INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Eaktní metody rozhodování - operační výzkum RNDr. Sousedíková Radmila, Ph.D. 2015 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. ESF napomáhá rozvoji lidských zdrojů a podnikatelského ducha.
Literatura JABLONSKÝ Josef. Operační výzkum: Kvantitativní modely pro ekonomické rozhodování. Praha: Professional Publishing, 2002. 323 s. ISBN 80-86419-42-8.
Podstata operačního výzkumu operační výzkum (operational research, operations research, management science) vědní disciplína nebo spíše soubor relativně samostatných disciplín, které jsou zaměřeny na analýzu různých typů rozhodovacích problémů. poměrně dobře lze však přiblížit podstatu operačního výzkumu, pokud tento termín vyjádříme jako výzkum operací - operační výzkum nachází aplikace všude tam, kde se jedná o analýzu a koordinaci provádění operací v rámci nějakého systému.
Historie počátky operačního výzkumu - 30. a 40. léta minulého století (G. B. Dantzig nebo nositel Nobelovy ceny za ekonomii L. Kantorovič). rozvoj nastává během 2. světové války - ve Velké Británii a USA byly vytvořeny speciální týmy pracovníků pro analýzu složitých strategických a taktických vojenských problémů a operací,
Historie další rozvoj především během 50. let - dochází ve světě k bouřlivému poválečnému ekonomickému rozvoji, rozvoj operačního výzkumu a jeho jednotlivých disciplín vyplýval skutečně z praktických potřeb, například některé metody a postupy dále obecně používané byly vyvinuty v rámci konkrétních praktických studií, dalším faktorem, ovlivňujícím rozvoj operačního výzkumu, je rozvoj výpočetní techniky.
Operační výzkum zkoumání operací v rámci nějakého systému cílem je stanovit takovou úroveň provádění operací nebo jejich vzájemný vztah, aby bylo zajištěno co možná nejlepší fungování celého systému, pro posouzení toho, zda systém funguje hůře či lépe, je přitom třeba stanovit nějaké kritérium či kritéria,
Operační výzkum zkoumání operací v rámci nějakého systému provádění operací v systému nemůže být absolutně nezávislé závisí na omezených zdrojích, které jsou při těchto operacích čerpány, na provádění jiných operací, na vnějších činitelích ovlivňujících chod systému apod. Operační výzkum - prostředek pro nalezení nejlepšího (optimálního) řešení daného problému při respektování celé řady různor odých omezení, které mají na chod systému vliv.
Matematické modelování - základní nástroj operačního výzkumu model - pouze zjednodušený obraz modelovaného systému modelování má celou řadu výhod, pro které se stává často jediným prostředkem pro studium modelovaného systému
Základní výhody modelového přístupu umožňuje strukturalizaci systému a specifikaci všech možných variant stavu systému, kterých může být často neomezené množství, modely umožňují analýzu chování systému ve zkráceném čase - procesy, které mohou trvat v reálném systému dny, měsíce či roky, mohou být simulovány na počítačích ve zlomcích sekund,
Základní výhody modelového přístupu s modely lze snadno manipulovat a provádět četné eperimenty pomocí změn jejich parametrů, náklady na realizaci modelu nejsou sice zanedbatelné, jsou však vždy nižší než při eperimentování s reálným systémem.
Fáze řešení rozhodovacího problému 1. rozpoznání problému v rámci reálného systému a jeho definice 2. formulace ekonomického modelu 3. formulace matematického modelu 4. řešení matematického modelu 5. interpretace výsledků a jejich následná verifikace 6. implementaci výsledků v rámci analyzovaného reálného systému
Rozpoznání problému v rámci reálného systému a jeho definice první podstatný krok aplikace modelů operačního výzkumu důležitá je role vedoucích pracovníků na různých úrovních, kteří by měli být schopni rozpoznat problém, odhadnout potřebu modelového přístupu pro jeho analýzu a případně vytvořit tým příslušných odborníků, který se na ní bude podílet.
Formulace ekonomického modelu ekonomický model - zjednodušený popis reálného systému, který obsahuje s ohledem na analyzovaný problém pouze nejpodstatnější prvky a vazby mezi nimi. ekonomický model by měl obsahovat: cíl analýzy popis procesů popis činitelů ovlivňujících provádění procesů popis vzájemného vztahu mezi procesy, činiteli a cílem analýzy
Formulace matematického modelu daného problému Matematický model - obsahuje stejné prvky jako ekonomický model, ale v jiném vyjádření: cíl analýzy je vyjádřen ve formě lineární či nelineární funkce n proměnných, procesům odpovídají v matematickém modelu proměnné, intenzity provádění procesů jsou potom vyjádřeny jako hodnoty těchto proměnných, činitelé mohou být vyjádřeni různě - např. ve formě lineárních či nelineárních rovnic či nerovnic, vazby mezi procesy, činiteli a cílem analýzy - jsou popisovány pomocí neřiditelných parametrů (parametrů, jejichž hodnoty nemůže uživatel ovlivňovat).
Řešení matematického modelu spíše technická záležitost používají se metody a postupy, navržené v jednotlivých odvětvích operačního výzkumu, role uživatelů se omezuje na výběr vhodného programového prostředku a na jeho formální obsluhu
Interpretace výsledků a jejich verifikace problémem není technická stránka zpracování a výpočet řešení, ale interpretace získaných výsledků, výsledky je třeba verifikovat a tím současně ověřit, zda byl ekonomický a následně matematický model problému sestaven správně, jsou-li při sestavování modelu opomenuty některé podstatné stránky systému, potom řešení modelu může být sice "optimální" v rámci tohoto modelu, ale v prai se může ukázat jako nepoužitelné.
