Content. 1. Úvodní opakování Mocnina a logaritmus. a R. n N n > 1

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Content. 1. Úvodní opakování Mocnina a logaritmus. a R. n N n > 1"

Transkript

1 Cotet Úvodí opováí Moci logritmus Goiometricé fuce Zobrzeí jeho záldí vlstosti O možiě R 4 O možiě ompleích čísel 5 Oolí bodu (v R v C 6 Číselé poslouposti 6 Záldí vlstosti 6 Limit poslouposti 6 Aritmeti it 6 Věty o erovostech 6 Eulerovo číslo e 6 Limes superior iferior reálé poslouposti 64 Stolzův Cuchyův vzorec 65 Bolzov-Cuchyov podmí pro overgeci číselých posloupostí 7 Defiice obecé mociy 8 Reálé fuce reálé proměé 8 Limit fuce 8 Výpočet ity fuce 8 Bolzov-Cuchyov podmí pro eisteci oečé ity fuce 8 Spojitost fuce 8 Věty o spojitosti 8 Derivce fuce 8 Výpočet derivce 8 Loálí etrémy 8 Věty o přírůstu fuce 84 Mootoie fuce 85 Derivce vyšších řádů 86 Postčující podmíy pro loálí etrém 87 Drbouov vět 88 Tečy 89 Koveost oávost 89 Ifleí body 8 Asymptoty 84 Vyšetřováí fucí 9 Goiometricé fuce Stejoměrá spojitost Úvodí opováí Moci logritmus Defiice ( -tá moci Pro ždé ldeme R N > dále pro ždé defiujeme iducí

2 Dále pro všech R {} ldeme pro N Později budeme dozovt ásledující větu: Vět (O eisteci -té odmociy Buď R N Pro sudé eistuje jedié b tové že b Pro liché eistuje jedié b R tové že b Defiice ( -tá odmoci Číslo b z předchozího tvrzeí se zývá -tá odmoci čísl Zčíme ho Defiice (Rcioálí moci Buď p Q R Nechť p de m liché ldeme m Z N čísl m jsou esoudělá P: je-li p sudé (ebo je-li m Tto defiová rcioálí moci má ásledující vlstosti: Vět (Vlstosti rcioálí mociy Pro ždé b > ždé r s Q pltí b r+s r r s rs s (b r ( r s rs r b r b ( r b r r b 4 < pro r < s > b > pro r < s 5 < b pro < b r > b > b pro r < Důz Důz je jedoduchým důsledem defiice r r s r r s < < r r Později se dozvíme že pro ždé > ždé α R eistuje právě jedo reálé číslo (ozčíme ho zveme obecá moci tové že je-li α Q odpovídá defiici rcioálí mociy má všechy vlstosti -5 z předchozího odstvce α Epoeciál V ZS se dozvíme že mezi epoeciálími fucemi f ( číslo ostt e je ircioálí pltí < e < má výzčé postveí ep fuce se záldem e (Eulerovo

3 Epoeciálí fuce ( Je-li záld epoeciálí fuce větší ež je ep fuce ostře rostoucí Je-li je fuce ostře lesjící Pouze pro je osttí Fuce de je prostá celém Proto můžeme sestrojit fuci iverzí > R e Defiice (Logritmus Buď > Fuce iverzí f( se jmeuje logritmus při záldu zčíme log Je-li ide vyecháváme Je-li místo píšeme logritmu říáme přirozeý logritmus e log l > > y R Je tedy pro všech log y y log ( Je-li záld logritmu větší ež je logritmus ostře rostoucí Je-li záld je logritmus ostře lesjící Z prvidel pro počítáí s obecou mociou plyou prvidl pro počítáí s logritmy Vět (Vlstosti logritmu Pro všech > b > b pro všech y > c R pltí log (y log + log y log log y y log log c c log log 4 log b log b 5 Pro ( pltí log < log y > y 6 Pro pltí > log < log y < y 4 Goiometricé fuce Přirozeý logritmus l

4 si z ( cos Středošolsé zvedeí goiometricých fucí je obvyle usutečěo pomocí jedotové ružice terou je vyese orietový oblou o délce α R (viz obráze Oblou zčíá v bodě ( očí v bodě z ( y Hodotu fuce osius v bodě α p defiujeme jo hodotu hodotu fuce sius v bodě α jo y Toto zvedeí eí oretí proto že je v ěm užito předtím edefiových pojmů (především pojmu oblou dél oblouu Z obrázu pomocí Pythgorovy věty dosteme omžitě pro všech α vzth si cos Rověž z ěj plye že fuce jsou periodicé (délu oblouu terý obrouží ružici právě jedou defiujeme jo hodotu π pltí vzthy si Je té zřejmé že fuce je lichá sudá tže pltí Složitější je už z obrázu odvodit tzv součtové vzorce: pro všech α β pltí Z obrázu je zřejmé že řešeí rovice jsou všech čísl Řešeí rovice jsou všech π π čísl β { + π Z} Proto lze možiách R { + π Z} resp R {π Z} pomocí fucí si cos defiovt fuce tges resp otges: Doszeím do vzorců resp dosteme vzorce pro dvojásobý úhel: Npišme pod sebe vzthy : cos β α ( ( ( (5 Sečtěme-li odečteme-li tyto dvě rovosti dosteme vzthy si α + cos α ( si(α + π si α cos(α + π cos α si(α si α cos(α cos α si(α + β si α cos β + cos α si β cos(α + β cos α cos β si α si β si α α {π Z} cos β si α cos α tg α cotg α cos α si α ( ( si α si α cos α (4 cos α cos α si α (5 cos α + si α cos α si α cos α cos + cos α α si cos α α

5 Substituujeme-li do těchto vzthů místo α výrz dosteme α Protože obě prvé stry jsou ezáporé odmocěím obdržíme vzthy pro polovičí úhel: ( ( β β Ze součtových vzorců doszeím z dosteme dvojici vzthů ( (9 Vyásobíme-li vzthy dosteme cos α si α + cos α cos α α cos + cos α α si cos α si(α β si α cos β cos α si β cos(α β cos α cos β + si α si β si(α + β cos(α β (si α cos β + cos α si β(cos α cos β + si α si β si α cos α + si βcos β si α + si β (6 (7 (8 (9 α Odtud p plye záměou z α β z β vzorec pro součet dvou siů: Podobým způsobem odvodíme dlší tři podobé vzthy: α + β si α + si β si cos α + β Ze vzthu zísáme sdo vyjádřeí fucí pomocí op: pltí Poděleím rozšířeím cos zísáme pro splňující podmíu α cos β součtový vzorec pro fuci tges: α β α β si α si β cos si α + β α β cos α + cos β cos cos α + β α β cos α cos β si si ( si cos si α cos α cos α si α ( ( α β {α β α + β} R { + π Z} si(α + β si α cos β + cos α si β tg α + tg β tg(α + β cos(α + β cos α cos β si α si β tg α tg β α β {α β} R {π Z} cotg α cotg β cotg(α + β cotg α + cotg β Podobě zísáme pro splňující podmíu součtový vzorec pro otges: ( si α cos si tg cos tg tg α + resp cos α cos α tg α + tg α + resp si α tg α si α tg α + Ze vzthu zísáme poděleím resp α důležité vzthy mezi fucemi resp mezi : pltí π

6 (7 (6 Koečě podělíme-li rovosti dosteme odud lze vyjádřit osius pomocí fuce tg α terý je důležitý v itegrálím počtu: Podobý vzorec pro sius lze dostt pomocí vzorce poděleím : Pozám (Hodoty siu osiu Hodoty siu osiu v důležitých bodech jsou uvedey v ásledující tbulce si cos tg cotg Grfy fucí vypdjí ásledově tg α cos α + cos α tg cos α α + tg α (4 cos α α α α α si cos si α si cos tg α si α + cos α tg α + π 6 4 si cos tg cotg π π π π π π Grf fuce si Grf fuce cos

7 Grf fuce tg Grf fuce cotg Zobrzeí jeho záldí vlstosti Záldím pojmem v mtemtice je pojem zobrzeí (eboli fuce Defiice (Zobrzeí Nechť f A B Řeeme že f je zobrzeí (fuce je-li splě podmí ( y z((( y f ( z f (y z Pozám Čsto vylučujeme degeerový přípd Úmluv Místo píšeme čsto Příld Nechť ( y f prázdé možiě obvyle zobrzeí eříáme P je zobrzeí le zobrzeí eí (jedičce přiřzuje dv růzé prvy Defiice (Defiičí obor Nechť f je zobrzeí Možiu zýváme defiičí obor zobrzeí Zčíme ebo Defiice (Obor hodot y f( f {} f {( ( 5 (4 } f {( 5 ( 7 ( 4} f f 4 5 f D f D(f { ( y(y f(}

