Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek je odchylk různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s dnými mimoběžkmi. Příkld 1 Je dán krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímek ) AB EG, b) AH CF, c) AH BE, d) AD BSFG.
Příkld ) Je dán prvidelný trojboký hrnol ABCA B C ; AB = 4 cm, AA = 5 cm. Určete odchylku přímek BC AC. Příkld 3) Je dán krychle o hrně. Určete odchylku ) dvou stěnových úhlopříček, b) dvou tělesových úhlopříček.
Kolmost přímek rovin Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jejich odchylk je 90. Pltí to i pro mimoběžky. Přímk rovin jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je přímk kolmá ke všem přímkám roviny. Kritérium kolmosti přímky roviny: Je-li přímk kolmá ke dvěm různoběžkám dné roviny, pk je k dné rovině kolmá. Věty: Dným bodem lze vést k dné rovině jedinou kolmici. Dným bodem lze vést k dné přímce jedinou kolmou rovinu. Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedn obshuje přímku kolmou n druhou rovinu. Příkld 4) Body K,L,M,N jsou po řdě středy hrn EH, CD, AE, CG krychle ABCDEFGH. Ověřte kolmost přímek rovin: ) HM, FE
b) MN, BH c) AL, BFK
d) FH, ACG e) BCE, DGH f) AL, BK
g) ACK, BDH h) ALK, BDH
Odchylk dvou rovin Odchylk rovin ρ σ je odchylk jejich průsečnic p, q s rovinou τ, která je k oběm rovinám kolmá. Jsou-li roviny rovnoběžné, je odchylk rovn 0. Jsou-li kolmé, je odchylk rovn 90. p ρ τ σ q Příkld 5) Určete odchylku rovin ABC ACH v krychli ABCDEFGH. Příkld 6) V krychli ABCDEFGH určete odchylku rovin: ) ABC, BDH b) ABE, ABH
c) ABC, BEG d) ACG, BCH* Odchylk přímky p roviny τ Je to nejmenší z odchylek této přímky přímek roviny τ. Jink, je to odchylk přímky p průsečnice q roviny τ s rovinou, která obshuje přímku p je n rovinu τ kolmá. Příkld 7) Určete odchylku přímky AC od roviny podstvy ABCD ) v krychli ABCDA B C D, b) v kvádru ABCDA B C D o strnách AB = 4, BC = 3, CC = 5.
Příkld 8) V prvidelném čtyřbokém jehlnu ABCDV, jehož podstvná hrn i výšk jsou rovny, vypočítejte ) odchylku roviny podstvy od boční hrny, b) odchylku roviny podstvy od boční stěny, c) odchylku dvou protějších stěn, d) *odchylku dvou sousedních bočních stěn. ) b)
c) Příkld 9) Vypočítejte odchylku stěn prvidelného čtyřstěnu.
Řešení 6d) Roviny ACG BCH jsou n obrázku vyznčeny modře respektive červeně. Přímk EC je jejich průsečnice. Přímk AT leží v rovině ACG je kolmá n průsečnici EC, přímk HT leží v rovině BCH je tké kolmá n průsečnici EC (šedě vyznčené úhly n obrázku vlevo jsou prvé). Rovin ATH (n obrázcích vyznčen jko rovnormenný trojúhelník) je tedy podle kritéri kolmosti přímky roviny kolmá n průsečnici EC, což znmená, že je kolmá n obě roviny ACG, BCH (užitím stejného kritéri). Úhel φ (resp. úhel k němu vedlejší) lze tedy povžovt z odchylku rovin ACG BCH. Zbývá jej dopočítt, k čemuž poslouží npř. modrý obdélník ABGE (řez krychle rovinou ACG) vprvo nhoře. Zvolíme délku hrny krychle rovnu. Pk velikost stěnových úhlopříček je, velikost tělesových úhlopříček 3. Dále vyjdeme z prvoúhlých trojúhelníků AET ATB. Podle Pythgorovy věty pltí: x y (trojúhelník AET) x 3 y (trojúhelník ATB) Dnou soustvu vyřešíme srovnávcí metodou, mje n pměti, že číslo je konstnt. x x y 3 y Srovnáme prvé strny rovnic.
