150 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST

150 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST pořádku, protože toto napětí vzniká na ploškách s normálou x, tj. na svislých ploškách, které v daném případě neleží na hranici stěny, ale oddělují elementární dílky od jejich sousedů vpravo a vlevo. Zbylé části hranice nejsou podepřené ani zatížené. Budou na nich tedy předepsány nulové hodnoty příslušných složek napětí. Na dolní části hranice C D, která má normálu rovnoběžnou s osou z, jde o složky σ z a τ zx, zatímco na pravé části hranice C D, která má normálu rovnoběžnou s osou x, jde o složky σ x a τ xz. Přehled sestavených okrajových podmínek je uveden v tabulce 7.. V matematické literatuře se o úloze najít řešení diferenciální rovnice (nebo soustavy diferenciálních rovnic) splňující dané okrajové podmínky hovoří jako o okrajové úloze (anglicky boundary value problem). Okrajové podmínky mohou obsahovat hodnoty hledaných funkcí nebo jejich derivací až do řádu o jedničku nižšího, než je řád diferenciální rovnice. V našem případě jsou Laméovy rovnice diferenciálními rovnicemi. řádu a okrajové podmínky mohou obsahovat hodnoty posunů u a w nebo jejich prvních derivací. Geometrické okrajové podmínky jsou již přímo zapsány pomocí posunů. Při sestavování statických okrajových podmínek vycházíme z jejich fyzikálního významu a zapisujeme je nejprve jako předepsané hodnoty složek napětí. Je však možné je přepsat pomocí prvních derivací posunů u a w podle x a z, a to na základě materiálových a geometrických rovnic. Například při přepisu podmínek platných pro úlohu na obr. 7.10 na části hranice C D vyjádříme složky napětí jako σ z = E 1 ν (ε z + νε x ) = E 1 ν ( E u τ zx = (1 + ν) z + w ) x ( w z + ν u ) x (7.78) (7.79) a na základě těchto vztahů můžeme podmínky σ z = 0 a τ zx = 0 nahradit ekvivalentními podmínkami 7.3 Analýza rovinné napjatosti 7.3.1 Transformace složek napětí w z + ν u x = 0 (7.80) u z + w x = 0 (7.81) Při sestavování podmínek rovnováhy (7.61) (7.6) jsme pracovali se složkami napětí σ x, τ xz, σ z a τ zx, které popisují vzájemné silové působení mezi elementárním dílkem stěny a okolním materiálem. Přitom jsme si podle obr. 7.7 představovali elementární dílek ohraničený myšlenými svislými a vodorovnými řezy. Obecně nás může zajímat, jaké napětí vzniká v řezech vedených v libovolném směru. Daným bodem stěny totiž můžeme vést myšlené řezy nejen svisle nebo vodorovně, ale i šikmo. V každém takovém řezu vzniká jisté normálové napětí, které je kolmé na rovinu řezu, a jisté smykové napětí, které je s rovinou řezu rovnoběžné. Při analýze obecného tělesa přicházejí v úvahu skutečně zcela libovolné řezy, ale zatím se při analýze stěny omezíme na řezy kolmé na střednicovou rovinu. Můžeme si také představit, že místo elementárního dílku ohraničeného ploškami kolmými na

7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 151 souřadnicové osy x a z použijeme dílek ohraničený ploškami kolmými na jiné osy x a z, které jsou vůči základním osám x a z pootočené o jistý úhel α, jak je naznačeno na obr. 7.11. Na ploškách kolmých na osy x a z vznikají normálová napětí σ x a σ z a smyková napětí τ xz a τ zx (jejichž hodnoty jsou si rovny). Hodnoty napětí závisejí nejen na tom, ve kterém bodě je zkoumáme, ale také na natočení plošky, na které je zjišťujeme. Při posuzování účinků napětí na daný materiál nás například může zajímat, ve kterém směru vzniká největší normálové napětí a jaká je jeho hodnota. Pro materiály náchylné ke vzniku trhlin, jako je třeba beton, se často používá kritérium založené na porovnání maximálního normálového napětí s tahovou pevností materiálu. Jindy může hrát důležitou roli maximální hodnota smykového napětí, se kterou pracuje například tzv. Trescova podmínka plasticity, občas používaná pro kovy. x x α x' z σ z σ x z' z τ xz σ' z σ' x τ' xz Obrázek 7.11: Složky napětí vyjádřené vzhledem k základní a pootočené soustavě souřadnic Ukážeme si, že v případě rovinné napjatosti v rovině xz lze na základě znalosti složek napětí σ x, τ xz a σ z vztažených ke dvěma základním osám x a z ležícím v této rovině vypočítat složky napětí vznikající na libovolné plošce, jejíž normála leží v rovině xz. Můžeme si představit, že tato normála je osou x souřadnicové soustavy, která je vůči základním osám x a z pootočena o úhel α. Složky napětí σ x a τ xz na takovéto obecné plošce lze určit z podmínek rovnováhy elementárního trojbokého hranolu, jehož základnou je nekonečně malý pravoúhlý trojúhelník a výškou je tloušťka stěny h. Jak ukazuje obr. 7.1, v průmětu do střednicové roviny se tento hranol jeví jako pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny jsou kolmé na osy x a z a přepona je kolmá na osu x. Délky odvěsen označíme dx a dz a délku přepony označíme dz. Výslednice napětí působícího na jednotlivých stěnách zkoumaného trojbokého hranolu jsou znázorněny na obr. 7.1. Jelikož naším cílem je vyjádřit hledané složky napětí σ x a τ xz v závislosti na známých složkách napětí σ x, τ xz = τ zx a σ z, je výhodné zapsat podmínky rovnováhy ve směru os x z. První zmíněná podmínka má totiž tvar σ xh dz (σ x h dz + τ zx h dx) cos α (σ z h dx + τ xz h dz) sin α = 0 (7.8) a objevuje se v ní jen jedna hledaná složka napětí, σ x. Je zřejmé, že tloušťka stěny h se v rovnici (7.8) vyskytuje ve všech členech a lze ji zkrátit, takže výsledný vztah nebude záviset na konkrétní hodnotě h. Dále se v rovnici objevují délky stran elementárního trojúhelníka, které lze s využitím goniometrických funkcí všechny vyjádřit pomocí délky