8 Nechť f je zobrzeí Možiu f H f H(f zýváme obor hodot zobrzeí Zčíme ebo {y ( (y f(} Příld Nechť f {( ( 5 (4 } P defiičí obor je tříprvová moži D f { 4} (jsou to prví složy uspořádých dvojic ptřících do Obor hodot je (druhé složy dvojic ptřících do f f { 5} H f Defiice (Zápis defiičího oboru Ft že A B zčíme D f H f f : A B Příld Nechť opět f {( ( 5 (4 } P jsou prvdivé výroy f : { 4} { 5} f : { 4} { 4 5 6} f : { 4} R le zápis f : R R je eprvdivý výro eboť defiičí obor f eí celá moži reálých čísel Defiice (Zúžeí defiičího oboru Nechť je zobrzeí Zobrzeí zúžeé možiu zčíme defiujeme vzthy f M f/ M M ( (f ( f( D f/ M D f D f/ M / M Příld Nechť f {( ( 5 (5 8} M { } P f / M {( ( 5} Je dobré si povšimout že emusí být M D f Defiice (Kosttí zobrzeí Nechť f je zobrzeí pro teré pltí ( y D f (f( f(y P f zýváme osttí Defiice (Obrz vzor možiy Nechť f je zobrzeí Obrzem možiy M při zobrzeí f zýváme možiu Vzorem možiy M při zobrzeí f zýváme možiu f(m {y ( M(y f(} f (M { ( y M(y f(} Příld Nechť f {( 5 ( 6 ( 6} Buď M { } M {6} P f( M {5} f ( M { } Defiice (Složeé zobrzeí Nechť f : A B g : C D Složeým zobrzeím f g zveme zobrzeí defiové vzthy D f g g (A ( D f g((f g( f(g( Příld Nechť f {( ( 4 ( 4 (4 5} g {( ( 4 (4 8} P f g {( 4 ( 5} jeho defiičí obor je tedy D f g { }

9 Pozám Sládáí zobrzeí je socitiví pltí (f g h f (g h f g h proto v zápisu emusíme psát závory Sládáí vš eí omuttiví obecě se f g emusí rovt g f Defiice (Ijetiví zobrzeí Zobrzeí f se zývá ijetiví (prosté právě tehdy dyž pltí ( y Příld Buď f {( ( 5 ( } P f je prosté (libovolým dvěm růzým prvům defiičího oboru přiřzuje růzé hodoty Defiice (Surjetiví zobrzeí Zobrzeí f se zývá M-surjetiví ( M právě tehdy dyž pltí Příld Buď P je eí prosté f {( ( 5 ( 5} f { 5} f Defiice (Bijetiví zobrzeí Zobrzeí f se zývá M-bijetiví ( M jedojedozčé právě tehdy dyž je součsě ijetiví M-surjetiví Defiice (Ideticé zobrzeí Zobrzeí f se zývá ideticé (idetit právě tehdy dyž ( y f( f(y D f ( y H f M D f (f( Defiice (Iverzí zobrzeí Buď f prosté zobrzeí Zobrzeí se zývá iverzí zobrzeí zobrzeí f f {(y ( y f} Příld Buď P f f {( ( 8 (4 } {( 4 ( (8 } Pozám Je-li f prosté p pltí D f H f H f D f Pozám (Pojem grf zobrzeí Pojem grf používáme tehdy poud uspořádé dvojice zobrzeí zreslujeme do souřdic ( vodorovou osu prvy defiičího oboru svislou osu prvy oboru hodot Příld Buď P grf f vypdá tto (plou tečou vyjdřujeme že bod do grfu ptří f {( ( ( }

10 f( Příld (Grf fuce 4 O možiě R Fuce Záldí vlstosti reálých čísel Moži reálých čísel R f( má ásledující důležité vlstosti (říáme té že je tzv uspořádým tělesem: R Vět (Vlstosti možiy Pro všech y z R pltí + y y + y y (omuttiví záo + (y + z ( + y + z (yz (yz (socitiví záo (y + z y + z (distributiví záo dále pltí 4 ( R( R( + (eistece uly 5 ( R( R ( + ( (eistece opčého prvu 6 ( R( ( R( (eistece jedičy 7 ( R ( (eistece iverzího prvu 8 ( y R( y y

11 ( y R( y ( z R( + z y + z 9 ( y z R(( y z z yz (vlstosti uspořádáí R je tzv úplá (viz dále Z těchto vlstostí jdou odvodit všechy dlší vlstosti reálých čísel (Proto se jim té ědy říá záldí iomy reálých čísel Omezeost Defiice (Omezeost shor horí závor Podmožiu zýváme omezeá shor poud Kždé číslo H vyhovující uvedeé podmíce zýváme horí závor možiy A Defiice (Omezeost zdol dolí závor Podmožiu zýváme omezeá zdol poud Kždé číslo D vyhovující uvedeé podmíce zýváme dolí závor možiy A Příld Moži přirozeých čísel je omezeá zdol eí omezeá shor Čísl jsou příldy dolích závor Defiice (Omezeá podmoži Podmoži se zývá omezeá poud je omezeá součsě shor i zdol Pozám Podmoži je omezeá právě tehdy dyž Mimum miimum Defiice (Mimum Nechť Číslo zýváme mimem možiy poud Zčíme Defiice (Miimum Nechť Číslo zýváme miimem možiy poud Zčíme A R A R A R A R Pozám Mimum miimum emusí pro dou eistovt Buď příld p le mimum eeistuje Rozšířeí možiy reálých čísel ( H R( A( H ( D R( A( D N 7 N A R A A m A A R A A mi A R ( K > ( A( K ( A( ( A( A R A mi A A Defiice (Rozšířeá moži reálých čísel Možiu R rozšíříme o dv ové prvy teré ozčíme + (zýváme je plus eoečo míus eoečo Ozčíme toto rozšířeí R R {+ }

12 + + R R Prvy ejsou reálá čísl pltí tedy Uspořádáí rozšíříme pro všech vzthem R R Lze zvést i ěteré ritmeticé operce Pozám Zméo resp je pevou součástí zčy ejedá se o uárí plus či míus; tz psát místo je chyb Supremum ifimum podmoži R R Pltí totiž ásledující věty: < < + Ne ždá podmoži má miimum či mimum Tyto dv pojmy lze vš zobecit ždou podmožiu díy úplosti Vět (Vět o supremu ifimu Nechť A R P eistuje právě jedo číslo β R t že pltí ( A( β ( β R β < β( A( > β Nechť A R P eistuje právě jedo číslo α R t že pltí ( A( α α α α R + + ( R > α( A( < Defiice (Supremum ifimum Číslo z předchozí věty zýváme supremem možiy zčíme ; číslo ifimem možiy zčíme Pozám Má-li moži mimum p Podobě má-li miimum je R β A sup A α A if A A R sup A m A if A mi A R Příld Je Příld Užme že je sup 5 5 sup 5 5 sup( 5 5 if 8 if( 8 sup{ } if{ } sup{} if{} + if N supn + if R supr + sup{ N} +

13 Je třeb ověřit že číslo β splňuje podmíu z věty o supremu Prví podmí ( N( + pltí eboť erovost v í lze přepst tvr + + posledí erovost je zřejmě prvdivá Druhá podmí ( β > β < ( N( + lze evivletě zformulovt tto (hrdíme β výrzem ε de ε > : ( ε > ( N( > ε + Zvolme tedy libovolé ε > hledejme ěmu evivletě přepst tto: N t by pltilo + > ε > ε + Nerovost terou chceme split lze < ε + < ε Z posledí erovosti je zřejmé že budeme-li volit dému ε z příld číslo [ ] + ε p je erovost splě Druhá podmí tedy pltí Hustot rcioálích čísel Z úplosti R plyou dlší důležité vlstosti R Vět (Neomezeost N shor Moži N eí shor omezeá Důz Sporem Poud by eistovl horí závor H možiy N p s sup N N t že s < s Odtud s < + + je le přirozeé číslo spor H Z druhé vlstosti suprem eistuje Vět (O hustotě rc čísel Mezi ždými dvěm růzými reálými čísly leží ějé rcioálí číslo Důz Nechť b R < b Chceme uázt že eistuje rcioálí číslo < < b dlší přípdy p z tohoto sdo plyou Protože N je eomezeá shor eistuje jistě q N t že q > eboli mimálí tové přirozeé číslo že ještě b (b < p+ q q p q p q < b p q b q t že < b < p q < b Důz stčí provést pro přípd Odtud plye že q < b (Tové p jistě eistuje je větší ež meší ež qb P Součsě tedy pltí p < b q p < q Nechť p je p+ q b tedy což jsme chtěli doázt -tá odmoci Vět (O eisteci -té odmociy Buď R N Pro sudé eistuje jedié b tové že b Pro liché eistuje jedié b R tové že b Důz Je-li je utě b Předpoládejme že > (pro Jedozčost: předpoládejme že eistují dvě tová b b že b < je důz obdobý P le b (

