Spojité deterministické modely I 1. cvičná písemka

Podobné dokumenty
Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

9.7. Vybrané aplikace

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Funkce jedné proměnné

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Derivace a monotónnost funkce

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

y +q 1 (t)y = 0 (1) z +q 2 (t)z = 0 (2)

Soustavy lineárních rovnic

Modelov an ı syst em u a proces

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Separovatelné diferenciální rovnice

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Stochastické diferenciální rovnice

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic

Spojité deterministické modely II cvičení

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Program SMP pro kombinované studium

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Základní spádové metody

x = f(x), (1) existenci a jednoznačnosti plyne, že pokud je f C k, k 1, je ϕ korektně

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

9. cvičení z Matematické analýzy 2

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

24. Parciální diferenciální rovnice

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

V této kapitole si ukážeme, jak lze řešit některé nelineární autonomní soustavy rovnic. Uvažujme soustavu X = F (X), (1)

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

Arnoldiho a Lanczosova metoda

Uzavřené a otevřené množiny

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

22 Základní vlastnosti distribucí

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Vlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)


10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

Lineární algebra : Metrická geometrie

10 Funkce více proměnných

5. Lokální, vázané a globální extrémy

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)

IV120 Spojité a hybridní systémy. Jana Fabriková

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Matematická analýza 4

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Konvergence kuncova/

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Obecné lineární problémy

Příklad 1/23. Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) d) g(x) Ω(f(x))

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Kristýna Kuncová. Matematika B3

19 Hilbertovy prostory

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

KMS cvičení 6. Ondřej Marek

AVDAT Nelineární regresní model

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

MATEMATICKÉ MODELY DYNAMIKY POPULACÍ CONTINUOUS MATHEMATICAL MODELS OF POPULATION DYNAMICS

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

Biofyzikální ústav LF MU Brno. jarní semestr 2011

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Pozorovatel, Stavová zpětná vazba

Ukázka závěrečného testu

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Diferenciální rovnice a dynamické modely

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

Funkce - pro třídu 1EB

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Rovnice se separovanými proměnnými

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A

Transkript:

Spojité deterministické modely I 1. cvičná písemka I. část 1.ajděteoecnéřešenírovnice tx xttg x t. 2.Rozhodnětezdapočátečníúloha x t 3 x xjejednoznačněřešitelná.odpověď zdůvodněte. 3. ajděte první tři členy Picardovy posloupnosti postupných aproximací řešení úlohy 4. Odhadněte řešení prolému x x x x 1. x t+ x 1+x2 x tj.najdětefunkce ϕ ψtakovéže ϕt xt ψtprovšechna t >zdefiničníhoooru řešení x. 5. Zjistěte zda autonomní systém má nekonstantní periodické řešení. x 2x y y x+2y 6.Určeteprokteréhodnotyparametru ajeřešení xt 1 a rovnice x ax 1stejnoměrně asymptoticky stailní. II. část 1. ajděte řešení počátečního prolému x +x +2x +2x3 x1 x 1 2 x 1 2. 2.Vývojdvoupopulacíovelikostech xxt y ytjemodelovánsystémemrovnic x x x ky y ay+κx ky; parametry a k κ jsou kladné. Určete o jaký typ interakcevztahu populací jde najděte rovnovážné velikosti populací a vyšetřete jejich stailitu. 3. Model epidemie SEI ez vitální dynamiky je tvaru S βis E βis δe I δe S 1 E I1. označuje velikost populace na počátku je jeden infekční jedinec a žádný nakažený v latentním stádiu. ačrtněte fázové portréty a popište vývoj epidemie. Časnavypracování:I.část9minutII.část6minut. Bodování:I.část6 1odII.část3 2ody. Hodnocení: I. část: dosáhnout alespoň 3 odů. II. část:[56]a[45b[34c[23d2e.