15 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST x α τ xz σ z τ' xz x' dx τ zx h dx σ z h dx z' z σ x σ' x dz α dz' σ x h dz τ xz h dz τ' xz h dz' σ' x h dz' Obrázek 7.1: Elementární trojboký hranol (v průmětu do střednicové roviny) a síly na něj působící přepony dz a tu pak také zkrátit. Po dosazení vztahů dx = dz sin α a dz = dz cos α do rovnice (7.8) a po vydělení celé rovnice výrazem h dz dostaneme σ x (σ x cos α + τ zx sin α) cos α (σ z sin α + τ xz cos α) sin α = 0 (7.83) odkud s využitím vztahu τ xz = τ zx snadno plyne σ x = σ x cos α + τ xz sin α cos α + σ z sin α (7.84) Získali jsme tedy vzorec pro výpočet normálového napětí σ x v obecném směru z daných složek napětí σ x, τ xz a σ z, samozřejmě v závislosti na úhlu α. Podobně lze postupovat i při výpočtu smykového napětí τ xz. Podmínka rovnováhy elementárního trojbokého hranolu ve směru kolmém na osu x má tvar τ xzh dz + (σ x h dz + τ zx h dx) sin α (σ z h dx + τ xz h dz) cos α = 0 (7.85) a po dosazení dx = dz sin α a dz = dz cos α a úpravě dostaneme τ xz + (σ x cos α + τ zx sin α) sin α (σ z sin α + τ xz cos α) cos α = 0 (7.86) odkud snadno plyne výsledný vzorec τ xz = σ x sin α cos α + τ xz (cos α sin α) + σ z sin α cos α (7.87) Odvozené vztahy (7.84) a (7.87) umožňují výpočet normálového a smykového napětí na libovolné plošce kolmé na střednicovou rovinu stěny. Lze je také chápat jako vzorce pro transformaci složek napětí při pootočení soustavy souřadnic x a z o úhel α. Pokud by nás zajímalo normálové napětí σ z, je možné použít vzorec (7.84) pro normálové napětí σ x, ale úhel α nahradit úhlem α + 90. Jelikož cos(α + 90 ) = sin α a sin(α + 90 ) = cos α, dostaneme σ z = σ x sin α τ xz sin α cos α + σ z cos α (7.88)

7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 153 Na závěr ještě můžeme transformační vzorce (7.84) a (7.87) (7.88) převést do poněkud jednoduššího tvaru s využitím identit sin α cos α = sin α, sin α = (1 cos α)/ a cos α = (1+cos α)/. Po dosazení a jednoduchých úpravách získáme užitečné vzorce pro transformaci napětí při rovinné napjatosti ve tvaru σ x = σ x + σ z τ xz = σ x σ z σ z = σ x + σ z + σ x σ z sin α + τ xz cos α σ x σ z cos α + τ xz sin α cos α τ xz sin α (7.89) (7.90) (7.91) Smykové napětí τ zx je samozřejmě rovno τ xz, takže pro něj zvláštní vztah nepotřebujeme. Obrázek 7.13: Panel zkoumaný v příkladu 7.4 PŘÍKLAD 7.4 Jaké napětí vzniká v panelu z příkladu 7. na ploškách pootočených vůči vodorovnému směru o 30 po hodinových ručičkách. Řešení: V příkladu 7. byly pro rovnoměrně namáhaný panel vypočteny normálové složky napětí σ x = 11,667 MPa a σ z = 18,333 MPa. O smykovém napětí se v tomto příkladu nehovořilo, ale ze způsobu namáhání panelu je zřejmé, že vodorovná a svislá vlákna zůstala navzájem kolmá, smyková deformace γ xz je tudíž nulová a smykové napětí τ xz je také nulové. Jelikož je panel namáhán rovnoměrně, složky napětí mají stejné hodnoty ve všech jeho bodech. Příklad plošky pootočené vůči vodorovnému směru o 30 po hodinových ručičkách je nakreslen na obr. 7.13. Normála k takové plošce je vůči vodorovné ose x pootočená o úhel α = 10 po ručičkách. Složky napětí na dané plošce se po dosazení příslušných hodnot do vzorců (7.89) (7.90) vypočtou jako σ x = σ x + σ z + σ x σ z cos α + τ xz sin α = 11,667 + 18,333 11,667 18,333 = + cos 40 = 16,667 [MPa] (7.9) τ xz = σ x σ z sin α + τ xz cos α = 11,667 18,333 = sin 40 =,887 [MPa] (7.93) Na uvažované plošce tedy vzniká normálové napětí 16,667 MPa a smykové napětí,887 MPa. Kladné znaménko normálového napětí znamená, že se jedná o tah. Abychom správně interpretovali znaménko smykového napětí, je třeba si představit pootočené osy x a z podle obrázku. Na plošce s vnější normálou x působí smykové napětí proti ose z, protože hodnota τ xz vyšla záporná. Zamysleme se ještě nad tím, jaký vliv má na výsledek výpočtu volba orientace osy x. Při výpočtu jsme si představovali kladnou orientaci této osy doleva dolů (viz obr. 7.13) a úhel α jsme proto dosazovali jako 10. Místo toho bychom si ale mohli představit osu x kladně orientovanou doprava nahoru a odpovídající úhel α by pak byl 300. Vypočtené napětí by se ovšem nezměnilo, protože při změně α o 180 se α změní o 360 a tudíž hodnoty cos α a sin α zůstanou beze změny.

