SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor
SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a tedy a sledovaou hodotu ezáme. Přesto bychom chtěl teto pokus popsat. K tomu slouží áhodý vektor. Náhodý vektor se skládá z více áhodých velč. yto áhodé velčy esou popsáy samostatě ale všechy dohromady. Hovoříme o tzv. smultáím sdružeém popsu.
SP Náhodý vektor Náhodý vektor Nechť Ω e základí prostor a příslušé evové pole. Zobrazeí : Ω R se azývá áhodý vektor pokud pro lbovolé R moža. Ozačeí: Možu budeme zkráceě zapsovat { = } Možu budeme zkráceě zapsovat { < }
SP Náhodý vektor Náhodý vektor Protože pro každé R lze spočítat pravděpodobost tohoto áhodého evu a tím lze defovat fukc F: F P F P ato fukce se azývá sdružeá dstrbučí fukce áhodého vektoru. F: R 0.
Některé vlastost dstrbučí fukce áhodého vektoru: F e eklesaící ve všech proměých F e zleva spotá ve všech proměých 3 F má evýše spočetě moho bodů espotost 4 pro každé 5 6 Náhodý vektor 0 lm F lm F SP Náhodý vektor a a R b b R b a b a b F b b F b a b a P a a F b a a b F
SP Náhodý vektor Náhodý vektor Obor hodot áhodého vektoru azýváme základí soubor a ozačíme Z. Z R ; Pokud moža Z e koečá ebo spočetá áhodý vektor se azývá dskrétí. Pokud moža Z e espočetá áhodý vektor se azývá spotý.
SP Náhodý vektor Dskrétí áhodý vektor Pokud e áhodý vektor dskrétí tak eí sdružeá dstrbučí fukce roste skokově pouze v koečě č spočetě moha zolovaých bodech prostoru R. Z Z k Pak velkost růstu dstrbučí fukce v bodě k lze vyádřt P = k. Ozačme: p = P = p P Fukc p azýváme sdružeou pravděpodobostí fukcí dskrétího áhodého vektoru. Pomocí pravděpodobostí fukce lze vytvořt příslušou sdružeou dstrbučí fukc vztahem: F F p t t t t
Dskrétí áhodý vektor vlastost p t t t t p F F SP Náhodý vektor Vlastost p: 3 4 Pomocí pravděpodobostí fukce lze vytvořt příslušou sdružeou dstrbučí fukc vztahem: p R 0 Z p B Z B p B P Β
SP Náhodý vektor Spotý áhodý vektor Základí soubor u spotého áhodého vektoru e espočetá moža. Z e tedy podmoža možy možy R. Dstrbučí fukce spoté áhodé proměé e spotá fukce. Sdružeá hustota pravděpodobost spoté áhodé proměé e fukce: pro kterou platí: f : R 0 f d f d d
Vlastost f: 3 4 Pomocí hustoty pravděpodobost lze vytvořt příslušou dstrbučí fukc vztahem: Spotý áhodý vektor vlastost f SP Náhodý vektor f R 0 B B d d f B P Β F f dt dt t t f F F
SP Náhodý vektor Náhodý vektor V další část budeme uvažovat áhodý vektor o dvou složkách Pak pro dskrétí áhodý vektor dostáváme: p a pro spotý áhodý vektor dostáváme: F f : R p t t t t 0 f dd F f t t dtdt
SP Náhodý vektor Dskrétí áhodý vektor - příklad Ukázka sdružeé pravděpodobostí fukce a sdružeé dstrbučí fukce pro dskrétí áhodý vektor:
SP Náhodý vektor Dskrétí áhodý vektor - příklad Ukázka sdružeé pravděpodobostí fukce a sdružeé dstrbučí fukce pro dskrétí áhodý vektor:
SP Náhodý vektor Spotý áhodý vektor - příklad Ukázka sdružeé hustoty a sdružeé dstrbučí fukce pro spotý áhodý vektor:
SP Náhodý vektor Spotý áhodý vektor - příklad Ukázka sdružeé pravděpodobostí fukce a sdružeé dstrbučí fukce pro dskrétí áhodý vektor:
SP Náhodý vektor Náhodý vektor Margálí rozděleí Pokud bereme v úvahu celý áhodý vektor hovoříme o sdružeých fukcích. Pokud se chceme zaměřt a chováí edotlvých složek podmož složek hovoříme o margálích fukcích. V případě áhodého vektoru lze uvažovat pouze o margálích fukcích vzhledem k a. Margálí dstrbučí fukce: F P P F lm F F P P F lm F
SP Náhodý vektor Náhodý vektor Margálí rozděleí V případě dskrétího áhodého vektoru hovoříme o margálí pravděpodobostí fukc: p p p p V případě spotého áhodého vektoru hovoříme o margálí hustotě pravděpodobost: f f d f f d
SP Náhodý vektor Náhodý vektor Margálí rozděleí Margálí rozděleí k předcházeícímu příkladu:
Náhodý vektor ezávslost Pokud pro všecha platí: pak složky áhodého vektoru azýváme ezávslé. V případě dskrétího áhodého vektoru dostáváme: V případě spotého áhodého vektoru dostáváme: R F F F p p p f f f SP Náhodý vektor
