Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty ; = 0,, jsou spojité funkce na nějakém intervalu I. LDR v této úrovni obecnosti neumíme řešit. Jsou ale známy metody pro řešení některých zvláštních, leč přesto často se vyskytujících případů. S některými z nich se seznámíme později (LDRs konstantními koeficienty a speciální pravou stranou). Homogenní LDR n-tého řádu Jde o LDR n-tého řádu s nulovou pravou stranou, tedy ve tvaru + + + + =0 Množina řešení této rovnice tvoří lineární prostor dimenze. Bázi tohoto prostoru nazýváme fundamentální systém. Každá lineární kombinace prvků této báze je řešením dané LDR n-tého řádu. Jsou-li,,, řešení homogenní diferenciální rovnice n-tého řádu na intervalu I, pak tyto funkce jsou lineárně nezávislé na I právě tehdy když pro každé je následující determinant nenulový. Tento determinant je nazýván Wronskiánem, respektive Wronského determinantem. Nehomogenní LDR n-tého řádu Jde o LDR s nenulovou pravou stranou, tedy ve tvaru Platí (podobně jako u LDR 1.řádu), že + + + + = 1. Je-li partikulární řešení nehomogenní rovnice a řešení přidružené homogenní rovnice (rovnice se stejnými koeficienty, ale nulovou pravou stranou), pak + je řešením dané LDR n-tého řádu. 2. Jsou-li, řešení LDR n-tého řádu, pak je řešením přidružené homogenní rovnice 3. Platí princip superpozice, neboli jsou-li, řešení LDR pro pravé strany,,pak + je řešením LDR se stejnými koeficienty na levé straně a pravou stranou +. LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty (koeficienty už nejsou funkce jako v obecném případu) je rovnice ve tvaru 1
+ + + + = kde hledaná funkce = a pravá strana je spojitá na nějakém intervalu I a koeficienty ; = 0,,. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty je rovnice s nulovou pravou stranou, neboli rovnice ve tvaru + + + + =0 Charakteristická rovnice (levá strana se nazývá charakteristický polynom) má tvar + + + + =0 Je-li reálný kořen charakteristické rovnice násobnosti, pak řešením příslušné homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty jsou funkce,,, Jsou-li ±, komplexně sdružené kořeny charakteristické rovnice s násobností, pak řešením příslušné homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty jsou funkce cos, cos,, cos sin, sin,, sin Toho se dosáhne aplikaci Eulerova vzorce. Všechna tato řešení tvoří reálný fundamentální systém řešení. Příklad Určete fundamentální systém pro diferenciální rovnici Charakteristická rovnice má tvar neboli Tuto rovnici upravíme Vidíme, že charakteristická rovnice má kořeny 2 3 =0 2 3 =0 2 3=0 +1 =0 = 1, =3 Fundamentální systém dané diferenciální rovnice tedy je, Obecné řešení dané homogenní LDR s konstantními koeficienty tedy je = + ;, 2
Zkouška Řešili jsme rovnici 2 3 =0 Nalezené řešení a jeho derivace do řešené rovnice dosadíme Dostaneme Upravíme Přemístíme Nyní je zřejmé, že Tím je správnost řešení ověřena. = + = +3 = +9 +9 2 +3 3 + =0 +9 +2 6 3 3 =0 +2 3 +9 6 3 =0 0=0 Nehomogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty Nehomogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty je rovnice s nulovou pravou stranou, neboli rovnice ve tvaru + + + + = Při hledání obecného řešení nehomogenní LDR s konstantními koeficienty postupujeme ve dvou krocích. Nejprve určíme obecné řešení přiřazené homogenní LDR (lze ve speciálních případech) a pak určíme jedno partikulární řešení