INTERAKTIVNÍ POMŮCKY V PROGRAMU GEOGEBRA JAKO DOPLNĚK STUDIJNÍCH MATERIÁLŮ PRO ZÁKLADNÍ KURZY MATEMATIKY NA VŠB-TU OSTRAVA Zuzana Morávková VŠB - Technická univerzita Ostrava Abstrakt: Studijní materiály k předmětům Matematika I a II, jejichž obsahem je diferenciální a integrální počet jedné a více proměnných, lineární algebra a analytická geometrie, byly rozšířeny o interaktivní pomůcky, vytvořené v programu GeoGebra a volně dostupné na webu. V článku si podrobně popíšeme tvorbu pomůcky pro řešení soustav lineárních rovnic. Klíčová slova: GeoGebra, interaktivní pomůcky k výuce Interactive Tools in GeoGebra as a Part of Learning Materials for Math Courses at the VŠB-Technical University of Ostrava. Abstract: Study materials for the subjects Mathematics I and II (differential and integral calculus, linear algebra and analytic geometry) have been enlarged by interactive tools, created in GeoGebra and freely available on the web. The tool for linear system is described in the article. Key words: GeoGebra, interactive tools 1 Úvod V rámci projektu FRVŠ vznikly na naší katedře nové studijní materiály pro učivo předmětů Matematika I (diferenciální počet funkce jedné proměnné, základy lineární algebry a analytické geometrie) a Matematika II (integrální počet, diferenciální počet funkcí dvou proměnných, základy diferenciálních rovnic). Součástí těchto materiálů je i řada interaktivních pomůcek vytvořených v programu GeoGebra, které jsou dostupné na GeoGebraTube http://www.geogebratube.org/user/ 240
profile/id/7057 a pomáhají k lepšímu pochopení dané problematiky. V tomto článku ukážeme podrobný postup tvorby interaktivní pomůcky pro řešení soustavy tří lineárních rovnic pro tři neznámé. 2 Soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé Prvky matice soustavy a vektoru pravých stran budeme zadávat pomocí Tabulky. V jedné nákresně bude umístěna soustava lineárních rovnic a její maticový tvar a dále interaktivní texty, které na kliknutí zobrazí jednotlivé částí řešení. V druhé nákresně je zobrazena rozšířená matice soustavy v Jordanově tvaru, informace o počtu řešení podle Frobeniovy věty a řešení. Aplikaci najdete na GeoGebraTube na adrese: http://www.geogebratube. org/student/m40461 Náhled pomůcky je zobrazen na obrázku 1: Tabulka Obrázek 1: Náhled interaktivní pomůcky Zobrazíme náhled Tabulka, ve kterém se budou zadávat prvky matice soustavy a vektoru pravých stran. Nastavíme barvy pozadí buněk pro lepší přehlednost a vytvoříme objekty A a b: 241
Nastavíme barvu pozadí v buňkách tabulky. Pro prvky matice soustavy A na světle růžovou: NastavitBarvuPozadi[B2,1,0.8,0.8] NastavitBarvuPozadi[C2,1,0.8,0.8] NastavitBarvuPozadi[D2,1,0.8,0.8] NastavitBarvuPozadi[B3,1,0.8,0.8] NastavitBarvuPozadi[C3,1,0.8,0.8] NastavitBarvuPozadi[D3,1,0.8,0.8] NastavitBarvuPozadi[B4,1,0.8,0.8] NastavitBarvuPozadi[C4,1,0.8,0.8] NastavitBarvuPozadi[D4,1,0.8,0.8] A pro pravou stranu b na světle zelenou: NastavitBarvuPozadi[F2,0.8,1,0.8] NastavitBarvuPozadi[F3,0.8,1,0.8] NastavitBarvuPozadi[F4,0.8,1,0.8] Z čísel v buňkách tabulky vytvoříme matice. Matice soustavy A={{B2, C2, D2}, {B3, C3, D3}, {B4, C4, D4}} Vektor pravých stran b={{f2}, {F3}, {F4}} Nákresna V Nákresně dále zobrazíme soustavu lineárních rovnic v maticovém tvaru: Vytvoříme text s maticí A a nastavíme růžovou barvu: text0a=latex[a] NastavitBarvu[text0A,1,0.4,0.4] Vektor neznámých: text0x = LaTeX["\cdot{\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right )="] Vytvoříme text s vektorem b a nastavíme zelenou barvu: text0b=latex[b] NastavitBarvu[text0b,0.1,0.8,0.1] Zobrazíme soustavu lineárních rovnic: Nástrojem vložíme text ve formátu LaTeXového vzorce, hodnoty koeficientů soustavy vložíme jako objekty: 242
\begin{eqnarray} B2 x_1+ C2 x_2+ D2 x_3 &=& F2 \\ B3 x_1+ C3 x_2+ D3 x_3 &=& F3 \\ B4 x_1+ C4 x_2+ D4 x_3 &=& F4 \\ \end{eqnarray} Nyní si nastavíme proměnnou, která bude řídit zobrazování jednotlivých částí řešení. Proměnnou nazveme krok a pé kliknutí na jednotlivé texty se nastaví hodnota proměnné krok a zobrazí se příslušná část řešení. Do Vstupního pole zadáme krok=0 Vložíme text \underline{1. Rozšířená matice v Jordanově tvaru} A ve vlastnostech tohoto objektu, záložka Skriptování, Po kliknutí zapíšeme skript: NastavitHodnotu[krok,1] Obdobně vložíme text: \underline{2. Informace o počtu řešení (Frobeniova věta)} se skriptem NastavitHodnotu[krok,2] a nakonec vložíme text \underline{3. Řešení} se skriptem NastavitHodnotu[krok,3] Nákresna 2 Část řešení - 1. Rozšířená matice v Jordanově tvaru Vytvoříme rozšířenou matici soustavy: AR={{B2, C2, D2, F2}, {B3, C3, D3, F3}, {B4, C4, D4, F4}} a její Jordanův tvar spočítáme příkazem GeoGebry: AS=SchodovityTvar[AR] Zobrazíme rozšířenou matici a její Jordanův tvar: Pomocí nástroje vložíme text A:b= AR AR A ve vlastnostech tohoto objektu, záložka Pro pokročilé, Podmínky zobrazení zapíšeme podmínku krok>=1 243