14 b b (b b b b odud plye že b b (eboť posledí sum je ldé číslo spor Eistece: uvžujme ejprve že > Ozčme S {s s } Tto moži je eprázdá (obshuje má horí závoru (eboť > to zmeá že b sup S Uážeme že b Kdyby b < p z biomicé věty pro libovolé N dosteme (b + de r ( j b j j ( b j j j b j + ( j b j j j b r + Z zvolme t velé přirozeé číslo by b r + < To le zmeá že b + Kdyby b > S spor s prví vlstostí suprem podobě uážeme že (b Přípd je jedoduchý Pro přípd P b < > pro vhodě velé spor s druhou vlstostí suprem Proto b ~ využijeme předchozí postup číslo > lezeme c t že c c Pomocí předchozí věty defiujeme -tou odmociu 4 O možiě ompleích čísel Moži ompleích čísel C je moži uspořádých dvojic R teré je defiováo sčítáí ásobeí Im z z rg z Re z Kždé ompleí číslo z lze zpst ve tvru z + yi de y R i je ompleí jedot Pltí i Číslo zýváme reálou částí z y imgiárí částí z ; zčíme Re z y Im z (Reálá čísl povžujeme z speciálí přípd ompleích s ulovou imgiárí částí tj R C Číslo z yi zýváme ompleě sdružeé z Pro libovolá z w C pltí z + w z + w z w zw z z Číslo + y zýváme veliostí (eboli bsolutí hodotou ompleího čísl z Pltí pro i trojúhelíová erovost tj pro ždá dvě z w C je + yi de y R Zčíme ho z z + w z + w Kždé ompleí číslo z lze vyjádřit v tzv goiometricém tvru: z z (cos α + i si α de α rg z je úhel ompleího čísl z zvý též rgumet Moivrov vět: z Důležitou idetitou pltící pro ždé ompleí číslo z je z (cos α + i si α

15 C R > z z (cos α + isi α Buď Geometricý výzm bsolutí hodoty jožto vzdáleosti dvou bodů je příčiou pojmeováí možiy {z C z < R} ázvem otevřeý ruh resp možiy {z C z R} ázvem uzvřeý ruh se středem v bodě poloměrem R Čárováím vyzčujeme že body e ruhu eptří R Omezeé podmožiy ompleích čísel Defiice (Omezeost podmožiy Řeeme že moži je omezeá právě tehdy dyž A C Vlstě to zmeá že se A schová do uzvřeého ruhu se středem v počátu poloměrem K Rozšířeí možiy ompleích čísel C Podobě jo možiu reálých čísel rozšíříme o jede prve ozčeý (zývý eoečo Defiice (Rozšířeá moži ompleích čísel Rozšířeou možiu zčíme Pozám N rozdíl od ± R zde žádé zméo eí součástí zčy Jedá se tedy o tři růzá eoeč mezi imiž je potřeb rozlišovt: je tedy ± 5 Oolí bodu (v v R C C C { } R C R C C ( K > ( z A( z K Defiice (Oolí bodu v resp v Buď R ε > Itervl ( ε + ε zýváme ε-oolí bodu Zčíme H (ε Buď ε > Itervl ( + zýváme ε -oolím bodu + zčíme H Itervl zýváme -oolím ε + (ε ( ε ε bodu zčíme H (ε Možiu H + (ε { H (ε > } resp H (ε { H (ε < } zýváme prvé resp levé ε-oolí bodu Prvému levému oolí se říá též jedostré oolí Buď C ε > Otevřeý ruh {z C z < ε} zýváme ε-oolím bodu zčíme H (ε Možiu {z C z > } zýváme -oolím bodu zčíme H ε ε (ε Pozám Poud ezáleží tom j je oolí velé užíváme běžě je zču H bez prmetru ε Poud píšeme zču H (ε je třeb dát pozor eboť zč je stejá u ompleího i u reálého oolí čoliv jde o jiou možiu (reálé oolí je je

16 otevřeý itervl reálé ose ompleí zhruje proti tomu celý otevřeý ruh v ompleí roviě; většiou je zřejmé z otetu jý typ oolí má dotyčý mysli V litertuře se používjí všechy možé zčy pro oolí př pod 6 Číselé poslouposti 6 Záldí vlstosti Defiice (Posloupost Kždé zobrzeí jehož defiičím oborem je N zýváme posloupost Posloupost f pro terou pltí f( f( f( td zčíme ( ebo ( + ebo je ( Je-li obor hodot poslouposti podmožiou C p mluvíme o číselé ebo ompleí poslouposti Jsou-li v oboru hodot pouze reálá čísl mluvíme o reálé poslouposti Pozám K zčeí poslouposti eužíváme složeé závory { } je moži sudých čísel e posloupost Kultými závormi vyjdřujeme podsttý ft že záleží pořdí čleů poslouposti Pozám Protože je posloupost zobrzeí váží se í smozřejmě všechy defiice uvedeé v pitole Zobrzeí tže je jsé co zmeá výro posloupost je osttí prostá Npř posloupost ( + ( je osttí Posloupost přirozeých čísel ( + ( je prostá Omezeost mootoie Defiice (Omezeost u ompleích posloupostí Číselou posloupost ( + zýváme omezeá poud je její obor hodot moži omezeá Defiice (Omezeost mootoie u reálých posloupostí Reálou posloupost ( + zýváme omezeá shor poud je její obor hodot moži omezeá shor omezeá zdol poud je její obor hodot moži omezeá zdol rostoucí poud ( N( + lesjící poud ( N( + ostře rostoucí poud ( N( < + ostře lesjící poud ( N( > + mootóí poud je lesjící ebo rostoucí ryze mootóí poud je ostře lesjící ebo ostře rostoucí Vybrá posloupost U (ε U( ε ( Defiice (Vybrá posloupost Posloupost ( b zveme vybrou posloupostí z ( (ebo té podposloupostí poslouposti ( jestliže eistuje ostře rostoucí posloupost přirozeých čísel t že ( ( N( U ε B ε ( B( ε b Příld Kosttí posloupost jediče ( je vybrá posloupost z poslouposti (( ( z pomoci ( ( Limit poslouposti Defiice (Limit poslouposti ( R ( R Buď reálá posloupost Říáme že má itu v poud ( ε > ( R( N > ( H (ε (

17 H (ε H (ε R ( C C ( H ( de pod zem uvžujeme reálé oolí bodu tj Kompleí posloupost má itu v poud pltí podmí pouze s tím rozdílem že uvžujeme ompleí oolí (ε Sutečost že posloupost má itu zpisujeme tto: ( Čsto se používá též trdičí zápis + Pozám Slovy se dá ft vyjádřit příld tto: v ždém oolí bodu leží všechy čley poslouposti ž + H oečý počet výjime Pozám Vidíme že defiice ity poslouposti v v jsou formálě úplě stejé liší se pouze tím v teré možiě se pohybujeme (v teré uvžujeme ití body dotyčá oolí Při počítáí it reálých posloupostí musíme dávt pozor zd je v zdáí psáo počítejte v ebo počítejte v Výslede tom může totiž záviset: v je př R R ( le v t smá it eeistuje + R Vět (O jedozčosti ity Číselá posloupost může mít ejvýš jedu itu Důz Sporem Nechť posloupost má z itu dvě růzá čísl b P pltí ( C C C ( + ( > ( R( N > ( ( ε H ε ( > ( R( N > ( ( ε H b ε b ε > ε > H ( ε ( Protože eistují t že oolí H b ε jsou disjutí Z předchozích dvou předpoldů jdeme těmto ε ε příslušá P pro všech přirozeá splňující podmíu > m{ } bude H ( ε H b ( ε což je spor eboť průi těchto dvou oolí je prázdá moži Pozám Všiměme si že teprve toto tvrzeí oprvňuje še zčeí Kdyby posloupost mohl mít dvě ebo více hodot it evěděli bychom terou z ich symbolem vlstě mííme + Příld Uážeme že +

18 4 6 8 Grf poslouposti ( + Je třeb doázt že ( ε > ( R( N > ( Pro ždé ε > H (ε tedy potřebujeme jít t by pltil uvedeá vlstost ( N > ( Přepišme podmíu H (ε Příld Kosttí posloupost (c + H (ε evivletě do vhodějšího tvru: pltí Je tedy zřejmé že pro dé ε > H (ε (ε ε stčí volit příld (c c c ε < ε < ε > ε Tím je důz hotov má z itu číslo c Je totiž zřejmé že dému ε lze volit joliv Limit vybré poslouposti Abychom emuseli dozovt hodoty it z defiice což v moh přípdech může být velmi obtížé sezámíme se s ěterými větmi teré výpočet it usdňují Vět (O itě vybré poslouposti Nechť posloupost ( má z itu číslo P i ždá z í vybrá m z itu číslo Důz Předpoládejme tedy že ( ε > ( R( N > ( H (ε Nechť posloupost ( je vybrá z ( Máme uázt že ~ ~ ~ ( ε > ( R( N > ( Protože ( ( ~ H ( ε je ostře rostoucí posloupost přirozeých čísel je ( N( Zvolme libovolé volit ~ ~ ε > Hledáme ěmu příslušé ~ Položme ε ~ ε Z předpoldu ( ěmu jdeme Nyí stčí Příld Npříld je zřejmé (doážeme lehce z defiice ity že +