154 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST 7.3. Mohrova kružnice Pokud v některém bodě stěny známe hodnoty složek napětí σ x, σ z a τ xz vzhledem k základní soustavě souřadnic (obvykle s vodorovnou osou x a svislou osou z), můžeme v tomtéž bodě pomocí transformačních vzorců (7.89) (7.91) určit složky napětí vzhledem k soustavě souřadnic pootočené o úhel α. Napětí σ x a τ xz představují normálovou a smykovou složku napětí vznikajícího na plošce, jejíž normála se od vodorovného směru odchyluje o úhel α. Pokud úhel α postupně měníme od 0 do 180 (tedy v obloukové míře od 0 do π), mění se i odpovídající hodnoty napětí. Kdybychom pro každou možnou hodnotu úhlu α vypočítali odpovídající kombinaci normálového a smykového napětí a vynesli ji do roviny jako bod o souřadnicích (σ x,τ xz), vyplnily by všechny takové body jistou kružnici, které se říká Mohrova kružnice. Toto tvrzení se nejlépe dokáže pomocí geometrické konstrukce znázorněné na obr. 7.14. (a) (b) τ' xz τ' xz P P τ xz C O σ x+ σ z A σ x -σ z B τ xz σ' x σ x -σ z sin α O σ x+ σ z A σ x -σ z α α D' cos α D R α R' τ xz sin α τ xz cos α σ' x Q Obrázek 7.14: Geometrické úvahy vedoucí k Mohrově kružnici Nejprve se podívejme, jak podle vzorců (7.89) (7.90) sestrojit body Mohrovy kružnice odpovídající extrémním případům α = 0 a α = 90. 1. Pro α = 0 je cos α = 1 a sin α = 0, takže podle vzorce (7.89) získáme σ x tak, že sečteme (σ x +σ z )/ a (σ x σ z )/. Výsledek je podle očekávání σ x, ale pro účely grafické interpretace budeme s jednotlivými členy na pravé straně (7.89) zacházet zvlášť. Vodorovnou souřadnici hledaného bodu Mohrovy kružnice získáme tak, že se z počátku souřadnic O posuneme doprava o (σ x + σ z )/, tedy do bodu označeného na obr. 7.14a jako bod A, a poté znovu doprava o (σ x σ z )/, do bodu B. Pokud se pak ještě posuneme nahoru o τ xz, dostaneme se do bodu označeného na obr. 7.14a symbolem P. Tento bod odpovídá kombinaci napětí σ x a τ xz, která vzniká na plošce kolmé na osu x.. Pro α = 90 je cos α = 1 a sin α = 0, takže podle vzorce (7.89) získáme σ x tak, že od (σ x + σ z )/ odečteme (σ x σ z )/. Podle (7.90) je pak τ xz rovno τ xz. Graficky to znamená, že se v obr. 7.14a nejprve posuneme z počátku souřadnic O doprava o (σ x + σ z )/, tedy opět do bodu A jako v předchozím případě, ale následně se posuneme o (σ x σ z )/ doleva, do bodu C, a nakonec o τ xz dolů, do bodu Q.

7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 155 Všimněte si, že na obr. 7.14a vznikly dva shodné pravoúhlé trojúhelníky ABP a ACQ, které mají společný vrchol A a jsou navzájem pootočené o 180. Nyní si představme, že trojúhelník ABP pootočíme kolem vrcholu A po ručičkách o úhel α. Tím vznikne trojúhelník ADR, vyznačený na obr. 7.14b. Ukážeme, že vodorovná souřadnice bodu R odpovídá výrazu na pravé straně (7.89) a svislá souřadnice výrazu na pravé straně vztahu (7.90). Délka úsečky OA je totiž (σ x + σ z )/, což odpovídá prvnímu členu na pravé straně vztahu (7.89). Úsečka AD je průmětem odvěsny AD pod úhlem α, takže její délka je rovna délce odvěsny AD vynásobené cos α. Úsečka D R je pak průmětem odvěsny DR pod úhlem 90 α, takže její délka je rovna délce odvěsny DR vynásobené sin α. Podobně lze ukázat, že svislou souřadnici bodu R můžeme chápat jako rozdíl mezi průmětem odvěsny DR do svislého směru (tedy pod úhlem α) a průmětu odvěsny AD do svislého směru (tedy pod úhlem 90 α), což přesně odpovídá členům na pravé straně (7.90). τ' xz T 1 σ x+ σ z ρ M R A H H 1 σ' x D T Obrázek 7.15: Mohrova kružnice Jestliže úhel α měníme od 0 do 180, mění se jeho dvojnásobek od 0 do 360 a odpovídající bod R se podle obr. 7.15 pohybuje v rovině (σ x,τ xz) po Mohrově kružnici se středem v bodu A. Poloměr Mohrovy kružnice ρ M = (σx σ z ) + τ xz (7.94) odpovídá délce přepony AR trojúhelníka ADR, který je shodný s trojúhelníkem ABP a má odvěsny o délkách (σ x σ z )/ a τ xz. 7.3.3 Hlavní napětí Hlavní napětí určená z Mohrovy kružnice Ukázali jsme, že pokud v jistém bodě stěny známe složky napětí vyjádřené vůči jedné pevně zvolené soustavě souřadnic, můžeme sestrojit Mohrovu kružnici, která plně charakterizuje rovinnou napjatost v daném materiálovém bodě. Každý bod Mohrovy kružnice odpovídá kombinaci normálového a smykového napětí vznikající na jedné z myšlených plošek procházejících tímto materiálovým bodem. Zabývejme se nyní otázkou, na které z těchto plošek vzniká největší tahové napětí a jaká je jeho velikost. Vzhledem k tomu, že při konstrukci Mohrovy kružnice hraje normálové napětí roli vodorovné