SP Náhodý vektor Číselé charakterstky áhodého vektoru Pokud uvažueme složky áhodého vektoru spolu s ech margálím popsem tak lze každou složku uvažovat ako áhodou proměou a spočítat pro příslušé charakterstky. Jedá se zeméa o E E a D D. Pro celý vektor uvažueme o středí hodotě áhodého vektoru: E E E Středí hodota áhodého vektoru e vektor středích hodot edotlvých složek kde E p p f d f d E d
SP Náhodý vektor Číselé charakterstky áhodého vektoru Vlastost středí hodoty: Nechť e áhodý vektor a estuí středí hodoty: E E a R m B e matce typu m 3 E E E a B a BE P E E
SP Náhodý vektor Číselé charakterstky áhodého vektoru Kovarace složek a složek a : Nechť e áhodý vektor a echť estuí koečé momety: E. Pak reálé číslo C azýváme kovarací složek k a. C E E E Pokud C 0 složky a. áhodého vektoru azýváme ekorelovaé Matc var C azýváme varačí matcí vektoru
Vlastost kovarace složek : 3 4 5 6 Číselé charakterstky áhodého vektoru SP Náhodý vektor 0 a a C a C a C bb C b a b a C D C C C E E E C m m C C
SP Náhodý vektor Číselé charakterstky áhodého vektoru Vlastost varačí matce: Nechť e áhodý vektor a estuí středí hodoty: E E a R m B e matce typu m Matce var C e symetrcká poztvě deftí. var cov cov 3 var E E E E 4 var E E E 5 6 var D a B B var B D C
SP Náhodý vektor Číselé charakterstky áhodého vektoru Nechť a Y Y Y Y m sou áhodé vektory. Pak pod pomem kovaračí matce rozumíme matc: cov Y C Y m Vlastost kovaračí matce: Nechť sou áhodé vektory a R m Y Y Y Y m B e matce typu k c R D e matce typu km cov Y E E Y E Y cov Y E Y E E Y 3 cov a B c DY Bcov Y D
SP Náhodý vektor Číselé charakterstky áhodého vektoru Korelace složek a složek a : Nechť e áhodý vektor a echť estuí koečé momety: E k a S k 0. Pak reálé číslo ρ azýváme korelací složek a C S S Pokud 0 složky áhodého vektoru azýváme ekorelovaé
SP Náhodý vektor Číselé charakterstky áhodého vektoru Vlastost korelace složek : 3 a a a a 0 4 echť a sou ezávslé áhodé proměé pak 0 5 pokud a b a b 0 b 0 s pravděpodobostí 6 7 a b a b sg bb
SP Náhodý vektor Číselé charakterstky áhodého vektoru Nechť a Y Y Y Y m sou áhodé vektory. Pak pod pomem korelačí matce rozumíme matc: cor Y Y m Vlastost korelačí matce: Nechť sou áhodé vektory a R m Y Y Y Y m B e matce typu k c R D e matce typu km matce cor cor e symetrcká a má v dagoále edčky cor Y cor Y 3 cor a c Y cor Y
SP Náhodý vektor Číselé charakterstky áhodého vektoru Cauchy Schwarzova Buňakovského erovost Nechť sou áhodé velčy s eulovým rozptyly D: 0 D 0. Pak C D D a rovost e dosažeo právě tehdy když estuí a.b R že: P a b
SP Náhodý vektor Základí prostor: Ω = { aso zatažeo déšť } Ω = { škola výlet hospoda doma} R : Nechť e adefovaá áhodá proměá ásledově: aso=0 zatažeo= dešť=3 a echť e adefovaá áhodá proměá ásledově: škola=0 výlet= hospoda=3 doma=4. Pravděpodobostí fukce: Dskrétí áhodý vektor - příklad : R : Spočtěte dstrbučí fukc margálí pravděpodobostí fukce charakterstky áhodého vektoru. R 0 3 0 /5 /5 /5 3/5 0 0 3 /5 3/5 0 4 0 /5 /5
SP Náhodý vektor Spotý áhodý vektor - příklad Měme spotý áhodý vektor s sdružeou hustotou pravděpodobost: f c 0 [ ] 0 ak 6 Spočtěte: c sdružeou dstrbučí fukc margálí hustoty pravděpodobost charakterstky áhodého vektoru.
SP Náhodý vektor Vybraá rozděleí dskrétí NV Multomcké rozděleí Mup p k Náhodý vektor k s multomckým rozděleím k Mup p k N p p 0 k p Charakterstky: středí hodota: rozptyl: k má pravděpodobostí fukc: p p! p k k p p!! k! E E k p p k var dag p pp p k k
SP Náhodý vektor Vybraá rozděleí spotý NV -rozměré ormálí rozděleí N Náhodý vektor s -rozměrý ormálím rozděleím N R Σ e symetrcká poztvě deftí matce má pravděpodobostí fukc: f Σ ep μ Σ μ Charakterstky: středí hodota: rozptyl: E var μ Σ
SP Náhodý vektor Vybraá rozděleí spotý NV -rozměré ormálí rozděleí N σ σ ρ
SP Náhodý vektor Vybraá rozděleí spotý NV -rozměré ormálí rozděleí N σ σ ρ
SP Náhodý vektor Vybraá rozděleí spotý NV -rozměré ormálí rozděleí N Platí: Nechť áhodý vektor má rozděleí ~ N a R B e reálá regulárí matce typu. Pak Y a B ~ N a Bμ BΣB