19 + + Odtud pomocí předchozí věty dosteme ihed že příld i (! eboť posloupost (! + je vybrá z poslouposti ( Velmi čsto se používá důslede této věty pro důz eeistece ity poslouposti: 5 Důslede (O eeisteci ity Lze-li vybrt z poslouposti ( dvě poslouposti mjící růzé ity p posloupost ( itu emá Příld Posloupost ( m + de π cos P emá itu eboť obshuje poslouposti s růzými itmi Ozčme π + cos + cos π + π( + + m + cos + π cos(π + + ( + Podle věty o itě vybré poslouposti it původí poslouposti eeistuje Čsto lze s úspěchem použít ásledující mírou modifici věty o itě vybré poslouposti: Vět (O itě sorovybré poslouposti Nechť ( má z itu číslo ( je posloupost přirozeých čísel s itou + P posloupost ( sorovybrá z poslouposti ( má té itu Důz Podle předpoldu (zýváme ji ( ε > ( R( N > ( H ( ε ( ( K > ( R( N > ( > K ( Máme uázt že ( ε > ( R( N > ( H (ε Zvolme ε > libovolě Hledejme ěmu příslušé Zvolme ε ε Z předpoldu ( ěmu jdeme příslušé Nyí položme K z předpoldu ( ěmu jděme příslušé Pro doočeí důzu stčí zvolit Příld Npř posloupost ( má z itu číslo Tedy i sorovybrá posloupost ( má z itu číslo ( Vidíme že ejde o vybrou posloupost eboť ( ( ( 9 4 eí ostře rostoucí Limit omezeost poslouposti Eistece ity má vliv i omezeost poslouposti Pltí: Vět (O souvislosti ity omezeosti poslouposti Má-li posloupost oečou itu je omezeá Má-li reálá posloupost itu + je omezeá zdol eomezeá shor Má-li reálá posloupost itu je omezeá shor eomezeá zdol Důz Užme prví tvrzeí druhá dvě se dozují podobě Nechť posloupost ( má oečou itu tj ( ε > ( R( N > ( < ε Máme uázt že eistuje K > t že pro všech bude pltit K Položme v podmíce (4 ε jděme ěmu příslušé P pro všech < + > dosteme podmíu (4

20 < + eboť pro všech reálá čísl p q r pltí vzth p q < r p < q + r Ozčíme-li K m{ [ ] + } pltí pro všech přirozeá K což jsme chtěli uázt Co omezeost itu vliv emá je mírá modifice poslouposti: Vět (O modifici/přidáí/ubráí oečě moh čleů poslouposti Přidáím ubráím či modificí oečě (! moh čleů poslouposti se ezměí její omezeost (celová shor zdol i eistece/eeistece její ity i hodot její ity (poud it eistuje Důz Je zřejmé že uvedeé tvrzeí plye z ásledujícího speciálějšího tvrzeí (eboť př modifici oečě moh čleů poslouposti lze dosáhout t že oečě-rát ubereme resp přidáme vhodé čley poslouposti její zčáte: pro ždé p N ždou posloupost ( pltí evivlece ( je (shor zdol omezeá ( +p je (shor zdol omezeá + Evivleci doážeme jo dvě implice : Buď ejprve ( omezeá tedy echť K > +p + je tové číslo že ( N( K Protože {p + p + } N je i ( m {p + p + }( m K což jsme chtěli uázt (Přípd omezeosti pouze shor (zdol by se uázl obdobě Nechť Posloupost ( je posloupostí vybrou z ( proto musí pltit i +p + +p + : Buď yí ( +p omezeá tedy echť K > je tové číslo že ( {p + p + }( K Položme K m{ p } K m{k K } P ( N( K což jsme chtěli uázt Koečě echť +p tedy + ( ε > ( R( N > ( +p H (ε Máme uázt že tedy + ( ε > ( R( N > ( H ( ε Zvolme ε > libovolě Hledáme příslušé V předpoldu položme ε ε P stčí lást + p Příld Předchozí věty využíváme čsto utomticy bez toho že bychom se d jejím použitím příliš pozstvovli: předstvme si že by ám ědo zdl počítt itu +? Správá odpověď teto příld zí Zdáí emá smysl eboť třetí čle poslouposti (pro eí defiová (ulou elze dělit Ovšem předstvíme-li si že je třetí čle poslouposti dodefiová třeb hodotou 7 lze již psát co utor

21 příldu chce slyšet tj + Situce jo v tomto příldě se mohou čs od čsu objevit Proto učiíme úmluvu že bude-li třeb počítt itu poslouposti jejíž oečě moho čleů eí defiováo předstvíme si vzhledem předchozí větě že jsou dodefiováy joliv Limit mootoie poslouposti V pri při zoumáí ezáme poslouposti čsto eí jsé zd její it vůbec eistuje Dobrou vyucovcí podmíou pro eisteci ity je mootóost dé poslouposti: Vět (O itě mootóí poslouposti Kždá mootóí posloupost má itu Důz Nechť ( je mootóí reálá posloupost Předpoládejme že ( je rostoucí pro přípd lesjící poslouposti bychom postupovli obdobě Rozlišme yí dv přípdy podle toho zd ( je či eí shor omezeá Předpoládejme že ( eí shor omezeá Uážeme že v tomto přípdě utě + (5 + Předpold zmeá že ( K > ( N( > K Protože ( je rostoucí podmí > K pro -tý čle poslouposti ( všechy čley de > Proto pltí zmeá že ttáž erovost bude pltit i pro ( K > ( N( > ( > K To je vš přímo z defiice ity zpsý výro (5 Předpoládejme že ( je shor omezeá Z toho plye že ozčíme-li β pltí β tj sup{ N} p β R Doážeme že + ( ε > ( R( N > ( β < ε Nerovost β < ε (6 je evivletí soustvě erovostí β ε < < β + ε Druhá erovost < β + ε je zřejmá z prví vlstosti suprem pltí totiž ( N( β Prví erovost β ε < doážeme z druhé vlstosti suprem Víme že ( β Zvolme ε > v (6 < β( N( libovolě hledejme příslušé Položme β > β β ε v (7 (7 jděme příslušé P stčí zvolit Příld (Hrmoicá posloupost Pro itu tzv hrmoicé poslouposti ( + pltí + + Tto posloupost je zřejmě ostře rostoucí tedy mootóí Podle předchozí věty proto it eistuje Uvžme vybrou (

22 posloupost ( Tto posloupost je shor eomezeá eboť pltí zřejmé odhdy td obecě + Vybrá posloupost je tedy eomezeá má z itu utě číslo + Proto i + + O itě ompleí poslouposti Dlší vět říá že problém výpočtu ity ompleí poslouposti lze převést zoumáí it její reálé imgiárí části Vět (O itě ompleí poslouposti Kompleí posloupost ( de α + iβ α β R je overgetí právě tehdy poud jsou overgetí reálé poslouposti (α (β Poud je tto podmí splě pltí + Důz : Nechť C α + iβ α + i + + β (8 de α β jsou reálá čísl To zmeá že + ( ε > ( R( N > ( < ε Užme že odtud plye že α α (9 tedy že + ( ε > ( R( N > ( α α < ε To je vš důslede obecé vlstosti ompleích čísel eboť pro ždé z C pltí Re z α α Stčí tedy lást ε ε vhodé jít z předpoldu (9 Alogicy doážeme že pltí i β β tedy že + ( z U ás orétě ( ε > ( R( N > ( β β < ε ( Obě dvě poslouposti (α (β jsou tedy overgetí Součsě je i jsé že pltí vzth (8 : Nechť pltí předpoldy ( ( Protože pro ždé ompleí z pltí z Re z + i Im z je i ( α α + β β Stčí proto volit ε ε ε Re z + Im z ε vhodé m{ } jít z předpoldů ( Příld Npř it iπ e + eeistuje eboť eeistuje it reálé části π cos(