nehomogenní LDR (například metodou variace konstant nebo metodou odhadu pro speciální pravou stranu). Nakonec obě řešení sečteme. Metoda variace konstant Uvažujme nehomogenní LDR n-tého řádu s obecnými koeficienty. Metodu variace konstant můžeme použít jen tehdy, známe-li obecné řešení přiřazené homogenní LDR, resp. její fundamentální systém. Nechť funkce,, tvoří fundamentální systém řešení přiřazené homogenní LDR, pak obecné řešení homogenní LDR je tvaru = + + + ;,, Partikulární řešení nehomogenní LDR hledáme metodou variance konstant, tj. ve tvaru = + + + 3
kde,, jsou hledané neznámé funkce, jejichž první derivace určíme jako řešení soustavy rovnic (s maticí z Wronského determinantu) + + + =0 + + + =0 + + + =0 + + + = Následnou integrací obdržíme,,, které nakonec dosadíme do vztahu pro partikulární řešení. Příklad Určete obecné řešení pro tuto nehomogenní LDR 2 3 = 3 +1 Z minulého příkladu víme, že obecné řešení přiřazené homogenní LDR je tvaru = + ;, Partikulární řešení nehomogenní LDR hledáme metodou variance konstant, tj. ve tvaru = + kde, jsou hledané neznámé funkce, jejichž první derivace určíme jako řešení soustavy rovnic (s maticí z Wronského determinantu) + =0 Z první rovnice vyjádříme +3 = 3 +1 1 = Dosadíme do druhé rovnice +3 = 3 +1 1 +3 = 3 +1 1 4 = 3 +1 1 = 3 +1 4 4
Integrujeme = = 3 +1 4 = 1 4 3 +1 = 1 4 3 +1 = 1 4 3 + 1 První integrál řešíme per partes ( =, =1, = 3, = ), druhý lze řešit snadno podle vzorce, ale nebude to nutné = 1 4 1 + 1 Nyní budeme hledat Dosadíme za derivaci a dostaneme Integrujeme = 1 4 = = 3 +1 4 = 3 1 4 = 3 1 = 1 4 4 3 1 = = 1 4 3 1 = 1 4 3 1 = 1 4 3 1 První integrál řešíme per partes ( =, =1, =3, =3 ), druhý lze řešit snadno podle vzorce, ale nebude to nutné = 1 4 3 3 1 = 1 4 3 4 = 1 4 3 4 = 1 4 3 4 Partikulárním řešením dané nehomogenní LDR tedy je = 1 4 3 4 + 1 4 = 1 4 3 4 +1 4 =3 4 4 4 +1 4 = 1 Obecným řešením je pak součet řešení přiřazené homogenní rovnice a partikulárního řešení, neboli 5
= + Řešením nehomogenní LDR s konstantními koeficienty 2 3 = 3 +1 tedy je Zkouška Řešili jsme rovnici = + + 1 ;, 2 3 = 3 +1 Zkoušku řešení přiřazené homogenní rovnice jsme již dělali. Ověříme tedy pro zřetelnost nejprve jen partikulární řešení. Nalezené partikulární řešení a jeho derivace do řešené rovnice dosadíme Dostaneme Upravíme Nyní je zřejmé, že = 1 =1 0=1 =0 0 2 1 3 1 = 3 +1 0 2 3 +3= 3 +1 3 +1= 3 +1 Tím je správnost nalezeného partikulárního řešení ověřena. Nyní ověříme správnost obecného řešení Vypočteme derivace Dosadíme do původní rovnice a dostaneme Upravíme Přemístíme Nyní je zřejmé, že = + + 1 ;, = +3 +1 = +9 +9 2 +3 +1 3 + + 1 = 3 +1 +9 +2 6 2 3 3 3 +3= 3 +1 +2 3 +9 6 3 3 +3 2= 3 +1 3 +1= 3 +1 6
Tím je správnost řešení ověřena. Metoda odhadu pro speciální pravou stranu Malá předteoretická úvaha Laskavý čtenář si pravděpodobně povšimnul v předchozím textu, že ve fundamentálním systému jakékoli LDR s konstantními koeficienty se mohou vyskytnout pouze exponenciální funkce, polynomy nebo goniometrické funkce sinus a kosinus, případně jejich součiny. Čtenář si jistě i uvědomuje, že i derivace uvedených funkcí jsou téhož typu. Je-li pak pravá strana LDR funkce exponenciální, polynom či goniometrická, lze partikulární řešení rovnice nalézt jednodušší cestou, než je variace konstant. V principu budeme postupovat tak, že partikulární řešení zvolíme předem a to stejného