Experimetálí Aalýza Napětí 004 SENDER BEAM VIBRATINS: DAMPING AND ITS MDE KMITÁNÍ ŠTÍHÉH NSNÍKU: ÚTUM A JEH MDE Petr Fratík Experimetal results of free vibratio measuremet of sleder steel catilever beam ad its umerical model is described i the paper. The experimet was focused o ivestigatio of dampig effects of sleder steel beam with very large displacemets (the same order like beam legth. Material of the beam is liear elastic upo large displacemets due to beam slederess. Special model of sleder catilever beam is used ad described.. Beam is divided ito a umber of rigid segmets, coected by higes with liear rotatioal sprigs. Quadratic approximatio (depeded o segmet agular velocity of dampig effect is able to represet real behaviour of selected problem. Keywords dampig, large displacemets, sleder catilever beam, oliear dyamical system Úvod Při kmitáí reálých kostrukcí dochází ke komplexím jevům, které způsobují rozptyl (disipaci sledovaé formy kietické eergie kostrukce zejméa do jejího okolí. Z těchto jevů uveďme apř. zvýšeí teploty kostrukce (přeměa kietické eergie kostrukce a kietickou eergii atomů resp. molekul hmoty kostrukce a odpor prostředí (přeměa kietické eergie kostrukce a kietickou eergii atomů resp. molekul okolího prostředí. Přímé postihutí všech těchto jevů v modelu kostrukce přiáší téměř ezvládutelou výpočetí složitost. Naštěstí se ukázalo být vhodé tyto jevy v modelu ahradit umělým rozptylem eergie zvaým tlumeí. V tomto příspěvku se zabýváme modelem útlumu velmi štíhlého pružého kozolového osíku, který kmitá v oblastech velmi velkých přemístěí. Model kostrukce i útlumu byl vytvoře pro experimetálí výzkum chováí dyamicky zatížeého osíku se zaměřeím a elieárí jevy, ke kterým dochází při vývoji kmitáí (evoluci zatížeé kostrukce elieárího dyamického systému. V evoluci elieárích dyamických systémů hraje tlumeí podstatou roli, a proto bylo alezeí výstižého modelu rozptylu eergie důležitým úkolem. Ig. Petr Fratík: Ústav stavebí mechaiky, VUT FAST v Brě; Veveří 95, 60 00 Bro, Česká republika, tel.: +40544776, e-mail: kitarf@cetrum.cz
Útlum kostrukcí je běžě modelová pomocí tzv. viskózího tlumeí, které je zastoupeo v matematických modelech čleem lieárě závislým a rychlosti (viz apř. [],[], což v moha případech zjedodušuje řešeí úlohy. becě je jistě možé rozšířit aproximaci útlumu a polyom libovolého řádu. Kostrukce Již v úvodu byla azačea úloha, pro kterou bylo zapotřebí experimetálě staovit vlastosti útlumu a vytvořit jeho model i model samoté kostrukce. Pro výzkum elieárích projevů dyamického systému byl vybrá svisle situovaý, přímý, velmi štíhlý kozolový osík z oceli (viz obr., která se v uvažovaé oblasti přetvořeí chová lieárě pružě. Nosík je v jedé své roviě ohybu velmi štíhlý, aby mohlo docházet k velmi velkým přemístěím (stejého řádu jako délka osíku současě při malých přetvořeích materiálu. Naměřeé rozhodující parametry osíku (vzhledem k jeho velké štíhlosti jsou ásledující: hmotost m c = 9.0 g, délka l c = 0 cm, ohybová tuhost EI = 0.005 Pa.m 4. br. Zázorěí přetvořeé kostrukce br. Model prutu Model Pro umerickou simulaci kmitáí vybraé kostrukce byl vytvoře speciálí model, jehož kozervativí pohybové rovice jsou odvozey v čláku []. Vzhledem k štíhlosti prutu je výhodé, pro výpočet příčého kmitáí, zaedbat smykové přetvořeí i kostatí složku ormálového přetvořeí. Prut je tak možo modelovat ekvidistatím rozděleím a tuhé dílce spojeé vzájemě klouby s rotačími pružiami, viz obr.. Teto model lze dle [] ozačit jako zvláští případ metody tuhých fyzických koečých prvků. Díky zaedbáí práce ormálových a posouvajících sil je elimiová vzik vyšších frekvecí a umožěa větší efektivita umerického řešeí.