156 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST souřadnice, pohybují se hodnoty normálového napětí na všech ploškách v intervalu určeném průsečíky Mohrovy kružnice s vodorovnou osou, tedy body H a H 1 vyznačenými na obr. 7.15. Vodorovné souřadnice těchto bodů jsou σ min = σ x + σ z (σx σ z ) + τ xz (7.95) a σ max = σ (σx ) x + σ z σ z + + τxz (7.96) a normálová napětí na všech ploškách se pohybují v intervalu mezi těmito extrémními hodnotami. První člen na pravé straně (7.95) a (7.96) odpovídá souřadnici středu Mohrovy kružnice a od něj je pak odečten nebo je k němu přičten poloměr ρ M daný vzorcem (7.94). PŘÍKLAD 7.5 Při analýze stěny metodou konečných prvků, založené na předpokladu lineárně pružného chování materiálu, bylo zjištěno, že v nejvíce namáhaném bodu stěny vznikají normálová napětí σ x = 6 MPa, σ z = MPa a τ xz = 3 MPa. Posuďte, zda se při takovém namáhání může materiál skutečně chovat pružně, pokud je jeho tahová pevnost f t = 4 MPa. Řešení: Pružné chování přichází v úvahu pouze, pokud vypočtené normálové napětí v žádném směru nepřekročí tahovou pevnost. Proto určíme maximální hodnotu normálového napětí (maximum přes všechny směry v dané rovině xz) a porovnáme ji s tahovou pevností. Maximální normálové napětí σ max je větší z hlavních napětí a určíme ho podle vzorce (7.96). Po dosazení hodnot napětí v megapascalech dostaneme σ max = σ x + σ z = 6 + (σx ) σ z + + τxz = ( 6 ) + + ( 3) = + 5 = 3 [MPa] (7.97) Tento výsledek znamená, že napětí vypočtené podle pružnosti v žádném směru nepřekročí hodnotu 3 MPa, která je menší než uvedené tahová pevnost materiálu (4 MPa). Předpoklad lineárně pružného chování tedy může být oprávněný. Abychom mohli spolehlivě říci, zda tomu tak skutečně je, museli bychom mít podrobnější informace o chování daného materiálu. Obecně totiž může dojít nejen k porušení tahem, ale i tlakem, smykem apod. Z Mohrovy kružnice je možné odvodit nejen hodnoty hlavních napětí, ale i další důležité charakteristiky daného stavu napětí. Podle obr. 7.15 je například zřejmé, že na ploškách, na kterých vznikají extrémní normálová napětí, nepůsobí žádná smyková napětí (protože odpovídající body H a H 1 leží na ose σ x a jejich svislé souřadnice, mající význam smykového napětí τ xz, jsou nulové. Extrémní normálová napětí σ max a σ min najdeme na dvou navzájem kolmých ploškách, jejichž polohu vůči základním osám x a z je také možné určit z úvah vedoucích k Mohrově kružnici, konkrétně z obr. 7.14b. Aby se bod R ocitl v Mohrově zobrazení v bodu H 1 na vodorovné ose (na kterou se vynáší normálové napětí), musí úhel α odpovídat vrcholovému úhlu trojúhelníka ADR ležícímu u vrcholu A. Tangenta tohoto úhlu tedy musí být rovna podílu protilehlé odvěsny DR a přilehlé odvěsny AD, což vede na podmínku tan α 1 = τ xz (7.98) σ x σ z

7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 157 ze které lze snadno vyjádřit α 1 = 1 arctan τ xz σ x σ z (7.99) Symbolem α 1 jsme zde označili tu konkrétní hodnotu úhlu α, které odpovídá bod Mohrovy kružnice ležící na vodorovné ose a označený na obr. 7.15 jako H 1. Pokud tento úhel zvětšíme o 90, jeho dvojnásobek se zvětší o 180 a odpovídajícím bodem Mohrovy kružnice bude bod H. Osy x a z pootočené vůči původním osám x a z o úhel α po ručičkách jsou takzvané hlavní osy napětí. Na ploškách kolmých na tyto osy vznikají extrémní normálová napětí σ max a σ min, kterým se říká hlavní napětí a v této souvislosti se označují σ 1 a σ. Pro pořádek poznamenejme, že při konstrukci výchozího trojúhelníku ABP na obr. 7.14a jsme mlčky použili jisté předpoklady, které nejsou vždy splněny. Tento trojúhelník totiž má tvar zachycený na obrázku pouze, pokud platí σ x > σ z a τ xz > 0. V takovém případě je zlomek na pravé straně rovnice (7.98) kladný a hodnota úhlu α 1 vypočtená podle (7.99) vyjde mezi 0 a 45. Skutečně pak platí, že při pootočení původních souřadnicových os o úhel α 1 po ručičkách najdeme ve směru osy x normálové napětí odpovídající σ max. Pokud by bylo σ x > σ z, ale τ xz 0, ocitne se bod P vyznačený na obr. 7.14a pod vodorovnou osou, ale stále napravo od bodu A. Úhel α 1 pak vyjde mezi 45 a 0 a pootočení souřadnicových os bude potřeba provést proti ručičkám, nicméně ve směru osy x opět najdeme normálové napětí odpovídající σ max. Situace se ale změní, pokud je σ x < σ z. Bod P se pak ocitne nalevo od bodu A a při pootočení souřadnicových os o úhel α 1 vypočtený podle (7.99) se odpovídající bod Mohrovy kružnice ocitne v poloze H namísto H 1. Normálové napětí na plošce kolmé na osu x pak bude odpovídat σ min místo σ max. Tyto úvahy vypadají komplikovaně, ale výsledek lze shrnout celkem jednoduše: Hlavní osy napětí můžeme vždy získat tím, že původní osy pootočíme o úhel α 1 vypočtený podle vzorce (7.99). Tento úhel vždy vyjde mezi 45 a 45. Na ploškách kolmých na takto pootočené osy působí hlavní napětí σ max a σ min, přičemž větší z nich najdeme na plošce odpovídající té ose, pro kterou bylo pro původní polohu os normálové napětí větší. Jinými slovy, jestliže pro normálová napětí vůči původním osám platilo σ x > σ z, pak najdeme σ max na plošce kolmé na hlavní osu x, v opačném případě najdeme σ max na plošce kolmé na hlavní osu z. Speciální situace nastává, pokud je σ x = σ z, protože pak se ve zlomku na pravé straně rovnice (7.99) objeví nula. Zde je potřeba rozlišit ještě dva případy. 1. Jestliže je smykové napětí τ xz nulové, pak se Mohrova kružnice redukuje na jediný bod a úhel α 1 není určen jednoznačně. Na libovolně natočené plošce je pak smykové napětí nulové a normálové napětí je rovno původnímu σ x. V takovém případě každá dvojice navzájem kolmých os může hrát roli hlavních os napětí.. Jestliže je smykové napětí τ xz nenulové, pak se trojúhelník ADR redukuje na úsečku AR, protože délka odvěsny AD je nulová a bod D splývá se středem Mohrovy kružnice, tedy bodem A. V základní poloze je úsečka AP na obr. 7.14a svislá a při pootočení o 90 se ocitne ve vodorovné poloze. Úhel α 1 je tedy roven 45, což zároveň odpovídá limitnímu případu, kdy se na pravé straně rovnice (7.98) hodnota zlomku blíží nekonečnu. Pokud je τ xz > 0, bude po pootočení souřadnicových os o 45 po ručičkách působit větší z hlavních napětí, tedy σ max, ve směru osy x, zatímco menší z hlavních napětí, tedy σ min, bude působit ve

158 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST směru osy z. Pokud je však τ xz < 0, bude tomu naopak, tj. σ max bude působit ve směru osy z a σ min ve směru osy x. Na základě provedeného rozborů různých případů lze formulovat následující pravidla pro určení úhlu α max, o nějž je třeba pootočit osu x, chceme-li získat tu hlavní osu napětí, která odpovídá většímu z hlavních napětí: 1 arctan τ xz pokud σ x > σ z σ x σ z 1 α max = arctan τ xz + 90 pokud σ x < σ z σ x σ (7.100) z 45 pokud σ x = σ z a τ xz > 0 45 pokud σ x = σ z a τ xz < 0 Připomeňme, že pokud úhel α max vychází kladný, otáčíme osy po ručičkách, v opačném případě proti ručičkám. Ve speciálním případě, kdy σ x = σ z a τ xz = 0, nejsou hlavní osy napětí určeny jednoznačně (každá dvojice navzájem kolmých os může hrát roli hlavních os napětí) a úhel α max lze volit zcela libovolně. Ukázali jsme, že za rovinné napjatosti se normálová napětí na libovolně natočených ploškách procházejících daným materiálovým bodem (a kolmým na střednicovou rovinu) pohybují v intervalu od σ min do σ max, kde σ min je menší z hlavních napětí a σ max je větší z hlavních napětí. Podívejme se nyní, jak je to se smykovou složkou napětí. Při konstrukci Mohrovy kružnice hraje smykové napětí τ roli svislé souřadnice, takže extrémních hodnot τ min a τ max je dosaženo v nejníže a nejvýše položených bodech Mohrovy kružnice. Na obr. 7.15 jsou tyto body označeny jako T 1 a T a jejich vzdálenost od vodorovné osy odpovídá poloměru Mohrovy kružnice ρ M. Pro tento poloměr jsme již odvodili vztah (7.94), který nyní stačí přepsat jako τ max = (σx σ z ) + τ xz (7.101) Speciální výraz pro τ min není zapotřebí, protože se od τ max liší pouze znaménkem. Navíc u smykového napětí hraje roli zejména jeho absolutní hodnota. Znaménko smykového napětí určuje jeho orientaci, ale pokud například porovnáváme smykové napětí se smykovou pevností, na znaménku nezáleží. Použití odvozených vzorců pro výpočet extrémních napětí a určení polohy hlavních os napětí předvedeme na následujícím příkladu. PŘÍKLAD 7.6 Proveďte podrobnou analýzu rovinné napjatosti charakterizované složkami napětí uvedenými v příkladu 7.5. Sestrojte příslušnou Mohrovu kružnici, určete polohu hlavních os napětí a zjistěte, na jak natočených ploškách vzniká extrémní smykové napětí a jak je velké. Řešení: V příkladu 7.5 byly zadány složky napětí σ x = 6 MPa, σ z = MPa a τ xz = 3 MPa, které jsou graficky znázorněny na obr. 7.16b. Mohrova kružnice odpovídající takovému stavu napětí má střed v bodu, jehož svislá souřadnice je nulová a vodorovná souřadnice je σ x + σ z = 6 + = [MPa] (7.10) Poloměr Mohrovy kružnice určíme podle vzorce (7.94) jako (σx ) σ ( 6 ) z ρ M = + τxz = + ( 3) = 5 [MPa] (7.103)

