektve Re e cos cos.3.3 ke je obálka osclující funkce Re, vz obr..3.. 4
.9.8 =6.3e3 3.75e4.9e5.9.8 =6.3e3 3.75e4.9e5.7.7.6.6 rel.5.4.3...5.4.3.. 4 6 8 s - x 5-5 5 s x -4 Obr..3.. Spektrální složení světla ve tvaru Gauusovy křvky vztah.3. pro 3.45 e5s... 55 nm a obálka stupně koherence pro uveené, respektve pro nm,6 nm, nm. Je obré s všmnout, že šířka spektra je v ntenztě.3. ve jmenovatel exponentu a naopak v čtatel exponentu stupně koherence.3.3. Pak z.3.7 ostaneme l c c.3.4 c c c Pozn.: znovu s přpomeneme, že koherentní élka pro sluneční záření je řáově m, pro výbojku cm, pro lasery m a pro raovlny km. 5
.cos. =6.3e3.cos. - -5-4 -3 - - s 3 4 5 x -4 =3.75e4 - -5-4 -3 - - 3 4 5 s x -4 =.9e5.cos. - -5-4 -3 - - s 3 4 5 x -4 Obr..3.. Stupeň koherence Re pro pomínky jako v obr..3...4. Fourerova spektroskope Spektroskope je metoa určování spektrálního složení světla. Má celou řau aplkací a šroce se používá praktcky ve všech příroních věách. Smyslem je najít závslost nebo relatvní spektrální funkc P P.4. Klascká nebo stanarní spektroskope využívá k rozklau světla pole frekvencí sperzní prvek, např. hranol nex lomu závsí na frekvenc nebo mřížku. Fourerova spektroskope využívá možnost najít P z analýzy světla procházejícího nterferometrem v závslost na ráhovém rozílu respektve zpožění. Uvažujme např. Mchelsonův nterferometr. ntenzta světla měřená etektorem na výstupu nterferometru je totožná se vztahem.3., cos Re.4. Člen je konstantní a z hleska spektrální závslost neobsahuje žánou zajímavou nformac. Vezmeme-l v úvahu pouze proměnnou část pouze klané frekvence a skutečnost, že smysl mají 6
Re cos Pak Fourerova transformace ává výsleek úměrný spektrálnímu složení světla.4.3 Re cos.4.4 Praktcké omezení přesnost je přeevším v konečném, respektve v konečném posunutí max zrcala nterferometru. Současné metoy rychle F.T. ovolují získat vlastní spektrální funkc praktcky okamžtě. Konstanta úměrnost není ůležtá. Poznámka: např. pro monochromatcké světlo Re cos.4.5 Pro Gaussovské spektrální složení e Re e cos Grafcké znázornění těchto výsleků opovíá obr..3.. a.3...4.6.5. Prostorová koherence Zpravla používáme plošné zroje světla. Vzájemná souvslost světla vyzařovaná z různých míst takového zroje souvsí s prostorovou koherencí vyzařovaných vln. Analogcky k časové koherentní élce l c, kterou nazveme poélnou a která uává vzálenost na které jsou vlny ještě korelovány, zaveeme prostorovou, příčnou koherentní élku l t, která uává vzálenost mez boy zroje, které ještě vyzařují korelované vlny. Jako vhoný nterferometr vybereme Yongův pokus. P h S y S h h S D Obr..5. Youngův pokus boový zroj mmo optckou osu. 7
Pak pro boový monochromatcký zroj světla vz. obr..5.. cos k s cos kh.5. S P θ θ S S Δθ L θ S Obr..5.. Youngův pokus va boové zroje vzálené o élku. Pro va nekoherentní stejně ntenzvní zroje obr..5. můžeme sečítat ntenzty světla cos kh cos kh cos kh /. cos kh.5. Ke /.5.3 Dobrá vtelnost nastane pro pomínku kh / m.5.4 Pole obr..5.. platí pro vzálenost zrojů L.5.5 Pro pomínku vou blízkých zrojů m, ky ještě bue obrá vtelnost proužků, platí h nebo h L.5.6 Něky se tato pomínka přpomíná konstatováním, že součn příčných vzáleností musí být mnohem menší než poélných. Pro větší počet boových nekoherentních zrojů ostaneme snano výslenou ntenztu cos k s cos kh.5.6 Zajímavější je přejít ke spojtému lneárnímu zroj, vz obr..5.3. / / cos kh Ke je úhlová šířka zroje, respektve skutečná šířka je s L přepokláejme homogenní zroj, pak kh sn c cos kh Dostáváme velm poobný vztah jako v přípaě časové koherence a proto kh sn kh cos kh. Pro jenouchost.5.7.5.8 8
V.5.9 t S P θ θ S Δθ S Obr..5.3. Youngův pokus plošný zroj světla. Ke je prostorová korelační funkce a t stupeň prostorové koherence kh sn c cos kh cos kh.5. t t Funkce je obálkou osclující funkce a určuje charakter nterference, vz obr..5.4. t V zásaě je možné upravt vztahy pro nekonečně velký zroj, ale není to praktcké. =.ra =55nm.5 -.5 - -5 - -5 5 5 kh /.8 =.ra =55nm.6.4 -. - -5 - -5 5 5 kh / Obr..5.4. Obálka stupně prostorové koherence a vtelnost V pro plošný zroj. 9
V Analogcky lze postupovat pro obecnější plošné typy zrojů. Např. pro zroj ve tvaru sku je možné ovot J kh.5. t kh ke J je Besselova funkce. řáu vz obr..5.5. =.ra =55nm.5 -.5 - -5 - -5 5 5 kh /.8 =.ra =55nm.6.4 -... - -5 - -5 5 5 kh / Obr..5.5. Obálka stupně prostorové koherence a vtelnost zroje ve tvaru sku. P P h h Obr..5.6. Dvě varanty Mchelsonova hvězářského nterferometru.
Jena ze známých aplkací je tzv. Mchelsonův hvězářský nterferometr, vz obr..5.6. Měří se vtelnost nterferenčního jevu jako funkce vzálenost štěrbn h, otu se určí úhlový průměr skového zroje. V prax se vžy jená o současné působení časové a prostorové koherence.