Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma (Beroulliova erovost Nechť, Pak > N Důkaz Buď ejrve Pro vztah latí, ředokládejme latost ro evé Pak Pro a ro libovolé je e ( + + ( + + = N ( + + = ( + ( + ( + ( + = + + + + + = + ( + (, N ( + + + = + + Lemma (AG erovost Nechť N, α,, α 0 Pak latí Důkaz Předokládejme, že jsou všecha kladá (okud je ěkteré z ich rovo ule, vztah latí triviálě Pro vztah latí Dokažme ho ro : osledí erovost je zřejmá, eboť čtverec reálého čísla je vždy ezáorý Předokládejme yí latost ro a dokažme latost ro : Nyí a vitřek závorky a ravé straě oužijeme oět ro : (( α + + α k α ( k ++ + α k k k k Pro slňující dokážeme erovost takto: ozačme Pak z erovosti ro = Děleím obou stra číslem lye dostaeme α+ + α α α ( α j = α + α ( + αα 4αα α + + 0 (, 4 αα α α α αα ( α α ( =, 4, 8,, k = k α α k = ( α α k ( α k + α ( k N k < < k = k α + + α k k α ( k ++ + α k k k (( α + + α k α + ( k α k k + + = k k ( = ( = α + + α k k α+ + α s = α+ + α k k α k + α k + + + k k α α s s α + + α + ( k s s + ( = k s = ( k čiitelů s k k k ( k k s k k k (
Lemma Nechť R Pak eistuje koečá kladá ita oslouosti ( + + Důkaz Ozačme Ukážeme, že je omezeá a od jistého čleu rostoucí oslouost kladých čísel R a = ( + Zvolme libovolě Nechť,, Pak z AG erovosti dostaeme oslouost je tedy od k tého čleu rostoucí Dále užitím Beroulliovy erovosti dostaeme a odkud umocěím a k tou dostaeme ( a k N k > > k α α s ( + + = ( + = ( + =, + + + a + ( + = ( = ( = ( = ( =, k k + k k k + k + Na ravé straě stojí kostata Vybraá oslouost je tedy shora omezeá Díky mootoii je shora omezeá i ( a Omezeost solu s mootoií zaručují eisteci koečé ity Tato ita je kladé číslo, eboť oslouost je od k tého čleu rostoucí oslouostí kladých čísel + k + k + ( + ( k k k k C > 0 ( a k C k + k k Věta (O zavedeí eoeciálí fukce Eistuje rávě jeda fukce taková, že ro všecha latí f : R R, y R f( + y = f(f(y, f( + ( (3 Důkaz Dokažme ejrve, že fukce je uvedeými odmíkami dáa jedozačě Přeokládejme, že f s uvedeými vlastostmi eistuje Z ak dostaeme dosazeím rovici odkud ebo, z lye, že utě Dosazeím do dostaeme odkud lye ro všecha a dále Protože z odmíky lye, že ro kladá je kladé číslo, díky máme, že je kladá a celém Idukcí z dostaeme odmíku ro všecha Z a z lye a odobě užitím též ( = y = 0 takže sojeím těchto dvou erovostí dostaeme f(0 = f(0, f(0 = 0 f(0 = (3 f(0 = y = ( ( f( 0 N (3 (5 (4 R f(0 = = f(f(, f( = f( (3 f( (4 f R f( = f( (5 ( + f( = f( ( f( = f( =, f( (4
Vyděleím levou straou dostaeme Pro oslouost ve jmeovateli a ravé straě latí eboť z Beroulliovy erovosti lye sevřeí a stačí oužít větu o itě sevřeé oslouosti Použitím té samé věty ak ze sevřeí dostaeme, že Protože z ředchozího lemmatu lye, že ita jmeovatele eistuje, je koečá a kladá, odle věty o itě odílu dostaeme Fukce f je tedy dáa jedozačě Nyí dokažme, že fukce s uvedeými dvěma vlastostmi eistuje Ozačme f fukci defiovaou vztahem (7 Ukážeme, že tato fukce slňuje oba dva vztahy ( a (3 Z AG erovosti ro všecha a taková, že, a, dostaeme z které itím řechodem dostaeme Podobě latí ro taková, že,, že odkud itím řechodem (8 (9 Z a celkem dostaeme Z Beroulliovy erovosti ak ro odkud itím řechodem (6 ( + f( ( f( ( + (6 ( dostaeme + ( =, ( + f( ( + = f( = ( + + (7, y R N < y < + y < ( + + ( + y y + + + y ( + ( + = ( + y = ( +, N + + y < y < + y ( + ( + = y ( ( + + y + + y f(f(y f( + y (8 = ( + + = ( + ( +, < + y y y + + y + + y f( + y f(f(y (9 f( + y = f(f(y ( + +, f( +