Implementaci výsledků v rámci analyzovaného reálného systému úspěšná implementace by měla přispět ke zlepšení fungování daného systému s ohledem na sledovaný a v modelu definovaný cíl.
Klasifikace disciplin operačního výzkumu 1. Matematické programování 2. Vícekriteriální rozhodování 3. Teorie grafů 4. Teorie zásob 5. Teorie hromadné obsluhy
Matematické programování nalezení etrému daného kritéria (funkce n proměnných) na množině variant určených soustavou omezujících podmínek (lineární nebo nelineárních rovnic či nerovnic)
Matematický model úlohy Matematický model úlohy matematického programování p g ma (min) n 2 1,,, f z za podmínek 0 g 0 g 0,,, g n 2 1 1 0,,, g n 2 1 2 0,,, g 2 1 n, 1,2, j 0, 0,,, g j n 2 1 m n, 1,2, j 0, j
Matematické programování úloha lineárního programování - kriteriální funkce je lineární a všechny rovnice i nerovnice použité v modelu jsou rovněž lineární úloha nelineárního programování je-li alespoň jedna funkce nelineární, oblasti aplikace lineárního programování: optimalizace výrobního programu firmy, směšovací úlohy - optimalizace portfolia (finanční směs),určení strategie reklamy (směs reklamních médií), návrh výživy (nutriční směs), optimalizace distribuce zboží od výrobců přes velkosklady k odběratelům
Vícekriteriální rozhodování relativně mladá disciplína operačního výzkumu, zabývá se analýzou rozhodovacích úloh, v nichž jsou varianty posuzovány podle několika hodnotících kritérií zároveň, v typickém případě nejsou hodnotící kritéria ve vzájemném souladu a cílem je tedy vlastně řešení konfliktu mezi navzájem protikladnými kritérii.
Teorie grafů grafy - objekty tvořené uzly a spojnicemi mezi nimi hranami
Teorie zásob (modely řízení zásob) zabývá se strategií řízení zásobovacího procesu, zabývá se optimalizací objemu skladovaných zásob s ohledem na minimalizaci nákladů, případně ztrát, které souvisejí s udržováním, objednáváním a vydáváním zásob ze skladu.
Teorie hromadné obsluhy zkoumá systémy, ve kterých eistují dva základní typy jednotek: požadavky - přicházejí obsluhu, obslužné linky realizují obsluhu, do systému a vyžadují s realizací obsluhy souvisí vytváření front (teorie front)
Lineární programování disciplína operačního výzkumu, která se zabývá řešením rozhodovacích problémů, v nichž jde o určení intenzit procesů, které probíhají nebo mohou probíhat v daném sytému, je třeba respektovat všechny podmínky, které realizaci těchto procesů ovlivňují, hledá se takové řešení, aby byl cíl rozhodování splněn co nejlépe.
Vysvětlení pojmů programování - plánování nebo vytváření programů (scénářů) budoucího vývoje, lineární - všechny vazby v modelech lineární, tzn. všechny použité matematické funkce jsou lineární.
Příklad Balírny a pražírny kávy DE, a.s., plánují na následující období výrobu dvou směsí kávy Super a Standard. Pro výrobu obou směsí mají na toto období smluvně k dispozici od dodavatelů tři druhy kávových bobů (označme je K 1, K 2 a K 3 ) postupně v kapacitě 40, 60 a 25 tun, které se navzájem liší kvalitou i nákupní cenou. Při výrobě obou směsí je třeba dodržovat technologické postupy, které mimo jiné určují, jaké procento jednotlivých komponent bude použito při této výrobě. Následující tabulka ukazuje skladbu obou směsí (v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Následující tabulka ukazuje skladbu obou směsí (v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Kompone nta Super Směs Standard Kapacita [t] K 1 0,5 0,25 40 K 2 0,5 0,50 60 K 3-0,25 25
Na základě přímých a nepřímých nákladů souvisejících s výrobou a vzhledem předpokládané ceně obou směsí byl vykalkulován zisk, který činí 20000 Kč, resp. 14 000 Kč na jednu tunu směsi Super,resp. Standard. Management firmy chce naplánovat produkci firmy tak, aby byl její celkový zisk maimální.
Ekonomický model úlohy Cíl analýzy: naplánovat produkci tak, aby zisk byl maimální Popis procesů, které v systému probíhají a které mají vliv na cíl analýzy: jsou definovány dva procesy výroba směsi Super a výroba směsi Standard; každému z těchto procesů lze přiřadit jeho úroveň neboli intenzitu objem výroby směsi Super a objem výroby směsi Standard Popis činitelů ovlivňujících provádění procesů: omezená kapacita komponent K 1, K 2 a K 3 Popis vztahů mezi procesy, činiteli a cílem koeficienty spotřeby jednotlivých komponent na oba druhy směsi a koeficienty vyjadřující jednotkový zisk.
