Metody modelování a statistické analýzy procesu extremálních hodnot

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Klára Jelenová Metody modelování a statistické analýzy procesu extremálních hodnot Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Doc. Petr Volf, CSc. Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika Praha 2011

Na tomto místě bych chtěla poděkovat svému vedoucímu práce Doc. Petru Volfovi, CSc. za cenné rady, připomínky a vstřícný přístup. A dále také celé své rodině, za podporu nejen při psaní této práce.

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Berunavědomí,žesenamojiprácivztahujíprávaapovinnostivyplývajícíze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne 20. listopadu 2011 Klára Jelenová

Název práce: Metody modelování a statistické analýzy procesu extremálních hodnot Autor: Klára Jelenová Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Doc. Petr Volf, CSc., ÚTIA AV ČR e-mail vedoucího: volf@utia.cas.cz Abstrakt: V předložené práci se zabýváme vývojem extremálních hodnot časových řad, konkrétně se zaměřujeme na proces maxim. Zkoumáme, kdy tato maxima nastávají a v jaké výši. Pomocí přístupu bodového procesu a pomocí statistických metod modelujeme rozdělení extremálních hodnot. Odhadujeme různými metodami parametry rozdělení, ze kterých by mohla maxima pocházet. K tomu využíváme zejména grafické nástroje pro analýzu dat a následně odhadnutá rozdělení testujeme pomocí testů dobré shody. Pojednáme o stacionárních extremálních hodnotách i o možnosti, že maxima obsahují trend. Věnovat se budeme zobecněnému Paretovu rozdělení hodnot, zejména v souvislosti s rozdělením hodnot excesů a hodnot překračující určitou mez. Klíčová slova: maximum, bodový proces, zobecněné rozdělení extremálních hodnot, zobecněné Paretovo rozdělení, odhad parametrů Title: Methods of modelling and statistical analysis of an extremal value process Author: Klára Jelenová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Doc. Petr Volf, CSc., ÚTIA AV ČR Supervisor s e-mail address: volf@utia.cas.cz Abstract:Inthepresentworkwedealwiththeproblemofetremalvalueoftime series, especially of maxima. We study times and values of maximum by an approach of point process and we model distribution of extremal values by statistical methods. We estimate parameters of distribution using different methods, namely graphical methods of data analysis and subsequently we test the estimated distributionbytestsofgoodnessoffit.westudythestationarycaseandalsothe cases with a trend. In connection with distribution of excesess and exceedances over a threshold we deal with generalized Pareto distribution. Keywords: maximum, point process, Generalized Extreme Value Distribution, Generalized Pareto Distribution, parameters estimation

Obsah Úvod 3 1 Úvod do problematiky 5 1.1 Konvergencemaxim..... 5 1.2 Sférapřitažlivostirozděleníextremálníchhodnot..... 8 1.3 Zobecněné rozdělení extremálních hodnot(gev) a zobecněné Paretovorozdělení(GPD)..... 9 2 Přístup k extrémům pomocí bodového procesu 13 2.1 Bodovéprocesy........ 13 2.1.1 Poissonovynáhodnémíry......... 16 2.1.2 Slabákonvergencebodovýchprocesů... 18 2.2 Bodovýprocespřekročení............. 19 2.2.1 Případiid....... 20 2.2.2 Stacionárnípřípad............. 21 2.3 Aplikacemetodbodovýchprocesůnaiidposloupnosti..... 23 2.3.1 Hodnotyavýskytrekordů......... 24 2.3.2 Maximazačleněnádoextremálníchprocesů........ 25 2.3.3 Frekvencerekordůarůstčasůrekordů........... 27 3 Statistické metody pro extrémní události 30 3.1 Grafickénástrojeproanalýzudat......... 30 3.1.1 Pravděpodobnostníakvantilovýgraf... 30 3.1.2 Středníhodnotaexcesů.......... 32 3.1.3 Dobanávratu..... 33 3.2 OdhadparametrůprorozděleníGEV....... 34 3.2.1 Odhadmetodoumaximálnívěrohodnosti(MLE)...... 35 3.2.2 Pravděpodobnostně vážená momentová metoda(pwme). 35 3.2.3 OdhadLRSE..... 37 3.2.4 Odhadpravděpodobnostichvostuakvantilů........ 37 3.3 Odhadparametrutvaru ξ............. 38 3.3.1 Pickandůvodhad... 38 3.3.2 Hillůvodhadpro ξ= α 1 >0....... 39 3.3.3 L-momentovýodhad............ 40 3.4 Analýzaexcesůpřesdanoumez.......... 40 3.5 Blokovámaxima....... 42 3.6 SouvislostmeziGEVaGPD............ 43 3.7 StatistikavPoissonových-GPmodelech...... 45 3.8 Predikce............ 46 4 Příklady 48 4.1 Příklad1............ 48 4.1.1 OdhadyparametrůvrámciGEV..... 50 4.1.2 Empirickádistribučnífunkce........ 50 4.1.3 Histogramahustoty............ 50 1

4.1.4 Pravděpodobnostnígrafy.......... 50 4.1.5 Kvantilovégrafy... 54 4.1.6 Testovánídat..... 54 4.1.7 Testovánívrámcimodelůetremálníchhodnot....... 56 4.1.8 Odhad parametru tvaru ξ ve zobecněném Paretově rozdělení 57 4.1.9 Dobanávratu..... 60 4.2 Příklad2............ 63 4.2.1 OdhadparametrůGEV.......... 64 4.2.2 Nestacionaritadat,modelovánítrendu........... 65 4.2.3 Analýzapřekročenípřesmez........ 70 Závěr 75 Literatura 77 Seznam tabulek 79 Seznam použitých zkratek 80 Příloha 81 2

Úvod Vsoučasnédoběsevelmičastohovoříoextremálníchhodnotách,aťužsejedná o maxima či minima, obecně se zajímáme o rekordy. Rekordy nastávají v mnoha odvětvích. Mluvíme například o sportovních rekordech, o teplotních rekordech nebo o rekordech týkajících se vodních srážek. V této práci se teorie váže obecně k extremálním hodnotám, v příkladech se však zaměříme na extremální hodnoty z oblasti financí a pojišťovnictví. Může se jednat o maximum či minimum směnného kurzu, ceny akcie nebo např. o výši škod. Pro pojišťovnictví jsou extremální hodnoty klíčové. Pokud by se vyskytlo neočekávaně větší množství vysokých škod v krátkém období, mohla by pojišťovna zkrachovat. I z tohoto důvodu se pojišťovna zajišťuje. Typickým zajištěním je v dnešní době zajištění škodního nadměrku (tzv. zajištění Excess of loss), kde při vzniku škody ručí zajistitel za část plnění, která převýší prioritu(určitá hranice) prvopojistitele. Proto je důležitá modelace extremálních hodnot, konkrétně v tomto případě nás zajímají hodnoty překračující danou mez. Teorií extremálních hodnot se zabývá mnoho odborníků a tedy existuje velké množství publikací, jež se věnují problematice extremálních hodnot. Jednou z nejobsáhlejších a nejlépe zpracovaných knih je Embrechts[6], ze které je v kapitolách, jež se věnují teorii, čerpáno nejvíce. V praktičtější části(tzn. Příklad 1 apříklad2)využívámečastějijinéknihy,atosicetakové,kterésevěnujívíce aplikaci. Jelikož poznatků týkajících se extremálních hodnot existuje již velmi mnoho, nemůžeme zde zmínit vše a zaměříme se jen na některá témata. Cílem práce je mimo jiné sepsat důležité poznatky z oblasti extremálních hodnot z několika zdrojů, ukázat různé přístupy zkoumání extremálních hodnot (přístup bodového procesu a statistická analýza) a porovnat více metod odhadu parametrů rozdělení, ze kterých extremální hodnoty pocházejí. Chceme utvořit přehledné dílo, díky kterému by čtenář nabyl nejen teoretické znalosti z modelování a statistické analýzy extremálních hodnot, ale byl by schopen provést analýzu vlastních dat, jež mohou splňovat různé předpoklady(data nemusí být nutně nezávislá a stejně rozdělená(iid), jak v mnohých případech předpokládáme). Kromě teoretické části bude práce obsahovat dva příklady, které budou založeny na reálných datech a budou podrobeny analýze. U těchto příkladů bude navíc uvedena potřebná rozšiřující teorie a v této praktické části budeme testovat různé metody odhadů parametrů. Mezi hlavní cíle bude patřit hodnocení, zda naše data mohou opravdu pocházet z odhadnutých rozdělení(pomocí různých testů) a pokusíme se ukázat rozdíly v odhadnutých rozděleních v závislosti na předpokladu stacionarity dat. V úvodní kapitole uvedeme několik definic a důležitých vět, které najdeme prakticky ve všech knihách, jež se týkají extremálních hodnot. Druhá kapitola modeluje extremální hodnoty pomocí bodových procesů. Tato kapitola slouží k vytvoření představy o tom, jak se dá provést analýza extremálních hodnot jinak než pomocí parametrických modelů. Pomocí bodových procesů můžeme dobře vysvětlit chování extremálních hodnot a ukázat spojitost s Poissonovými procesy (obecněji s Poissonovou náhodnou mírou). V předposlední kapitole se zmiňujeme o grafických nástrojích pro analýzu dat. Asi nejdůležitější částí jsou však metody odhadu parametrů GEV(zobec- 3