23 + π cos( 6 Aritmeti it Ačoliv rozšířeá moži reálých čísel R eí tělesem pro pohodlí se vypltí zvést ěteré ritmeticé operce též pro ± Kldeme pro všech y R + (+ (+ + + pro > (± (± ± pro > pro pro + ( ( + < + (± (± < (± ± + ± y + (y poud je def prvá str y y { + + pro pro < < + < { pro + pro < < + < (+ + pro < + (+ pro < Všiměme si že zůstly edefiováy pro R zejmé ásledující výrzy (j uvidíme hed v dlší větě má to dobrý důvod: Vět o itě součtu rozdílu součiu podílu it Vět (Aritmeti it posloupostí Poud výrzy prvé strě mjí smysl (! pltí vzorce ( b + + b ( + b + + b ( + b + + b b + b Důz Užme pltost prvího vzthu Předpoládejme že výrz prvé strě má smysl To zmeá že ity posloupostí ( ( b eistují dále to že prvé strě se eobjevuje edefiový součet př ombice + + ( podobě Nyí je třeb rozlišit ěoli přípdů v závislosti tom zd ity prvo jsou obě oečé ebo jed z ich (ebo obě jsou eoečé Uvžme ejprve přípd dy obě ity vprvo jsou oečé tz R tedy že pltí + b R + b Máme uázt že + ± ± (± ± + ( (± (+ ± ± ( + + b b ( ε > ( R( N > ( < ε ( ( ε > ( R( N > ( b b < ε ( tedy že ( ε > ( R( N > ( ( + ( + b < ε b ε ε Zvolme libovolé ε > Hledejme ěmu příslušé Položme ε ε z předpoldů ( ( jděme příslušá Položme m{ } P pomocí trojúhelíové erovosti dosteme že pro > je ( + ( + b + b + b < + ε b b b ε což jsme chtěli uázt Uvžme yí přípd dy jed z posloupostí vprvo je oečá druhá rov + tj echť R + tedy že + b + ε

24 Protože podle defiice + (+ ( ε > ( R( N > ( < ε (4 ( α > ( R( N > ( b > α (5 + máme uázt že ( + b + tedy že + ~ ~ ( α > ( R( N > ( + b > α ~ ~ Zvolme α > Hledejme ěmu příslušé V předpoldech (4 (5 položme ε α α + lezěme ~ ~ im příslušá Položme m{ } P pro všech > bude + b > + α + α což jsme chtěli uázt Druhý vzth se dozuje podobě jo prví Ve třetím vzthu opět ejprve předpoládejme že obě ity vprvo eistují jsou oečé tj R + b b R Tz pltí + Máme uázt že ( ε > ( R( N > ( < ε (6 ( ε > ( R( N > ( b b < ε (7 ( b b tedy že + ( ε > ( R( N > ( b b < ε Zvolme ε > libovolě Hledejme ěmu příslušé Protože ( má oečou itu je omezeá proto eistuje K t že pro všech je K Ozčme K m{ b K } V předpoldech (6 (7 volme ε ε jděme příslušá Položme m{ } P pro všech > bude pltit ε K > ε K b b b b + b b b b + b b b b + b K ε + K ε ε což jsme chtěli uázt Tvrzeí pro dlší možosti prvých str (př jed oečá druhá eoečá td se dozují podobě 4 Předpoládejme ejprve opět že pltí (6 (7 de b Chceme uázt že tedy že + ( ε > ( R( N > ( b b b b < ε Zvolme ε > libovolě Hledejme ěmu příslušé Nejprve v předpoldu (7 položme ε jo Pro všech > odtud dosteme že b b V předpoldech (6 (7 volme ε všech b b > ε ε b ( b + b ozčme příslušé b b jděme příslušá Položme m{ } P pro bude pltit b b b b b b b b + b b b ( b + b b b b ε ( b + b ε což jsme chtěli uázt Osttí vrity se dozují podobě Příld T příld ( + Je totiž ejprve podle věty o itě rozdílu ( + + +

25 z defiice ity dosteme dále podle věty o itě součiu + ( ( ( (+ (+ ( proto celem ( (+ + Příld Větu o ritmetice it esmíme používt bezmyšleovitě iž ověříme (podsttý předpold že výrz prvé strě má smysl Toto je šptě: ( (+ ( Toto je správě: ( ( ( (+ + (+ + + Toto je šptě: ( + ( + ( Toto je správě: + ( + ( ( + ( ( + + ( + + de jsme využili eboť Limit z -té odmociy Vět (O itě z -té odmociy Buď N echť pro všech echť P pltí + Důz Je-li je tvrzeí zřejmé Je-li je tvrzeí té jedoduché Předpoládejme že Z předpoldu plye že Chceme uázt že pltí ( + ( + > R Zvolme libovolé Hledáme příslušé Důz je zlože vzoreču pltém pro všech čísl pro ždé : + + ( + + ( ( ε > ( R( N > ( < ε (8 ( > ( R( N > ( < ε ε > y N ε

26 y j ( y y j j Položíme-li z y dosteme že j j j V sumě ve jmeovteli jsou všechy sčítce ezáporé proto lze zlome odhdout shor t že vyecháme všechy ž prví Dosteme j j j Ve jmeovteli posledího zlomu stojí ldé číslo K Položme P pro všech > je V předpoldu (8 položme ε ε K jděme příslušé ε což jsme chtěli uázt Pozám Tvrzeí věty pro liché odmociy pltí i v přípdě že R Limit z bsolutí hodoty Vět (O itě z bsolutí hodoty Pro ždou posloupost ( ždé číslo pltí + + Poud ebo pltí zde dooce evivlece tj i směr Důz Uvžme ejprve přípd R resp C Nechť + tj ( ε > ( R( N > ( < ε (9 Chceme uázt že ( ε > ( R( N > ( < ε Zvolme ε > libovolě hledejme ěmu Položme v předpoldu (9 ε P pro všech > je ε jděme ěmu Položme < ε což jsme chtěli uázt Poud je + p musejí být od jistého čley poslouposti ldá čísl proto podmí > K je evivletí s podmíou > K tvrzeí věty je proto triviálí Poud jsou op od jistého čleu čley poslouposti záporé tže podmí < K je evivletí s > K z čehož plye dozové tvrzeí Koečě poud je posloupost ( je ompleí vzth + plye přímo z defiice ity + Doázt směr v přípdě ebo je jedoduché eboť v těchto přípdech jsou výroy zřejmě evivletí Příld Podle věty o itě z bs hodoty poslouposti pltí v C i

27 + i eboť + i Věty o erovostech Pltí-li mezi posloupostmi erovosti má to vliv i erovosti mezi jejich itmi op: Vět (O erovostech mezi itmi Pro ždé dvě reálé poslouposti pltí ( ( b < ( ( > ( < + + b b Důz Ozčme Protože eistují t že jsou disjutí + H b ε Z defiice ity jděme pro tto ε ε příslušá t by pro všech > m{ } bylo H ( ε P le bude pro pltit i což jsme chtěli uázt b H b ( ε > < b + b < b ε > ε > H ( ε ( b Užitečá je i formulce de implice směřuje opčým směrem: Vět (O erovostech mezi itmi opčá implice Nechť eistují ity reálých posloupostí P pltí ( ( Důz Sporem Poud by pltil opčá erovost tj + spor ( ( > ( > b b ( ( b + > + b z předchozí věty bychom dostli že + b Pozám Protože modifice oečě moh čleů poslouposti emá vliv její itu stčí v předchozí větě předpoládt erovost b ž od jistého ideu dál tvrzeí zůste v pltosti Nejdůležitější z vět o erovostech je tzv vět o itě sevřeé poslouposti: Vět (O itě sevřeé poslouposti Mjí-li reálé poslouposti obě itu rovu pltí-li p it poslouposti c eistuje je rov Důz Nechť ejprve Z předpoldu plye Protože c plye z erovosti > α erovost c > α Proto z defiice ity + důz je hotov + c Pro je postup důzu obdobý Poud je dosteme z předpoldů že R Chceme uázt že ( ( ( + b ( ( c b ( α > ( ( > ( > α ( ε > ( ( > ( < ε ( > ( ( > ( < ε b ε ( ε > ( ( > ( < ε c Zvolme ε > libovolě Hledejme ěmu Položme ε ε ε ε jděme im Položme m{ } P pro > pltí

28 ε < c b < + ε odud plye c < ε což jsme chtěli uázt Příld Pltí + Je totiž proto ozčíme-li α podle biomicé věty že p α ( Dále + α tedy ( + α Odtud dosteme α α + odud α Protože ity rjích posloupostí jsou + α + je podle věty o itě sevřeé poslouposti i tedy podle věty o itě součtu + + Příld Buď > P ( + α + + Uvžme tři přípdy Poud je > je jistě od jistého ideu rovy podle věty o itě sevřeé poslouposti je i Protože ity posloupostí ( i ( jsou + Poud je je smozřejmě + Poud je p + ( ( + Podle prvího přípdu podle věty o itě podílu Příld (Limit poslouposti! + Pltí! + + Pro ždé { } je ( + To sdo uážeme př mtemticou iducí podle Pro je to jistě prvd Předpoládejme pltost pro Chceme uázt ( + + Pro + erovost pltí pro { } je z idučího předpoldu ( + ( Z právě doázé erovosti odvodíme že! ( ( Odtud ovšem!! A protože + + Příld Buď R P v je i! + + R pltí