Matematický model úlohy - popis procesů Každému procesu je přiřazena jedna proměnná (tzv. strukturní proměnná): 1 - množství směsi Super [t] 2 - množství směsi Standard [t] Cíl analýzy: je vyjádřen jako lineární funkce z=f(), jejíž etrém hledáme; tato funkce se označuje jako účelová neboli kriteriální funkce. Každá tuna směsi Super přináší zisk 20 000 Kč, při výrobě 1 tun je pak dosaženo zisku 20000 1 Kč, podobně pro směs Standard je dosaženo zisku 14000 2. Celkový zisk je tedy z = 20000 1 + 14000 2
Popis činitelů: činitelům odpovídají v matematickém modelu lineární rovnice či nerovnice: na výrobu 1 tuny směsi Super potřebujeme 0,5 tuny komponenty K 1, na výrobu 1 tun směsi Super potřebujeme 0,5 1 tun komponenty K 1 na výrobu 1 tuny směsi Standard potřebujeme 0,25 tuny komponenty K 1, na výrobu 2 tun směsi Standard potřebujeme 0,25 2 tun komponenty K 1, celková spotřeba komponenty K 1 je tedy 0,5 1 +0,25 2 tato spotřeba však musí být nižší nebo rovna kapacitě komponenty K 1, tj. 40 t,5 0,25 40 0 1 2
analogicky pro komponentu K 2 a komponentu K 3 dostáváme nerovnice, které vyjadřují relace mezi spotřebou a kapacitou komponent K 1 a K 2 0,5 1 0,5 2 60,25 25 0 2 tyto nerovnice označujeme jako vlastní omezení úlohy lineárního programování, v nich figurují dva druhy koeficientů: strukturní koeficienty popisují vztah mezi činiteli a procesy, hodnoty pravé strany definují absolutní úroveň činitelů (kapacity komponent)
Kromě vlastních omezení se definují v úloze lineárního programování podmínky nezápornosti, které zabezpečují nezápornost všech proměnných. Tyto podmínky vyplývají z logického požadavku, aby procesy neprobíhaly na záporné úrovni: 1 2 0 0
Matematický model z 20 000 1 14 000 maimalizovat 2 0,5 0,5 1 1 0,25 0,5 0,25 2 2 2 1 2 40 60 25 0 0
Matematický model úlohy lineárního programování Označíme: n m c j b i počet strukturních proměnných modelu počet vlastních omezení cenový koeficient příslušející j-té proměnné, j=1,,n hodnotu pravé strany příslušející i-tému vlastnímu omezení, i=1,,m a ij strukturní koeficient vyjadřující vztah mezi i- tým činitelem a j-tým procesem
Matematický model úlohy lineárního programování maimalizovat (minimalizovat) a 11 1 z a 12 c 1 2 1 c 2 2 c n n a 1n n b 1 a 21 1 a 22 2 a 2n n b 2 a m1 1 a m2 2 a mn n b m j 0, j 1,2,,n
Etrém účelové funkce maimum nebo minimum minimalizační typ lze převést na maimalizační a naopak hledáme-li minimum funkce z=f(), pak stejného výsledku lze dosáhnou maimalizací funkce - z= - f()
Základní pojmy lineárního programování a jejich grafická interpretace Přípustné řešení úlohy lineárního programování je takové řešení, které vyhovuje všem podmínkám úlohy, tzn. všem vlastním omezením i podmínkám nezápornosti.
Zobrazení množiny přípustných řešení Množina přípustných řešení je určena podmínkami nezápornosti a třemi nerovnicemi. Podmínkám nezápornosti vyhovuje v rovině první kvadrant. Množina přípustných řešení je tedy průnikem prvního kvadrantu a třech polorovin určených třemi nerovnicemi (obrazem nerovnice v rovině je polorovina, polorovina je určena přímkou a bodem, který v dané polorovině leží).
1. graficky znázorníme nerovnici : 0,5 0,25 1 2 40 Polorovina odpovídající této nerovnici je určená přímkou Tato přímka je určená body [80,0], [0,160]. Tato přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny. Určíme, která z nich je obrazem dané nerovnice: dosadíme do nerovnice bod [0,0] a zjistíme, zda hledaná polorovina obsahuje počátek, po dosazení do nerovnice dostáváme platnou relaci 0 40
180 160 2 140 120 0,5 1 +0,25 2 = 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 1
2. graficky znázorníme nerovnici : 0,5 0,5 1 2 60 Polorovina odpovídající této nerovnici je určená přímkou Tato přímka je určená body [120,0], [0,120]. Tato přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny. Určíme, která z nich je obrazem dané nerovnice: dosadíme do nerovnice bod [0,0] a zjistíme, zda hledaná polorovina obsahuje počátek, po dosazení do nerovnice dostáváme platnou relaci 0 60
180 2 160 140 120 0,5 1 +0,25 2 = 100 80 60 0,5 1 +0,5 2 =60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 1
3. graficky znázorníme nerovnici : 0,25 2 20 Polorovina odpovídající této nerovnici je určená přímkou Tato přímka je rovnoběžná s osou 1 a prochází bodem [0,100]. Tato přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny. Určíme, která z nich je obrazem dané nerovnice: dosadíme do nerovnice bod [0,0] a zjistíme, zda hledaná polorovina obsahuje počátek, po dosazení do nerovnice dostáváme platnou relaci 0 25
180 2 160 140 120 100 80 60 40 20 0,5 1 +0,25 2 =40 0,25 2 =25 0,5 1 +0,5 2 =60 0 0 20 40 60 80 100 120 1
Optimální řešení Optimální řešení je přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce (s nejvyšší hodnotou v případě maimalizace, s nejnižší hodnotou v případě minimalizace účelové funkce)
Ekvivaletní soustava rovnic převedeme omezující podmínky úlohy na ekvivalentní soustavu rovnic (ESR), ESR vytvoříme z původní soustavy doplněním maimálně m nových proměnných, tzv. přídatných proměnných, které jsou nezáporné, ESR obsahuje obecně m rovnic a m+n proměnných, přídatné proměnné slouží k transformaci soustavy omezujících podmínek na soustavu rovnic, u nerovnic typu u nerovnic typu přídatné proměnné přičítáme přídatné proměnné odčítáme.
