YSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ BRNĚ Fakulta elektrotechnky a komunkačních technologí Ústav radoelektronky Doc. Dr. Ing. Zdeněk Kolka SYMBOLICKÁ NLÝZ ELEKRONICKÝCH OBODŮ Současný stav, trendy vývoje a výuka SYMBOLIC NLYSIS OF ELECRONIC CIRCUIS State of the rt, rends and Educaton EZE PŘEDNÁŠKY K PROFESORSKÉMU JMENOCÍMU ŘÍZENÍ OBORU ELEKRONIK SDĚLOCÍ ECHNIK BRNO 28
KLÍČOÁ SLO Elektroncké obvody, analogové obvody, symbolcká analýza, očítačové metody, CD KEYWORDS Electronc crcuts, analog crcuts, symbolc analyss, comuter methods, CD. Zdeněk Kolka, 28 ISBN 978-8-24-364-6 ISSN 23-48X
OBSH ÚOD...5. ZÁKLDNÍ POJMY... 5.2 HISORICKÝ ÝOJ SOUČSNOS SYMBOLICKÉ NLÝZY... 6 2 ZÁKLDNÍ MEODY SYMBOLICKÉ NLÝZY...9 2. OBODOÉ RONICE... 9 2.2 OPOLOGICKÁ MEOD ÝPOČU... 2.2. Pasvní obvody... 2.2.2 ktvní obvody... 2.2.3 ýočet obvodových funkcí... 2 2.2.4 Složtost symbolckého vztahu... 4 3 PŘIBLIŽNÁ SYMBOLICKÁ NLÝZ...6 3. ZÁKLDNÍ PRINCIP... 6 3.2 KLSIFIKCE LGORIMŮ... 7 3.3 MEODY SBG... 9 3.3. Řídící algortmus... 9 3.3.2 Parametrcká metoda SBG... 9 3.3.3 oologcká metoda SBG... 2 4 SNP PROGRM PRO SYMBOLICKOU NLÝZU...24 4. POPIS PROGRMU... 24 4.2 YUŽIÍ SYMBOLICKÉ NLÝZY E ÝUCE ÝZKUMU... 25 4.3 NERDIČNÍ PLIKCE SYMBOLICKÉ NLÝZY... 26 5 ZÁĚR...26 3
Zdeněk Kolka se narodl v roce 969 v Brně. ysokoškolská studa absolvoval na Fakultě elektrotechnky a nformatky ysokého učení technckého v Brně v letech 987-992. Studum úsěšně zakončl v červnu 992 a byl mu udělen ttul nženýr. Od roku 994 je zaměstnán na Ústavu radoelektronky FEK U v Brně (do r. 24 jako odborný asstent, od r. 24 jako docent). Na UREL v současné době zastává funkc zástuce vedoucího ústavu. letech 992-997 úsěšně absolvoval doktorské studum v oboru Elektronka a sdělovací technka s dsertační rací na téma Modelování o částech lneárních soustav. roce 24 úsěšně obhájl na U v Brně habltační rác na téma Modelování zvláštních jevů v dynamckých systémech a byl mu udělen ttul docent v oboru Elektronka a sdělovací technka. Do edagogcké raxe se Doc. Kolka zaojl hned o ukončení studa, zočátku jako asstent v očítačových cvčeních z oblast analogových a číslcových obvodů, ozděj se ostuně zaojoval do ostatních oblastí. mnulých letech zavedl do výuky 5 nových ředmětů ro bakalářské, magsterské doktorské studum. Je autorem nebo soluautorem celkem 7 ttulů výukových skrt. současné době Doc. Kolka vyučuje ředměty: Počítačové řešení elektronckých obvodů v bakalářském studu; Počítačové a komunkační sítě a Počítačové systémy a jejch alkace v magsterském studu a je garantem ředmětu Návrh moderních analogových obvodů v doktorském studum. Doc. Kolka vedl více než 22 dlomových rací, více než 2 bakalářských rací a vedl (vede) 6 doktorandů, z nchž dva studum úsěšně ukončl. Je členem oborové rady doktorského studa v oboru eoretcká elektrotechnka na FEK U a členem oborové rady doktorského studa v oboru Radoelektronka na FEL ČU v Praze. Doc. Kolka byl odovědným řeštelem doktorského grantového rojektu GČR 2/3/H5 Moderní Moderní metody řešení, návrhu a alkace elektronckých obvodů v letech 24-27. Doc. Kolka se ve své odborné a vědecko-výzkumné rác věnuje teor, očítačové smulac a raktckým alkacím analogových a číslcových elektronckých obvodů. Na očátku své vědecké dráhy se věnoval teor chaotckých obvodů, zejména jejch modelování, vzájemné synchronzac a raktcké realzac. Je autorem nových účnných algortmů klascké a aroxmační symbolcké analýzy lnearzovaných obvodů. Je hlavním tvůrcem známého rogramu SNP ro symbolckou analýzu obvodů, který je využíván na akademckých nsttucích v růmyslu v řadě zemí. oslední době se Doc. Kolka také odílí na vývoj atmosférckých otckých sojů a metod ro jejch testování. Byl odovědným řeštelem tří grantových rojektů GČR, jednoho rojektu G, čtyř rojektů FRŠ a členem řeštelských týmů dalších 22 výzkumných rojektů. Získal čtyř zakázky z růmyslu. Doc. Kolka je členem solečnost IEEE. Je členem redakční rady vědeckého časosu Radoengneerng. 4
ÚOD. ZÁKLDNÍ POJMY Symbolckou analýzou rozumíme třídu technk, které umožňují vyjádřt charakterstku elektrckého obvodu ve formě uzavřeného analytckého výrazu s hodnotam obvodových rvků rerezentovaným symboly. Symbolcký smulátor je očítačový rogram, jehož vstuem je os obvodu a výstuem jsou charakterstky v symbolckém tvaru. čkol bylo demonstrováno oužtí symbolckých metod ro slabě [] slně nelneární systémy [2], tak zdaleka největší oularty a rozšíření doznala alkace symbolcké analýzy na lneární systémy, zejména ak na lneární, res. lnearzované obvody ve frekvenční oblast a částečně též na sínané obvody v oblast z. Symbolcké řešení soustavy lneárních rovnc, kterým jsou tyto systémy osané, je totž možné snadno algortmzovat. vn R C R2 R3 C2 - v out + Obr..: ktvní fltr druhého řádu Na obr.. je aktvní kmtočtový fltr druhého řádu tyu dolní roust. Oerační zeslovač je modelován jako zdroj naětí řízený naětím s řenosem. Symbolcky je možné vyjádřt řenosovou funkc fltru v oblast komlexní frekvence ve tvaru K( s) = out n = 2 s CC 2 + + s C2 ( G + G2 G G 3 CG + 3 G3) + + GG + G2G3 + + 3, (.) kde vodvost G jsou řevráceným hodnotam říslušných odorů R. ýsledek (.) osuje analyzovaný obvod kvaltatvně. Dosazením s = získáváme římo stejnosměrný řenos. Uvažováním dostáváme řenosovou funkc ř oužtí deálního oeračního zeslovače. Z koefcentů olynomu jmenovatele je možné určt analytcky výraz ro charakterstcký kmtočet fltru 2 + / + R2 /( R ) ω =. (.2) C C R R ( + / ) 2 2 3 Provedeme-l naoak numerckou analýzu, tak nař. ro konkrétní hodnoty obvodových rvků R = kω, R 2 = 2kΩ, R 3 = 5kΩ, C = nf, C 2 = 2nF, = 5, U n = dostáváme jako výsledek ro kmtočet khz výstuní naětí U out =,86 3. K získání odobných nformací, které vylynuly z rozboru (.), by bylo nutné rovést celou řadu numerckých smulací s různým hodnotam vstuních arametrů. Srovnání obou tyů analýz tedy ukazuje na značný otencál symbolckých metod oskytnout kvaltatvní nformace o analyzovaném obvodu. 5
