Spojité deterministické modely I 1. cvičná písemka I. část 1.ajděteoecnéřešenírovnice tx xttg x t. 2.Rozhodnětezdapočátečníúloha x t 3 x xjejednoznačněřešitelná.odpověď zdůvodněte. 3. ajděte první tři členy Picardovy posloupnosti postupných aproximací řešení úlohy 4. Odhadněte řešení prolému x x x x 1. x t+ x 1+x2 x tj.najdětefunkce ϕ ψtakovéže ϕt xt ψtprovšechna t >zdefiničníhoooru řešení x. 5. Zjistěte zda autonomní systém má nekonstantní periodické řešení. x 2x y y x+2y 6.Určeteprokteréhodnotyparametru ajeřešení xt 1 a rovnice x ax 1stejnoměrně asymptoticky stailní. II. část 1. ajděte řešení počátečního prolému x +x +2x +2x3 x1 x 1 2 x 1 2. 2.Vývojdvoupopulacíovelikostech xxt y ytjemodelovánsystémemrovnic x x x ky y ay+κx ky; parametry a k κ jsou kladné. Určete o jaký typ interakcevztahu populací jde najděte rovnovážné velikosti populací a vyšetřete jejich stailitu. 3. Model epidemie SEI ez vitální dynamiky je tvaru S βis E βis δe I δe S 1 E I1. označuje velikost populace na počátku je jeden infekční jedinec a žádný nakažený v latentním stádiu. ačrtněte fázové portréty a popište vývoj epidemie. Časnavypracování:I.část9minutII.část6minut. Bodování:I.část6 1odII.část3 2ody. Hodnocení: I. část: dosáhnout alespoň 3 odů. II. část:[56]a[45b[34c[23d2e.
Výsledky: I1. xttarcsinct I2.Ano;řešeníje x ařešeníjednoznačněřešitelnéúlohyspočátečnípodmínkou xt a pro t není řešením zadané úlohy. I3. x t x 1tt x 2tt+ t2 2 I4. t2 2 t xt t2 2 +t I5. Reálné části vlastních čísel matice jsou nenulové imaginární nulové; proto nestacionární periodické řešení nemůže existovat. I6. a <. II1. 1 2 3 e t. II2. Dravec-kořist; úživnost prostředí pro populaci kořisti je neomezená a osahuje úkryt který pojme populaci kořisti o velikosti k a ochrání ji před dravcem; koeficient úmrtnosti dravce ez potravy je a efektivita s níž přemění zničenou kořistnarůstsvépopulace je κ. Stacionárnířešení x k+ a κk y 1+ je asymptotickystailní. Pro κk < κ a 2a 2 1+ 1+ 1 a sejednáoohniskopro κk >2a 2 1+ 1+ 1 a sejednáouzel. II3.S+E+I S +E +I S+E+I const StavovýprostorΩ { SEI R 3 : S E I S+E+I } E I S:Ω { SI R 2 : S I S+I } S I βis δ I S I S-nulkliny: I S I-nulklina: I S S E I:Ω { EI R 2 : E I E+I } E I βi E I δe δe I S βi I E-nulklina: E δ+βi I-nulklina: E I S E:Ω { SE R 2 : S E S+E } S E β S ES β S ES δe E E S-nulkliny: S E S β SS I-nulklina: E βs+δ S Počet zdravých jedinců monotonně klesá k nule počet infekčních monotonně roste k počet nakažených v latentním stadiu nejdříve roste a po dosažení jistého maxima klesá k nule.