něné rozdělení extremálních hodnot) a GPD(zobecněné Paretovo rozdělení)- např. metoda maximální věrohodnosti, pravděpodobnostně vážená momentová metoda, Pickandův odhad nebo Hillův odhad. K analýze extremálních hodnot se využívají často bloková maxima, kterým je vyhrazena také jedna krátká kapitola. Mimo jiné jsme tuto kapitolu obohatili o metodu predikce založenou na rozdělení extremálních hodnot. V poslední kapitole uvedeme dva příklady. V prvním jsou zkoumána data z oblasti pojišťovnictví, v druhé analyzujeme data směnného kurzu. První příklad bude zaměřen na různé metody odhadu parametrů GEV a následné vyhodnocení odhadnutých rozdělení pomocí grafických analýz. Otestujeme, zda se v těchto datechnevyskytujetrendpomocí χ 2 -testudobréshodyapomocíjinýchtestů budeme zkoumat, zda maxima mohou pocházet z odhadnutého rozdělení. Druhý příklad se od prvního bude lišit předpokladem nestacionarity. Ukážeme si, jak může vypadat GEV s parametry, jež závisejí na čase, konkrétněji s parametry obsahující nějaký trend. Provedeme test, jež vyhodnotí, který trend je lepší pro analýzu extremálních hodnot a vybrané odhadnuté rozdělení porovnáme s rozdělením odhadnutým ze stejných dat, pokud bychom předpokládali, že data jsou iid. Na úplný závěr se budeme zabývat volbou vhodné meze pro analýzu excesů přes mez. Statistická analýza je provedena pomocí softwarů Xtremes(verze 4.1, akademická verze z roku 2007) a Mathematica(verze 8.0.0.0). Software Xtremes je volně dostupný v uvedené verzi na CD-Romu jako součást knihy Reiss[14]. Počátky vývoje tohoto softwaru spadají do 80. let 20. století. Poprvé byl uveden Falkem,HusleremaReissemvknize[7]zroku1994.Tentosoftwareumíznačtených dat např. odhadovat parametry zobecněného rozdělení extremálních hodnot pomocírůznýchmetod,ježjsouzmíněnyvtétopráci.dokážeurčitoptimální 1 počet nejvyšších hodnot(resp. hranici), ze kterých odhadne GPD. Můžeme zde uložit data přesahující námi zvolenou mez, setřídit data podle velikosti, vykreslit empirickou distribuční funkci a kvantilovou funkci nebo střední hodnotu excesů. Máme možnost otestovat, zda data pocházejí z Gumbelova rozdělení či nikoliv a mnoho dalších nástrojů k analýze extremálních hodnot. Toto vše pomocí zabudovaných funkcí. Součástí je však i programovací jazyk StatPascal, jež nabízí možnost naprogramovat si vlastní procedury a výpočty, které mohou použít i předdefinované funkce ze softwaru Xtremes. Většina odhadů pochází z Xtremes. Ze softwaru Mathematica však pocházejí veškeré grafy a výpočty, jež nelze přímo spočítat v softwaru Xtremes. 1 konkrétnějikapitola3.4 4

1. Úvod do problematiky V první kapitole budeme nejdříve definovat základní relevantní pojmy z pravděpodobnosti i matematické statistiky a poté, jak již bylo naznačeno v úvodu, se budeme věnovat problematice extremálních hodnot. K této části se váže mnoho knih:embrechts[6],falk[7],haan[9],kemp[10]akotz[11].zmínímeseo konvergenci maxim a Fisher-Tippettově větě, padne první zmínka o třech rozděleních extremálních hodnot- Fréchetovu, Gumbelovu a Weibullovu a o jejich sféře přitažlivosti. Ukážeme si spojitost mezi těmito třemi rozděleními a všechna tato rozdělení shrneme pod zobecněné rozdělení extremálních hodnot(gev) s parametry tvaru(určuje, o které ze 3 zmíněných rozdělení se jedná), polohy a měřítka. Další rozdělení, na které se zaměříme, je zobecněné Paretovo rozdělení (GPD) a v souvislosti s tímto rozdělením definujeme excesy přes danou mez. Na závěr kapitoly provedeme analýzu typů chvostů, které jsou pro zkoumání chování extremálních hodnot zásadní, zdrojem nám budou knihy Beirlant[3], Foss[8], Neves[13] a Resnick[16]. 1.1 Konvergence maxim Mějme posloupnost nezávislých stejně rozdělených nedegenerovaných náhodných veličin X, X 1, X 2,...sdistribučnífunkcí F,definovanoujako Označme maximum F(x)=P(X x). M 1 = X 1, M n =max(x 1,..., X n ), n 2. Odpovídající výsledky pro minima získáme snadno pomocí formule min(x 1,..., X n )= max( X 1,..., X n ). Distribučnífunkcemaxima M n seodvodíjednoduše: P(M n x)=p(x 1 x,..., X n x)=f n (x), x R, n N. Dále označme x F =sup {x R:F(x) <1} jakopravýkoncovýbod F.Ihnedvidíme,žeprovšechna x < x F P(M n x)=f n (x) 0, n avpřípadě,že x F <,definujemepro x x F P(M n x)=f n (x)=1. Tedy M n P x F pro n,kde x F.Posloupnost(M n )jeneklesajícípro n a konverguje skoro jistě, tedy platí, že M n s.j. x F, n. (1.1) 5

Věta1.1.1.(Poissonovaaproximace 1 ) Prodané τ [0, ]aposloupnost(u n )reálnýchčíseljeekvivalentní kde F=1 F. nf(u n ) τ, (1.2) P(M n u n ) e τ, (1.3) Podle(1.1),(M n )konvergujes.j.kpravémukoncovémubodu x F distribuční funkce F,neboli { 0, x < xf, P(M n x) 1, x > x F. Důsledkemje,žepokudpředpokládáme,že x F < a F(x F )=F(x F ) F(x F ) >0 potomprovšechnyposloupnosti(u n )takové,že P(M n u n ) ρ, jebuď ρ=0nebo ρ=1.tentodůsledekpředevšímukazuje,žeprodistribuční funkci se skokem v konečném pravém koncovém bodě neexistuje nedegenerované limitnírozdělení M n,bezohledunanormalizaci.následujícívětavšakříká,že tento důsledek platí i pro určité distribuční funkce, jejichž pravý koncový bod x F =. Tvrzení1.1.1.Nechť Fjedistribučnífunkcespravýmkoncovýmbodem x F anechť τ (0, ).Potomexistujeposloupnost(u n )splňující nf(u n ) τprávě tehdy, když lim x x F F(x) F(x ) =1. (1.4) Tento výsledek se vztahuje především k diskrétním rozdělením s pravým koncovým bodem v nekonečnu. Pokud se velikosti skoků nezmenšují dostatečně rychle, pak nedegenerované limitní rozdělení maxim neexistuje. Tytoúvahyukazují,ženějakéasymptotickéchování(M n )existuje.nespojitost distribuční funkce může zabránit konvergenci maxim. Nicméně, v takových případechječastomožnénajíttakovouceločíselnouposloupnost(c n ),že(m n c n ) jeslabá,tzn.každápodposloupnost(m n c n )obsahujeslaběkonvergentnípodposloupnost. Definice 1.1.1.(max-stabilní rozdělení) Nedegenerovaná náhodná veličina X se nazývá max-stabilní, jestliže pro iid X, X 1, X 2,..., X n avhodnékonstanty c n >0ad n Rakaždé n 2jesplněno max(x 1,..., X n ) d = c n X+ d n. (1.5) 1 důkazembrechts[6],str.116 6