Obecně, obvodová funkce každého časově nvarantního lneárního obvodu se soustředěným arametry v oblast komlexní frekvence x (s ro obvody se sojtým časem a z ro obvody s dskrétním časem) může být vyjádřena ve tvaru raconální funkce lomené H ( x) = j x a (,..., m ), j (.3) x b (,..., ) j m kde koefcenty čtatele a jmenovatele a, b j jsou symbolcké olynomální funkce arametrů obvodových rvků. yto dílčí olynomální funkce mohou být ve vnořeném nebo roznásobeném tvaru. Koefcenty výrazu (.) jsou ve vnořeném tvaru. říadě roznásobených koefcentů hovoříme o (.3) jako o funkc v tzv. lochém tvaru. lně symbolckém tvaru jsou všechny arametry obvodových rvků rerezentovány symboly. Je-l některý arametr vyjádřen číselně, ak mluvíme o částečně symbolckém tvaru. krajním říadě, když jsou všechny arametry vyjádřeny číselně a jedným symbolem je roměnná s nebo z, dostáváme tzv. semsymbolcký tvar. Chování lneárního systému v oblast komlexní roměnné je osáno soustavou lneárních rovnc. zásadě exstují dvě třídy metod, které je možné oužít ro řešení této soustavy: lgebracké metody: Požadovaná obvodová funkce je získána omocí algebrackých oerací s matcí, jejíž koefcenty jsou vyjádřeny symbolcky. Nejčastěj se jedná o alkac Cramerova ravdla s rozvojem determnantu v symbolckém tvaru [3]. Do této kategore sadají metody ro získání částečně symbolckého [4] č semsymbolckého tvaru obvodové funkce [5]. oologcké (grafové) metody: Systém je osán grafem, jehož hrany mají symbolcké váhy. Používají se grafy sgnálových toků nebo toologcké grafy. Požadovaná obvodová funkce je získána na základě oerací s grafy, jako nař. nalezení smyček nebo koster [3]. dalším textu bude věnována ozornost ouze metodám ro výočet lně symbolckého tvaru. soustavě lneárních rovnc osujících elektrcký obvod exstují vntřní vazby dané Krchhoffovým zákony, které zůsobují, že během výočtu symbolckého výrazu může docházet ke vznku tzv. zruštelných členů, které se navzájem odečtou. a( b + c) b( a + d) = ac bd (.4) Zruštelné členy (jako nař. ab v (.4)) zvyšují náročnost výočtu a také řnášejí roblémy ř oužtí metod řblžné symbolcké analýzy, která je založena na zanedbávání některých členů ve výrazech. Pokud bychom nař. v druhé závorce v (.4) zanedbal člen a z důvodu jeho nevýznamnost ve srovnání s d, tak se ve výsledku objeví nový člen ab, který není obsažen v ůvodním tvaru. Problém se zruštelným členy se rojevuje u metod určených ro řešení obecné soustavy lneárních rovnc, které nevyužívají secální strukturu obvodových rovnc [3]..2 HISORICKÝ ÝOJ SOUČSNOS SYMBOLICKÉ NLÝZY Léta šedesátá a sedmdesátá Solu se zaváděním očítačů do běžné raxe rostl zájem o symbolckou analýzu. Byla navržena řada rogramů zejména ro analýzu frekvenčních fltrů [6]. zhledem k omezeným možnostem výočetní technky byly oulární toologcké metody. Plně symbolcká analýza byla možná ro relatvně malé obvody o velkost do 5 uzlů z důvodu exonencálního růstu složtost výsledného 6
výrazu. Numercké metody (jako nař. nterolační metoda uvedená v [5]) dovolovaly získat výsledek v semsymbolckém tvaru ro odstatně větší obvody. Kombnací těchto dvou metod vznkly semnumercké metody ro výočet částečně symbolckých výrazů s několka málo symboly. Postuně byla symbolcká analýza zastíněna oulartou numerckých smulátorů tyu Sce. Osmdesátá léta Pro řekonání roblémů s velkostí obvodu byly navrženy herarchcké metody, které generují výraz ve vnořeném tvaru na rozdíl od tvaru lochého u standardních metod [7]. lgebracké metody byly dovedeny do stavu, kdy byly stejně efektvní jako metody toologcké [8]. znkla řada nových rogramů, které díky vyššímu výočetnímu výkonu byly schoné analyzovat obvody do velkost až 4 uzlů (nebo 5 tranzstorů) [6]. Byl vytvořen raktcky oužtelný smulátor ISC [9], který umožňoval symbolckou analýzu zkreslení ve slabě nelneárních obvodech. Devadesátá léta a současnost ýočetní výkon jž není řekážkou rovedení řesné symbolcké analýzy. Hybnou slou tohoto období se stalo raktcké využtí symbolcké analýzy zejména ř návrhu analogových ntegrovaných obvodů. Jednou z hlavních alkací symbolcké analýzy je oskytnutí nterretovatelného výrazu návrhář elektronckého obvodu. Je zřejmé, že takový výraz musí být ředevším jednoduchý, tj. obsahovat několk málo členů, jnak jej člověk není schoen zracovat. Je možné ukázat (ka. 2.2.4), že složtost symbolckého výrazu v lochém tvaru měřená očtem členů čtatele a jmenovatele roste exonencálně s očtem uzlů, res. větví obvodu. Pro bloky o velkost desítek tranzstorů dostáváme složtost řádu a vyšší. akto složtý výraz nemůže mít žádné raktcké ulatnění. Radkální snížení složtost je možné dosáhnout oužtím výrazu ve vnořeném tvaru, res. ve tvaru oslounost dílčích výrazů [], který je vhodný nař. ro oakované vyčíslování funkce, avšak symbolcky zcela nenterretovatelný. Přesná symbolcká analýza obvodů většího rozsahu roto nemá raktcký smysl. Od očátku devadesátých let jsou z toho důvodu vyvíjeny metody tzv. řblžné symbolcké analýzy. Jedná se o soubor technk, které umožňují získat řblžný symbolcký výraz latný se zadanou řesností v jstém frekvenčním ásmu a jstém ntervalu arametrů obvodových rvků. Kromě generování řblžného výrazu ro obvodovou funkc byly vyvnuty metody ro římý řblžný výočet nul a ólů []. Prvním raktcky využtelným rogramem ro řblžnou analýzu byl ISC [9] vyvnutý na unverztě v Leuvenu. současnost exstuje několk volně dostuných rogramů jako nař. Sawn [2] z unverzty ve Florenc nebo rogram SNP [3] vyvíjený na U v Brně. Jedným komerčním roduktem je smulátor nalog Insydes [4] z IWM Kaserslautern, který je mlementovaný jako nadstavba unverzálního matematckého rogramu Mathematca. Je to zároveň jedný rogram schoný řblžné analýzy obecných nelneárních systémů. současné době můžeme najít několk základních oblastí oužtí jak řesné, tak řblžné symbolcké analýzy:. Kvaltatvní analýza obvodů Symbolcký výraz v sobě koncentruje nformac, kterou by jnak bylo nutné získat mnohonásobným rováděním numercké smulace. rámc oboru latnost oskytuje symbolcký výraz výsledek latný ro všechny kombnace vstuních hodnot. Nař. je možné určt, jaké arametry ovlvňují střední frekvenc fltru, nebo jaké je mnmální ožadované zsk oeračního zeslovače. Rozborem výsledků je možné najít vztahy ro návrh hodnot obvodových rvků. Ze symbolckého výrazu je možné římo určt ctlvostní funkce. 7
Základní odmínkou nterretovatelnost, danou schonostm člověka, je relatvní jednoduchost symbolckého výrazu. o je důvod oužtí metod řblžné symbolcké analýzy. Zjednodušením však výraz ztratí svoj unverzálnost. Přblžná symbolcká analýza je tak komromsem mez řesností a nterretovatelností. Symbolcká analýza má své místo ve výuce elektronckých obvodů, kde slouží k oznání vlastností základních obvodů ro verfkac ručních výočtů. B. utomatcké generování náhradních modelů ro analýzu a syntézu Smulace otmalzace rozsáhlých systémů vyžaduje oužtí zjednodušených modelů. Nař. fltr z obr.. může být rerezentován řenosovou funkcí (.). Během smulace tak není třeba oakovaně řešt soustavu rovnc, nýbrž jen dosadt do řraveného výrazu, což výrazně snžuje ožadavky na výočetní výkon. Navíc je možné vyočítat analytcky ctlvostní funkce ro otmalzac. Symbolcké modely našly své ulatnění v nástrojích ro syntézu analogových ntegrovaných obvodů jako nař. RIDNE [5], kde vstuním daty jsou ožadavky na výsledné vlastnost. Jednotlvé buňky, jejchž toologe je známa doředu, jsou rerezentovány analytckým modely. C. Poruchová analýza a testovatelnost Závažným roblémem ř výrobě zejména ntegrovaných obvodů je jejch testování, kdy je nutné z ekonomckých technckých důvodů zjstt chybnou funkc obvodových rvků na základě měření v co nejmenším očtu bodů. Úkolem metod oruchové analýzy je stanovt otmální očet měřících bodů. [] je ukázáno výrazné zlešení vlastností metod oužtím symbolcké analýzy, která odstraňuje roblém se zaokrouhlovacím chybam. 8