Tím je eistece dokázáa Defiice (Eoeciála Fukci f z ředchozí věty začíme a azýváme eoeciála (ebo eoeciálí fukce Lemma (Základí vlastosti eoeciály Základí vlastosti eoeciály jsou tyto: e = e, kde e je Eulerova kostata e je ostře rostoucí a R 3 Pro obor hodot eoeciály latí He = R + 4 Pro libovolou kovergetí oslouost latí 5 Pro libovolé racioálí číslo, kde,,, latí Důkaz Plye římo z defiice Eulerova čísla e = + ( + Pro < y dostaeme odkud 3 Zvolme libovolě Možia je erázdá, eboť díky erovosti latí a též Dále je shora omezeá, eboť je ostře rostoucí Tedy je shora omezeý a zdola eomezeý iterval Ozačme s = su S Je s R Ukážeme, že latí e s = y: Kdyby totiž, ak by eistovalo tak, že eboť Z této erovosti by vylývalo, že, což je ale sor s faktem, že (sor s rví + e s + S s = su S vlastostí surema Podobě, kdyby bylo, ak by eistovalo tak, že což zameá, že s e ( S a to je oět sor, tetokrát s druhou vlastostí surema 4 Z erovostí a lye ro každé vztah Nechť ejrve Pak od jistého ideu latí a je tedy Použitím věty o itě sevřeé oslouosti dostaeme a + e = e( a r Q r = Z N + a e( = (e e y e(y = + y >, e e y > e y R + S = { R e y} e + + + S e S e s < y = e s > y e = + e( = = 0 + e N e(s + = e s e < y, e + e( = e N e s e(s = > y, + e = 0 + a a (, + a e a a + e e = a (,
Pokud obecě = a, ak a tedy Odtud odle věty o itě součiu + a ( a = 0 + a e( a a = + 5 Pro libovolé řirozeé a libovolé latí (viz Odtud ihed lye (z věty o eisteci a jedozačosti řirozeé odmociy z kladého reálého čísla, že eboť odle (0 (0 ( + Kombiací vztahů a dostaeme dokazovaé tvrzeí e = e a e( a = e a = e a Z dokázaého lemmatu lye, že je rostá ostře rostoucí fukce a s oborem hodot Eistuje k í tedy fukce iverzí Defiice (Logaritmus Fukci iverzí k azýváme řirozeý logaritmus a začíme e a + N R (5 Lemma Fukce má defiičí obor a obor hodot Je rostá a ostře rostoucí Pro všecha latí Důkaz Prostota a mootoie lye římo z defiice Ozačme, Pak a Je a e( = (e (0 e( = e, ( (e( = e e : R R R R + l R + R, y R + l l y = l + l y ( z = l w = l y = e z y = e w e(z + w = e z e w = y, odkud z + w = l y Defiice (Obecá mocia Buď a Pak obecou mociu defiujeme vztahem a R + b R a b a b = e(b l a Je uté ověřit, že výše uvedeá defiice je v souladu s defiicí mociy čísla a > 0 s racioálím eoetem vztahem a = a Skutečě, máme odle bodu 5 lemmatu e( l a = (e l a = a Proto je možé ro obecou mociu oužívat začeí a b Základí vlastosti obecé mociy shruje ásledující lemma Jsou stejé jako vlastosti racioálí mociy Lemma (Mootoie obecé mociy Pro a, b > 0 a r, s R je a r a s = a r+s, a r b r = (ab r, 3 ( a r s = a rs, 4 a r < a s r < s ro a >, 5 a r > a s r < s ro a <, 6 a r < b r a < b ro r > 0, 7 a r < b r a > b ro r < 0 Důkaz Je
Podle je 3 Je 4 Pro je (eboť je ostře rostoucí a, tedy 5 Pro je a latí tedy oačé erovosti ež v bodě 3 6 Je 7 Díky se erovosti v 5 otočí Věta (O itě Buď reálá oslouost, ro kterou latí Pak + Důkaz Předokládejme ejrve, že Z defiice ity lye, že eistuje tak, že ro je Pro > 0 dostaeme z lemmatu [lik:mootoiemociy,o mootoii obecé mociy] odhady Přitom ( a r a s = e(r l a e(sl a = e(r l a + sl a = e((r + s l a = a r+s e(r l(ab = e(r(l a + l b = e(r l a + r l b = e(r l a e(r l b = a r b r ( a r s = e(sl( a r = e(sl(e(r l a = e(sr l a = a rs a > l a > 0 l l = 0 0 < a < l a < 0 r < 0 r < s r l a < sl a e(r l a < e(sl a a r < a s a < b l a < l b r l a < r l b e(r l a < e(r l b ( + + ( = + ( + + eboť se jedá o oslouost [lik:oiteskorovybraeosl,skorovybraou] z oslouosti + ( + [ ] + Z věty o itě sevřeé oslouosti ak dostaeme dokazovaé tvrzeí Nyí ředokládejme, že = Oět od jistého ideu zřejmě latí Pro > 0 je ( + = e = + + 0 > 0 > ( + [ ] + [ ] [ ] [ < ( + < ( + ]+ [ ] + ( + [ ] [ ]+ = e, (( + + [ = = e + ( + ]+ ( + = e [ ] + [ ] +, a odobě + 0 < = ( + + = = = ( + ( ( + ( + + Podle ředchozího odstavce je ak ( + + ( + = e = e Posledí možost astává, když ita eeistuje V takovém říadě lze okrýt oslouost dvěma odoslouostmi ( k a ( l tvořeými čley oslouosti ( s ezáorými res záorými čley Přitom utě = + a Podle ředchozích odstavců a okrývací věty ro oslouosti ak dostaeme + k = + l dokazovaé tvrzeí ( (