7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 159 Na základě těchto údajů snadno sestrojíme Mohrovu kružnici vykreslenou na obr. 7.16a. Plošce kolmé na osu x odpovídá na Mohrově kružnici bod P o souřadnicích σ = σ x = 6 MPa a τ = τ xz = 3 MPa. Plošce kolmé na osu z odpovídá na Mohrově kružnici bod Q o souřadnicích σ = σ z = MPa a τ = τ zx = 3 MPa. Mohrova kružnice protíná vodorovnou osu v bodech, které odpovídají ploškám kolmým na hlavní osy napětí. Na těchto ploškách vznikají extrémní hodnoty normálových napětí, tedy hlavní napětí σ 1, = ± 5 MPa. Hodnota největšího hlavního napětí, σ max = 3 MPa, souhlasí s výsledkem příkladu 7.5 a nejmenší hlavní napětí je σ min = 7 MPa. Poloměr Mohrovy kružnice ρ M zároveň odpovídá maximálnímu smykovému napětí τ max = 5 MPa. (a) (b) (c) (d) (e) τ τ max x z' α max =108 o -τ zx Q z σ max σ min σ x z τxzσ P τ min σ max σ 6 3 3 3 3 6 7 x' 3 3 7 5 5 5 5 τ max σ min Obrázek 7.16: (a) Mohrova kružnice odpovídající stavu napětí zkoumanému v příkladech 7.5 7.6, (b) poloha základních os x a z a složky napětí vůči těmto osám, (c) poloha hlavních os napětí a natočení elementárního dílku, při kterém na jeho stěny působí extrémní normálová napětí, (d) natočení elementárního dílku, při kterém na jeho stěny působí extrémní smyková napětí, (e) názorné určení správné orientace extrémního smykového napětí Prozkoumejme nyní, na jak natočených ploškách extrémní hodnoty napětí vznikají. Extrémní normálová napětí, σ max a σ min, působí na ploškách kolmých na hlavní osy napětí. Natočení těchto os vůči základní soustavě souřadnic určíme podle (7.106). Jelikož ve zkoumaném případě je σ x < σ z, použijeme vzorec z druhého řádku (7.106) a vypočteme α max = 1 arctan τ xz + 90 = 1 ( 3) arctan σ x σ z 6 + 90 = = 1 arctan 0,75 + 90 = 1 36,87 + 90 = 108,435 (7.104) Největší hlavní napětí (extrémní tah) tedy vzniká na plošce kolmé na osu x, která je vůči původní vodorovné ose x pootočená o cca 108 po ručičkách. Se svislicí svírá tato hlavní osa úhel asi 18. Nejmenší hlavní napětí (extrémní tlak) vzniká na plošce kolmé na osu z, která je vůči původní svislé ose z pootočená také o cca 108 po ručičkách. Hlavní osy napětí jsou vykresleny na obr. 7.16c, kde je také znázorněn elementární dílek se stěnami kolmými na hlavní osy a příslušná hlavní napětí. Na stěnách takto natočeného elementárního dílku působí pouze normálová napětí a smykové napětí je na nich

160 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST nulové. Extrémní smyková napětí τ max najdeme na ploškách, které s hlavními osami svírají úhly 45, viz obr. 7.16d. Orientaci těchto napětí bychom mohli určit úvahami o Mohrově kružnici, ale nejjednodušší je vycházet z názoru a představit si čtvercový elementární dílek z obr. 7.16c rozříznutý podél jedné diagonály, jak je naznačeno na obr. 7.16e. Kolmo na odvěsny vzniklého pravoúhlého rovnostranného trojúhelníka působí hlavní napětí a rovnoběžně s přeponou působí extrémní smykové napětí, jehož orientace musí být taková, aby byla splněna silová podmínka rovnováhy uvažovaného trojúhelníkového dílku zapsaná ve směru přepony. Hlavní napětí určená jako vlastní čísla matice Odvození vzorců (7.95) (7.96) pro výpočet hlavních napětí bylo založeno na geometrických úvahách souvisejících s Mohrovou kružnicí. Zajímavé je, že ke stejným vzorcům lze dospět alternativním postupem na základě zkoumání vlastních čísel čtvercové matice, do které uspořádáme složky napětí. Na diagonále této matice se ocitnou normálová napětí a mimo diagonálu smyková napětí. Matice složek napětí má tedy v případě rovinné napjatosti tvar ( ) σx τ σ = xz (7.105) τ zx Připomeňte si, jak byla v matematice definována vlastní čísla čtvercové matice A. Číslo λ je vlastním číslem matice A, pokud po odečtení hodnoty λ od všech diagonálních prvků matice A získáme singulární matici, neboli matici s nulovým determinantem. Vlastní čísla tedy lze určit řešením rovnice σ z det(a λi) = 0 (7.106) kde I označuje jednotkovou matici. Po rozepsání výrazu pro determinant se ukáže, že levá strana rovnice (7.106) je vzhledem k proměnné λ polynomem, jehož koeficienty závisejí na prvcích matice A. Stupeň tohoto polynomu je roven počtu řádků (a zároveň počtu sloupců) matice A. Při výpočtu hlavních napětí za rovinné napjatosti hledáme vlastní čísla matice σ, která mají význam napětí, a proto je označíme symbolem σ místo λ. Rovnici det(σ σi) = 0 přepíšeme jako ( ) σx σ τ det xz = 0 (7.107) σ z σ τ zx a po rozepsání výrazu pro determinant čtvercové matice formátu ji upravíme na tvar (σ x σ)(σ z σ) τ xz τ zx = 0 (7.108) Složky napětí σ x, σ z, τ xz a τ zx jsou považovány za známé, takže se jedná o kvadratickou rovnici pro neznámou σ, kterou s využitím vztahu τ xz = τ zx zapíšeme jako σ (σ x + σ z )σ + σ x σ z τ xz = 0 (7.109) Podle známého vzorce pro řešení kvadratické rovnice pak získáme dvě řešení σ 1, = σ x + σ z ± (σ x + σ z ) 4(σ x σ z τ xz) = σ x + σ z ± (σx σ z ) + τ xz (7.110)