Převedení omezujících podmínek na ESR 0,5 0,5 1 1 0,25 0,5 0,25 2 2 2 40 60 25 0,5 0,5 1 1 0,25 0,5 2 0,25 2 2 3 4 5 40 60 25
Základní řešení ESR Základním řešením ekvivalentní soustavy rovnic, obsahující m rovnic a n+m proměnných je takové řešení, ve kterém je n tzv. nezákladních proměnných položeno rovno nule a zbývajících m proměnných (označujeme je jako základní proměnné) je vypočteno ze zbylé soustavy m rovnic o m proměnných.
V základním řešení ESR rozlišujeme: m základních proměnných, které jsou vtypickém případě p nenulové. Pokud je některá nebo některé ze základních proměnných rovna 0 či rovny 0, potom takové řešení označujeme jako degenerované základní řešení. n nezákladních proměnných, které jsou vždy rovny nule. Základních řešení je tolik, kolika způsoby lze vybrat m základních proměnných z celkového potu m+n proměnných. Horní mez pro počet základních řešení je: m m n m n! m!n!
Všechna základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic však nemusí být přípustnými řešeními původní úlohy lineárního programování. Základní řešení úlohy lineárního programování je přípustné základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic této úlohy. V grafickém vyjádření odpovídají základním řešením úlohy lineárního programování krajní body množiny přípustných řešení.
Základní věta lineárního programování Jestliže má úloha lineárního programování optimální řešení, potom má také základní optimální řešení. Význam této věty: při hledání optimálního řešení se lze soustředit pouze na základní řešení, kterých, jak plyne z definice, vždy konečný počet.
Grafické řešení úlohy lineárního programování Lze provést pro úlohy, kde figurují pouze 2 strukturní proměnné Postup: 1. Grafické znázornění množiny přípustných řešení 2. Určení optimálního řešení
Určení optimálního řešení Zobrazení účelové funkce: Účelovou funkci položíme rovnu nějaké hodnotě, nejčastěji nule 20000 14000 1 2 Tato přímka je určená body [0,0], [-70,100]. Je-li cílem maimalizace účelové funkce, pak je třeba zjistit, v kterém směru roste hodnota účelové funkce. Přímka s nejvyšší hodnotou pravé strany, která ještě protíná množinu přípustných řešení určuje optimální řešení ÚLP 0
180 160 0,5 1 +0,25 2 =40 140 120 100 0,25 2 =25 80 60 0,5 1 +0,5 2 =60 40 20 20000 1 +14000 2 =0 0-100 -50 0 50 100 150 200
Simpleová metoda iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního řešení ÚLP Princip simpleové metody: nalezneme výchozího základní řešení, v dalších krocích vypočteme vždy nové základní řešení s lepší nebo alespoň stejnou hodnotou účelové funkce, po konečném počtu kroků vede tento postup k nalezení základního řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce nebo ke zjištění, že takové řešení neeistuje.
Základní postup výpočtu simpleovou metodou se dělí na dvě fáze: 1. fáze výpočet výchozího základního řešení 2. fáze iterační postup vedoucí k optimalizaci účelové funkce
Ve speciálním případě je nalezení výchozího základního řešení natolik snadné, že 1. fáze výpočtu odpadá tzv. jednofázová simpleová metoda. V obecném případě nemusí být nalezení výchozího základního řešení úlohy lineárního programování jednoduché (případně toto řešení nemusí vůbec eistovat) tzv. dvojfázová simpleová metoda.
Jednofázová simpleová metoda Jednofázovou simpleovou metodu lze použít pouze v případě, že všechna vlastní omezení ÚLP jsou definována jako nerovnice typu Po převedení takové soustavy nerovnic na ESR pomocí přídatných proměnných dostáváme soustavu rovnic ve speciálním tvaru, který nám usnadňuje získání výchozího základního řešení. Jedná se o tvar soustavy rovnic, ve kterém obsahuje matice strukturních koeficientů i m jednotkových sloupcových vektorů, které lze uspořádat do jednotkové matice. Takový tvar soustavy rovnic se označuje jako kanonický tvar.
0,5 0,5 1 1 0,25 0,5 2 0,25 2 2 3 4 5 40 60 25 0,5 0,25 1 0 0 0,5 0,5 0 1 0 0 0,25 0 0 1
Pokud máme soustavu m lineárních rovnic o (m+n) proměnných v kanonickém tvaru, potom z něj lze snadno odvodit základní řešení této soustavy. V kanonickém tvaru jsou dva druhy proměnných: m základních proměnných - to jsou proměnné, kterým odpovídají jednotkové vektory a jejichž hodnoty jsou v příslušném základním řešení rovny hodnotám pravé strany, n nezákladních proměnných - to jsou všechny ostatní proměnné, jejichž hodnoty jsou v základním řešení rovny nule.
Kanonickému tvaru soustavy rovnic odpovídá jednoznačně základní řešení této soustavy, které získáme tak, že základní proměnné položíme rovny hodnotám pravé strany a nezákladní proměnné položíme rovny nule.
Test optimality Řešení je optimální, jestliže jsou při: maimalizaci účelové funkce všechny hodnoty v posledním řádku simpleové tabulky nezáporné, minimalizaci účelové funkce všechny hodnoty v posledním řádku simpleové tabulky nekladné.