2 ZÁKLDNÍ MEODY SYMBOLICKÉ NLÝZY 2. OBODOÉ RONICE Uvažujme souvslý lneární elektrcký obvod se soustředěným arametry s n uzly, který se skládá z m asvních dvojólů a m z nezávslých zdrojů roudu. Celkový očet větví je ak m +m z. každé větv zvolíme kladnou orentac a řřadíme naětí a roudy, které vytvoří vektory, u ro asvní větve a vektory z, u z ro zdroje roudu. oolog takového obvodu je možné vyjádřt omocí grafu, jehož vrcholy odovídají uzlům a hrany větvím. C L 3 2 3 + - + - + I R + C 4 5 2 - - 2 3 3 5 2 4 Obr. 2.: Rerezentace toologe obvodu grafem Strukturu grafu se zvoleným referenční vrcholem odovídajícím referenčnímu uzlu v obvodu vyjádříme omocí redukované ncdenční matce uzlů a větví o rozměru (n-) (m +m z ), kde slouce odovídají větvím (hranám) a řádky uzlům (vrcholům) [5]. Matce rozdělená na asvní část a část zdrojů bude mít ro obvod na obr. 2. tvar [, ] =. (2.) = z První Krchhoffův zákon je ak možné vyjádřt ve tvaru [ ] = = z z z a o úravě z z (2.2) =. (2.3) Je možné ukázat, že branová naětí u u z lze vyjádřt menším očtem roměnných [5]. Defnujme vektor v naětí všech uzlů rot zvolenému referenčnímu, v = ( v,..., v n ). Pak je možné sát u = v. (2.4) ektor branových roudů asvních rvků je možné vyjádřt omocí admtancí ve tvaru = Y u, (2.5) kde Y = dag ( y,..., ym ) je dagonální matce admtancí asvních rvků. 9
Dosazením (2.4) a (2.5) do (2.3) dostáváme rovnc Y v =, (2.6) z z která ředstavuje matcový zás klascké metody uzlových naětí [5]. Matce Y n = Y je uzlová admtanční matce a J n = z z ředstavuje vektor budících uzlových roudů. nalogckým ostuem je možné dojít k duální metodě smyčkových roudů, která se však ro účely symbolcké analýzy neoužívá. Uzlovou matc je možné sestavt římo za oužtí jednoduchých ravdel ro umísťování dílčích admtancí do matce [6]. ztah (2.6) ředstavuje soustavu lneárních rovnc, kterou je možné řešt omocí Cramerova ravdla. Naětí k-tého uzlu rot referenc můžeme vyjádřt jako v k ( Y, z z ) det( Y ) det k =, (2.7) kde det k označuje determnant matce, ve které byl k-tý slouec nahrazen vektorem ravých stran. ýočet determnantu je možné rovést omocí Lalaceova rozvoje rováděného symbolcky. Uvážíme-l jedný zdroj roudu I řojený mez uzel k a zemní svorku, tak vektor J n bude obsahovat ouze jeden nenulový rvek roud I. Determnant v čtatel (2.7) bude možné rozvnout odle k-tého slouce. Pro vstuní medanc uzlu k vzhledem k zemní svorce můžeme sát v I = k : k I k =, (2.8) I k : k Z k = kde je determnant uzlové matce, k:k rerezentuje algebracký dolněk, tj. determnant vznklý vynecháním k-tého slouce a řádku v ůvodní matc. ýočet všech obvodových funkcí omocí algebrackých dolňků je velm odrobně zracován v klascké lteratuře, nař. v [6]. Jedným otřebným výočtem je Lalaceův rozvoj determnantu. Př něm vznkají zruštelné členy, které se v růběhu výočtu odečtou. Díky rekurzvní ovaze algortmu a řídkost obvodových matc, je klascká varanta rozvoje velm výočetně náročná výsledkem mnoha dílčích rekurzí je nula. elm rychlý algortmus rozvoje byl vyvnut Prof. Čajkou [7]. Pro obvod z obr. 2. dostáváme Y n = sc sc sc + G sc 2 / sl + / sl 3 3 sc / sl 4 3 + / sl 2 Y = s G2CC 4 + CG 2 / L3 + C /( sl3c4 ). 3, (2.9a,b) 2.2 OPOLOGICKÁ MEOD ÝPOČU 2.2. Pasvní obvody Uvažujme vztah (2.7). Uzlová admtanční matce Y = Y byla formulována na základě n toologcké struktury asvní část obvodu. Podle Bnet-Cauchyho věty je možné determnant Y n vyjádřt jako součet součnových členů, které ředstavují tzv. hlavní determnanty (majory) matc
Y a [8]. Z teore grafů je známo, že majory jsou nenulové tehdy a jen tehdy, když sluce vybrané z ůvodní ncdenční matce odovídají tzv. kostře grafu, což je soubor hran, které sojují všechny vrcholy a netvoří smyčku. Nenulový major ncdenční matce může nabývat jen hodnot ±. Protože Y je dagonální matce, tak součn má stejnou strukturu jako samotná matce s tím rozdílem, že každý Y slouec j je násobený říslušnou admtancí y j. Proto každý nenulový major součnu ve tvaru ± t y... t y 2 t n y, (2.) Y bude což ředstavuje tzv. admtanční součn kostry grafu. Má-l graf n vrcholů, tak kostra se skládá z rávě n- hran. Major matce odovídá stejné kostře a má roto stejné znaménko jako (2.). součnu se znaménka vyruší a všechny členy budou kladné det ( Y ) = y y... t y 2 t, n (2.) t t ( G) kde (G) označuje množnu všech koster grafu G. Označíme-l každý rvek jednečným symbolem, tak žádné dva členy v sumě (2.) nebudou stejné. Metoda založená na generování koster toologckých grafů roto negeneruje zruštelné členy. Pro systematcké generování koster byly navrženy účnné algortmy [9]. Pro obvod z obr. 2. dostáváme výsledek, který je ve shodě s algebrackou metodou. Y 2 = s G2CC 4 + CG 2 / L3 + C /( sl3c4 ) 2.2.2 ktvní obvody oologcká metoda výočtu ro asvní dvojóly odle (2.) byla založena na skutečnost, že matce branových admtancí je dagonální. říadě aktvních obvodů tento ředoklad nelatí. Řešení nabízí řístu ublkovaný v roce 957 od názvem metoda dvou grafů [2]. ato metoda umožňuje analyzovat obvody sestávající z asvních rvků (RLC) a zdrojů roudu řízených naětím (ZPN). Ostatní tyy řízených zdrojů lze modelovat omocí náhradních obvodů [2]. Matce branových admtancí Y obsahuje mmodagonální elementy, což znemožňuje alkac Bnet-Cauchyho věty. Nař. je-l roud v k-té větv určený naětím v j-té větv, tak dostáváme = g u, (2.2) k m j což ředstavuje element matce Y na ozc y = k, j gm. Zatímco v říadě asvních obvodů byl I. II. Krchhoffův zákon vyjadřován rostřednctvím solečné ncdenční matce, res. solečného grafu, základní myšlenka metody dvou grafů je založena na odděleném vyjádření těchto zákonů rostřednctvím dvou samostatných grafů. Proudový graf vyjadřující I. Krchhoffův zákon roto rerezentuje vzájemnou toolog výhradně roudových bran obvodu a naěťový graf vyjadřující II. Krchhoffův zákon ředstavuje vzájemnou toolog výhradně naěťových bran obvodu. Každý obvodový rvek řsívá do obou grafů rávě jednou hranou, obr. 2.2.