typu, jako je pravá strana, ale se zcela obecnými koeficienty. Takto uhodnuté řešení dosadíme do rovnice a porovnáme obě strany. Z tohoto porovnání pak určíme konkrétní hodnoty zvolených obecných koeficientů. Vypadá to jako šamanismus, ale fungujete to. Nástin teoretického zdůvodnění shrnující všechny uvedené funkce následuje. Teorie Máme řešit nehomogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty, kde funkce na pravé straně je speciálního typu kde ; jsou dané polynomy. = cos sin ;, V tomto případě můžeme použít při hledání partikulárního řešení metodu odhadu pro speciální pravou stranu, kdy pokládáme = cos sin ;, kde koeficienty, jsou dány pravou stranou rovnice a ; jsou polynomy s dosud neurčenými koeficienty, jejichž stupeň je roven většímu ze stupňů polynomů ;. Hledané partikulárního řešení má formálně stejný tvar jako pravá strana až na činitel. Polynomy ; určíme metodou neurčitých koeficientů (dosadíme-li je do dané LDR). Číslo (celé nezáporné neboli přirozená čísla rozšířená o nulu) určíme podle násobnosti kořene = + charakteristické rovnice = 0 příslušné k přiřazené homogenní LDR. Tedy: = 0, není-li kořenem = 0, k = násobnost kořene, je-li kořenem = 0. Zde je velmi důležité si povšimnout, že čísla, popisující tento kořen = + jsou koeficienty z pravé strany řešené LDR. Pak je určení této konstanty jasné. Příklad: Určete obecné řešení pro tuto nehomogenní LDR 2 3 = 3 +1 7
Z dřívějšího příkladu víme, že kořeny charakteristické rovnice jsou a obecné řešení přiřazené homogenní LDR je tvaru Nejprve určíme koeficienty pravé strany Zde = 1, =3 = + ;, = cos sin = 3 +1 =0, =0, = 3 +1, =0, =0 Partikulární řešení nehomogenní LDR hledáme metodou odhadu pro speciální pravou stranu, tj. ve tvaru = cos sin ;, Dosadíme do partikulárního řešení = cos 0 sin 0 = = 3 +1 je polynomem prvního stupně, stejný stupeň tedy očekáváme i u polynomu. Budeme tedy předpokládat Vypočteme první a druhou derivaci Dosadíme do řešené rovnice Upravíme Přerovnáme = = + =, =0 0 2 3 + = 3 +1 2 3 3 = 3 +1 3 + 2 3 = 3 +1 Koeficienty u stejných mocnin proměnné na obou stranách se musí rovnat. Dostáváme tedy soustavu snadno 3 = 3 2 3 =1 =1, = 1 Dosadíme do předpokládaného partikulárního řešení a dostaneme = 1 8
Obecným řešením je pak součet řešení přiřazené homogenní rovnice a partikulárního řešení, neboli = + Řešením nehomogenní LDR s konstantními koeficienty 2 3 = 3 +1 tedy je Zkouška = + + 1 ;, Vzhledem k tomu, že jsme počítali stejný úlohu jako v minulém příkladu a dospěli jsme ke stejnému řešení, nebudeme zkoušku provádět. Šlo by o doslovné opakování textu. Poznámka S využitím myšlenky uvedené v malé předteoretické úvaze, lze úlohu vyřešit na podstatně menším prostoru. Nebudeme nyní pracovat s obecným tvarem pravé strany uvedeným v teorii, ale přímo. Určete obecné řešení pro tuto nehomogenní LDR 2 3 = 3 +1 Z dřívějšího příkladu víme, že kořeny charakteristické rovnice jsou a obecné řešení přiřazené homogenní LDR je tvaru = 1, =3 = + ;, Pravá strana je polynom prvního stupně. Tedy partikulární řešení bude rovněž polynom prvního stupně ve tvaru Vypočteme první a druhou derivaci Dosadíme do řešené rovnice snadno = + =, =0 0 2 3 + = 3 +1 =1, = 1 Obecným řešením je pak součet řešení přiřazené homogenní rovnice a partikulárního řešení, neboli = + Řešením nehomogenní LDR s konstantními koeficienty 2 3 = 3 +1 tedy je = + + 1 ;, 9