Výpočet nového základního řešení Pokud je v nějakém kroku výpočtu porušen test optimality, znamená to, že lze nalézt nové základní řešení, které bude mít lepší hodnotu účelové funkce. Vlastní realizace výpočtu nového základního řešení probíhá ve třech krocích: volba vstupující proměnné, volba vystupující proměnné, přepočet simpleové tabulky tak, aby se vstupující proměnná stala základní proměnnou a vystupující proměnná nezákladní proměnnou (pomocí Jordanovy eliminace)
Volba vstupující proměnné V posledním řádku tabulky vybereme: v případě maimalizace nejmenší hodnotu ze všech záporných hodnot. Tato nejmenší hodnota určuje sloupec se vstupující proměnnou. v případě minimalizace největší ze všech kladných hodnot, tato hodnota určuje sloupec se vstupující proměnnou. Pokud nelze vybrat vstupující proměnnou jednoznačně, pak ji lze zvolit libovolně z proměnných, které přicházejí v úvahu.
Volba vystupující proměnné: Vystupující proměnnou najdeme tak, že vypočteme podíly hodnot pravých stran v tabulce a příslušných kladných koeficientů u vstupující proměnné. Nejmenší z těchto podílů určuje řádek s vystupující proměnnou. Pokud nelze vybrat vystupující proměnnou jednoznačně, pak ji lze zvolit libovolně z proměnných, které přicházejí v úvahu. Základní řešení vypočtené v následujícím kroku bude řešením degenerovaným.
a rs Jordanova eliminace 1. Stanovíme klíčový prvek (leží v průsečíku sloupce se vstupující proměnnou a řádku s vystupující proměnnou 2. Řádek, ve kterém leží klíčový prvek, vydělíme tímto klíčovým prvkem 3. Ostatní prvky přepočítáme podle následujícího vztahu:,kde tabulce a a ij a ij a ij a a ij rs a je nově vypočtený prvek v následující je klíčový prvek. rs a rj a is
Jordanova eliminace schematicky r-tý řádek s-tý sloupec ars j-tý sloupec arj i-tý řádek ais aij
vyst. Z. P. 1 2 3 4 5 P.S. 3 1/2 1/4 1 0 0 40 4 1/2 1/2 0 1 0 60 5 0 1/4 0 0 1 25 z -20-14 0 0 0 0 vst. 60/1/2=120 40/1/2=80
Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 3 1/2 1/4 1 0 0 40 4 1/2 1/2 0 1 0 60 5 0 1/4 0 0 1 25 z -20-14 0 0 0 0 Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 1 1 0 0 4 0 1 0 5 0 0 1 z 0 0 0
Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 3 1/2 1/4 1 0 0 40 4 1/2 1/2 0 1 0 60 5 0 1/4 0 0 1 25 z -20-14 0 0 0 0 Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 1 1 1/2 2 0 0 80 4 0 1 0 5 0 0 1 z 0 0 0
Z.P. 1 2 3 4 5 PS P.S. 3 1/2 1/4 1 0 0 40 4 1/2 1/2 0 1 0 60 5 0 1/4 0 0 1 25 z -20-14 0 0 0 0 vyst. Z. P. 1 2 3 4 5 P.S. 1 1 1/2 2 0 0 80 4 0 1/4-1 1 0 20 5 0 1/4 0 0 1 25 z 0-4 40 0 0 1600 vst. 80/1/2=160 20/1/4=80 25/1/4=100
Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 1 1 1/2 2 0 0 80 4 0 1/4-1 1 0 20 5 0 1/4 0 0 1 25 z 0-4 40 0 0 1600 Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 1 1 0 0 2 0 1 0 5 0 0 1 z 0 0 0
Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 1 1 1/2 2 0 0 80 4 0 1/4-1 1 0 20 5 0 1/4 0 0 1 25 z 0-4 40 0 0 1600 Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 1 1 0 0 2 0 1-4 4 0 80 5 0 0 1 z 0 0 0
Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 1 1 1/2 2 0 0 80 4 0 1/4-1 1 0 20 5 0 1/4 0 0 1 25 z 0-4 40 0 0 1600 Z.P. 1 2 3 4 5 P.S. 1 1 0 0 4-2 40 2 0 1-4 4 0 80 5 0 0 1-1 1 5 z 0 0 0 24 16 1920
Dopravní problém - formulace ekonomického a matematického modelu
Ekonomický model DP Jedná se o rozvržení rozvozu nějakého zboží či materiálu od dodavatelů odběratelům tak, aby byly minimalizovány celkové náklady související s tímto rozvozem. V dopravním problému je definováno: m dodavatelů D 1,, D m s omezenými kapacitami a 1,,a m (kapacita = množství, které je dodavatel schopen v uvažovaném období dodat) n odběratelů O 1,, O n se stanovenými požadavky b 1,,b n (požadavek = množství, které odběratel v uvažovaném období požaduje)
Vztah každé dvojice dodavatel - odběratel je nějakým způsobem kvantifikován, např. náklady na přepravu jedné jednotky zboží mezi odběratelem a dodavatelem, tyto náklady označíme jako c ij, i=1,2,,m, j=1,2,,n (tzv. přepravní sazby)
Cíl řešení dopravního problému naplánovat přepravu mezi dodavateli a odběrateli, tj. stanovit objem přepravy mezi každou dvojicí dodavatel odběratel tak, aby nebyly překročeny kapacity dodavatelů a byly uspokojeny požadavky odběratelů z hlediska matematického modelu je třeba stanovit hodnoty proměnných ij, i=1,2,,m, j=1,2,,n, které vyjadřují objem přepravy mezi i- tým dodavatelem a j-tým odběratelem.