7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 161 Jak je vidět, výsledek přesně odpovídá vztahům (7.95) (7.96) pro extrémní napětí σ min a σ max. To samozřejmě není náhoda, ale podrobné zdůvodnění zde provádět nebudeme. PŘÍKLAD 7.7 Pro konkrétní hodnoty složek napětí zadané v příkladu 7.5 ověřte, že hlavní napětí jsou skutečně vlastními čísly matice složek napětí σ. Řešení: V příkladu 7.5 byly zadány složky napětí σ x = 6 MPa, σ z = MPa a τ xz = 3 MPa a v příkladu 7.6 byla vypočtena odpovídající hlavní napětí σ 1 = σ max = 3 MPa a σ = σ min = 7 MPa. Pro zjednodušení zápisu budeme nadále všechna napětí dosazovat v MPa a jednotky vynecháme. Po odečtení σ 1 od diagonálních prvků matice složek napětí dostaneme σ σ 1 I = ( σx σ 1 τ xz τ zx σ z σ 1 ) = ( 6 3 3 3 3 ) ( ) 9 3 = = (7.111) 3 1 Vidíme, že první řádek výsledné matice je trojnásobkem druhého, takže řádky nejsou lineárně nezávislé a matice je singulární. Její determinant se vypočte jako ( 9) ( 1) ( 3) ( 3) a jeho hodnota je skutečně nulová. Podobně po odečtení σ od diagonálních prvků matice složek napětí dostaneme ( ) ( ) ( ) σx σ σ σ I = τ xz 6 ( 7) 3 1 3 = = = τ zx σ z σ 3 ( 7) 3 9 (7.11) V tomto případě je druhý řádek roven mínus trojnásobku prvního a matice je opět singulární. V předchozím výkladu jsme předvedli dva alternativní přístupy k určování hlavních napětí. Nejprve jsme hlavní napětí definovali jako extrémní (maximální a minimální) hodnoty normálového napětí a vzorce pro jejich výpočet jsme odvodili pomocí geometrických úvah využívajících Mohrovu kružnici. Poté jsme ukázali, že ke stejnému výsledku dospějeme, pokud hledáme vlastní čísla čtvercové matice σ, do které uspořádáme složky napětí. Přemýšlivý student si jistě položil otázku, jaká je mezi oběma přístupy souvislost a proč vedou ke stejným vzorcům pro výpočet hlavních napětí. Tuto souvislost nyní objasníme a ukážeme, proč vlastní čísla matice σ odpovídají extrémním hodnotám normálového napětí. Vyjdeme z úvahy o tom, že místo geometrické konstrukce bychom extrémní hodnoty normálového napětí mohli hledat jako maximum a minimum funkce popisující závislost normálového napětí σ x ve směru obecné osy x na úhlu, který tato osa svírá s danou souřadnicovou osou x. Pro pevně zvolené hodnoty složek napětí σ x, σ z a τ xz je napětí σ x funkcí úhlu α, danou předpisem (7.89). Tato funkce f(α) = σ x + σ z + σ x σ z je spojitě diferencovatelná a její derivaci snadno vyjádříme jako cos α + τ xz sin α (7.113) df(α) dα = (σ x σ z ) sin α + τ xz cos α (7.114) Všechny možné směry osy x jsou popsány, pokud úhel α měníme mezi 0 a 180, takže bychom měli extrémy funkce f hledat na intervalu [0,π). Jelikož je ale vyšetřovaná funkce periodická s periodou π, není třeba věnovat speciální pozornost krajním bodům tohoto intervalu a stačí vyšetřit ty body, ve kterých má funkce f nulovou derivaci. Podmínka nulové derivace je splněna pro ty úhly α, pro které (σ x σ z ) sin α = τ xz cos α (7.115)

16 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST Za předpokladu, že σ x σ z, je rovnost (7.115) splněna pro α = 1 arctan τ xz σ x σ z + kπ (7.116) kde k je libovolné celé číslo. Ve zvláštním případě, kdy σ x = σ z, je rovnost (7.115) splněna pro α = π/4+kπ/. Tím jsme ověřili platnost vzorců (7.106) pro výpočet polohy hlavních os napětí, ale výpočet hlavních napětí dosazením (7.116) do (7.113) by vedl ke zbytečně komplikovaným vzorcům. Abychom získali použitelné výrazy pro extrémní hodnoty funkce f (tedy pro hlavní napětí), celý postup ještě upravíme. Místo úhlu α popíšeme polohu pootočené osy x pomocí složek jednotkového vektoru n, který určuje směr této osy. Složky vektoru n, označené n x a n z, odpovídají kosinům úhlů, které pootočená osa x svírá se základními osami x a z. Platí proto n x = cos α a n z = cos(90 α) = sin α a transformační vzorec pro normálové napětí σ x můžeme použít v jeho původní