29 + Buď ejprve > Posloupost ( + eeistuje pro > pro pro < pro je v tomto přípdě zřejmě ostře rostoucí proto má jistě itu Ozčme l + P ze vzthu + plye že + + tedy že l Protože možost je vylouče je utě l + Přípd je triviálí posloupost je osttí Buď < P > tedy + Odtud plye že hodoty je + l Odtud le utě ebo l + + tže podle věty o itě bsolutí + + Buď P Příld Buď C P v C le Proto posloupost ( + > mít itu emůže pltí Buď P podle předchozího příldu eeistuje pro > pro < pro pro proto podle věty o itě bsolutí hodoty je + + Buď < + P opět podle předchozího příldu je tže podle věty o itě bsolutí hodoty je + + Pro Pro l je příld triviálí it eeistuje Kdyby totiž eistovl (ozčme-ji l p díy vzthu l tedy (l lze vyrátit eboť utě l spor Příld Mějme posloupost ( + bude pltit i zdou reuretě vzthem ( N( + + P + Ze zdáí je jsé že posloupost ( je ldá Nreslíme-li obráze můžeme lehce učiit ásledující hypotézu: ( N( Dožme ji mtemticou iducí: pro je + ; předpoládejme že p Z obrázu se té zdá že posloupost je rostoucí A sutečě je totiž ( + ( Tedy posloupost musí mít vlstí itu terá je z itervlu Ozčme ji Protože pro ždé přirozeé je + + musí té pltit což podle věty o itě vybré poslouposti podle věty o itě odmociy o itě součtu dává + +

30 Protože musí být Tedy + 6 Eulerovo číslo e Pro dlší potřebu ejprve ozčme pro všech přirozeá + ( + b ( + Lemm Posloupost ( je ostře rostoucí posloupost ( b je ostře lesjící Důz Je! ( ( ( + ( ( + (!!! + ( ( (!! Podobě dosteme + + ( ( (! V uvedeých dvou sumách je stejě závore přitom mezi odpovídjícími si závormi pltí vzth Nvíc posledí sum obshuje sčítců tedy o jede více ež sum ve vyjádřeí Proto musí být + pro všech Co se týče poslouposti ( b erovost b > b + je evivletí s erovostmi ( + + Posledí erovost je prvdivá eboť podle biomicé věty j ( ( + + < ( + > ( + ( > ( + > + + ( + + ( + > + ( + ( + ( + + j + ( ( > ( ( + + Lemm Obě poslouposti i mjí stejou itu ( ( b ( + Důz Protože jsou obě poslouposti mootóí jejich ity musí eistovt Přitom pltí + b + b Proto Defiice (Eulerovo číslo e Společou hodotu it posloupostí ( ( b zýváme Eulerovým číslem (osttou zčíme e Pro dlší účely ozčme

31 c! Lemm Pro všech > pltí c > c < e Důz Podobě jo v prvím lemmtu je! m m <! c > (! ( ( ( Co se týče druhé erovosti je pro libovolé m m ( ( > m m (! ( m ( m m eboť prvé strě je úplě stejý výrz jo levé strě s tím rozdílem že sčítáme pouze do Proto musí pltit i m m + (! m + ( ( m m m odud obdržíme e c Protože (c je ostře rostoucí posloupost musí pltit e > c pro všech ostře eboť dyby stlo c e pro ějé bylo by c > e což je spor s právě doázou erovostí e c + Lemm Pltí c e + Důz Vzth plye z doázých erovostí < c < e pomocí věty o itě sevřeé poslouposti Následující lemm říá že posloupost (c Lemm Pro ždé N overguje e velice rychle: je e c Důz Zvolme m > m < (!! + + +! libovolě P cm c (! ( ( + ( + m ( +! (+ + ( + ( + m m + <! +! + Odtud plye že (cm c m + m +! tedy e c!

32 Pozám Je c +!! +! 5 5 e c Vět (O irciolitě e Číslo e je ircioálí Důz Sporem Buď e de p p q! N q N 5 Je tedy Protože p < 5 e < e < q je q Z předchozího lemmtu máme q 75! q q! odud ásobeím q! dosteme q q! < p(q!! q Protože mezi erovostmi stojí uprostřed celé číslo dostáváme spor (žádé celé číslo c esplňuje podmíu < c q Pozám Díy předchozí větě je možo v předchozím lemmtu psát ostrou erovost: pro ždé N je e c <! 6 Limes superior iferior reálé poslouposti Pojmy es iferior es superior jsou zobecěím pojmu ity poslouposti Ztímco itu ždá posloupost emá es iferior superior eistují pro ždou reálou posloupost Defiice (Hromdá hodot reálé poslouposti Hromdou hodotou reálé poslouposti ( zveme ždé že + R pro teré eistuje z í vybrá posloupost ( t Počet hromdých hodot teré posloupost může mít může být růzý od jedé ž po eoečo: Posloupost ( terá má itu má jediou hromdou hodotu: svoji itu Posloupost (( má dvě hromdé hodoty: Posloupost ( 4 má z hromdé hodoty všech přirozeá čísl včetě + Posloupost ( [ ] má z hromdé hodoty dooce všech čísl z itervlu Vět (O hromdých hodotách reálé poslouposti Kždá reálá posloupost ( má lespoň jedu hromdou hodotu Moži všech hromdých hodot má mimum miimum (mohou to být i hodoty ± Největší hromdou hodotu zýváme es superior zčíme sup + ejmeší es iferior zčíme if + Důz Uážeme že moži hromdých hodot poslouposti ( má mimum (tím bude rověž doázáo že je eprázdá Přípd eistece miim by se uázl obdobě Uvážíme dv přípdy podle toho zd je ( shor omezeá či ioliv Nechť ( eí shor omezeá Uážeme že v tovém přípdě je + prvem možiy hromdých hodot poslouposti ( ( je tedy součsě i ejvětší hromdou hodotou Protože ( eí shor omezeá eistuje N t že > Ze stejého důvodu eistuje i N > t že > Tímto způsobem lze zostruovt celá ostře rostoucí posloupost přirozeých čísel ( t že pltí > pro všech přirozeá Odtud pomocí věty o itě sevřeé poslouposti dosteme že + což jsme chtěli uázt Nechť ( je shor omezeá Ozčme β Protože pro + > sup{ } pltí { } { } je mezi suprémy vzth β β tj posloupost (β je lesjící Proto má itu (terá je rov buď ebo ějému

33 β β + ( α < > < α reálému číslu ozčme ji Nyí mohou stt dvě možosti + β Poud je p uážeme že tj eistuje pouze jediá hromdá hodot poslouposti tou je Zvolme libovolé P z defiice ity eistuje že pro všech je P le té pro všech > je β < α což jsme chtěli uázt b Poud je R uážeme že β je ejvětší hromdou hodotou poslouposti ( Zvolme libovolě P eistuje t že pro všech je Z druhé vlstosti suprem dosteme že eistuje t že Celem tedy Podobě pro lezeeme t že tto sestrojíme vybrou posloupost > β < < β + ε > pro terou podle věty o itě sevřeé poslouposti pltí β je tedy hromdou hodotou Je součsě ejvětší hromdou hodotou: poud by γ > β byl hromdá hodot zvolme β t že γ > β > β P eistuje tové že pro všech > je β < β tedy i < β V mlém oolí γ ve terém eí β se t emůže cházet více ež oečě moho čleů poslouposti ( to je vš spor s tím že γ je hromdá hodot sup Vět (Chrterizce Buď ( reálá posloupost P pltí tyto evivlece: α if + β sup + ( α R α < α( ( N > ( > α ( β R β > β( ( N > ( < β ( α R α > α( N( < α ( β R β < β( N( > β Důz Plye přímo z důzu předcházející věty Důslede Z výše uvedeých evivlecí plye že posloupost ( má itu právě tehdy jsou-li obě hodoty es superior i iferior této poslouposti rovy tj Pro prticé určováí poslouposti může posloužit ásledující vět: Vět (Porývcí vět pro poslouposti Nechť vybré poslouposti ( ( ( ( s itmi porývjí reálou posloupost (to ( (m ( (m ( zmeá že sjedoceí ( ( (m (přípdě ž oečě moho výjime P pltí Důz Tvrzeí jedoduše plye z ftu že moži je možiou všech hromdých hodot poslouposti (žádá jiá hromdá hodot emůže eboť by eistovlo eoečě moho čleů mimo sjedoceí disjutích dosttečě mlých oolí bodů ( (m 64 Stolzův Cuchyův vzorec β > β β < β < β + β < < β + ( β if sup if + sup if + { } { } { } N + sup m{ ( (m } if mi{ } + + ( (m β ε { ( (m } (