Spojité deterministické modely I 2. cvičná písemka I. část 1.ajděteoecnéřešenírovnice y sinxylny. 2. Zjistěte zda je lokálně jednoznačně řešitelná počáteční úloha x +x x sin2t+ cost 2 x1 x. 3.Ukažtežefunkce x 1 ttax 2 te t tvořífundamentálnísystémřešeníhomogennírovnice přidružené k rovnici t 1x tx +xt 1 2 na jakémkoliv intervalu který neosahuje 1. Pak najděte řešení této nehomogenní rovnice spočátečnímipodmínkami x x. 4.ajdětemaximálníaminimálnířešeníúlohy x x t x. 5. Určete parametr a tak ay autonomní systém x 2x 5y y x+ay měl periodické řešení. 6.Zjistětezdařešení x 3rovnice x x 3 27jestailníneoasymptotickystailní. II. část 1. ajděte řešení počátečního prolému x +8x +16xcost x 1 9 x x 1 9 x. 2. Uvažujte model konkurence dvou populací takových že pro druhou z nich je kapacita prostředí neomezená: d 1 r 1 1 1 1 a 12 2 dt K 1 d 2 r 2 2 1 a 21 1. dt ajděte nezáporná stacionární řešení a určete jejich typ a stailitu. Určete podmínky za kterých může druhá populace vyhynout. 3. Autonomní systém S ms d 1 S βis+γi I βis γi d 2 I všechnyparametryjsoukladnéam > d 1 představujemodelepidemiesissvitálnídynamikou za předpokladů: Potomky má pouze zdravá částs populace; úmrtnosti ve zdravés a infekčníi části populace mohou ýt rozdílné; omezenost zdrojůvnitrodruhová konkurence se neprojevuje tj. zdravá populace y rostla neomezeněexponenciálně. Může epidemie tohoto typu stailizovat populaci? Jaká musí ýt úmrtnost infikovaných jedinců ay se růst populace zastavil? Časnavypracování:I.část9minutII.část6minut. Bodování:I.část6 1odII.část3 2ody. Hodnocení: I. část: dosáhnout alespoň 3 odů. II. část:[56]a[45b[34c[23d2e.
Výsledky: { I1. yexp Ctg x }. 2 I2. Ano. Jedná se o lineární rovnici se spojitými koeficienty. I3.Každázfunkcí x 1tt x 2te t jeřešenímhomogennírovnicedruhéhořádu x t t 1 x + 1 t 1 x.dáleje t et 1 e t t 1et pro t 1. Řešenídanéúlohyjee t t 2 t 1. I4.Úlohamářešení xtctkde Cjeliovolnáreálnákonstantaatotořešeníjedefinovánonaintervalu[ neo ].Pro t >aliovolné c >platí ct <2ctapodoně.Maximálníaniminimálnířešenítedyneexistuje. I5.Systémmávždyřešení x y tj.řešeníkonstantnítedyperiodickésliovolnouperiodou.pro a 2má nekonstantní periodické řešení. I6. Řešení je nestailní. II1. xt 1 cost. 9 II2.Pokud a 21K 1 1existujejedinéstacionárnířešení:sedloK 1adruhápopulacenemůževymřítrostenade 1 a21k1 1 všechnymeze.pokud a 21K 1 >1existujídvěstacionárnířešení:stailníuzelK 1asedlo ;vtomto a 21 a 12a 21K 1 případětedymůžedruhápopulacevymřítpokudjejípočátečnívelikostje dostatečněmalá apočátečnívelikostprvní populaceje dostatečnělízko kapacitěprostředí K 1. II3.Systémmájedinýrovnovážnýod γ+d2 m d1γ+d2 β βd 2 kterýjepro stailním uzlem a pro m d 1 > m d 1 < 2 2d2 γ+d 2 γ 2 2d2 γ+d 2 γ stailním ohniskem. Epidemie která potlačuje plodnost tedy může zastavit růst malthusovské populace ez ohledu na tojakývlivmánaúmrtnost.