Centrujícíkonstanty d n anormalizujícíkonstanty c n budemehromadněoznačovat jako normující konstanty. Pokud(X n )jeposloupnostiidmax-stabilníchnáhodnýchveličin,lze(1.5) přepsat do tvaru M n d n c n d = X. (1.6) Distribuční funkce F se nazývá max-stabilní, pokud F n (c n x+d n )=F(x), n=1,2,... provhodnouvolbukonstant d n a c n >0. Velký význam pro maxima má slabá konvergence centrovaných a normovaných maxim. K té se vztahuje jedna z nejdůležitějších vět této kapitoly: Fisher- Tippettova věta. Věta1.1.2.(Fisher-Tippettova,limitnízákonypromaxima 2 ) Nechť(X n )jeposloupnostnezávislýchstejněrozdělenýchnáhodnýchveličin.pokudexistujíposloupnostikonstant c n >0, d n Ranějakánedegenerovanádistribuční funkce H taková, že M n d n c n d H, potom H je distribuční funkce zobecněného rozdělení extremálních hodnot a patří do jednoho ze tří typů distribučních funkcí: { 0, x 0 Fréchet: Φ α (x) = exp { x α α >0. }, x >0 Weibull: Ψ α (x) = { exp { ( x) α }, x 0 1, x >0 α >0. Gumbel: Λ(x) = exp { e x}, x R. Poznámka: 1) Weibullovo rozdělení se také často uvádí pomocí distribuční funkce ve formě { 1 exp { x Ψ α (x) = α }, x >0 α >0. 0, x 0 2) Ačkoliv z pohledu modelování jsou rozdělení Fréchetovo, Weibullovo a Gumbelovo velmi rozdílné, z matematického hlediska jsou blízce propojeny. Předpokládejme,že X >0,pak Xmádistr.fciΦ α 1 X mádistr.fciψ α ln X α mádistr.fciλ Distribuční funkce uvedené ve Větě 1.1.2 se nazývají standardní distribuční funkce extremálních hodnot, odpovídající náhodné veličiny označujeme jako standardníextremálnínáhodnéveličiny.distribučnífunkcetypuφ α,ψ α a Λ určují rozdělení extremálních hodnot, odpovídající náhodné veličiny jsou extremální náhodné veličiny. 2 důkazresnick[15] 7

1.2 Sféra přitažlivosti rozdělení extremálních hodnot Rozdělení extremálních hodnot jsou max-stabilní rozdělení. Proto tedy pokud X je extremální náhodná veličina, pak splňuje(1.6). Speciálně tři případy uvedené ve Větě 1.1.2 si odpovídají následovně: Fréchet: M n d = n 1/α X Weibull: M n d = n 1/α X Gumbel: M n d = X+ln n Rozdělení extremálních hodnot představuje limitní pravidlo pro normovaná maxima nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin(viz Věta 1.1.2-Fisher- Tippettova). Definice 1.2.1.(sféra přitažlivosti- Maximum domain of attraction(mda)) Řekneme, že náhodná veličina X(resp. distribuční funkce F náhodné veličiny X, rozdělení X) patří do sféry přitažlivosti rozdělení extremálních hodnot s distribučnífunkcí H,jestližeexistujíkonstanty c n >0, d n Rtakové,žeplatí M n d n c n d H. Píšeme,že X MDA(H)(resp. F MDA(H)). Poznámka: Distribuční funkce extremálních hodnot jsou spojité na R, proto výraz Mn dn d c n Hjeekvivalentnítomu,že ( ) lim P Mn d n x = lim F n (c n x+d n )=H(x), x R. n c n n Věta1.2.1.(Charakterizacesférypřitažlivosti 3 ) Distribuční funkce F patří do sféry přitažlivosti rozdělení extremálních hodnot s distribučnífunkcí Hsnormujícímikonstantami c n >0, d n Rprávětehdy,když lim nf(c nx+d n )= ln H(x), x R, n kde F=1 F. Vpřípadě,že H(x)=0,definujemelimitujako. Dvě distribuční funkce F a G se nazývají koncově-ekvivalentní, pokud mají stejnýpravýkoncovýbod,tzn. x F = x G a F(x) lim x x F G(x) = c pronějakoukonstantu0 < c <. Pro každé standardní rozdělení extremálních hodnot charakterizujeme jejich sféru přitažlivosti. Pro koncově-ekvivalentní distribuční funkce F a G platí, že F MDA(H) G MDA(H). Navíc pro jakékoliv dvě koncově-ekvivalentní distribuční funkce můžeme vzít stejné normující konstanty. 3 důkazresnick[15] 8

1.3 Zobecněné rozdělení extremálních hodnot (GEV) a zobecněné Paretovo rozdělení(gpd) Zaveďmenyníparametrickourodinu(H ξ ) ξ R distribučníchfunkcíobsahujícístandardní rozdělení extremálních hodnot, tedy Φ 1/ξ pro ξ >0, H ξ = Λ pro ξ=0, Ψ 1/ξ pro ξ <0. Distribučnífunkci H ξ označujemejakozobecněnérozděleníextremálníchhodnot s parametrem ξ. Zmíněná tři standardní rozdělení mohou být tedy prezentována pomocí parametru ξ,atosicetakto: ξ= α 1 >0 odpovídáfréchetovurozděleníφ α, ξ = 0 odpovídá Gumbelovu rozdělení Λ, ξ= α 1 <0 odpovídáweibullovurozděleníψ α. Nyní zavedeme tzv. Jenkins-von Mises reprezentaci rozdělení extremálních hodnot, která spočívá v uvedení zobecněného rozdělení extremálních hodnot(gev)). Definujmedistribučnífunkci H ξ jako { { } exp (1+ξx) 1/ξ pokud ξ 0, H ξ (x)= exp { exp{ x}} pokud ξ = 0, kde1+ξx >0. Tedynosič H ξ odpovídá x > ξ 1 pro ξ >0, x < ξ 1 pro ξ <0, x R pro ξ=0. H ξ senazývázobecněnérozděleníextremálníchhodnot(gev).rozdělení H ξ;µ,ψ sparametrempolohy µ,parametremměřítka ψ aparametremtvaru ξ získámenahrazenímargumentu xargumentem(x µ)/ψpro µ R, ψ >0. Nosičpakmusíbýtpřizpůsoben.Také H ξ;µ,ψ patřídogev. Zadistribučnífunkci H 0 považujemelimitu H ξ pro ξ 0.Vzorcem H ξ (x)=exp { (1+ξx) 1/ξ}, 1+ξx >0, lzevyjádřit H ξ pro ξ R.GEVposkytujevhodnoujednotícíreprezentacitří extremálních rozdělení typu Gumbelova, Fréchetova a Weibullova. V oblasti pojišťovnictví je důležité zkoumat jak rozdělení maxim, tak rozdělení náhodných veličin přesahující danou mez, zejména při zajištění. Nezajímají nás např. jen okamžiky, ve kterých tyto náhodné veličiny nastávají, ale můžeme také zkoumat, o jak velkou hodnotu byla mez překročena. Z tohoto důvodu zavedeme následující terminologii. Překročení Y j přeshranici ujsoutaková X i,prokteráplatí X i > u.hodnoty Y j unazývámeexcesypřeshranici u. 9

Definice 1.3.1.(distribuční funkce excesů) Nechť X je náhodná veličina s distribuční funkcí F a pravým koncovým bodem x F.Propevné u < x F je F u (x)=p(x u x X > u), x 0, (1.7) distribuční funkce excesů nad mezí u. Distribuční funkci excesů nad mezí u lze také zapsat jako F u (x)=f [u] (x+u)= F(x+u) F(u), x 0, 1 F(u) kde F [u] jedistribučnífunkcepřekročeníhranice u,definovanájako F [u] (x)=p(x x X > u). Definice 1.3.2.(střední hodnota excesů) Nechť Xjenáhodnáveličinaspravýmkoncovýmbodem x F.Potom e(u)=e(x u X > u), 0 u < x F, (1.8) se nazývá střední hodnota excesů náhodné veličiny X. S excesy je spjato tzv. zobecněné Paretovo rozdělení(gpd), jež má následující podobu.definujmedistribučnífunkci G ξ jako G ξ (x)= { 1 (1+ξx) 1/ξ pokud ξ 0, 1 e x pokud ξ=0, (1.9) kde x 0 pokud ξ 0, 0 x 1/ξ pokud ξ <0. G ξ senazývástandardnízobecněnéparetovorozdělení(gdp).rozdělení G ξ;ν,β získámenahrazenímargumentu xargumentem(x ν)/βpro ν R, β >0. Nosičpakmusíbýtpřizpůsoben.Také G ξ;ν,β patřídogpd. Stejnějakovpřípadě H 0 můžebýtinterpretováno G 0 jakolimita G ξ pro ξ 0. Stručně píšeme G ξ;β (x)=1 ( 1+ξ x β ) 1/ξ, x D(ξ, β), (1.10) kde obor hodnot x je x D(ξ, β)= { [0, ) pokud ξ 0, [0, β/ξ] pokud ξ < 0. Ke konci kapitoly shrneme, čeho se daná rozdělení týkají: GEV: H ξ, ξ R,popisujelimitnírozdělenínormovanýchmaxim. GPD: G ξ,β, ξ R, β >0,vyjadřujelimitnírozděleníexcesůpřesvysokou mezsměřítkem β. 10