34 Následující dv vzorce lecdy zjedoduší počítáí it posloupostí dvou speciálích typů: Vět (Stolzův vzorec Nechť ( b je ostře rostoucí + eistuje it P pltí tzv Stolzův vzorec: + b + + b + b Důz Stčí uázt že pltí soustv erovostí if + + b + + Hodoty levé prvé strě jsou totiž obě stejé rovjí se itě + terá podle předpoldu eistuje Ze + b + b soustvy p bude plyout i rovost if sup terá impliuje eisteci ity její rovost itě + b + b + b + + b + b Dožme pouze erovost (erovost levé strě by se dozovl obdobým způsobem to sporem Přepoládejme že eistuje γ t že b + + if sup sup + b + b + b + b + b + b sup + sup + b b sup + + b + b b > γ > sup + ( b + b + P eistuje t že pro všech > je i γ > + b + b Odtud ásobeím jmeovtelem (je ldý dosteme Zvolme přirozeá čísl t že sečtěme erovosti pro Dosteme poděleím zísáme Apliujeme-li obě stry erovosti což je spor s b ( Tím je vět doázá γ( b + b > + ( > > ( + sup + γ( > b b b γ( > b zísáme erovost b γ sup + b b Příld Podle Stolzov vzorce je př + ( Vět (Cuchyův vzorec

35 Nechť ( je posloupost ldých čísel echť eistuje it + + P pltí tzv Cuchyův vzorec: Důz Podobě jo při důzu Stolzov vzorce stčí uázt že + if + if sup sup Doážeme opět pouze prvou erovost levá by se dozovl obdobě Předpoládejme pro spor že eistuje γ t že by sup > γ > sup + P eistuje t že pro všech > + + je γ > + Vyásobme tyto erovosti pro + de γ > > > P odud γ > γ Apliujeme-li obě stry erovosti sup zísáme erovost + γ sup + což je spor Příld Podle Cuchyov vzorce je př +! Bolzov-Cuchyov podmí pro overgeci číselých posloupostí Lemm (O overgetí podposlouposti omezeé poslouposti Z ždé (reálé či ompleí omezeé poslouposti lze vybrt podposloupost terá overguje Důz Buď ejprve ( reálá Ozčme sup Protože je ( omezeá je R proto eistuje overgetí + vybrá posloupost ( t že + Nechť ( je ompleí Z omezeosti ( plye že posloupost reálých částí (Re je té omezeá proto z í lze podle předchozího odstvce vybrt overgetí podposloupost (Re Posloupost imgiárích částí této podposlouposti tj (Im je té omezeá proto opět podle předchozího odstvce eistuje její overgetí podposloupost (Im Protože overguje (Im i (Re overguje i ompleí posloupost ( tím je důz hotov j j j j Nědy se může hodit rozhodout otázu eistece vlstí ity poslouposti i dyž její hodotu eumíme vypočítt Pltí ásledující vět (tzv Bolzo-Cuchyov podmí pro overgeci číselé poslouposti: Vět (Bolzo-Cuchyov podmí pro overgeci poslouposti (

36 Číselá posloupost ( je overgetí právě tehdy dyž je tzv cuchyovsá tj poud pltí podmí ( ε > ( R( N > ( p N( +p < ε Důz : Předpoládejme ejprve že ( je overgetí tz pro ějé C ( pltí ( ε ( R( N > ( < ε ( Chceme uázt že pltí podmí ( Zvolme libovolé ε > Hledáme ěmu příslušé Položme ε ěmu z předpoldu položme P sutečě pro všech > p N pltí ε lezěme +p +p + +p + < ε + ε ε což jsme chtěli uázt : Nechť pltí podmí ( Uážeme že eistuje zvolme > libovolě P pro všech p N je C +p t že pltí ( Zvolme ejprve ε jděme ěmu odud plye < ε +p + ε To zmeá že ( je omezeá Podle předchozího lemmtu eistuje overgetí podposloupost tz pltí + ( Ozčme ~ ~ ~ ( ε > ( ( > ( Doážeme že tj že pltí ( Zvolme ε > ~ < ε Hledáme ěmu příslušé Položme ε + ěmu z předpoldu Podobě položme > bude ~ ε ε jděme ěmu ~ Položme ~ m{ } ε jděme P pro všech + + ~ < ε + ε ε což jsme chtěli uázt Pozám Předstvme si že ědo ám dl z úol spočítt itu si! + Tuto itu eumíme přesě spočítt Poud le doážeme že eistuje je vlstí je zřejmé že jo její přibližou umericou proimci p můžeme použít hodotu uvedeé sumy pro velé (Poud bychom evěděli že it eistuje edávlo by sčítáí libovolě moh čleů sumy žádý smysl; sčítáme-li př čle poslouposti ( dosteme přibližě číslo teré evypovídá ic o její itě + Doázt že vlstí it eistuje lze př pomocí BCP 7 Defiice obecé mociy Zvedeí obecé mociy pomocí ity číselé poslouposti lze provést ěoli způsoby Níže uvedeý způsob využívá defiici epoeciálí fuce e itu ( + + V dlším budeme potřebovt ásledující dvě erovosti: Lemm (Beroulliov erovost Nechť > N P ( + Důz Buď ejprve + ( + Pro ( Pro + vzth pltí předpoládejme pltost pro pevé ( + ( + ( + ( pro libovolé N N ( + je ( + + P + + +

37 Lemm (AG erovost Nechť N α α P pltí α α ( α + +α (4 Důz Předpoládejme že jsou všech α ldá (poud je ěteré z ich rovo ule vzth pltí triviálě Pro pltí Dožme ho pro : j α + α α α ( (α + α α α 4 α α α 4 + α α + α (α α : vzth posledí erovost je zřejmá eboť čtverec reálého čísl je vždy ezáporý Předpoládejme yí pltost (4 pro 4 8 dožme pltost pro α α (α α (α + α ( α + +α α ( + + +α (( α + +α α ( + + +α Nyí vitře závory prvé strě použijeme opět (4 pro : (( α + +α α ( + + +α α α + +α α ( α + +α Pro N splňující < < doážeme erovost tto: ozčme s α + +α P z erovosti pro plye α α s s ( Děleím obou str číslem s α + +α + ( s s + ( ( s s čiitel dosteme α α s Lemm Nechť R P eistuje oečá ldá it poslouposti Důz Ozčme Zvolme R ( + libovolě Nechť Uážeme že ( + ( + je omezeá od jistého čleu rostoucí posloupost ldých čísel P z AG erovosti dosteme N > > + ( + ( ( posloupost je tedy od -tého čleu rostoucí Dále užitím Beroulliovy erovosti dosteme ( + + ( ( + ( (

38 ( + + ( ( + ( + ( odud umocěím -tou dosteme ( + ( C N prvé strě stojí ostt C > Vybrá posloupost ( je tedy shor omezeá Díy mootoii je shor omezeá i ( Omezeost spolu s mootoií zručují eisteci oečé ity Tto it je ldé číslo eboť posloupost je od -tého čleu rostoucí posloupostí ldých čísel Vět (O zvedeí epoeciálí fuce Eistuje právě jed fuce f : R R tová že pro všech y R pltí f ( + y f (f (y (5 f ( + (6 Důz Dožme ejprve že fuce je uvedeými podmími dá jedozčě Přepoládejme že f s uvedeými vlstostmi eistuje Z (5 p dosteme doszeím y rovici f ( f ( odud f ( ebo f ( z (6 plye že utě f ( Doszeím y do (5 dosteme f ( f (f ( odud plye f ( pro všech R dále f ( (7 f ( Protože z podmíy (6 plye že pro ldá je f ( ldé číslo díy (7 máme že f je ldá celém R Iducí z (5 dosteme podmíu f ( f ( (8 pro všech N Z (6 z (8 plye ( + f( f ( podobě užitím (7 též ( f ( f ( f ( tže spojeím těchto dvou erovostí dosteme ( + f ( ( Vyděleím levou strou dosteme f ( ( + ( Pro posloupost ve jmeovteli prvé strě pltí ( (9

39 eboť z Beroulliovy erovosti plye sevřeí stčí použít větu o itě sevřeé poslouposti Použitím té smé věty p ze sevřeí dosteme že Protože z předchozího lemmtu plye že it jmeovtele eistuje je oečá ldá podle věty o itě podílu dosteme Fuce f je tedy dá jedozčě Nyí dožme že fuce s uvedeými dvěm vlstostmi eistuje Ozčme f fuci defiovou vzthem (4 Uážeme že tto fuce splňuje ob dv vzthy (5 (6 Z AG erovosti pro všech tová že dosteme z teré itím přechodem dosteme Podobě pltí pro tová že že odud itím přechodem (4 (4 Z celem dosteme Z Beroulliovy erovosti p pro odud itím přechodem Tím je eistece doázá (9 dosteme Defiice (Epoeciál Fuci f z předchozí věty zčíme zýváme epoeciál (ebo epoeciálí fuce Lemm (Záldí vlstosti epoeciály + ( ( + f( ( + f( ( + (4 + y R N < y < + y < ( + + ( + y y y ( + ( + ( + y ( + N + + y < y < + y ( + ( + y ( ( + + y + + y + y f(f(y f( + y (4 y ( + + ( + ( + < ep y + + y + + y f( + y f(f(y (4 f( + y f(f(y ( + + f( +