Prvek Naěťový graf Proudový graf Prvek Naěťový graf Proudový graf n n n n n n R /R /R L /(sl) /(sl) n2 n2 n2 n2 n2 n2 n n2 C n sc n2 Obr. 2.2: n n sc n2 n2 v n3 n g m v n2 n4 Naěťové a roudové hrany základních rvků g m n3 n4 g m oologe roudového a naěťového grafu je osána zkráceným ncdenčním matcem I a. První Krchhoffův zákon (2.3) bude nyní formulován jako = J (2.3) I b n kde b je vektor roudů roudových větví a J n je vektor budících roudů. ektor b můžeme vyjádřt omocí vektoru naětí naěťových větví u b jako = Y u. (2.4) b b b říadě, že roudy a naětí všech rvků jsou ve vektorech b a v b usořádány ve shodném ořadí, je matce větvových admtancí Y b oět dagonální. ektor větvových naětí u b můžeme ř znalost zkrácené ncdenční matce naěťového grafu vyjádřt snadno z uzlových naětí ub = v. (2.5) Nyní je možné rovnc (2.6) řeformulovat do tvaru Y v = J (2.6) I b n ředstavujícího zobecnění metody uzlových naětí. Rozvoj ( Y ) det I b obsahuje odle Bnet-Cauchyho věty nenulové členy jen tehdy, okud odovídající majory matc Y a I b obsahují stejnou sadu hran, která tvoří zároveň kostru naěťového roudového grafu det ( I Yb ) = ε( t) yt y... t y 2 t. n (2.7) t ( ) ( I ) Symboly () a (I) rerezentují množny koster naěťového a roudového grafu. Na rozdíl od asvních obvodů nejsou znaménka majorů obecně stejná. Znaménkový člen ε(t) v (2.7) nabývá hodnot ±. Pravdlo ro výočet znaménka je oměrně komlkované a tudíž nevhodné ro ruční řešení [8]. Žádné dvě kostry nejsou stejné. Použjí-l se jednečné symboly ro všechny obvodové arametry, tak nedojde v sumě (2.7) k žádnému výskytu zruštelných členů. 2.2.3 ýočet obvodových funkcí ztahy (2.) (2.7) ředstavují rostředek na výočet determnantu uzlové matce. Pro získání obvodových funkcí je nutné znát další algebracké dolňky matce Y n. [8] byla ublkována metoda, jenž sočívá v dolnění dalších elementů k analyzovanému obvodu. 2
Uvažujme analyzovaný obvod jako dvojbran, který dolníme o omocnou admtanc y s a omocný zdroj roudu řízený roudem se strmostí g m, obr. 2.3. v n n a Z n b analyzovaný obvod a) b) Obr. 2.3: Dolnění analyzovaného obvodu c d v out y s g m v out b a analyzovaný obvod c d v out Je možné ukázat, že determnant uzlové matce dolněného obvodu bude mít tvar ~ = + y s + g a: a m : c> d a: c, (2.8) c> d kde je determnant matce ůvodního obvodu a a: a, : a: c jsou algebracké dolňky, omocí kterých můžeme vyjádřt některé základní obvodové funkce: vn a : a vstuní medance: Z n = =, (2.9) n : c>d vout a : c řenosová medance: Zt = =, (2.2) n : c> d vout a : c naěťový řenos: K = =. v (2.2) n a: a Pomocné rvky y s a g m jsou vyjádřeny symbolcky. ýsledné symbolcké členy, které neobsahují c> d y s an g m atří do. Členy obsahující y s atří do a:a a členy obsahující g m atří do : :. a c 2 I G 2 G 2 3 G 2 3 G G 3 g 4 u G g 4 G 3 g 4 G 3 g m g m G Obr. 2.4: Elementární obvod a jeho naěťový a roudový graf I Uvažujme obvod na obr. 2.4. Pro výočet řenosové admtance ostačí obvod dolnt jen řízeným zdrojem roudu g m. Množně solečných koster naěťového a roudového grafu odovídá rozvoj determnantu uzlové matce se členy G G, G G, G G, g G, g G, g g }. (2.22) { 2 3 2 3 4 2 m 2 4 m Podle (2.2) dostáváme v G g =. (2.23) g G Z 2 2 4 = t I GG2 + GG3 + G2G + 3 4 2 3
2.2.4 Složtost symbolckého vztahu Obvodová funkce každého obvodu se soustředěným arametry má tvar odílu dvou olynomů. lochém tvaru je čtatel jmenovatel tvořen součtem součnových členů, jako nař. ve výsledku (2.23). Jako míru složtost symbolckého výrazu můžeme defnovat celkový očet součnových členů. Zvolená míra není závslá na konkrétní metodě oužté ro řešení obvodu. jstých říadech, kdy je obvodovou funkc možné rozložt na součn dílčích členů, nemusí být takto zvolená míra otmální. Obecně lze však říc, že očet součnových členů dobře odovídá subjektvnímu cháání složtost. Uvažujme asvní obvod složený z dvojólů. Jmenovatel (2.) obvodové funkce (2.7) je odle Bnet-Cauchyho věty určen jako součet admtančních součnových členů všech koster grafu, tj. složtost jmenovatele je rovna očtu koster. det ( Y ) = y t t ( N ) y t... 2 y t n. šechny sčítance v (2.) mají kladné znaménko. Budeme-l formálně uvažovat všechny admtance jako jednotkové, Y =E, tak výsledek sumace bude římo roven očtu koster det( ) = = ( N). (2.24) t ( N ) Incdenční matce je numercká matce obsahující čísla + nebo -. ýočtem determnantu získáme římo složtost jmenovatele bez nutnost generovat úlný symbolcký výraz. K získání složtost čtatele by bylo nutné stejný ostu alkovat na algebracký dolněk matce Y. Př řešení raktckých úloh bývá očet členů čtatele menší než očet členů jmenovatele, někdy řádově. Pro odhad složtost C obvodové funkce H asvního obvodu bude ostačující uvažovat jen složtost jmenovatele, tj. oložíme H ( ) C( ) det. (2.25) říadě aktvních obvodů rozvoj determnantu (2.7) může obsahovat kladné záorné členy. říadě uvažování jednotkové admtanční matce se některé členy odečtou. ýsledkem je tedy sodní hrance ro odhad očtu solečných koster naěťového a roudového grafu. Na druhou stranu, očet solečných koster nemůže řevýšt očet koster naěťového an roudového grafu. Pro odhad složtost obvodové funkce H a aktvního obvodu dostáváme odmínku det ( ) C( H ) mn( det( ), det( ) I. (2.26) a Naěťové a roudové odgrafy asvních částí aktvního obvodu jsou shodné. Členy se záorným znaménky souvsejí s řízeným zdroj. rax je očet řízených zdrojů menší než očet asvních rvků, což zejména latí ro obvody s olovodč. Proto má blíže k reálné složtost síše sodní hrance odhadu (2.26). Pro úlný obvod na obr. 2.5a) je odle [22] očet koster grafu roven 2 det( ) = n n, (2.27) kde n je očet uzlů. Celkový očet větví úlného obvodu je n ( n ) / 2. Pro říčkový článek na obr. 2.5b) dostáváme odle [8] očet koster I I 4
n n 3 + 5 3 5 det( ) =, (2.28) 5 2 2 kde n je oět očet nezávslých uzlů. a) b) Obr. 2.5: Dvě mezní ravdelné toologe: úlný obvod a říčkový článek Pro obecný obvod bude složtost ležet někde mez exonencální (a n ) závslostí ro říčkový článek a suerexonencální (n n ) závslostí ro úlný obvod. Nař. v [3] je uvedeno, že odhadovaná složtost naěťového řenosu klasckého oeračního zeslovače 74 modelovaného na tranzstorové úrovn je řádu 9. Je vdět, že ro elektroncké obvody běžné velkost s desítkam uzlů, je řesná symbolcká analýza raktcky nerovedtelná. I kdyby se odařlo vygenerovat výsledný výraz, tak ro něj nebude raktcké využtí. 5