Věta1.3.1.(vlastnostiGPD 4 ) (a)předpokládejme,že XmáGPDsparametry ξa β.potom EX < právě tehdy,když ξ <1. (b)nechť N mápoissonovorozdělenísintenzitou λajenezávislénaiidposloupnosti(x n ),ježmágpdsparametrytvaru ξaměřítka β.definujme M N =max(x 1,..., X N ).Potom P(M N x)=exp (1+ξ λ x ) 1/ξ β = H ξ;µ,ψ(x), kde µ=βξ 1 (λ ξ 1)aψ= βλ ξ. (c)předpokládejme,že XmáGPDsparametry ξ <1aβ.Potompro u < x F e(u)=e(x u X > u)= β+ ξu, β+ ξu >0. 1 ξ Poznámka: Vlastnost(b) říká, že v modelu, ve kterém má počet překročení Poissonovo rozdělení a distribuční funkce excesu mají GPD, má maximum těchto excesů zobecněné rozdělení extremálních hodnot(gev). Z vlastností GPD vyplývá následující model pro okamžiky překročení a excesů iid výběru: počet překročení vysoké meze se řídí Poissonovým procesem excesy přesahující hranici mohou být modelovány pomocí GPD vhodná hodnota meze může být nalezena pomocí vykreslení empirické střední hodnoty excesu rozdělení maxim iid excesů překračujících mez, jejichž počet má Poissonovo rozdělení, pochází ze zobecněného rozdělení extremálních hodnot Poznámky: Kategorizace rozdělení 1) V souvislosti s rozdělením hovoříme často o různých typech chvostů(neboli koncích). Horní (neboli pravá) koncová pravděpodobnost je definována jakopravděpodobnost,ženáhodnáveličina X jevětšíneborovna x,kde xje znatelně vyšší než očekávaná hodnota X. Mluvíme-li o rozdělení F s těžkými hornímichvosty,znamenáto(dlebeirlanta[3]),že j-týmoment 0 x j df(x) jerovennekonečnupronějaképřirozenéčíslo japakužprovšechnavětší. Formálně řečeno, rozdělení je zařazeno mezi rozdělení s těžkými chvosty, jestliže má těžší(delší)chvostynežexponenciálnírozdělení.veskutečnostijevšak většina rozdělení s těžkými chvosty subexponencíální(viz Poznámka 2). Běžně se tedy používá definice, kdy rozdělení s těžkými chvosty znamená rozdělení, kde je pravděpodobnost extrémních hodnot vyšší než pravděpodobnost extrémních hodnot normálního rozdělení. 4 důkazembrechts[6],str.165 11

Jiné definice rozdělení s těžkými horními chvosty: a) Podle Resnicka[16]: b) Podle Fosse[8]: P(X > x) x α,pro x,0 < α. e λx df(x)=,provšechna λ >0. V opačném případě se jedná o lehké chvosty. Podobně lze definovat těžké dolní chvosty. Paretovo rozdělení má těžké chvosty. Ale např. Weibullovo rozdělení může mít a nemusí těžké chvosty, záleží na definici: podle definice Resnicka[16] má Weibullovo rozdělení lehké chvosty, zatímco dle Fosse[8] má těžké chvosty právě tehdy, když parametr ξ < 1. 2) Rozdělení s distribuční funkcí F nazýváme subexponenciální, jestliže pro všechna n 2, F lim n (x) = n, x F(x) kde F n značí n-toukonvolucirozdělení F.Postačujícípodmínkaprosubexponencialitu: F sup 2 (x) x F(x) 2. DleFosse[8]platínásledujícívztah:Distribučnífunkce Fna R + jesubexponenciální právě tehdy, když má těžké chvosty. 3) Mějme standardní zobecněné Paretovo rozdělení s distribuční funkcí(1.9) sparametremtvaru ξ.pokud ξ=0,paksejednáorozdělenísexponenciálními chvosty. Parametr ξ < 0 odpovídá rozdělení s krátkými chvosty s konečným pravým koncovým bodem, zatímco rozdělení s parametrem ξ > 0 mají těžké chvosty, dle Neves[13]- vyhovuje definici podle Resnicka[16] i Fosse[8]. 12

2. Přístup k extrémům pomocí bodového procesu Existují různé způsoby, jak charakterizovat chování extremálních hodnot procesu. Jednou z možností je pomocí teorie bodových procesů. Všechny závěry, ke kterým dojdeme pomocí metody bodových procesů, by měly být stejné jako při použití vhodného parametrického modelu pro extremální hodnoty. Existují však dva dobré důvody pro přístup pomocí bodového procesu: za prvé, bodový přístup poskytuje obecný výklad chování extremálních hodnot a propojuje tím zmíněné parametrické modely extremálních hodnot a za druhé umožňuje přirozenější formulaci nestacionarity v překročeních přes mez než u zobecněného Paretova rozdělení(více o nestacionárních posloupnostech viz Příklad 2). Bodový proces můžeme charakterizovat náhodným výskytem a rozdělením bodů X i vprostoru.nechťprodanérozestavení X i amnožinu Aveličina N(A) počítápočetbodů X i A.Jeprakticképředstavitsirozdělení Njakopravděpodobnosti P(N(A 1 )=k 1,...,N(A m )=k m ) provšechnymožnévolbymnožin A 1,...,A m anezápornáceláčísla k 1,...,k m. Nejčastěji používané bodové procesy jsou takové procesy, ve kterých má N(A) Poissonovo rozdělení. To nás přivádí k zavedení pojmu Poissonova náhodná míra N(viz Definice 2.1.4) jako zobecnění klasického(homogenního) Poissonova procesu na[0, ). Poissonova náhodná míra je základem pro pochopení spojení mezi teorií extremálních hodnot a bodovými procesy. Vztah mezi extrémy, bodovými procesy a slabou konvergencí bodových procesů(na tu se zaměříme v Kapitole 2.1.2) je dobře ilustrován pomocí bodových procesů překročení přes danou mez, viz Kapitola 2.2, kde rozlišujeme případ iid posloupnosti a stacionární případ. Na závěr celé kapitoly týkající se bodových procesů se podíváme na hodnoty a výskyt, resp. frekvenci rekordů v iid posloupnostech. Zmíníme se také o limitních větách bodových procesů rekordů. Tato kapitola čerpá zejména z knihy Embrechts[6] a je doplněna o poznatky z knihy Anděl[2]. Velké množství informací o bodových procesechlzetakénajítvknizedalyeaverejones[5]neboresnick[15]. 2.1 Bodové procesy Uvažujmeposloupnostnáhodnýchvektorů(X n )ztzv.prostorustavů Eadefinujmepro A E N(A)=card {i:x i A}, tzn. N(A)vyjadřujepočet X i patřícíchdo A.Pochopitelně, N(A)=N(A, ω)je náhodný pro danou množinu A a za běžných podmínek N(, ω) definuje náhodnou čítacímírusatomy X n napříslušné σ-algebře εpodmnožin E.Tojeintuitivní význam bodového procesu N. Stavový prostor E je zpravidla podmnožina konečně-rozměrného Euklidovského prostoru a je vybaven σ-algebrou E borelovských množin generovanou otevřenýmimnožinami.bodovýprocessečastozapisujepomocídiracovymíry ε x 13

pro x E: ε x = Prodanouposloupnost(x i ) i 1 v E, { 1 pokud x A, 0 pokud x / A, A E. m(a)= ε xi (A)= 1=card {i:x i A}, A E, i=1 i:x i A definuječítacímíruna E,kterásenazývábodovámíra,pokud m(k) < provšechnykompaktnímnožiny K E.Označmenyní M p (E)prostorvšech bodovýchměrna E,kterýjevybavenýpříslušnou σ-algebrou M p (E). Definice 2.1.1.(bodový proces) Bodovým procesem na prostoru E nazveme měřitelné zobrazení N:[Ω, F, P] [M p (E), M p (E)]. Poznámky: 1) σ-algebra M p (E)obsahujevšechnymnožinytvaru {m M p (E):m(A) B} pro A E anějakou borelovskou množinu B [0, ], tzn. jetonejmenší σ-algebra,prokteroujezobrazení m m(a)měřitelnéprovšechna A E. 2) Bodové procesy bývají nejčastěji zapisovány ve tvaru N= ε Xi i=1 pro posloupnost (X n ) d-rozměrných náhodných vektorů. Potom pro všechny ω Ω, N(A, ω)= ε Xi (ω)(a), A E, definuje bodovou míru na E. i=1 Předpokládejme,že m= i=1 ε xi jebodovámírana E.Nechť(y i )jepodposloupnost(x i )obsahujícívzájemněrůznéhodnoty(x i )bezopakování.definujme četnost(y i )jako n i =card {j: j 1, y i = x j }. Potom můžeme psát m= n i ε yi. i=1 Jestliže n i =1provšechna i,potom mnazývámejednoduchábodovámíra, v ostatních případech hovoříme o vícenásobné bodové míře. Analogicky u bodového procesu N hovoříme o jednoduchém bodovém procesu, resp. o vícenásobném bodovém procesu. Bodový proces je jednoduchý, jestliže P(N({x}) 1, x E)=1. 14