Výsledky: I1. xttarcsinct I2.Ano;řešeníje x ařešeníjednoznačněřešitelnéúlohyspočátečnípodmínkou xt a pro t není řešením zadané úlohy. I3. x t x 1tt x 2tt+ t2 2 I4. t2 2 t xt t2 2 +t I5. Reálné části vlastních čísel matice jsou nenulové imaginární nulové; proto nestacionární periodické řešení nemůže existovat. I6. a <. II1. 1 2 3 e t. II2. Dravec-kořist; úživnost prostředí pro populaci kořisti je neomezená a osahuje úkryt který pojme populaci kořisti o velikosti k a ochrání ji před dravcem; koeficient úmrtnosti dravce ez potravy je a efektivita s níž přemění zničenou kořistnarůstsvépopulace je κ. Stacionárnířešení x k+ a κk y 1+ je asymptotickystailní. Pro κk < κ a 2a 2 1+ 1+ 1 a sejednáoohniskopro κk >2a 2 1+ 1+ 1 a sejednáouzel. II3.S+E+I S +E +I S+E+I const StavovýprostorΩ { SEI R 3 : S E I S+E+I } E I S:Ω { SI R 2 : S I S+I } S I βis δ I S I S-nulkliny: I S I-nulklina: I S S E I:Ω { EI R 2 : E I E+I } E I βi E I δe δe I S βi I E-nulklina: E δ+βi I-nulklina: E I S E:Ω { SE R 2 : S E S+E } S E β S ES β S ES δe E E S-nulkliny: S E S β SS I-nulklina: E βs+δ S Počet zdravých jedinců monotonně klesá k nule počet infekčních monotonně roste k počet nakažených v latentním stadiu nejdříve roste a po dosažení jistého maxima klesá k nule.

Spojité deterministické modely I 2. cvičná písemka I. část 1.ajděteoecnéřešenírovnice y sinxylny. 2. Zjistěte zda je lokálně jednoznačně řešitelná počáteční úloha x +x x sin2t+ cost 2 x1 x. 3.Ukažtežefunkce x 1 ttax 2 te t tvořífundamentálnísystémřešeníhomogennírovnice přidružené k rovnici t 1x tx +xt 1 2 na jakémkoliv intervalu který neosahuje 1. Pak najděte řešení této nehomogenní rovnice spočátečnímipodmínkami x x. 4.ajdětemaximálníaminimálnířešeníúlohy x x t x. 5. Určete parametr a tak ay autonomní systém x 2x 5y y x+ay měl periodické řešení. 6.Zjistětezdařešení x 3rovnice x x 3 27jestailníneoasymptotickystailní. II. část 1. ajděte řešení počátečního prolému x +8x +16xcost x 1 9 x x 1 9 x. 2. Uvažujte model konkurence dvou populací takových že pro druhou z nich je kapacita prostředí neomezená: d 1 r 1 1 1 1 a 12 2 dt K 1 d 2 r 2 2 1 a 21 1. dt ajděte nezáporná stacionární řešení a určete jejich typ a stailitu. Určete podmínky za kterých může druhá populace vyhynout. 3. Autonomní systém S ms d 1 S βis+γi I βis γi d 2 I všechnyparametryjsoukladnéam > d 1 představujemodelepidemiesissvitálnídynamikou za předpokladů: Potomky má pouze zdravá částs populace; úmrtnosti ve zdravés a infekčníi části populace mohou ýt rozdílné; omezenost zdrojůvnitrodruhová konkurence se neprojevuje tj. zdravá populace y rostla neomezeněexponenciálně. Může epidemie tohoto typu stailizovat populaci? Jaká musí ýt úmrtnost infikovaných jedinců ay se růst populace zastavil? Časnavypracování:I.část9minutII.část6minut. Bodování:I.část6 1odII.část3 2ody. Hodnocení: I. část: dosáhnout alespoň 3 odů. II. část:[56]a[45b[34c[23d2e.

Výsledky: { I1. yexp Ctg x }. 2 I2. Ano. Jedná se o lineární rovnici se spojitými koeficienty. I3.Každázfunkcí x 1tt x 2te t jeřešenímhomogennírovnicedruhéhořádu x t t 1 x + 1 t 1 x.dáleje t et 1 e t t 1et pro t 1. Řešenídanéúlohyjee t t 2 t 1. I4.Úlohamářešení xtctkde Cjeliovolnáreálnákonstantaatotořešeníjedefinovánonaintervalu[ neo ].Pro t >aliovolné c >platí ct <2ctapodoně.Maximálníaniminimálnířešenítedyneexistuje. I5.Systémmávždyřešení x y tj.řešeníkonstantnítedyperiodickésliovolnouperiodou.pro a 2má nekonstantní periodické řešení. I6. Řešení je nestailní. II1. xt 1 cost. 9 II2.Pokud a 21K 1 1existujejedinéstacionárnířešení:sedloK 1adruhápopulacenemůževymřítrostenade 1 a21k1 1 všechnymeze.pokud a 21K 1 >1existujídvěstacionárnířešení:stailníuzelK 1asedlo ;vtomto a 21 a 12a 21K 1 případětedymůžedruhápopulacevymřítpokudjejípočátečnívelikostje dostatečněmalá apočátečnívelikostprvní populaceje dostatečnělízko kapacitěprostředí K 1. II3.Systémmájedinýrovnovážnýod γ+d2 m d1γ+d2 β βd 2 kterýjepro stailním uzlem a pro m d 1 > m d 1 < 2 2d2 γ+d 2 γ 2 2d2 γ+d 2 γ stailním ohniskem. Epidemie která potlačuje plodnost tedy může zastavit růst malthusovské populace ez ohledu na tojakývlivmánaúmrtnost.