Část řešení - 2. Informace o počtu řešení (Frobeniova věta) Spočítáme hodnost matice soustavy ha=hodnost[a] a hodnost matice rozšířené har=hodnost[ar] Informace o hodnostech vypíšeme pomocí textu: hodnost matice h(a) = ha \\ hodnost matice rozšířené h(a:b) = har \\ počet neznámých n = 3 A ve vlastnostech tohoto objektu, záložka Pro pokročilé, Podmínky zobrazení zapíšeme podmínku krok>=2 Pro soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé mohou nastat následující případy: a) soustava nemá řešení; b) soustava má jedno řešení; c) soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na jednom parametru; d) soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na dvou parametrech; e) soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na třech parametrech. Pro každý z těchto případů vložíme na stejné místo v Nákresně text a nastavíme podmínku zobrazení: a) text h(a) h(a b) a proto nemá soustava řešení s Podmínkou zobrazení (krok >= 2) (ha hr) b) text h(a) = h(a b) h(a)=n a proto má jedno řešení s Podmínkou zobrazení (krok >= 2) (ha==hr) (ha==3) c) text h(a) = h(a b) h(a) n a proto má nekonečně mnoho řešení závislých na n-h(a)=1 parametru s Podmínkou zobrazení (krok >= 2) (ha==hr) (ha==2) d) text h(a) = h(a b) h(a) n a proto má nekonečně mnoho řešení závislých na n-h(a)=2 parametrech s Podmínkou zobrazení (krok >= 2) (ha==hr) (ha==1) e) text h(a) = h(a b) h(a) n a proto má nekonečně mnoho řešení závislých na n-h(a)=3 parametrech s Podmínkou zobrazení (krok >= 2) (ha==hr) (ha==0) Část řešení - 3. Řešení Pro vyjádření řešení budeme potřebovat následující prvky rozšířené matice v Jordanově tvaru: r12=prvek[as,1,2] r13=prvek[as,1,3] r14=prvek[as,1,4] r23=prvek[as,2,3] r24=prvek[as,2,4] r34=prvek[as,3,4] 244
Pro každý z těchto případů vložíme na stejné místo v Nákresně tvar řešení a nastavíme podmínku zobrazení: a) Nástrojem vložíme text řešení neexistuje s Podmínkou zobrazení (krok >= 3) (ha hr) 1 0 0 : 3 0 1 0 : 7 0 0 0 : 1 b) V případě, že má soustava jedno řešení, tak je tvořeno prvky v posledním sloupci rozšířené matice v Jordanově tvaru, vložíme tedy text: r14 \\ r24 \\ r34 \\ \end{array}\right) s Podmínkou zobrazení (krok >= 3) (ha==hr) (ha==3) 1 0 0 : 3 0 1 0 : 7 0 0 1 : 1 c) Pokud má soustava nekonečně mnoho řešení zavislých na jednom parametru, tak mohou nastat dvě možnosti. (i) Lze-li zvolit jako parametr x 3, pak má řešení tvar: r14 - r13 t \\ r24 - r23 t \\ t \\ \end{array}\right))\quad t\in R s Podmínkou zobrazení (krok>=3) (ha==hr) (ha==2) (r13 0) 1 0 4 : 3 0 1 2 : 7 3 7 1 3 4t 7 2t t t R (ii) Nelze-li zvolit jako parametr x 3, pak zvolíme x 2 a řešení má tvar: r14 - r12 t \\ t \\ r24 \\ \end{array}\right))\quad t\in R s Podmínkou zobrazení (krok>=3) (ha==hr) (ha==2) (r13==0) 1 2 0 : 3 0 0 1 : 7 3 2t t 7 t R 245
d) V případě nekonečně mnoha řešení závislých na dvou parametrech je soustava tvořena jednou rovnicí. Zavedeme tedy parametry za neznámé x 3 a x 2. Z rovnice pak vyjádříme neznámou x 1. r14 - r13 t - r12 p \\ p \\ t \\ \end{array}\right))\quad t\in R\quad p\in R s Podmínkou zobrazení (krok >= 3) (ha==hr) (ha==1) 1 2 4 : 3 3 4t 2p p t t, p R e) V případě, že je matice A maticí nulovou a vektor b nulovým vektorem, pak má řešení tvar: s \\ p \\ t \\ \end{array}\right))\quad t\in R\quad p\in R\quad s\in R s Podmínkou zobrazení (krok >= 3) (ha==hr) (ha==0) 3 Poděkování s p t t, p, s R Problematika je řešena v projektu FRVŠ 1103/2013,,Vytvoření e-learningových kurzů s multimediálními studijními materiály pro matematické předměty na vybraných fakultách Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava. Literatura [1] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky, SNTL, Praha, 1973. [2] http://wiki.geogebra.org 246
Zuzana Morávková VŠB - Technická univerzita Ostrava Katedra matematiky a deskriptivní geometrie 17. listopadu 15/2172 708 33 Ostava-Poruba zuzana.moravkova@vsb.cz 247