podobě (7.84). Místo funkce f proměnné α pak uvažujeme funkci g(n x,n z ) = σ x n x + τ xz n x n z + σ z n z (7.117) Při hledání jejích extrémů ovšem nemůžeme použít zcela libovolné kombinace hodnot n x a n z, ale jen ty, které splňují omezující podmínku n x + n z = 1 (7.118) Tím je vyjádřena skutečnost, že vektor o složkách n x a n z je jednotkový (jinak bychom nemohli interpretovat n x jako cos α a n z jako sin α). Naším úkolem je tedy najít extrémy funkce g dané předpisem (7.117) při splnění omezující podmínky (7.118). Jedná se o úlohu na vázaný extrém funkce více proměnných, kterou lze řešit technikou založenou na Lagrangeově multiplikátoru λ. Z matematiky je známo, že při hledání extrému funkce g(n x,n z ) na množině všech dvojic (n x,n z ) splňujících podmínku h(n x,n z ) = 0 je výhodné zavést pomocnou funkci G(n x,n z,λ) = g(n x,n z ) λh(n x,n z ) (7.119) kde λ je pomocná proměnná, zvaná Lagrangeův multiplikátor. Pokud pro jistou dvojici (n x,n z ) nastává vázaný extrém původní funkce g, pak musí existovat taková hodnota λ, pro kterou jsou všechny parciální derivace pomocné funkce G vyhodnocené pro (n x,n z,λ) nulové. Hledání vázaných extrémů původní funkce g je tedy převedeno na hledání stacionárních bodů pomocné funkce G, tj. těch bodů, ve kterých vymizí parciální derivace G/ n x, G/ n z a G/ λ. Vzhledem k tomu, že funkce G je definována předpisem (7.119), lze podmínky stacionarity přepsat pomocí původních funkcí g a h jako g(n x,n z ) = λ h(n x,n z ) n x n z (7.10) g(n x,n z ) = λ h(n x,n z ) n z n z (7.11) h(n x,n z ) = 0 (7.1) Tím získáme soustavu tří rovnic pro tři neznámé, n x, n z a λ. Tato soustava obecně může mít více řešení, mezi nimiž musejí být hledané vázané extrémy. Stačí tedy najít všechna řešení soustavy (7.10) (7.1) a zjistit, pro které z nich nabývá funkce g největší hodnoty a pro které nabývá nejmenší hodnoty. V našem případě je funkce g dána předpisem (7.117) a omezující podmínku (7.118) lze zapsat ve tvaru h(n x,n z ) = 0, jestliže funkci h definujeme předpisem h(n x,n z ) = n x + n z 1 (7.13) Po dosazení konkrétního tvaru funkcí g a h do podmínek (7.10) (7.1) získáme následující soustavu rovnic: σ x n x + τ xz n z = λn x (7.14) τ xz n x + σ z n z = λn z (7.15) n x + n z 1 = 0 (7.16)

7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 163 Pro pevně zvolenou hodnotu Lagrangeova multiplikátoru λ představují rovnice (7.14) (7.15) homogenní soustavu dvou lineárních algebraických rovnic s neznámými n x a n z. Po vydělení obou rovnic dvěma a přepisu do maticové podoby můžeme výsledný problém zapsat ve tvaru ( ) ( ) ( ) σx λ τ xz nx 0 = (7.17) σ z λ 0 τ xz Tato soustava má vždy triviální řešení n x = n z = 0, které však nesplňuje omezující podmínku (7.16). Proto nás zajímá pouze netriviální řešení, které existuje právě tehdy, když je matice na levé straně rovnice (7.17) singulární. Tento případ nastává, pokud je λ vlastním číslem matice složek napětí. Jak již víme, taková vlastní čísla jsou obecně dvě (ve speciálním případě mohou splývat) a jsou dána vzorcem (7.110). Pro každé z nich můžeme najít odpovídající n x a n z jako složky normovaného vlastního vektoru. Provedená analýza ukazuje, že při hledání maximálního a minimálního normálového napětí jako vázaného extrému dospějeme k problému vlastních čísel matice složek napětí, ale stále není zřejmé, proč jsou hledané extrémní hodnoty přímo rovny vlastním číslům. Zatím jsme jen zjistili, že jednomu z vlastních čísel musí být roven Lagrangeův multiplikátor vypočtený ze soustavy rovnic (7.10) (7.1). Označme vlastní čísla matice σ jako σ 1 a σ a uvažujme případ, kdy λ = σ 1. Odpovídající hodnoty n x a n z označíme n 1x a n 1z a vyhodnotíme funkci g. Funkční předpis (7.117) můžeme přepsat jako n z g(n x,n z ) = n x (σ x n x + τ xz n z ) + n z (τ xz n x + σ z n z ) = (7.18) a po dosazení hodnot n x = n 1x a n z = n 1z a uvážení vztahů σ x n 1x + τ xz n 1z = σ 1 n 1x a τ xz n 1x + σ z n 1z = σ 1 n z zjistíme, že g(n 1x,n 1z ) = n 1x σ 1 n 1x + n 1z σ 1 n 1z = (n 1x + n 1z)σ 1 = σ 1 (7.19) Obdobně se ukáže, že pokud n x a n z je řešení rovnic (7.10) (7.1) sestrojené pro λ = σ, pak g(n x,n z ) = σ. Z toho už pak přímo plyne, že maximální hodnota funkce g je rovna většímu z vlastních čísel σ 1 a σ a minimální hodnota funkce g je rovna menšímu z těchto čísel. Tím je dokázáno, že vlastní čísla matice složek napětí představují extrémní hodnoty normálového napětí a tudíž jsou obě definice hlavních napětí ekvivalentní.