Spojité deterministické modely I 3. cvičná písemka I. část 1.ajděteoecnéřešenírovnice tx xxln x t. 2.Určeteparametr atakaypočátečníúloha tx x xamělaalespoňjednořešení definované na intervalu[. 3. ajděte první tři členy Picardovy posloupnosti postupných aproximací řešení počáteční úlohy x y y x+t x y. 4.ajdětemaximálníaminimálnířešeníúlohy x 3 3 x 2 xnaintervalu[. 5. ajděte všechny izolované stacionární ody autonomního systému x 2x 5y y x 2y+1 a určete jejich typ. 6.echť xxtjeřešenípočátečníúlohy x 2x 2 x 3 + x x1α.určeteprokteré hodnoty parametru α je funkce x rostoucí pro které hodnoty je klesající a pro které hodnoty je periodická. II. část 1. ajděte řešení počátečního prolému x y y z z x y z+2cost x1 y 1 2 z1. 2. Zdroj podléhající rozkladu je pravidelně dodáván konzumentovi. Tato situace může ýt popsána modelem x a x xy y xy y kde x označuje množství zdroje a y velikost populace konzumenta parametry a jsou kladné. ajděte podmínky za jakých může dojít k dynamické rovnováze zdroje a konzumenta; přitom množství zdroje i velikost populace konzumenta mají ýt nenulové. Je tato rovnováha dlouhodoě udržitelná? 3. Pokud relativní změna mezd závisí na relativní zaměstnanosti lineárně lze dynamiku mezd a zaměstnanosti při vhodné volě jednotek popsat autonomním systémem u u v 1 2 v v1 2u jedná se o speciální případ Goodwinova modelu. Rozhodněte o stailitě všech stacionárních odů tohoto systému a najděte invariantprvní integrál tohoto systému. Časnavypracování:I.část9minutII.část6minut. Bodování:I.část6 1odII.část3 2ody. Hodnocení: I. část: dosáhnout alespoň 3 odů. II. část:[56]a[45b[34c[23d2e.

Výsledky: I1. xtte Ct. I2.Oecnéřešenírovniceje xtct.prořešenírovnicetedyvždyplatí x.musítedyýt a. I3. xt y t x1t y 1t 1 2 t2 x2t y 2t 1 6 t3 1 2 t2 x3t y 3t 1 6 t3 1 24 t4 + 1. 2 t2 I4. x t x tt 3. I5. Jediný stacionární od 5 2 je střed. I6.Pravástranadanérovnice fx2x 2 x 3 +x xx 2 2x+1 xx 1 2 jenulovápro xneo x1 jekladnápro x <azápornápro x \{1}.Toznamenážepropočátečníhodnotu α <jeřešenídanéúlohy ryzerostoucípropočátečníhodnotu α 1 1 jeřešeníryzeklesajícíapropočátečníhodnotu α {1}je řešení konstantnítedy periodické. II1. Daná úloha je ekvivalentní s počáteční úlohou pro lineární rovnici třetího řádu x +x +x +x2cost x x 1 2 x 1. Oecnéřešenípřidruženéhomogennírovniceje xtae t +Bcost+Csintpartikulárnířešenínehomogennírovnice je xt 1 2 tsint costřešeníúlohyprorovnicitřetíhořádutedyje xt 1 2 e t +1 tcost+1+tsint. Tatofunkcejeprvnísložkouřešenídanéúlohy.Jejídruháatřetísložkajsou ytx t 1 2 e t tcost tsint zty t 1 2 e t +1+tcost+1 tsint. II2. Systém má jediný stacionární od a.tenležíuvnitřprvníhokvadrantupokud a >.Variačnímaticeje 1 y Jxy y x J J a 1 a 2 a aplatípronitrj 1 <detj >takžestacionárníodjestokstailníuzelneoohnisko. K dynamické rovnováze zdroje a konzumenta dojde pokud < atransformovaná úmrtnost konzumenta je menší než intenzita dodávání zdroje. Tato rovnováha je stejnoměrně asymptoticky stailní tedy udržitelná. II3. Invariant systému: dv 2v1 2u du u2v 1 2v 1 v 2 1 2u du d u 2v lnv 2lnu 4u+const Invariantsystémutedyje Vuv4u+2v lnu 2 v. Stacionární ody: sedlo tj. nestailní 1 2 1 2 středtj.stejnoměrněstailnínikolivasymptoticky a