Spojité deterministické modely I 3. cvičná písemka I. část 1.ajděteoecnéřešenírovnice tx xxln x t. 2.Určeteparametr atakaypočátečníúloha tx x xamělaalespoňjednořešení definované na intervalu[. 3. ajděte první tři členy Picardovy posloupnosti postupných aproximací řešení počáteční úlohy x y y x+t x y. 4.ajdětemaximálníaminimálnířešeníúlohy x 3 3 x 2 xnaintervalu[. 5. ajděte všechny izolované stacionární ody autonomního systému x 2x 5y y x 2y+1 a určete jejich typ. 6.echť xxtjeřešenípočátečníúlohy x 2x 2 x 3 + x x1α.určeteprokteré hodnoty parametru α je funkce x rostoucí pro které hodnoty je klesající a pro které hodnoty je periodická. II. část 1. ajděte řešení počátečního prolému x y y z z x y z+2cost x1 y 1 2 z1. 2. Zdroj podléhající rozkladu je pravidelně dodáván konzumentovi. Tato situace může ýt popsána modelem x a x xy y xy y kde x označuje množství zdroje a y velikost populace konzumenta parametry a jsou kladné. ajděte podmínky za jakých může dojít k dynamické rovnováze zdroje a konzumenta; přitom množství zdroje i velikost populace konzumenta mají ýt nenulové. Je tato rovnováha dlouhodoě udržitelná? 3. Pokud relativní změna mezd závisí na relativní zaměstnanosti lineárně lze dynamiku mezd a zaměstnanosti při vhodné volě jednotek popsat autonomním systémem u u v 1 2 v v1 2u jedná se o speciální případ Goodwinova modelu. Rozhodněte o stailitě všech stacionárních odů tohoto systému a najděte invariantprvní integrál tohoto systému. Časnavypracování:I.část9minutII.část6minut. Bodování:I.část6 1odII.část3 2ody. Hodnocení: I. část: dosáhnout alespoň 3 odů. II. část:[56]a[45b[34c[23d2e.
Výsledky: I1. xtte Ct. I2.Oecnéřešenírovniceje xtct.prořešenírovnicetedyvždyplatí x.musítedyýt a. I3. xt y t x1t y 1t 1 2 t2 x2t y 2t 1 6 t3 1 2 t2 x3t y 3t 1 6 t3 1 24 t4 + 1. 2 t2 I4. x t x tt 3. I5. Jediný stacionární od 5 2 je střed. I6.Pravástranadanérovnice fx2x 2 x 3 +x xx 2 2x+1 xx 1 2 jenulovápro xneo x1 jekladnápro x <azápornápro x \{1}.Toznamenážepropočátečníhodnotu α <jeřešenídanéúlohy ryzerostoucípropočátečníhodnotu α 1 1 jeřešeníryzeklesajícíapropočátečníhodnotu α {1}je řešení konstantnítedy periodické. II1. Daná úloha je ekvivalentní s počáteční úlohou pro lineární rovnici třetího řádu x +x +x +x2cost x x 1 2 x 1. Oecnéřešenípřidruženéhomogennírovniceje xtae t +Bcost+Csintpartikulárnířešenínehomogennírovnice je xt 1 2 tsint costřešeníúlohyprorovnicitřetíhořádutedyje xt 1 2 e t +1 tcost+1+tsint. Tatofunkcejeprvnísložkouřešenídanéúlohy.Jejídruháatřetísložkajsou ytx t 1 2 e t tcost tsint zty t 1 2 e t +1+tcost+1 tsint. II2. Systém má jediný stacionární od a.tenležíuvnitřprvníhokvadrantupokud a >.Variačnímaticeje 1 y Jxy y x J J a 1 a 2 a aplatípronitrj 1 <detj >takžestacionárníodjestokstailníuzelneoohnisko. K dynamické rovnováze zdroje a konzumenta dojde pokud < atransformovaná úmrtnost konzumenta je menší než intenzita dodávání zdroje. Tato rovnováha je stejnoměrně asymptoticky stailní tedy udržitelná. II3. Invariant systému: dv 2v1 2u du u2v 1 2v 1 v 2 1 2u du d u 2v lnv 2lnu 4u+const Invariantsystémutedyje Vuv4u+2v lnu 2 v. Stacionární ody: sedlo tj. nestailní 1 2 1 2 středtj.stejnoměrněstailnínikolivasymptoticky a