3 PŘIBLIŽNÁ SYMBOLICKÁ NLÝZ 3. ZÁKLDNÍ PRINCIP Jak bylo ukázáno v ka. 2.2.4, složtost řesného symbolckého výrazu nedovoluje oužtí klascké symbolcké analýzy ro obvody raktcké velkost. Pomneme-l využtí symbolckých výrazů ro výočtové účely (oakované vyčíslování, otmalzace, modelování, oruchová analýza, aod.), tak smyslem symbolckého vyjádření obvodové funkce je oskytnutí nformace o analyzovaném obvodu návrhář člověku. by měl symbolcký výraz smysl, musí být nterretovatelný. Základním ředokladem nteretovatelnost je oměrná jednoduchost, která je v říkrém rozoru s exonencálním růstem očtu členů s velkostí obvodu. Od konce osmdesátých let jsou roto ve středu zájmu v oblast symbolcké analýzy metody ro zjednodušení výrazů. Ukázalo se, že algebracké (bezeztrátové) zjednodušování sočívající v krácení zlomků a faktorzac dílčích členů je buď nerovedtelné, nebo neúčnné. Jednou možností je aroxmovat výraz ro obvodovou funkc. Pro danou funkc a dané chybové krterum je samozřejmě možné nalézt nekonečně mnoho aroxmačních funkcí. Praktcké zkušenost ukazují, že o dosazení číselných hodnot do řesného symbolckého výrazu je výsledek určen relatvně malým očtem členů, zatímco většna ostatních je numercky nevýznamná. Základní rncem, který byl roto v symbolcké analýze obecně řjat, je odmínka strukturální odobnost aroxmovaného výrazu s ůvodním. Jným slovy, aroxmovaný výraz obsahuje jen ty členy, které obsahuje ůvodní výraz. roxmace tedy sočívá v rušení členů ůvodního výrazu. Zvolený rnc je ve shodě s ntutvním řístuem, který je oužíván ř ručním řešení elektronckých obvodů. Byly navrženy jné ostuy, nař. aroxmace odle ředem daných šablon [23]. Uvažme elementární obvod na obr. 3., ve kterém latí nerovnost R 3 >> R2. Př ručním řešení obvodu ntutvně zanedbáme R 3 vůč R 2, tj. daný odor odstraníme z obvodového modelu, čímž dostaneme jednodušší výsledný výraz. Zanedbání odoru odovídá uvažování R. 3 R Obr. 3.: R2 R3 R R 2 3 K exact = RR 2 + R2R3 + K R2 = arox R + R K výkladu symbolckého zjednodušování 2 R R 3 Základním rncem řblžné symbolcké analýzy je tedy dentfkace a odstranění nevýznamných členů symbolckého výrazu nebo naoak vygenerování ouze domnantních členů. Pro automatckou dentfkac významnost jednotlvých symbolckých členů je nutné znát jejch číselné hodnoty. Nechť H(f, ) je řesný tvar obvodové funkce a H (f, ) je řblžný tvar vznklý vynecháním některých členů. ektor je vektor arametrů obvodových rvků a f je frekvence. Nechť L(H,H ) je vhodně zvolená míra ro odchylku mez ůvodním a řblžným tvarem obvodové funkce. r Uvažujme nterval arametrů obvodových rvků D R a frekvenční nterval f F =< f, f 2 >. Přblžnou symbolckou analýzou rozumíme nalezení H s co nejmenší složtostí tak, že 6
L( H ( f, ), H '( f, )) ε, f F D (3.) kde ε je zvolená maxmální hodnota. Přblžná symbolcká analýza je tedy kombnací symbolcké a numercké analýzy. Zjednodušení symbolckého výrazu je dosaženo na úkor jeho obecnost. Defnce je založena na ředokladu, že subjektvní nterretovatelnost je neřímo úměrná složtost výrazu, tj. očtu symbolckých členů. Je však možné ukázat, že nař. vynecháním nevýznamného členu ve výrazu můžeme znemožnt jeho úravu na součn dílčích členů (faktorzac). šechny dosud ublkované algortmy řeší roces zjednodušování heurstcky. Členy jsou ostuně odstraňovány z úlného výrazu s ředokladem, že se tím zvýší nterretovatelnost výsledného výrazu. K zajštění ožadované obecnost výsledku je třeba maxmální odchylku mez ůvodní a aroxmovanou funkcí obecně nutné sledovat na ntervalu D F. Z důvodu výočetní náročnost se stanovení metrky L v růběhu symbolckého zjednodušování obvykle rovádí ouze na vybraných bodech z D F. Přesnější stanovení odchylky vede na nutnost oužít velm výočetně náročné algortmy ro řešení kořenů olynomů a ntervalovou artmetku [24]. Defnujme množnu kontrolních bodů P = {( f, ) f F, D... m}. (3.2) = rax se navíc většnou uvažují jen nomnální hodnoty obvodových arametrů. Interval D F je tak vzorkován jen ve frekvenční oblast. Zjednodušenou metrku ak můžeme defnovat jako ( e( H ( f, ), H '( f, ))) L' ( H ( f, ), H '( f, )) = max, f F D ( f, ) P kde e je odchylka mez komlexním hodnotam H a H. zhledem k tomu, že racujeme s kmtočtovým charakterstkam, je rozumné sledovat odchylku v Bodeho dagramu, tj. sledovat odchylku amltudy a fáze. Defnujme chybovou funkc H '( f, ) E ( f, ) =, (3.4) H ( f, ) která nabývá hodnoty E = ro H = H '. Odchylku e ak můžeme defnovat jako vážený součet odchylky amltudy a odchylky fáze e( f 2log E( f, ) arg( E( f, )) (3.3), ) = +. (3.5) M P kde M a P neřímo defnují váhu ro každý vzorek z množny P. Pro H = H dostáváme e =. 3.2 KLSIFIKCE LGORIMŮ Zjednodušování symbolckého výrazu je možné rovádět na různém stun výočtu obvodové funkce, obr. 3.2. echnky zjednodušování řed generováním (SBG Smlfcaton Before Generaton) jsou založené na zjednodušování obvodového modelu, které sočívá v odstraňování nevýznamných obvodových rvků. Stejný ostu byl ulatněn v říkladu na obr. 3.. Odstranění lbovolného obvodového rvku vždy vede na zjednodušení výsledného symbolckého výrazu v říadě, že 7
rvky jsou označeny rozdílně. Prncálně se nemohou objevt tzv. neůvodní členy, vnklé když se odstraní jeden z dvojce vzájemně zruštelných členů. obvodový model obvodové rovnce metody SBG výočet obvodové funkce metody SDG zracování symbolckého výrazu metody SG Obr. 3.2: Klasfkace řblžných technk Další možností je zjednodušování (lneárních) obvodových rovnc, které sočívá v rušení některých koefcentů matce soustavy nebo úravě grafu. ento řístu může obecně generovat neůvodní členy. Metoda [25] známá jako Sftng roach uravuje odděleně matce ro výočet algebrackých dolňků čtatele a jmenovatele. Zjednodušovací algortmus rogramu nalog Insydes [4] odstraňuje rvky matce odle jejch vlvu na výslednou chybu (3.3). Efektvta algortmu a říadný vznk neůvodních členů závsí na oužté formulační metodě. utoř rogramu však nkdy neublkoval hlubší rozbor. Na Ústavu radoelektronky byla v rámc výzkumu symbolcké analýzy vyvnuta ůvodní metoda zjednodušování grafu, ka. 