Definice 2.1.2.(horní pořadová statistika) Nechť(X 1,... X n )označujeposloupnostiidnedegenerovanýchnáhodnýchveličin. Definujme uspořádaný výběr X n,n X 1,n. Potom X n,n = min(x 1,... X n )ax 1,n = M n = max(x 1,... X n ).Náhodnou veličinu X k,n nazývámek-touhornípořadovoustatistikou. Příklad 2.1.1.(bodový proces překročení) Jeden z bodových procesů, který je blízký teorii o extremálních hodnotách, je bodovýprocespřekročení:nechť ujereálnéčísloa(x n )jeposloupnostnáhodných veličin. Potom bodový proces překročení n N n ( )= ε n 1 i( )I {Xi >u}, n=1,2,..., (2.1) i=1 sestavovýmprostorem E=(0,1]počítápočetpřekročenínadmezí uvposloupnosti X 1,...,X n.například,vezměmecelýinterval(0,1].potom N n (0,1] = card { i:0<n 1 i 1 a X i > u } = card {i n:x i > u}. Ihnedlzevidětspojitoststeoriíextremálních hodnot.nechť X k,n je k-tá největšípořadovástatistikavýběru X 1,..., X n,potom {N n (0,1]=0} = {card {i n:x i > u}=0} = {žádnýzx i, i n,nepřesahuje u} = {max(x 1,...,X n ) u} {N n (0,1] < k} = {card {i n:x i > u} < k} = {méněnež kzx i, i n,přesahuje u} = {pořadovástatistika X k,n nepřesahuje u} = {X k,n u}. Definice 2.1.3.(čítací proces obnovy) Nechť (Y i ) je posloupnost iid kladných náhodných veličin a nechť je potom T n = Y 1 + +Y n, n 1.Čítací proces obnovygenerovanýpomocí(y i ) definujeme jako N(t)=card {i:t i t}, t 0. K tomuto procesu se vztahuje bodový proces N(A)= ε Ti (A), A E, i=1 sestavovýmprostorem E=[0, ).Poznamenejme,žepro A=[0, t]dostáváme N(t)=N([0, t]), t 0. 15

V tomto smyslu každý čítací proces obnovy odpovídá bodovému procesu. Bodový proces definovaný tímto způsobem je jednoduchý, jelikož platí, že 0 < T 1 < T 2 < spravděpodobností1.homogennípoissonůvprocesječítací proces obnovy s exponenciálními, stejně rozdělenými nezávislými náhodnými veličinami Y i. Příklad 2.1.2.(náhodné součty řízené čítacím procesem obnovy) Uvažujme náhodné součty řízené čítacím procesem obnovy: S(t)= N(t) i=1 X i, t 0. Nechť(N(t))ječítacíprocesobnovydefinovanývDefinici2.1.3a(X i )jeiid posloupnost nezávislá na(n(t)). Takové náhodné součty jsou zkoumány v pojišťovnictví,vekteréminterpretujemenáhodnouveličinu X i jakovelikostškody, kteránastanevčase T i.bodovýprocessouvisejícíss(t)jeurčenvztahem Ñ(A)= ε (Ti,X i )(A), A E, i=1 sestavovýmprostorem E=[0, ) R.Napříkladvpojištění Ñ((a, b] (u, )=card {i:a<t i b, X i > u} udává počet škod, které nastanou v časovém intervalu(a,b] a přesahují danou mez u. 2.1.1 Poissonovy náhodné míry Bodové procesy jsou soubory čítacích proměnných. Nejjednodušší a možná nejpoužívanější příklad čítací proměnné má binomické rozdělení: n B n = I {Xi A n} i=1 proiid X i počítápočet úspěchů {X i A n }mezi X 1,...,X n a p n = P(X 1 A n )je pravděpodobnostúspěchu.potompoissonovavětaříká, že B d n Poi(λ)pro p n λ/n.tentojednoduchýlimitnívýsledekdávápodnět k následující definici Poissonovy náhodné míry, která se vyskytuje jako limita mnoha bodových procesů. Nechť µjeradonovamírana E,tzn. µ(a) < prokompaktnímnožiny A E. Definice 2.1.4.(Poissonova náhodná míra(prm)) Bodový proces N se nazývá Poissonův proces nebo Poissonova náhodná míra se střední mírou µ(značíme PRM(µ)), jestliže jsou splněny následující dvě podmínky: (a)pro A E, P(N(A)=k)= { e µ(a) (µ(a)) k k! pokud µ(a) <, 0 pokud µ(a)=, k 0. 16

(b)nechť m 1.Pakjestliže A 1,...,A m jsouvzájemnědisjunktnímnožiny z E,potom N(A 1 ),..., N(A m )jsounezávislénáhodnéveličiny. Pojemstřednímírasepoužívákvůlitomu,že EN(A)=µ(A).JelikožPoissonovo rozdělení je určeno střední hodnotou, pak PRM(µ) je určena svou střední mírou µ. Příklad 2.1.3.(homogenní Poissonův proces) HomogenníPoissonůvproces(N(t)) t 0 sintenzitou λjeprocessestacionárními nezávislými přírůstky takovými, že N(t) má rozdělení P oi(λt). Potom P((N(t)=k)=e λt(λt)k, k=0,1,.... k! Poissonůvproces(N(t)) t 0 jeneklesajícíprocestvaru N(s, t]=n(t) N(s), 0 s < t <, a rozšiřující tvrzení pro míry definuje bodový proces N na borelovských množinách E=[0, ).Stacionárnínezávislépřírůstkyprocesu(N(t)) t 0 implikují, že P(N(A 1 )=k 1,...,N(A m )=k m )=e λ A 1 (λ A 1 ) k 1 k 1! e λ Am (λ A m ) km k m! provšechnyvzájemnědisjunktní A i aceláčísla k i 0.Zde označujelebesgueovumíruna[0, ).Tentovztahjezřejmýprodisjunktníintervaly A i av obecnémpřípadělzeaproximovatdisjunktníborelovskémnožiny A i pomocíintervalů. Jak již bylo jednou řečeno, alternativně lze homogenní Poissonův proces s intenzitou λdefinovatjakojednoduchýbodovýproces N= i=1 ε Ti,kde T i = Y 1 + +Y i proiidexponenciálnínáhodnéveličiny Y i sestředníhodnotou1/λ. Poznamenejme, že N má střední míru µ(a)=λ A =λ dx, A E. A Nynípředpokládejme,že N jeprm(λ )sestavovýmprostorem E R d (R=R {, }),kde λ >0a značílebesgueovumíruna E.Zobecnění homogenního Poissonova procesu na(0, ] nazýváme homogenní PRM nebo homogenní Poissonův proces s intenzitou λ. Jestliže střední míra µ PRM je absolutně spojitá vzhledem k Lebesgueově míře, tzn. existuje nezáporná funkce f(x) taková, že µ(a)= potom fjeintenzitanebomíraprm. A f(x) dx, A E, 17