Pohybové rovice modelu, včetě tlumících čleů, lze zapsat v maticovém tvaru: d M ω = Qω dt d ϕ = ω, dt Cω Kϕ, ( kde ϕ je vektor pootočeí dílců, ω je vektor úhlových rychlostí dílců, M je plá symetrická matice mometů setrvačosti dílců, Q je podobá atimetrická matice, C je diagoálí matice útlumu, K je třídiagoálí matice tuhosti a t je čas. Matice mometů setrvačosti M má tvar: M = ml 6 (( + symetrie (( + cos( ϕ ϕ (( + (( + cos( ϕ ϕ (( + cos( ϕ ϕ (( + cos( ϕ ϕ cos( ϕ ϕ, cos( ϕ ϕ M ( kde ϕ i je pootočeí i-tého dílce, vzato vzestupě od dílce u vetkutí prutu, je počet dílců, l je délka dílce a m je hmotost dílce. Dále pro matici Q platí: 0 (( + si( ϕ ϕ Q = ml 6 (( + si( ϕ ϕ M si( ϕ ϕ (( + si( ϕ ϕ 0 (( + si( ϕ ϕ M si( ϕ ϕ (( + si( ϕ ϕ (( + si( ϕ ϕ 0 M si( ϕ ϕ si( ϕ ϕ si( ϕ ϕ. si( ϕ ϕ M 0 (
Jestliže k je tuhost rotačích pruži, pro kterou platí k = EI pak pro matici tuhosti K platí: K = k. l, kde EI je ohybová tuhost prutu, (4 Pro diagoálí matici útlumu C můžeme obecě psát: c C = mc c c, (5 kde c je globálí koeficiet útlumu a c i je polyom závislý a příslušé úhlové rychlosti V případě lieárího (viskózího útlumu pro studovaou úlohu platí: c i =. ω i. (6 Experimet Po experimetálím i teoretickém ověřeí statické i dyamické fukčosti modelu bylo uto astavit vlastosti teoreticky ejáročější součásti umerického modelu tlumících čleů. Prvotím úkolem dyamického experimetálího měřeí bylo zjistit, zda pro umerické simulace úlohy pro daé podmíky popsaé dále, postačuje lieárí aproximace útlumu. V egativím případě pak alézt počet utých přidaých čleů polyomu c i, které je třeba vzít v úvahu (pozameejme, že předem ebyla vyloučea možost komplikovaějšího modelu útlumu. Podmíky experimetu byly zvoley takové, aby přibližě odpovídaly podmíkám, které měly platit při dyamickém zatěžováí. Rozhodující jsou zejméa extrémí dosahovaá přemístěí a frekvece kmitáí prutu. Vzhledem k hledáí elieárích jevů bylo uvažováo se zatěžující frekvecí řádově blízkou domiatí vlastí frekveci, která byla experimetálě aměřea.47 Hz při pozici prutu dle obr.. V základí pozici, tj. volé kmitáí v horizotálí roviě, byla změřea vlastí frekvece.598 Hz, což odpovídá teoreticky vypočteé hodotě.609 Hz dle [] (vztah (.9 a s. 8, která se téměř shoduje s hodotou.606 Hz získaou z modelu s parametry uvedeými výše. Prut, v pozici dle obr., byl a počátku dostatečě ohut (pro dosažeí velkých přemístěí a poté poechá volě kmitat. Byl sledová pokles amplitud příčých (tj. horizotálích výchylek y volého koce osíku. Výsledek měřeí je vidět a obrázku.
0.07 y [m] 0.06 0.05 experimet kvadratický viskózí útlum 0.04 0.0 0.0 0.0 0 0 4 6 8 0 4 6 t [s] br. Srováí amplitudy příčé výchylky volého koce prutu zjištěé experimetem při volém kmitáí s výsledky umerické simulace při užití kvadratického útlumu Aalýzou aměřeých amplitud příčé výchylky y bylo zjištěo, že lieárí viskózí útlum evyhovuje. Pokles amplitud ebyl při velkých přemístěích expoeciálí, jak by odpovídalo lieárímu útlumu. Proto byla ejprve vyzkoušea kvadratická aproximace ve tvaru: c = + ω, (8 i c a i kde c a je relativí koeficiet kvadratického člee aproximačího polyomu c i, která při hodotách: koeficiet útlumu c = 0.00 Nm.s.kg -.rad -, kvadratický koeficiet c a = [ ], dala velmi dobrou shodu amplitud (i frekvece jak je vidět a obrázku. Závěr V příspěvku byl popsá problém alezeí vhodé aproximace reálých tlumících jevů, ke kterým dochází při kmitáí jedoduché pružé štíhlé kostrukce v oblastech velkých přemístěí. Byl popsá úspěšě užitý model úlohy i experimet, s pomocí kterého bylo zjištěo, že pro aproximaci útlumu vybraé kostrukce postačuje aproximace kvadratickým polyomem závislým a úhlové rychlosti dílců modelu.
ze uvažovat, vzhledem ke zámé empirické závislosti odporu vzduchu při obtékáí předmětu (která je kvadraticky závislá a rychlosti, že se jedá převážě o teto disipačí jev. Tato skutečost ovšem ebyla prokazováa. Při experimetech bylo také zjištěo, že objemově (e však hmotostě malá přidaá pasiví hmota (závaží a volém koci prutu eovlivňuje výzamě kvalitu alezeé aproximace. Poděkováí Výsledky publikovaé v tomto čláku byly dosažey při výzkumém pobytu a Bauhaus- Uiversität Weimar díky projektu Socrates-Erasmus. Zároveň je teto příspěvek součástí výzkumého záměru MSM 600009 a gratu GA ČR 0/0/50. iteratura [] Brepta R., Půst., Turek F.: Mechaické kmitáí, Techický průvodce 7, akladatelství Sobotáles, Praha 994, 59 stra [] Herych J.: Úplá soustava fiitích metod mechaiky a možosti dalšího rozvoje, studie ČSAV 6.85, akladatelství Akademia, Praha 985, 67 stra [] Fratík, P., Macur, J.: Diskrétí dyamický model kozoly: Speciálí řešeí, koferece DYN-WIND, TU Žilia, Tále, 00