40 Záldí vlstosti epoeciály jsou tyto: ep e de e je Eulerov ostt ep je ostře rostoucí R Pro obor hodot epoeciály pltí H ep R + 4 Pro libovolou overgetí posloupost pltí 5 Pro libovolé rcioálí číslo de pltí Důz Plye přímo z defiice Eulerov čísl e + ( + Pro < y dosteme odud Zvolme libovolě Moži je eprázdá eboť díy erovosti pltí též Dále je shor omezeá eboť je ostře rostoucí Tedy je shor omezeý zdol eomezeý itervl Ozčme s sup S Je s R Uážeme že pltí ep s y : Kdyby totiž p by eistovlo t že eboť Z této erovosti by vyplývlo že což je le spor s ftem že (spor s prví + e s + S s sup S vlstostí suprem Podobě dyby bylo p by eistovlo t že což zmeá že s S to je opět spor tetorát s druhou vlstostí suprem 4 Z erovostí plye pro ždé vzth Nechť ejprve P od jistého ideu pltí je tedy Použitím věty o itě sevřeé poslouposti dosteme ( ep ep( + + r Q r p q p Z q N p ep( q (ep p q ep y ep(y + y > ep ep y > ep y R + S { R ep y} ep S ep S ep s < y ep s > y ep + ep( + ep N ep(s + ep s e < y N ep s ep(s > y ep + ep( ep + ep + ( + ep + e ep (

41 Poud obecě p tedy Odtud podle věty o itě součiu + ( + ep( + 5 Pro libovolé přirozeé libovolé pltí (viz Odtud ihed plye (z věty o eisteci jedozčosti přirozeé odmociy z ldého reálého čísl že eboť podle (4 (4 (44 + Kombicí vzthů dosteme dozové tvrzeí ep ep ep( ep ep Z doázého lemmtu plye že je prostá ostře rostoucí fuce s oborem hodot Eistuje í tedy fuce iverzí Defiice (Logritmus Fuci iverzí zýváme přirozeý logritmus zčíme ep + N R (8 Lemm Fuce má defiičí obor obor hodot Je prostá ostře rostoucí Pro všech pltí Důz Prostot mootoie plye přímo z defiice Ozčme P Je ep( (ep (4 ep( ep (44 (ep( ep ep : R R R R + l R + R y R + l l y l + l y (45 z l w l y ep z y ep w ep(z + w ep z ep w y odud z + w l y Defiice (Obecá moci Buď P obecou mociu defiujeme vzthem R + b R b b ep(b l p Je uté ověřit že výše uvedeá defiice je v souldu s defiicí mociy čísl > s rcioálím epoetem vzthem q p q q p Sutečě máme podle bodu 5 lemmtu p ep( l q (ep l p q p q Proto je možé pro obecou mociu používt zčeí b Záldí vlstosti obecé mociy shruje ásledující lemm Jsou stejé jo vlstosti rcioálí mociy Lemm (Mootoie obecé mociy Pro b > r s R je r s r+s r b r (b r ( r s rs 4 pro r < s r < s >

42 5 pro 6 r < b r < b pro r > 7 r < b r > b pro r < Důz Je Podle je Je r > s r < s < 4 Pro je (eboť je ostře rostoucí tedy 5 Pro je pltí tedy opčé erovosti ež v bodě 6 Je 7 Díy se erovosti v 5 otočí Vět (O itě Buď reálá posloupost pro terou pltí P + p Důz Předpoládejme ejprve že Z defiice ity plye že eistuje t že pro je Pro > dosteme z lemmtu [li:mootoiemociyo mootoii obecé mociy] odhdy Přitom (45 r s eboť se jedá o posloupost [li:oitesorovybreposlsorovybrou] z poslouposti Z věty o itě sevřeé poslouposti p dosteme dozové tvrzeí Nyí předpoládejme že Opět od jistého ideu zřejmě pltí p Pro > je Podle předchozího odstvce je p ep(rl ep(sl ep(rl + sl ep((r + s l r+s ep(rl(b ep(r(l + l b ep(rl + rl b ep(rl ep(rl b r b r ( r s ep(sl( r ep(sl(ep(rl ep(srl rs > l > l l < < l < r < r < s rl < sl ep(rl < ep(sl r < s < b l < l b rl < rl b ep(rl < ep(rl b ( + p + p ( p + ( + p p + ( + [ ] + p ( + + p p e + + p > p > ( + [ ] + p [ p ] [ p ] p [ p < ( + < ( + ]+ [ ] p + ( + [ ] p [ p ]+ e p (( + + [ p e + ( + ]+ ( + e [ ] + [ ] + p p podobě + p < p p ( + p p + ( + p ( p ( + p ( + + p p p p

43 ( + + p p ( + e e ( p ( Posledí možost stává dyž it eeistuje V tovém přípdě lze porýt posloupost dvěm podposloupostmi ( p ( p l tvořeými čley poslouposti ( p s ezáporými resp záporými čley Přitom utě + Podle předchozích odstvců porývcí věty pro poslouposti p dosteme + p + p l dozové tvrzeí p p 8 Reálé fuce reálé proměé Reálá fuce je ždé zobrzeí jehož obor hodot je podmoži reálých čísel Fuce (jedé reálé proměé je ždé zobrzeí jehož defiičí obor je podmoži reálých čísel Reálá fuce reálé proměé je tedy ždé zobrzeí z do Defiice (Omezeost mootoie sudost/lichost periodicit Reálou fuci reálé proměé f zýváme omezeá shor poud je její obor hodot H f moži omezeá shor omezeá zdol poud je H f moži omezeá zdol omezeá poud je H f moži omezeá rostoucí poud ( D f < (f( f( lesjící poud ( D f < (f( f( ostře rostoucí poud ( D f < (f( < f( ostře lesjící poud ( D f < (f( > f( mootóí poud je lesjící ebo rostoucí ryze mootóí poud je ostře lesjící ebo ostře rostoucí sudá poud ( D f (f( f( lichá poud ( (f( f( periodicá s periodou poud Defiice (Vlstost fuce možiě Nědy potřebujeme popst vlstost fuce je části defiičího oboru Říáme že f má určitou vlstost možiě M poud M D f zúžeí má tuto vlstost Defiice (Supremum ifimum mimum miimum fuce Pojmy supremum ifimum mimum miimum fuce f jsou defiováy jo dý pojem pliový obor hodot Tj td Pojmy typu mimum možiě se defiují pomocí zúžeí př td Příld D f l > ( (f( f( ± l f/ M D f if f if H f f A m A f m f f( R {} Fuce eí podle ší defiice ostře lesjící svém defiičím oboru protože př / A R f( < f( R Příld (Dirichletov fuce Dirichletov fuce f( { pro Q pro R Q je periodicá periodou je ždé rcioálí číslo 8 Limit fuce Defiice (Hromdý bod R Číslo zveme hromdým bodem možiy poud v ždém jeho oolí leží eoečě moho bodů z možiy A Body z A teré eptří mezi hromdé body A se zývjí izolové Možiu všech hromdých bodů možiy A zčíme A Pozám A R

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

9. Číselné posloupnosti a řady

9. Číselné posloupnosti a řady 9 548 5: Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost

Více

4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema

4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema 4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy: 3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků: ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost 7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup je ložitější

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS , Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9009 Příkld : Spočtěte itu poslouposti 3 + + + 4 + 50 + 00 + 0 0 3 + + Řešeí:Ozčíme : +, b : 4 + 50 + 00 Zlomek,tvořící + 0 0,rozšířímevýrzem ++,čežvytkemeejvyššímociu

Více

Verze z 17. května 2018.

Verze z 17. května 2018. Verze z 7. květ 8. Úvodí pozámk Tto sbírk byl sepsá se záměrem vytvořit sezm výpočetích postupů triků pro řešeí úloh, které se probírjí ve druhém semestru kurzu mtemtické lýzy. Sezm, v ěmž s devdesátiprocetí

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

8.3.1 Pojem limita posloupnosti .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS , Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9..009 Příkld : Spočtěte limitu poslouposti lim + ) 7 + 8 5 + ) 4 4 +) 5). Ozčme : + 7 +, b 8 : 5 +) 4 4 +) 5,zjímáástedy lim b. Máme 7 8 + 7 + + 7 ) + 8

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů. Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -. - SPOJITOST A LIMITY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY Níže procvičujeme pouze výpočet it, o spojitosti se ezmiňujeme. To proto, že vyšetřeí spojitosti

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

1. Přirozená topologie v R n

1. Přirozená topologie v R n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více