O 1 O 2 O n K C C C D 1 11 12 1n a 1 D 2 11 12 1n C C C 21 22 2n 21 22 2n a 2 C C C D m m 1 m1 m2 mn m 2 m n a m P b 1 b 2 b n
Vyrovnaný a nevyrovnaný DP Při řešení dopravního problému je třeba uvažovat vztah celkové kapacity všech dodavatelů všech požadavků odběratelů. vyrovnaný dopravní problém: i j b j a i b j i j a i a nevyrovnaný dopravní problém: i a i b j j
Převedení nevyrovnaného dopravního problému na vyrovnaný Je-li součet kapacit větší než součet požadavků, doplníme fiktivního odběratele O F, jehož požadavek se bude rovnat a i b j, tabulku i j rozšíříme o nový sloupec. Je-li součet požadavků vyšší než součet kapacit, doplníme fiktivního dodavatele D F, jehož kapacita je rovna b j a i. Přepravní j i sazby u fiktivních činitelů budou nulové
Formulace matematického modelu DP Model bude obsahovat m.n proměnných ij, které znamenají objem přepravy mezi i-tým dodavatelem j-tým odběratelem m+n vlastních omezení dvojího druhu: prvních m omezení představuje bilanci pro jednotlivé dodavatele, součet dodávek od dodavatelů k odběratelům nesmí přesáhnout kapacitu jednotlivých dodavatelů, tedy řádkové součty v tabulce se rovnají příslušným kapacitám, zbývajících n omezení přísluší jednotlivým odběratelům, součet dodávek jednotlivým odběratelům by se měl rovnat jejich požadavkům.
Matematický model DP mn mn m m m m n c c c c c c z 2 2 1 1 12 1 12 12 11 11 min za podmínek a a a n n 2 2 22 21 1 1 12 11 a m mn m m 2 1 b b m m 2 2 22 12 1 1 21 11 b n mn n n m 2 1 2 2 22 12 n j m i pro ij n mn n n,, 2, 1,,, 2, 1 0 2 1
Přípustné a základní řešení DP Množina přípustných řešení vyrovnaného dopravního problému je určena soustavou m+n lineárních rovnic, které obsahují m.n proměnných. Základní řešení vyrovnaného dopravního problému má m+n-1 základních proměnných, které navzájem netvoří uzavřený okruh. Je-li počet kladných základních proměnných nižší než m+n-1, jedná se o degenerované základní řešení.
Příklad Společnost Multicomp má v ČR tři střediska, ve kterých montuje osobní počítače. Kapacita těchto středisek je 330, 150 a 250 kusů počítačů měsíčně. Tyto počítače jsou distribuovány čtyřem smluvním odběratelům. Podle smluv dodá Multicomp jednotlivým odběratelům postupně 180, 250, 160 a 110 kusů počítačů. Distribuční náklady mezi středisky a odběrateli byly vykalkulovány na 1 kus počítače ve výši, která je uvedena v tabulce.
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 11 4 17 9 11 12 13 14 330 D 2 6 7 10 8 150 21 22 23 24 D 3 3 9 5 12 220 31 32 33 34 P 180 250 160 110 700
Řešení dopravního problému Metoda MODI (modifikovaná distribuční metoda). Tato metody zahrnuje stejné kroky jako simpleová metoda: 1. výpočet základního řešení 2. test optimality (v případě, že řešení je optimální, výpočet končí) 3. výpočet nového základního řešení s nižší hodnotou účelové funkce, tento krok zahrnuje: volbu vstupující proměnné volbu vystupující proměnné přepočet tabulky
Výpočet výchozího základního řešení Jedná se pouze o doplnění tabulky hodnotami proměnných tak, aby jejich řádkové součty byly rovny kapacitám a sloupcové součty byly rovny požadavkům a aby počet nenulových proměnných nebyl vyšší než m+n-1. Pro výpočet výchozího základního řešení dopravního problému je k dispozici několik metod: metoda severozápadního rohu indení metody metoda VAM
Metoda severozápadního rohu Umístí v prvním kroku přepravu do pole D 1 O 1 (proměnná 11 ), které je v tabulce vlevo nahoře ( na severozápadě ). Objem přepravy bude maimálně možný, tj. je roven minimální hodnotě z kapacity a 1 a požadavku b 1.
Metoda severozápadního rohu Po obsazení pole D 1 O 1 buď bude plně uspokojen první požadavek a tím z tabulky vypadne první sloupec nebo bude plně vyčerpána první kapacita a z tabulky vypadne první řádek. Poté je třeba zredukovat zbývající kapacitu případně požadavek. Po vyloučení prvního řádku nebo sloupce se vybere další pole vlevo nahoře, do kterého se umístí přeprava podle stejného pravidla jako v předcházejícím kroku. Tak dojde k vyloučení dalšího řádku nebo sloupce a k odpovídající redukci kapacity nebo požadavku. Takto se pokračuje až do obsazení m+n-1 polí v celé tabulce ( v případě degenerovaného řešení je těchto polí méně).