3.3.3, [26], [27], [28]. echnky zjednodušování ř generování (SDG Smlfcaton Durng Generaton) jsou založené na selektvním generování jen domnantních členů. Nedomnantní členy, kterých je většna, se vůbec negenerují. o umožňuje analyzovat relatvně větší obvody s rozsahem desítek uzlů. Nejznámější algortmus z této oblast atří do kategore toologckých metod a je založen na růnků matrodů, kdy je možné generovat admtanční součny solečné kostry naěťového a roudového grafu se zvoleným očtem kaactorů, tj. ro zvolený koefcent olynomu čtatele nebo jmenovatele [29]. Koefcenty se ak generují v sestuném ořadí, dokud není slněna odmínka (3.). Metoda negeneruje neůvodní členy. echnka zjednodušování o generování (SG Smlfcaton fter Generaton) ostuně ruší členy úlného symbolckého výrazu, až řestane být slněna odmínka (3.). Před zahájením zjednodušování je nutné vygenerovat úlný symbolcký výraz. Bylo navrženo několk metod, které se lší formulací krtera ro vynechávání symbolckých členů []. Požadavky na algortmy řblžné analýzy: Neůvodní členy. souladu s ostulovaným rncem řblžné symbolcké analýzy se ve zjednodušeném výrazu nesmí objevt členy, které by nebyly obsažené v úlném výrazu. uto odmínku neslňuje rosté rušení některých koefcentů v obvodové matc u algebrackých metod SBG. 8
Řídící algortmus. Proces zjednodušování je nutné založt na růběžném vyhodnocování odmínky (3.) ro chybu aroxmace [3]. Rozsah obvodu. Hlavní nevýhodou metod SG je nutnost vygenerovat úlný symbolcký výraz, což je ro obvody o velkost desítek uzlů nemožné. Nejvýkonnější jsou technky SBG, které oerují s relatvně malým očtem rovnc. Interretovatelnost. Praktcké zkušenost ukazují, že metody založené na čstě matematckém řístuu sce oskytují výsledky vyhovující (3.), ale hůře nterretovatelné. ento roblém se týká zejména metod SDG. Naoak nejleší výsledky oskytují metody, které římo zjednodušují toolog obvodu, res. jeho modelu. rax se obyčejně oužívá kombnace několka metod. echnka SG slouží jako ostrocesor ro mezvýsledky získané omocí SBG nebo SDG. Pro symbolcký smulátor SNP byla zvolena kombnace metody SBG a SG, která zajšťuje možnost analyzovat rozsáhlé obvody ř zachování nterretovatelnost výsledků. 3.3 MEODY SBG ato katola ojednává o algortmech vyvnutých v rámc výzkumu symbolckých metod na Ústavu radoelektronky FEK U v Brně. 3.3. Řídící algortmus Postu zjednodušování obvodových rovnc nebo grafů u metod SBG můžeme rozdělt na oslounost dílčích kroků, kdy je v každém vykonána jedna elementární oerace (zrušení obvodového rvku nebo transformace grafu). Celý roces robíhá v cyklu. Nejdříve se ro všechny otencální oerace stanoví velkost chyby, kterou zůsobí. Jedna nebo více oerací s nejmenším chybam se rovedou. Zjednodušování končí, jakmle celková akumulovaná chyba dosáhne maxmální stanovené hodnoty. Každá oerace se ohodnocuje chybou odle (3.3), kterou by zůsoblo její rovedení. ýočetní náročnost zjednodušování je rávě určena výočtem chyb dílčích oerací. Obr. 3.3: výočet referenčního řešení; dokud ε < ε max { generování otencálních oerací; výočet chyby ro každou oerac; rovedení oerací s nejmenší chybou; aktualzace numerckého řešení a ε ; } zrušení oslední oerace; Řídící algortmus symbolckého zjednodušování SBG ýsledkem je zjednodušený obvodový model, u kterého se rovede symbolcká analýza. Její výsledek může být dále zjednodušen omocí některé z metod SG. 3.3.2 Parametrcká metoda SBG Uvažujme obvodové rovnce lneárního obvodu bez zdrojů ve tvaru 9
x =, (3.6) které byly sestaveny nař. omocí modfkované metody uzlových naětí [5], která umožňuje osat jakýkolv obvod bez omezení tyu rvků. Koefcenty matce jsou tvořeny arametry obvodových rvků. Jako elementární oerac budeme uvažovat vyuštění jednoho rvku, což zároveň vždy zjednoduší výsledný symbolcký výraz. Pokud je uvažovaným rvkem nař. rezstor, tak jeho odstraněním se rozumí nahrazení zkratem nebo vyjmutí z obvodu. Lbovolnou obvodovou funkc je možné vyjádřt jako odíl dvou algebrackých dolňků matce, tj. odílu dvou subdetermnantů s vhodným znaménkem α det( ) H = ( ). (3.7) det( ) 2 Matce a 2 byly získány z řčtením, res. vynecháním některých řádků a slouců [6]. Uvážíme-l elementární arametr na ozc (, j) v matc, tak je možné ro determnant sát det( = +, (3.8) ) ' : j kde je determnant matce bez rvku, a :j je algebracký dolněk. Stejný rnc latí samozřejmě ro 2. Prvek bude mít obecně rozdílné souřadnce v a 2. Obvodová funkce ak může být odle (3.8) nasána ve tvaru a + b H =, (3.9) c + d kde a, b, c, d jsou komlexní čísla. Představuje-l admtanc rvku, tak jeho náhrada zkratem odovídá a vyjmutí z obvodu ak. Z (3.9) snadno odvodíme a b lm H =, lm H =. (3.a,b) c d K výočtu nové hodnoty obvodové funkce stačí znát numercky determnanty a všechny dolňky matc a 2. Matcovou nverz je možné formálně vyjádřt jako : K n: = M M = : n K n: n ( ), (3.) kde je matce algebrackých dolňků, kterou je možné vyjádřt jako ( ) det( ). (3.2) = Protože je determnant vedlejším roduktem matcové nverze, tak výočet (3.2) vyžaduje 3 ( n ) /3 oerací, kde n je dmenze ůvodní obvodové matce. 3.3.3 oologcká metoda SBG lgebracká metoda z ka 3.3.2 odstraňuje z obvodu elementární rvky. Z rncu nemůže generovat neůvodní členy ve výsledném symbolckém výrazu. Jakmle je dosažena maxmální 2
ovolená odchylka, tak rocedura skončí. Je možné ukázat, že v tomto bodě je možné omocí netrválních oerací s grafy obvodu docílt dalšího zjednodušení. Uvažujme, že arametrcká metoda došla do bodu, kdy v obvodovém modelu zůstaly rvky dle obr. 3.4 kde R B = 36kΩ, r π = 4kΩ, g m = 35mS, R L = 4kΩ. R B R B r π v n r π + - g m v rπ R L v out v n b b r π g m R L v out Obr. 3.4: Elementární obvod Přesný výraz ro naěťový řenos je K v r out π = = gm RL. (3.3) vn RB + rπ Protože R B >> r π, tak vztah může být dále zjednodušen. Omezíme-l se na metodu SBG, tak rezstor r π jž nemůže být z obvodu odstraněn. Jak zkratování, tak jeho vyjmutí by zůsoblo neakcetovatelnou chybu. Použjme nyní ro řešení metodu dvou grafů, ka. 2.2.2. Pro výočet naěťového řenosu je nutné obvod dolnt o omocné rvky, obr. 3.5a)..9 G B. g π g m G L G B g π g m G L G B g π gm G L G B g π g m G L a) naěťový graf roudový graf b) Obr. 3.5: Původní a zjednodušené grafy obvodu z obr. 3.4 Nechť