y y y 3 3 y y 3 y 3 y 3 y y 3 Rovnici vydělíme výrzem (bez obv, nemůže být nulový!) y 3 y Dosdíme do první rovnice vypočítáme x. 3 x 3 x 3 Nyní přejdeme k rovnormennému trojúhelníku AHT. Pro výpočet úhlu φ použijeme funkci sinus. sin 3 3 60 10 3 Vedlejší úhel k úhlu 10 je úhel 60 (n obrázku není vyznčen, le stčí pomyslně protáhnout úsečku AT z bod T je n světě), což je hledná odchylk rovin ACG BCH. Řešení 8d) Podle definice musíme nejprve njít rovinu kolmou n obě sousední boční stěny (vybrl jsem stěny BCV DCV). Je to rovin DBX (n obrázku níže vyznčen modře), bod X je pt kolmice spuštěné z bodu B (resp. D) n přímku CV. Hledná odchylk je odchylk průsečnic roviny DBX s bočními stěnmi (n obrázku vyznčen jko ω). Tuto odchylku (respektive její polovinu) vypočítáme z prvoúhlého trojúhelníku SBX, ještě předtím všk musíme určit délku úsečky BX. Délku úsečky BX vypočítáme z podobností trojúhelníků n obrázku vprvo.
Pltí: ~ podle věty uu. = přitom BC =, VSBC = (plyne z prvoúhlého trojúhelníku VSSBC), VC = (plyne z prvoúhlého trojúhelníku VSB). Po úprvách dostneme: BX =. Nyní přejdeme do prvoúhlého trojúhelníku SBX. V něm pltí: = = = 1 5 5 = 15 5 6 ω = 101 3 Příkldy k procvičení: Příkld 10) Body M, N jsou po řdě středy hrn BC, CD krychle ABCDEFGH. Určete odchylku roviny ABC od roviny MNG. Příkld 11) Je dán krychle ABCDEFGH. Body P, Q jsou po řdě středy hrn BF, DH. Porovnejte odchylky α β, je-li α odchylk rovin ACF ACH, β odchylk rovin ACP, ACQ. Příkld 1) V prvidelném čtyřbokém jehlnu ABCDV dokžte kolmost přímek AC BV. Příkld 13) Je dán kvádr ABCDEFGH, AB = 5 cm, BC = 3 cm, AE = 6 cm. Vypočítej odchylku přímky BG od roviny BCE.
BONUS (neb motivční úloh k nlytické geometrii): Řešení 4h) Jk dokázt, že roviny ALK BDH n sebe nejsou kolmé? On totiž fkt, že se mi nepodří njít žádnou přímku z jedné roviny kolmou n druhou rovinu, nestčí. Úloh 4h) je typickým příkldem úlohy, kdy je velice výhodné využít pozntků nlytické geometrie. Tk pojďme n to. Nejprve je třeb krychličku umístit do souřdnicového systému. Npř. tkto: Nyní určíme změření roviny ALK. To je tvořeno libovolnými dvěm LN (různoběžnými) vektory této roviny. = LA = A L = (; 1; 0) b = KA = A K = (1; 0; ) Normálový vektor roviny ALK u vypočítáme vektorovým součinem b (; 4; 1). Stejně to uděláme s rovinou BDH. c = DB = B D= (; ; 0) d = BF = F B = (0; 0; ) Normálový vektor roviny BDH v = c d (4; 4; 0) (1; 1; 0). Jsou-li roviny n sebe kolmé, pk musejí být n sebe kolmé i jejich normálové vektory. A dv vektory u, v jsou n sebe kolmé právě tehdy, když se jejich sklární součin rovná nule, tj. pltíli u v 0. u v 1 1 0 0 1 4 Vektory u, v n sebe nejsou kolmé, tedy ni roviny ALK BDH.