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 180 11 4 17 9 6 7 10 8 330 150 D 3 3 9 5 12 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 11 4 17 9 180 150 6 7 10 8 330 150 D 3 3 9 5 12 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 D 3 11 4 17 9 180 150 6 7 10 8 100 3 9 5 12 330 150 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 D 3 11 4 17 9 180 150 6 7 10 8 100 50 3 9 5 12 330 150 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 D 3 11 4 17 9 180 150 6 7 10 8 100 50 3 9 5 12 110 330 150 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 D 3 11 4 17 9 180 150 6 7 10 8 100 50 3 9 5 12 110 110 330 150 220 P 180 250 160 110 700
Metoda SZ rohu náklady na přepravu = 5650 je velmi jednoduchá, v typickém případě poskytuje velmi špatné řešení, nebere totiž v úvahu přepravní sazby, získané výchozí základní řešení je od optimálního řešení velmi vzdálené.
Indení metoda (metoda maticového minima) Jako první se umístí přeprava do pole s minimálními jednotkovými náklady. Po obsazení pole vypadne řádek nebo sloupec ( ve speciálním případě může vypadnout současně řádek i sloupec). Ve zbylé matici najdeme pole s minimálními náklady, do něj umístíme další přepravu atd. Nelze-li rozhodnout o obsazení pole jednoznačně (eistuje několik polí se stejnými minimálními jednotkovými přepravními sazbami), potom se doporučuje obsadit nejprve to pole, do kterého lze umístit přepravu o nejvyšším objemu. Vyskytuje-li se v dopravním problému fiktivní činitel, neberou se jemu příslušející pole v úvahu (všechny koeficienty jsou nulové) a obsadí se až na konec ( až co ne ně zbude).
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 11 4 17 9 330 D 2 6 7 10 8 150 D 3 180 3 9 5 12 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 11 4 17 9 250 6 7 10 8 330 150 D 3 180 3 9 5 12 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 11 4 17 9 250 6 7 10 8 330 150 D 3 3 9 5 12 180 40 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 D 3 11 4 17 9 250 6 7 10 8 110 3 9 5 12 180 40 330 150 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 D 3 11 4 17 9 250 6 7 10 8 40 110 3 9 5 12 180 40 330 150 220 P 180 250 160 110 700
O 1 O 2 O 3 O 4 K D 1 D 2 D 3 11 4 17 9 250 80 6 7 10 8 40 110 3 9 5 12 180 40 330 150 220 P 180 250 160 110 700
Indení metoda náklady na přepravu = 4380 v typickém případě dává indení metoda lepší výsledek než metoda SZ rohu, zpočátku jsou obsazována nejvýhodnější pole, ale může se snadno stát, že nakonec je třeba obsadit pole s minimálně výhodnými přepravními sazbami.
Metoda VAM (Vogelova aproimační metoda) Metoda je výpočetně poněkud náročnější než předchozí dvě, poskytuje však v typickém případě nejlepší řešení. Vychází z toho, že pro každý řádek a sloupec tabulky dopravního problému se vypočítají tzv. diference, tedy rozdíly mezi dvěma nejnižšími přepravními sazbami v daném řádku či sloupci ( uvažují se i nulové cenové koeficienty u fiktivních činitelů). Diference může být i nulová, jsou-li dvě nejmenší přepravní sazby v řádku či sloupci stejné.
Pro obsazení přepravy se vybere pole, které má nejnižší přepravní sazbu v řádku nebo sloupci s maimální diferencí. Uvedené pravidlo nemusí vést jednoznačně k výběru pole pro obsazení přepravy. Často eistuje více řádků nebo sloupců se stejnou maimální diferencí. Pak pro obsazení vybereme to pole, které má nejnižší sazbu z těch polí, které leží v řádcích a sloupcích s maimálními diferencemi. Po obsazení vybraného pole dojde k vyloučení 1 řádku nebo sloupce. Dále je nutno přepočítat diference a celý postup v dalším kroku opakovat.
O 1 O 2 O 3 O 4 K Dif D 1 1 1 250 4 1 7 9 330 5 D 2 6 7 1 0 8 150 1 D 3 3 9 5 1 2 220 2 P 180 250 160 110 700 Dif 3 3 5 1
D 1 D 2 D 3 O 1 O 2 O 3 O 4 K Dif 1 1 250 4 1 7 6 7 1 0 ----- 9 8 3 9 5 1 2 ----- 160 330 2 150 220 P 180 250 160 110 700 Dif 3 ----- 5 1 2 2
O 1 O 2 O 3 O 4 K Dif D 1 D 2 D 3 1 1 4 1 7 250 ----- 6 7 1 0 ----- ----- 9 8 330 2 150 3 9 5 1 2 220 60 ----- 160 2 9 P 180 250 160 110 700 Dif 3 ----- ----- 1
O 1 O 2 O 3 O 4 K Dif D 1 D 2 D 3 1 1 4 1 7 250 ----- 6 7 1 0 120 ----- ----- 9 8 330 2 150 3 9 5 1 2 220 60 ----- 160 ----- 2 ----- P 180 250 160 110 700 Dif 5 ----- ----- 1
O 1 O 2 O 3 O 4 K Dif D 1 D 2 D 3 1 1 4 1 7 ----- 250 ----- 80 6 7 1 0 120 ----- ----- 30 9 8 330 2 150 3 9 5 1 2 220 60 ----- 160 ----- 2 ---- P 180 250 160 110 700 Dif ----- ----- ----- 1
Metoda VAM Náklady na přepravu = 3660
Test optimality Test optimality spočívá ve výpočtu redukovaných cenových koeficientů z ij, zapisujeme je do levého horního rohu každého pole tabulky: pro základní proměnné (typicky ij >0) musí platit z ij =u i +v j -c ij =0, pro nezákladní proměnné ( ij =0) musí platit z ij =u i +v j -c ij <=0
Výpočetní realizace testu optimality probíhá ve dvou krocích: Pro každou základní proměnnou ij, tj. pro každé obsazené pole sestavíme rovnici u i +v j =c ij. Základních proměnných je m+n-1 a proměnných u i a v j je m+n. Dostáváme soustavu m+n-1rovnic o m+n neznámých. Tato soustava má jeden stupeň volnosti a proto libovolnou jednu proměnnou položíme rovnu nule a ostatní snadno dopočteme. Proměnné u i a v j v prvním kroku použijeme pro ověření druhé podmínky optimality. Pokud všechny z ij pro nezákladní proměnné jsou nekladné, je testované základní řešení optimální a výpočet končí.