Věta2.1.1.(transformovanéPRMjsouPRM 1 ) Předpokládejme,že N je PRM(µ)sestavovýmprostorem E R d.předpokládejme,žebody Njsoutransformoványměřitelnýmzobrazením T: E E,kde E R m pronějaké m 1.Potomvýslednýtransformovanýbodovýprocesje PRM(µ( T 1 )) na E, tzn. tato PRM má střední míru µ( T 1 ( ))=µ { x E: T(x) }. Příklad 2.1.4.(složený Poissonův proces) Nechť(Γ i )jsoubodyhomogenníhopoissonovaprocesu Nna(0, ]sintenzitou λ a(ξ i )jeposloupnostiidnezápornýchceločíselnýchnáhodnýchveličin,nezávislých na N. Uvažujme vícenásobný bodový proces a poznamenejme, že Ñ= ξ i ε Γi i=1 N(t) Ñ(0, t]= ξ i ε Γi (0, t]= i=1 i=1 ξ i, t 0. Ñ není nic jiného než(celočíselný) složený Poissonův proces s intenzitou λ ashlukyvelikosti ξ i.pravděpodobnosti π k = P(ξ 1 = k), k 0,jsoupravděpodobnosti velikosti shluku. 2.1.2 Slabá konvergence bodových procesů Uvažujmebodovéprocesy N, N 1, N 2,...nastejnémprostorustavů E R d.rozdělenítěchtobodovýchprocesůvm p (E),tedyvprostoruvšechbodovýchměr na E, je určeno jejich konečně-rozměrnými rozděleními. Požadavek pro slabou konvergenci (N n )kn bymělbýttakový,žeprojakoukolivvolbu dobrých borelovskýchmnožin A 1,...,A m Eaprovšechnaceločíselná m 1, P(N n (A 1 ),...,N n (A m )) P(N(A 1 ),...,N(A m )). (2.2) Nadruhoustranu,okaždémbodovémprocesu Nmůžemeuvažovatjakoostochastickém procesu, tzn. jako o souboru náhodných veličin N(A) indexovaných množinami A E.Tedy Njenekonečně-rozměrnýobjekt,sekterýmsetakémusí zacházet příslušným způsobem. Definice 2.1.5.(slabá konvergence bodových procesů) Nechť N, N 1, N 2,...jsoubodovéprocesynaprostorustavů E R d se σ-algebrou E borelovskýchmnožin.řekneme,že(n n )konverguje slabě k N v M p (E) (píšeme N d n N),jestliže(2.2)jesplněnaprovšechnymnožiny A i E,které splňují P(N( A i )=0)=1, i=1,..., m, m 1,kde Aznačíhranici A. Předpokládejmeprotentookamžik,žestavovýprostor Ejeinterval(a, b] R. Jak ukazuje následující věta, konvergence konečně-rozměrných rozdělení může být zkontrolována pomocí jednoduchých prostředků. Připomeňme, že jednoduchý bodový proces je proces, jehož body mají násobnost 0 nebo 1 s pravděpodobností 1. 1 důkazembrechts[6],str.230 18

Tvrzení 2.1.1.(Kallenbergova věta o slabé konvergenci k jednoduchému bodovému procesu na intervalu) Nechť(N n )anjsoubodovéprocesyna E=(a, b] Ranechť Njejednoduchý. Předpokládejme, že platí následující dvě podmínky: EN n (A) EN(A) (2.3) provšechnyintervaly A=(c, d],prokteré a < c < d ba P(N n (B)=0) P(N(B)=0) (2.4) provšechnasjednocení B= k i=1 (c i, d i ]vzájemnědisjunktníchintervalů(c i, d i ] takových, že a < c 1 < d 1 < < c k < d k b provšechna k 1.Potom N n d Nv M p (E). Poznámka: VýsledeklzezformulovatobdobněprobodovéprocesynaintervalechvR d. Laplaceův funkcionál(viz Příloha) je užitečný nástroj pro ověření slabé konvergence bodových procesů. Podobně jako slabá konvergence posloupnosti náhodných veličin je ekvivalentní bodové konvergenci jejich charakteristických funkcí nebo Laplace-Stieltjesových transformací, tak slabá konvergence posloupnosti bodových procesů je ekvivalentní konvergenci jejich Laplaceových funkcionálů pro vhodnou rodinu funkcí g. Reálná funkce g má kompaktní nosič, jestliže existujekompaktnímnožina K Etaková,že g(x)=0na K c,doplňku K.Potom definujeme C K + (E)={g: gjespojitánezápornáfunkcena Eskompaktnímkosičem}. Věta 2.1.2.(kritérium slabé konvergence bodových procesů pomocí Laplaceovýchfunkcionálů 2 ) Bodovéprocesy(N n )konvergujíslaběkbodovémuprocesu Nv M p (E)právětehdy,kdyžodpovídajícíLaplaceovyfunkcionálykonvergujíprovšechny g C K(E) + pro n,tzn. Ψ Nn (g)=eexp { } g dn n E 2.2 Bodový proces překročení { } Ψ N (g)=eexp g dn. (2.5) E VPříkladu(2.1.1)jsmepředstavilibodovýprocespřekročenípřesmez u n unáhodnýchveličin X 1,...,X n : n N n ( )= ε n 1 i( )I {Xi >u n}, n=1,2,.... (2.6) i=1 Takéjsmeukázalisouvisloststeoriíextremálníchhodnot:nechť X n,n X 1,n označujepořadovéstatistikyvýběru X 1,...,X n a M n = X 1,n.Potom 2 důkazresnick[15] {N n (0,1]=0} = {M n u n }, {N n (0,1] < k} = {X k,n u n }. (2.7) 19

Vtétokapitoleukážemeslaboukonvergenciposloupnosti(N n )bodovýchprocesů k homogennímu Poissonovu procesu N na prostoru stavů E =(0, 1]. Předpokládáme,žeposloupnost(X n )jeiidnebostriktněstacionárnísplňujícípodmínky D a D (vizkapitola2.2.2). 2.2.1 Případ iid Předpokládejme,že X n jsouiidnáhodnéveličinyanechť(u n )jeposloupnost reálnýchmezí.připomeňme,žezvěty(1.1.1)víme,žepronějaké τ [0, ] vztah P(M n u n ) e τ platíprávětehdy,když n nf(u n )=E I {Xi >u n} τ. (2.8) i=1 Tatopodmínkazaručuje,žeexistujevprůměru τpřekročenímeze u n mezináhodnýmiveličinami X 1,...,X n ataképodmínka(2.8)implikujeslaboukonvergenci bodovýchprocesů N n. Věta2.2.1.(slabákonvergencebodovýchprocesůpřekročení,případiid 3 ) Předpokládejme,že(X n )jeposloupnostiidnáhodnýchveličinsdistribučnífunkcí F.Nechť(u n )jemezníhodnotataková,že(2.8)platípronějaké τ (0, ). Potombodovéprocesypřekročení N n,viz(2.6),konvergujíslaběvm p (E)(vizKapitola2.1.2)khomogennímuPoissonovuprocesu Nna E=(0,1]sintenzitou τ, tzn. NjePRM(τ ),kde značílebesgueovumíruna E. Příklad 2.2.1.(pokračování Příkladu 2.1.1) Aplikací Věty(2.2.1) společně s(2.7) dostáváme k 1 P(X k,n u n )=P(N n (0,1] < k) P(N(0,1] < k)=e τ V Příkladu 2.1.2 jsme uvažovali iid součet procesů indexovaných čítacím procesemobnovyaodpovídajícíbodovýproces:nechť(x i )a(y i )jsoudvěnezávislé posloupnostiiidnáhodnýchveličin,předpokládejme,že Y 1 jekladnáspravděpodobností1amnožina T i = Y 1 + +Y i.potom N (t) = card {i:t i t} definuječítacíprocesyobnovyas(t)= N (t) i=1 X i pro t >0jesoučtovýproces. Zde uvažujme odpovídající bodový proces překročení Ñ n ( )= N (n) i=1 i=0 τ i i!. ε n 1 T i ( )I {Xi >u n} (2.9) naprostorustavů E=(0,1].Stejnějakopředtím,(u n )jeposloupnostreálných mezí. Věta 2.2.2.(slabá konvergence bodových procesů překročení, případ iid a náhodnýindex 4 ) Nechť(Ñn)jsoubodovéprocesypřekročení(2.9)posloupnostimezí(u n ).Předpokládejme,že (u n ) splňuje (2.8)pronějaké τ (0, ).Navíc, nechť T n = Y 1 + +Y n jsoubodyčítacíhoprocesuobnovyna[0, )sestředníhodnotou EY 1 = λ 1 R +.Potomvztah Ñn d N platívm p (E),kde N jehomogenní Poissonůvprocesna E=(0,1]sintenzitou τλ. 3 důkazembrechts[6],str.239 4 důkazembrechts[6],str.241 20