je naětí vstuní brány rovno. Potom naětí r π je,. oto naětí může být zanedbáno ve smyčkách -G B -g π a -G B -g m, ale ne ve smyčce g π - g m. Jednoduchá modfkace grafu na obr. 3.5b) odstraní g m a g π jen z vysokonaěťových smyček. Stanovením solečných koster obou grafů je ak možné vyočítat výsledný naěťový řenos K ' r = R π B g m R L. (3.4) Z grafu na obr. 3.5b) vylývá, že dvojce r π a ZPN byla nahrazena zdrojem roudu řízeným roudem. Pomocí transformací obou grafů je možné selektvně odstrant nízkonaěťové větve z vysokonaěťových smyček. Podobná transformace může být formulována ro roudové řezy obvodu. Metoda byla formulována v [26] a následných ublkacích [27], [28]. Nechť G je graf. Potom (G) je množna jeho vrcholů (uzlů), E(G) je množna hran (větví), (G) je množna koster. Incdence hrany e v grafu G, ρ(e,g) = (, j), řřadí dva vrcholy a j hraně e. Hrana s ncdencí (v,v) se nazývá vlastní smyčka. Graf G se nazývá searovatelný, jestlže exstuje vrchol, jehož odstraněním se graf rozadne na dvě nebo více částí. Blok je maxmální nesearovatelný odgraf. 2
Základní oerací metody je tzv. searace odgrafu [26]: Defnce: Searací souvslého odgrafu G S z grafu G rozumíme oerac, která transformuje G na ~ G' = G G, (3.5) S kde G ~ ~ je odgraf, jehož množna hran je E ( G) = E( G \ GS ). Incdence ρ ( e, G) = ( v, v j ) jakékol ~ ~ hrany e E(G) je transformována na ρ e, G) = ( f ( v ), f ( v )), kde f je ( j vc ro v ( GS ) f ( v) =. (3.6) v jnak v c je lbovolně zvolený vrchol v G \ G ) ( G ). Oerace bude označena jako S c ( S S ~ G = G G, G ' = G > GS. (3.7) e 2 e 2 e 3 e 5 e 5 e 2 e 2 e 5 e 3 e 4 e 6 e 4 e 6 e 4 e 6 3 a) 3 b) 3 c) ~ Obr. 3.6: Příklad searace G S = {e,e 2,e 3 }: a) ůvodní graf G; b) graf G = G G ; c) S G ' = G > G. S Obr. 3.6 ukazuje searac G S = {e, e 2, e 3 }. Je možné ukázat, že tato transformace nemění očet vrcholů a hran, ale zmenšuje očet koster grafu G. Důkaz může být nalezen v [27]. Nechť je obvod rerezentován roudovým grafem G I a naěťovým grafem G s hranam e, e 2,, e b, jejchž váhy jsou amltudy větvových roudů a naětí na zvoleném kmtočtu. Nechť L, L 2,, L B G jsou všechny smyčky naěťového grafu G. Naětí v(e j ) hrany e j E(L ) bude ovažováno za numercky nevýznamné ve smyčce L okud v( e j ) < ε max v( h), (3.8) h E ( L ) kde ε (, ) je zvolená rahová hodnota. ato hrana je kanddátem na odstranění ze smyčky L. H L Uvažujme, že graf G může být rozložen na dva dsjunktní odgrafy G a G a že latí max v( e) < ε max v( e) L (3.9) e G L e L ro každou smyčku L G která je obsažena v obou odgrafech. Potom je možné odstrant nízkonaěťové hrany G z vysokonaěťových smyček omocí searace L L G ' = G > G. (3.2) L Pro obvod na obr. 3.4 je G = { gπ, g m}. Pokud je searovaný graf nesouvslý, tak se oerace rovádí o jednotlvých komonentách. 22
Je možné ukázat, že odstranění maloroudových větví z vysokoroudových řezů vede na H L rozklad G I vzhledem ke zvolenému rahu ε I (, ) na dva dsjunktní odgrafy G I a G I [27]. okud ro každou smyčku L G I obsaženou v obou odgrafech latí odmínka mn ( e) < ε I mn ( ), (3.2) e H e E ( L) e E ( G I L) otom je možné rovést searac G ' = G > G. (3.22) I I H I Zjednodušovací algortmus je alkován dvakrát. Nejdříve se rovádí arametrcké zjednodušování odle ka 3.3.2, tj. základní oerace jsou a ro každý arametr. ento krok snžuje výrazně velkost obvodového modelu. ýočetní náročnost je zhruba O(r m n 3 ), kde n je řád obvodové matce, r je očet rvků, které mají být odstraněny, a m je očet testovacích bodů z D F. nalezení solečné kostry s nejnžším admtančním součnem; seřazení tětv c sestuně; S = Ø; S S = Ø; oakuj =...(b n+) { generování základní smyčky L ro tětvu c ; S S S L Ø} ; } B = { Α, j Α, j Obr. 3.7: jestlže S B je rázdná { řdat L to S ; } jnak { U = ( U SΒ j ) L ;, odstranění členů S B z S ; řdání U to S ; oakuj ro všechna j jestlže max v( e) < ε max v( e), řdej S B,j to S S ; } e S B, j e L Generování základních oerací ro G Dalším krokem je searace odgrafů slňujících odmínky (3.9), res. (3.2), obr. 3.7. Uvažujme souvslý graf (G nebo G I ) s n vrcholy a b hranam. Každá kostra t má řesně n- hran, tzv. haluzí (twg). Zbylé hrany jsou tzv. tětvy [5]. Základní smyčka je tvořena jednou tětvou a několka haluzem. Nechť S a S B jsou omocné množny odgrafů a S S je množna kanddátů na searac. Symbol S, rerezentuje -tý člen S. lgortmus ro roudový graf je odobný. ýočetní náročnost je řblžně O(m (n 3 +b)). 23
4 SNP PROGRM PRO SYMBOLICKOU NLÝZU Symbolcký smulátor SNP (Symbolc Network nalyss Program) byl vytvořen na Ústavu radoelektronky FEK U v Brně jako konkrétní výstu výzkumu algortmů ro řesnou řblžnou symbolckou analýzu. Jeho unkátní vlastností je možnost tvorby užvatelských modelů ro elektrcké neelektrcké soustavy. Př jeho vývoj, který kontnuálně robíhá od roku 995, byla vyvnuta řada ůvodních algortmů ro zjednodušování obvodových rovnc. Program se v současné době oužívá ve výuce na FEK U v Brně, Unverztě obrany Brno, Unverztě Palackého Olomouc, Žlnské unverztě, ČU Ústavu termomechanky ČR. Podle ohlasů ze zahrančí je oužíván nař. v Kng Mongkut's Unv. of echnology (hajsko) a ISEP Pars (France). Bylo otvrzeno nasazení v růmyslu, nař. v centru Motorola v Plantaton, Florda (US) a ransm echnology, Portland (US). ývoj algortmů symbolcké analýzy a rogramu SNP byl římo odořen dvěma granty GČR a G. Program je zdarma k dsozc na Internetu. 4. POPIS PROGRMU stuem smulátoru SNP je netlst analyzovaného obvodu, který je obvykle vygenerován vhodným schematckým edtorem. Exstují dvě možnost zadání schématu. Buď užvatel oužje knhovnu lneárních rvků, tj. rovede lnearzac obvodu sám, nebo je možné automatcky lnearzovat nelneární obvod v racovním bodu omocí numerckého smulátoru PSce. zjednodušování rovnc netlst Edtor schématu lnearzované rvky Edtor schématu standardní rvky netlst PSce racovní bod SNP symbolcká analýza symbolcká analýza zjednodušování výrazů matcová numercká analýza olynomální numercká analýza grafy, exort Obr. 4.: Usořádání rogramu a oslounost výočtů Parametry rvků je možné zadávat ve formě symbolu, výrazu, číselné hodnoty nebo výrazu ro číselnou hodnotu, obr. 4.2. ak je možné rovádět čstě symbolckou nebo částečně symbolckou analýzu. Program kromě symbolckého tvaru vyočítá olohu nul a ólů a výsledky zobrazí grafcky. rogramu jsou mlementovány vyvnuté algortmy řblžné analýzy osané v ka. 3.3 dolněné o standardní metodu SG ro další zjednodušení. Modely všech rvků jsou uloženy v knhovně, kterou může užvatel lbovolně rozšřovat. Na obr. 4.2 je říklad defnce zdroje naětí řízeného naětím s řenosovou funkcí rvního řádu. 24