O 1 O 2 O 3 O 4 K u i D 1 D 2 D 3 1 1 4 1 7 250 80 6 7 1 0 40 110 9 8 330 150 3 9 5 1 2 220 180 40 P 180 250 160 110 700 v j
12 =250 u 1 +v 2 =4 13 =80 u 1 +v 3 =17 23 =40 u 2 +v 3 =10 24 =110 u 2 +v 4 =8 31 =180 u 3 +v 1 =3 33 =40 u 3 +v 3 =5 Položíme v 3 =0, pak pro ostatní u i a v j dostáváme: u 1 =17 v 1 =-2 u 2 =10 v 2 =-13 u 3 =5 v 4 =-2
O 1 O 2 O 3 O 4 K u i D 1 D 2 D 3 11 4 1 7 250 80 6 7 1 0 40 110 9 8 330 17 150 3 9 5 1 2 220 180 40 10 5 P 180 250 160 110 700 v j -2-13 0-2
O 1 O 2 O 3 O 4 K u i D 1 D 2 D 3 4 1 1 4 1 7 250 80 2 6 _ 7 1 0 6 9 40 110 8 330 17 150 3 _ 9 5 _ 1 2 220 180 40 10 5 P 180 250 160 110 700 v j -2-13 0-2
Výpočet nového základního řešení Jako vstupující se zvolí ta proměnná, která nejvíce porušuje test optimality, tedy ta proměnná, která má největší kladný redukovaný cenový koeficient. Pokud tato proměnná není určena jednoznačně, zvolí se vstupující proměnná libovolně z proměnných, které přicházejí v úvahu. Vstupující proměnné určuje v tabulce tzv. klíčové pole. V našem případě je vstupující proměnnou proměnná 14.
Volba vystupující proměnné Pro určení vystupující proměnné je třeba nejdříve sestrojit tzv. uzavřený okruh: posloupnost polí, která začíná a končí v klíčovém poli a v každém obsazeném poli mění směr. Pro uzavřený okruh platí, že pro každé nedegenerované základní řešení a každé klíčové pole je určen jednoznačně (eituje vždy a eistuje právě jeden). Po určení uzavřeného okruhu označíme jeho prvky střídavě symbolem +t a t, v klíčovém poli je symbol +t.
Volba vystupující proměnné Vystupující proměnná je určena minimální hodnotou ij z polí, která jsou označena symbolem t. Pokud je polí s touto minimální hodnotou více, zvolí se vystupující proměnná libovolně z nich. Hodnota t určuje současně hodnotu nové vstupující proměnné. V našem příkladu je vystupující proměnná 13.
D 1 O 1 O 2 O 3 O 4 K u i 4 1 1 4 -t 1 7 6 +t 9 330 17 250 80 D 2 2 6 _ 7 +t 1 0 -t 8 150 10 D 3 40 110 3 _ 9 5 _ 1 2 220 180 40 P 180 250 160 110 700 v j -2-13 0-2 5
Přepočet tabulky Je-li určena vstupující a vystupující proměnná, přičte se k polím označeným +t hodnota t, od polí označených t se hodnota t odečte. Ostatní pole tabulky zůstávají beze změny. Počet obsazených polí zůstává stejný, tedy m+n-1 Po přepočtu tabulky je získáno nové základní řešení Výpočet dále pokračuje znovu testem optimality a celý postup se opakuje.
D 1 O 1 O 2 O 3 O 4 K u i 4 1 4 1 6 9 1 -t 7 +t 330 17 250 80 D 2 2 6 _ 7 +t 1 0 -t 8 150 10 D 3 120 30 3 _ 9 5 _ 1 2 220 180 40 P 180 250 160 110 700 v j -2-13 0-2 5
D 1 D 2 O 1 O 2 O 3 O 4 K u i _ 11 4 _ 1 9 7 330 0 250 80 2 vs t +t 6 _ 7 -t vy st 1 0 8 150-1 D 3 120 30 -t 3 _ 9 +t 5 _ 1 2 180 40 220 P 180 250 160 110 700 v j 9 4 11 9-6
O 1 O 2 O 3 O 4 K u i D 1 D 2 D 3 _ 1 1 4 _ 1 7 250 80 6 _ 7 _ 1 0 120 30 9 8 330 0 150 3 _ 9 5 _ 1 2 220 60 160-1 -4 P 180 250 160 110 700 v j 7 4 9 9
Možnosti zakončení výpočtu DP Vyrovnaný DP má vždy optimální řešení, a to buď jediné nebo alternativní. Jediné optimální řešení má v případě, že jsou všechny redukované cenové koeficienty u nezákladních proměnných záporné. Pokud je aspoň jeden z těchto koeficientů roven nule, pak má DP alternativní optimální řešení