2.2.2 Stacionární případ Tato kapitola se bude zabývat problémem hledání limitního rozdělení maxim M n ahorníchpořadovýchstatistikvýběruzestriktněstacionárníposloupnosti (X n )pomocíbodovýchprocesůpřekročení(viz(2.6)).předpokládejme,žeplatí podmínky D(u n )ad (u n )proposloupnostmezí(u n ). Podmínka1. D(u n ):Pronějakáceláčísla p, qan takové,že j 1 i p lmáme ( ) P max X i u n P i A 1 A 2 1 i 1 < < i p < j 1 < < j p n ( ) ( ) max X i u n P max X i u n α i A 1 i A n,l, (2.10) 2 kde A 1 = {i 1,...,i p },A 2 = {j 1,...,j p }aα n,l 0pro n pronějakou posloupnost l=l n = o(n). Poznámka: V případě posloupnosti nezávislých veličin je rozdíl pravděpodobnostív(2.10)roven0projakoukolivposloupnost u n.obecněbudemepožadovat, abypodmínka D(u n )platilajenprourčitouposloupnostmezí u n,kterároste s n.protakovouposloupnostmezípodmínka D(u n )zajišťuje,žepromnožiny proměnných, které jsou od sebe dostatečně daleko, je rozdíl pravděpodobností v (2.10) dostatečně blízko nule(pokud ne přímo nula) a nemá vliv na limitní zákony extrémů. Podmínka2. D (u n ):Vztah platípro k. [n/k] lim sup n P(X 1 > u n, X j > u n ) 0 (2.11) n j=2 Poznámka:Podmínka D (u n )máintuitivníinterpretacivbodovýchprocesech: pokud(u n )jevybránatak,žesplňuje nf(u n ) τ (0, ),potomexistujeprůměrně τpřekročení u n mezi X 1,..., X n,aproto τ/kmezi X 1,...,X [n/k]. Podmínka D (u n )omezujepravděpodobnostvýskytuvícenežjednohopřekročenímezi X 1,...,X [n/k].tozajistí,ženeexistujívícenásobnébodyvlimitním Poissonově procesu; tzn. tato podmínka zabraňuje shlukům v limitě. Věta 2.2.3.(slabá konvergence bodových procesů překročení, stacionární případ 5 ) Předpokládejme,že(X n )jestriktněstacionárnía(u n )jeposloupnostmezních hodnot,kterésplňují(2.8)aplatí D(u n )ad (u n ).Nechť(N n )jsouprocesy(2.6). Potom N n d Nv M p (E),kde NjehomogenníPRMna E=(0,1]sintenzitou τ. 5 důkazembrechts[6],str.243 21

Následující příklad je analogie Příkladu 2.2.1: Příklad 2.2.2.(limitní pravděpodobnosti horních pořadových statistik) Nechť X n,n X 1,n označujepořadovoustatistikuvýběru X 1,...,X n.předpokládejme,žejsousplněny předpoklady Věty(2.2.3). Potom k 1 P(X k,n u n )=P(N n (0,1] < k) P(N(0,1] < k)=e τ Nechť( X n )jetakováiidposloupnost,prokterouplatí X d = Xaoznačmejejí pořadovoustatistiku X k,n. Tvrzení 2.2.1.(limitní rozdělení horních pořadových statistik) Nechť(X n )jestriktněstacionárnísdistribučnífunkcí F,kde F MDA(H)pro rozděleníextremálníchhodnot H,tzn.existujíkonstanty c n >0, d n Rtakové, že lim n nf(c nx+d n )= ln H(x), x R. Předpokládejme,žeposloupnosti(u n )=(c n x+d n ), x R,splňujípodmínky D(u n )ad (u n ).Potomvztahy P P ( Xk,n d n c n ( X k,n d n c n platíprovšechna k 1. x x ) ) k 1 H(x) i=0 k 1 H(x) i=0 i=0 ( ln H(x)) i, x R, i! ( ln H(x)) i, x R, i! Věta 2.2.1 ukazuje spojitost mezi asymptotickým chováním extrémů stacionárníposloupnosti(x n )asníspojenéiidposloupnosti( X n ).Tovšedíky podmínkám D(u n )ad (u n ). V následujícím odstavci zobecníme tyto výsledky pro konečný vektor pořadových statistik. Budeme se tedy zajímat o pravděpodobnosti tvaru pro k posloupností reálných čísel P(X 1,n u (1) n,..., X k,n u (k) n ) u (k) n τ i i!.... u(1) n. (2.12) Nynítedypracujemeskrůznýmiposloupnostmimezí(u (i) n ), i=1,...,k,azavádíme vektor k bodových procesů překročení, jeden pro každou posloupnost mezí. Nicméně,překročenímezí u (i) n jeokamžitěpřekročenímeze u (r+1) n (2.12). majímnohospolečného.např.překročenímeze u(r) n. Předpokládejme, že je dáno k posloupností 22

Podmínka3. D k (u n ):Pronějakápevnáčísla p, qanějakécelé n 1 i 1 < < i p < j 1 < < j q n takové,že j 1 i p lmáme P ( X im u (sm) n, m=1,...,p, X jr u (s r n ), r=1,..., q) P ( X im u (sm) n, m=1,...,p ) P ( X jr u (s r) n, r=1,...,q ) αn,l, pronějakáceláčísla1 s l, s r k,aα n,l 0pro n pronějakouposloupnost l=l n = o(n). Nenínutnédefinovatpodmínku D (u n ),stačípředpokládat,že D (u (i) n )platí provšechna i=1,..., k. Označme B (i) n = n i=1 I { }, n 1, i=1,...,k, X i >u (i) n propočetpřekročení u (i) n mezi X 1,...,X n. Tvrzení 2.2.2.(slabá konvergence počtu překročení, stacionární případ) Nechť(X n )jestriktněstacionárníposloupnostapředpokládejme,žeposloupnost (u (i) n )splňuje(2.12)aže nf(u(i) n ) τ ipronezáporné τ i, i=1,..., k.předpokládejme,žejsousplněnypodmínky D k (u n )ad (u (i) n)pro i=1,...k.potompro l 1,...,l k 0 P ( ) B n (1) = l 1, B n (2) = l 1 + l 2,...,B n (k) = l 1 + +l k τl 1 1 (τ 2 τ 1 ) l 2 (τ k τ k 1 ) l k e τ k, n. l 1! l 2! l k! Tato tvrzení platí úplně analogicky pro případ iid posloupností. 2.3 Aplikace metod bodových procesů na iid posloupnosti Z názvu kapitoly vyplývá, že budeme aplikovat techniky bodových procesů na extrémy iid posloupností a budeme se zajímat zejména o hodnoty rekordů a jejich výskyt. Proceloukapitolupředpokládejme,že X, X 1, X 2,...jeposloupnostiidnáhodných veličin se spojitou distribuční funkcí F. Definujme x l F =inf {x:f(x) >0} a xr F =sup {x:f(x) <1} levý a pravý koncový bod distribuční funkce F. Jako obvykle označíme maximum prvních n náhodných veličin M 1 = X 1, M n =max(x 1,..., X n ), n 2. Pozdějibudeněkdyvýhodnépoužítsymbol promin,resp. promax.vnásledujícíčástioznačujínáhodnéveličinyγ i bodyhomogenníhopoissonovaprocesu na[0, )sintenzitou1.lzejepotomzapsatjako Γ i = E 1 + +E i, i 1, proiidposloupnoststandardníchexponenciálníchnáhodnýchveličin E i. 23

2.3.1 Hodnoty a výskyt rekordů Jestližeuvažujemepozorování X n,rekordemmyslímekrátkodobémaximum(nebominimum)vtétoposloupnosti,kterásebudeměnitvčase.tedyrekord X n nastává,jestliže X n > M n 1.Zřejmě,novémaximum M n sepotomshodujes X n.poznamenejme,žerekordseuskuteční,kdyžnastaneskokvposloupnosti (M n ).Časovéokamžiky L 1 < L 2 <,vekterýchsetytoskokyuskutečňují,jsou náhodné.nazývámeječasyrekordů(x n ). Následujícívětapopisujeposloupnostrekordů X Ln pokudjdeoprm: Věta2.3.1.(popisbodovéhoprocesurekordů 6 ) Nechť Fjespojitádistribučnífunkceslevýmkoncovýmbodem x l F apravýmkoncovýmbodem x r F.Potomrekordy X Ln iidposloupnosti(x n )jsoubodyprm(µ) na(x l F, xr F )sestřednímírou µ,kterájeurčenavztahem µ(a, b]=r(b) R(a), x l F < a b < xr F, kde R(x)= ln(1 F(x)). Speciálně, jestliže F je distribuční funkce standardního exponenciálního rozdělení, potom R(t)=ta(X Ln ) d =(Γ n )jsoubodyhomogenníhopoissonovaprocesuna R + sintenzitou1. Podledefiniceuvažujeme X 1 jakorekord.předpokládejmenyní,ženáhodné veličiny X i jsouzjišťoványvekvidistantníchčasovýchokamžicích.paktedyčas prvníhorekordu L 1 =1.Kdynastanedruhýrekord?Druhýrekordnastanev čase t 2,pokudmezináhodnýmiveličinami X 1,...,X t jenejvětšíveličina X t a druhénejvyššíhodnotydosahujenáhodnáveličina X 1.Početmožnýchuspořádání veličinmezinimije(t 2)!acelkovýpočetuspořádáníveličin X 1,...,X n je t!. Ztohonámvyplývá,že P(L 2 = t)= (t 2)! t! = 1 t(t 1). Věta2.3.2.(pravděpodobnostičasůrekordů 7 ) Prokaždé n 2akaždé t nplatí P(L n = t)= p n 1,t 1, (2.13) t kde p n,t znamenápravděpodobnostvýskytu nrekordůmeziveličinami X 1,...,X t a je vyjádřena vztahem přičemž Navíc platí, že 6 důkazembrechts[6] 7 důkazanděl[2] P(L 2 > t)= p n,t = t 1 p n,t 1 + 1 t t p n 1,t 1, p 1,1 =1, p n,0 =0. i=t+1 P(L 2 = i)= i=t+1 1 i(i 1) =1 t. (2.14) 24