Položky mat určují tzv. razítko rvku v matc modfkované metody uzlových naětí. šechny elementy mohou být zadány jako výrazy. syntaxe říklad <symbol> R 2 <symbolcký výraz> R+s*L 3 < hodnota> k 4 <výraz ro hodnotu> {R/2+k} 5 <symbol> = <hodnota> R2=k R2={R/2+k} Obr. 4.2: ( s) ( s) [Ef] nodes = 4 ;number of nodes arams = 2 ;number of arameters names =, f;arameter names add = ;number of addtonal varables mat= - 2 : /(+s/(2**f)) mat2= - 3 4 :- mat3= 3-4 : Možnost zadání arametrů rvků a ukázka modelu v knhovně 4.2 YUŽIÍ SYMBOLICKÉ NLÝZY E ÝUCE ÝZKUMU Symbolcký smulátor je vhodným nástrojem ro výuku základních analogových obvodů. Student mohou ověřovat srávnost ručních výočtů. Smulátor SNP umožňuje výočet rozložení nul a ólů, který není dostuný nař. an ve známém numerckém smulátoru PSce. Přblžná symbolcká analýza je oměrně novým nástrojem. Student tak mají možnost se ř řešení raktckých úloh seznámt s výhodam nevýhodam tohoto zůsobu řešení obvodů. Rc RF Rc2 out 5 + - Q2 BCW 6B n Q BCW 6B Re2 Rb Re Re3 Ce Obr. 4.3: yužtí řblžné symbolcké analýzy ro určení šířky ásma zeslovače Na obr. 4.3 je říklad analýzy transstorového zeslovače s určení rvků, které utvářejí horní mezní kmtočet. Původní symbolcký výraz o rozsahu několka stran 4 byl v rámc maxmální ovolené chyby zredukován na funkc rvního řádu, ze které se snadno určí domnantní ól. 25
4.3 NERDIČNÍ PLIKCE SYMBOLICKÉ NLÝZY Symbolcké metody jsou tradčně sojované s analýzou lneárních obvodů ve frekvenční oblast. Je však možné je využít všude tam, kde můžeme analyzovaný systém osat soustavou lneárních rovnc. Jednou z netradčních oblastí alkace symbolcké analýzy jsou sínané zdroje. Jejch nelnearta nedovoluje římé řešení ve frekvenční oblast. Pro růměrné hodnoty velčn v obvodu je však možné sestavt lneární náhradní schéma, na které lze alkovat symbolcké metody, obr. 4.4. Obr. 4.4: Lneární model sínaného zdroje ro růměrné hodnoty Monografe [34] osuje vyžtí symbolckých metod (a konkrétně rogramu SNP) ro řešení mechatronckých soustav. Dynamku složtých elektromechanckých systémů je možné rerezentovat ekvvalentním elektrckým obvody. Potom je možné využít všechny nástroje vyvnuté ro elektrcké obvody. 5 ZÁĚR Symbolcká analýza je nástroj, který dolňuje klasckou numerckou analýzu. Poskytuje kvaltatvní os analyzovaného systému. Ze symbolckého výsledku je možné odvodt návrhové vztahy ro volbu hodnot obvodových rvků. Překážkou většího rozšíření symbolckých metod je zejména složtost výsledných výrazů. Pro obvody o velkost desítek tranzstorů je symbolcké řešení nemožné. Metody řblžné symbolcké analýzy jsou komromsem mez čstě symbolckou a numerckou analýzou. Za cenu ztráty řesnost a unverzálnost je nožné získat jednoduchý vztah ro hledanou obvodovou funkc. Pro řblžnou analýzu se odařlo vyvnout účnné algortmy, které dovolují zracovat obvody až do velkost stovky uzlů. Praktcké zkušenost ukazují, že (subjektvní) nterretovatelnost výsledků jednotlvých metod se lší. Leší výsledky dosahují metody, které jsou založené na sledování fyzkálních (elektrckých) oměrů v analyzovaném obvodu. Symbolcká analýza má U v Brně dlouhou tradc. Dlouholetý výzkum vyústl do vznku symbolckého smulátoru SNP, který je aktvně oužíván na řadě racovšť ve školství v růmyslu. 26
Lteratura [] FERNÁNDEZ, F..; RODRIGUES-SQUES,.; HUERS, J. L.; GIELEN, G. Symbolc nalyss echnques - lcatons to nalog Desgn utomaton, New York: IEEE Press, 998. [2] WICHMNN,. Smlfcaton of Nonlnear DE Systems wth Index rackng.in Proceedngs of ECCD ', Esoo, Fnland: IEEE, ug. 2, vol. II,. 73 76. [3] WMBCKQ, P.; GIELEN, G.; SNSEN, W. Symbolc Network nalyss Methods for Practcal nalog Integrated Crcuts: Survey. IEEE rans. on Crcuts and Systems II, October 998, vol. 45, no.,. 33-34. [4] LIN, P. M. Symbolc Network nalyss. New York: Elsever, 99. [5] LCH, J.; SINGHL, K. Comuter Methods for Crcut nalyss and Desgn (2nd ed.). New York: an Nostrand Renhold, 994. [6] GIELEN, G., WMBCQ, P.; SNSEN, W. Symbolc nalyss Methods and lcatons for nalog Crcuts: utoral Overvew. Proceedngs of the IEEE, Feb. 994, vol. 82, no. 2,. 287 34. [7] HSSOUN, M.; McCRILLE, K. Symbolc nalyss of Large-Scale Networks Usng a Herarchcal Sgnal Flowgrah roach. Journal of nalog Integrated Crcuts and Sgnal Processng, Jan 993, vol. 3, no.,. 3-42. [8] GIELEN, G.; SNSEN, W. Symbolc nalyss for utomated Desgn of nalog Integrated Crcuts. Norwell, M: Kluwer, 99. [9] GIELEN, G.; WLSCHRS, H.; SNSEN, W. ISC: symbolc smulator for analog ntegrated crcuts. IEEE Journal of Sold-State Crcuts, Dec. 989, vol. 24, no. 6,. 587-597. [] PIERZCHL, M.; RODNSKI, B. Generaton of Sequental Symbolc Network Functons for Large-Scale Networks by Crcut Reducton to a wo-port. IEEE rans. on Crcuts and Systems I, July 2, vol. 48, no. 7,. 96-99. [] HENNIG, E.; WIESE, M.; SOMMER, R. Symbolc Pole/Zero roxmaton Usng Egenvalue Shft Predcton. In Proc. of 5th Int. Worksho on Symbolc Methods and lcatons to Crcut Desgn, Kaserslautern: IWM, Oct. 998,. 29-35. [2] LUCHE,.; MNEI, S.; REI,. SPWIN-a symbolc smulator as a suort n electrcal engneerng educaton. IEEE rans. on Educaton, May 2, vol.44, no. 2. [3] KOLK, Z. SNP rogram for symbolc analyss. Radoengneerng, 999, vol. 8, no.,. 23-24. [4] SOMMER, R.; HENNIG, E.; HOLE, M.; HLFMNN,., nalog Insydes 2 - New Features and lcatons n Crcut Desgn. In Proceedngs of 6th Internatonal Worksho on Symbolc Methods and lcatons n Crcut Desgn, Lsbon, Portugal, Oct. 2. [5] SWINGS, K.; SNSEN, W. RIDNE: constrant-based aroach to comuter-aded synthess and modelng of analog ntegrated crcuts. Int. Journal of nalog Integrated Crcuts and Sgnal Processng, 993, vol. 3,. 97-25. [6] ČJK, J.; KSIL, J. eore lneárních obvodů. SNL Praha, 979. [7] ČJK, J.; RB, K.; BIOLEK, D. Imroved rogram for symbolc analyss and synthess of lnear crcuts. In Proc. of MSE94, Lyon, France, 994, vol.,. 299-32. 27