Věta2.3.3.(podmíněnépravděpodobnostičasůrekordů 8 ) Pro n m < tplatí P(L n+1 > t L n = m)= m t. Nyní definujme čítací proces rekordů(embrechts[6]) jako n N 1 =1, N n =1+ I {Xk >M k 1 }, n 2, (2.15) k=2 auveďmesistředníhodnotuarozptyl N n. Lemma2.3.1.(momenty N n ) Předpokládejme,že(X i )jsouiidsespojitoudistribučnífunkcí F a(n n )jedefinováno pomocí(2.15). Potom EN n = n k=1 1 k a var(n n )= n k=1 ( 1 k 1 k 2 ). Poznamenejme,že EN n avar(n n )jsouobařáduln npro n.podrobněji, EN n ln n γ =0,5772označujícíEulerovukonstantu. Důsledek: počet rekordů iid dat roste velmi pomalu! Nynísipoložmeotázku,kolikrekordůočekávámeve100,1000nebove10000 iid pozorování? Odpověď najdeme v Tabulce 2.3.1. n=10 k, k= EN n ln n ln n+ γ D n 1 2,9 2,3 2,9 1,2 2 5,2 4,6 5,2 1,9 3 7,5 7,0 7,5 2,4 4 9,8 9,2 9,8 2,8 5 12,1 11,5 12,1 3,2 6 14,4 13,8 14,4 3,6 7 16,7 16,1 16,7 3,9 8 19,0 18,4 19,0 4,2 9 21,3 20,7 21,3 4,4 Tabulka2.3.1.Očekávanýpočetrekordů EN n viidposloupnosti(x n ),dohromadysasymptotickýmiaproximacemiln n,ln+γastandardníodchylka D n = var(n n ),založenonalemma2.3.1. 2.3.2 Maxima začleněná do extremálních procesů Posloupnost(M n ) n 1 definujestochastickýprocessdiskrétnímčasemnamnožině celých čísel. Uvažujme konečně-rozměrná rozdělení tohoto procesu. Začneme sdvourozměrnými:nechť x 1 < x 2 jsoureálnáčíslaat 1 < t 2 jsoukladnáceláčísla. Potom 8 důkazanděl[2] P(M t1 x 1, M t2 x 2 ) = P M t1 x 1, t 2 i=t 1 +1 X i x 2 25

= P(M t1 x 1 ) P(M t2 t 1 x 2 ) = F t 1 (x 1 )F t 2 t 1 (x 2 ). Navíc,jestliže x 1 > x 2, Potom Indukcí získáme P(M t1 x 1, M t2 x 2 )=F t 2 (x 2 ). P(M t1 x 1, M t2 x 2 )=F t 1 (x 1 x 2 )F t 2 t 1 (x 2 ). P(M t1 x 1, M t2 x 2,...,M tm x m ) ( m ) ( = F t m ) 1 x i F t 2 t 1 x i F tm t m 1 (x m ) (2.16) i=1 i=2 provšechnakladnáceláčísla t 1 < t 2 < < t m provšechna m 1areálnáčísla x i.ztohotovyjádřenínenítěžkézjistit,že(m n )jemarkovskýproces. K definování F-extremálního procesu použijeme nejdříve(2.16): jestliže se neomezímenanezápornáceláčísla,alepovolímeobecněreálnáčísla0<t 1 < t 2 < < t m,potom(2.16)definujekonzistentnírodinurozdělení,kteráurčuje rozděleníprocesů Y sespojitýmčasemna R +. Definice 2.3.1.(F-extremální proces) Proces Y = (Y(t)) t>0 s konečně-rozměrnými rozděleními (2.16) se nazývá F-extremální proces generovaný distribuční funkcí F neboli F-extremální proces. Potomprocesymaxim(M n )náhodnéhovýběrusdiskrétnímčasemmohou být začleněny do extremálního procesu Y se spojitým časem ve smyslu, že (M n ) n 1 d =(Y(n)) n 1. Proces Y se spojitým časem dědí vlastnosti rozdělení posloupnosti maxim. Extremální proces může být chápán jako funkce PRM. Nechť N= ε (tk,j k ) (2.17) k=1 jeprm( µ)sprostoremstavů E= R + R,kde označujelebesgueovu míruaµjedánavztahem µ(a, b] = ln F(b) ln F(a)pro a < b.jevhodné interpretovat(t k, j k )jakosouřadnicečasu(tzn. t k )aprostoru(tzn. j k ). Tvrzení 2.3.1.(F-extremální procesy reprezentované bodovým procesem) F-extremálníproces Y=(Y(t)) t>0 jereprezenovánjako Y( ) d =sup {j k : t k } vzhledemkprm( µ)definovanév(2.17). 26

Označme τ n časyskoku F-extremálníhoprocesu. Věta2.3.4.(bodovýprocesčasůskokůF-extremálníhoprocesu 9 ) Jestliže F je spojitá, potom N = ε τn (2.18) i=1 jeprm(µ)na R + sintenzitou f(t)=1/t,tzn. µ(a, b]= b a f(t) dt=ln b ln a pro a < b. 2.3.3 Frekvence rekordů a růst časů rekordů Kapitolasevěnujespojitostemmeziokamžikyskoků L n posloupnosti(m n )a τ n F-extremálníhoprocesu Y,abychomzískaliinformaceočasechrekordůiid posloupnosti(x n ). Podledefinice Y(vizDefinice2.3.1)(M n ) =(Y(n)).Tentovztahnámdovoluje d předpokládat,že(l n )a(τ n )jsoudefinoványnastejnémpravděpodobnostním prostorutakovýmzpůsobem,žeskokyposloupnosti(m n )(tzn.rekordy)vl n (tzn.časrekordu)jsoutakéskokyprocesu Y,alenaopaktonemusíbýtpravda. Jelikož Y jeprocessespojitýmčasem,můžemíttedytakéskokyvotevřených intervalech(l n 1, L n ).Připomeňmesidefinicibodovéhoprocesu N časůskoků procesu Yz(2.18)adefinujmebodovýprocesčasůrekordůposloupnosti(X n ) pomocí N= ε Li. (2.19) Potom,vzhledemkvýšeuvedenémuvztahumezi(L n )a(τ n ), i=1 {N(n 1, n]=1} = {(X i )márekordvčase n} = {N (n 1, n] 1}. (2.20) Věta2.3.5.(vztahmezi N a N 10 ) Předpokládejme,žedistribučnífunkce Fjespojitáaže(L n )a(τ n )jsouzkonstruoványtak,jakjeuvedenovýše.potomexistujeceločíselnánáhodnáveličina N 0 taková,žeproskorovšechna ω Ω N((n, n+1], ω)=n ((n, n+1], ω), n N 0 (ω). (2.21) Poznámka: Vztah(2.21) může být formulován i následovně: pro skoro všechna ω Ωexistujeceléčíslo j(ω)takové,že N ((1, n], ω)=j(ω)+n((1, n], ω), n N 0 (ω). (2.22) Věta2.3.6.(slabákonvergencebodovéhoprocesučasůrekordů 11 ) Limitní vztah N n ( )=N(n )= ε n 1 L i ( ) d N ( )= ε τi ( ) platívm p (R + ). 9 důkazembrechts[6],str.253 10 důkazembrechts[6],str.255 11 důkazembrechts[6],str.256 i=1 i=1 27