Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43

Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a 3,... Zápis: {a n } + n=1 nebo jen {a n }; a n se nazývá n-tý člen posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 2 / 43

Způsoby zadání posloupnosti několika prvními členy, n-tým členem, rekurentně. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 3 / 43

Zadání posloupnosti několika prvními členy Úloha 1 Je dána posloupnost 1 4, 3 4 7, 5 7 10, 7 10 13, Určete její n-tý člen. Řešení. a n = 2n 1 (3n 2) (3n+1) Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 4 / 43

Zadání posloupnosti n-tým členem { } n n+1, {( 1) n n}, { (1+ ) 1 n } n, { a q n 1 }, {a+(n 1)d}. Vypočtěte členy a 1, a 2, a 3, a 4. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 5 / 43

Zadání posloupnosti rekurentně Rekurentní definice obsahuje zpravidla 1. člen (nebo několik prvních členů) a pravidlo, jak vytvořit další člen ze členů předcházejících. Rekurentní definice aritmetické posloupnosti: a 1 = a, a n+1 = a n + d. Rekurentní definice geometrické posloupnosti: a 1 = a, a n+1 = a n q (q / {0, 1, 1}). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 6 / 43

Zadání posloupnosti rekurentně Úloha Posloupnost ( {a n } je zadána rekurentně takto: a 1 = 1, a n+1 = 1 2 a n + 10 a n ); je to posloupnost aproximací čísla 10. Vypočtěte první čtyři aproximace. Úloha Fibonacciova posloupnost {b n } je definována takto: b 1 = 1, b 2 = 1, b n+2 = b n+1 + b n. Vypočtěte prvních 10 členů této posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 7 / 43

Množina (všech) členů posloupnosti {a n } množina (všech) jejích členů { } 1 n {1, 12, 13,..., 1n,... }, {( 1) n } { 1, 1}. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 8 / 43

Vybraná posloupnost Definice Posloupnost {b n } se nazývá vybraná z posloupnosti {a n } (nebo též podposloupnost) posloupnost přirozených čísel k 1 < k 2 < k 3 < tak, že n N je b n = a kn. Např. posloupnost všech prvočísel je vybraná z posloupnosti {n} všech čísel přirozených, ale není vybraná z posloupnosti {2n-1} všech čísel lichých. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 9 / 43

Základní vlastnosti číselných posloupností Definice Posloupnost se nazývá (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina všech jejích členů. Např. posloupnost {2n 1} je zdola omezená, není omezená shora, není omezená. Posloupnost {( 1) n } je omezená shora i zdola, je omezená. Stacionární posloupnost {c} je omezená. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 10 / 43

Definice Posloupnost a se nazývá rostoucí n N platí a n < a n+1, klesající n N platí a n > a n+1, nerostoucí n N platí a n a n+1, neklesající n N platí a n a n+1. Společný název pro všechny tyto druhy posloupností: posloupnosti monotonní a pro první dva druhy: posloupnosti ryze monotonní. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 11 / 43

Limita posloupnosti Definice Říkáme, že posloupnost {a n } má limitu a U(a) n 0 N tak, že n N: n n 0 a n U(a). Je-li a R, nazývá se a vlastní limita a posloupnost {a n } se nazývá konvergentní, pokud a=±, nazývá se a nevlastní limita. Neexistuje-li vlastní limita, nazývá se posloupnost {a n } divergentní. Zápisy: lim n + a n = a; lim a n = a; a n a pro n +. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 12 / 43

Limita posloupnosti Posloupnost tedy bud konverguje nebo diverguje (+, nebo osciluje). { } n je konvergentní, má limitu 1, n+1 stacionární posloupnost {c} je konvergentní a má limitu c, { n } posloupnost je divergentní, má nevlastní limitu +, 100 posloupnost {q n } je pro q 1 divergentní, nemá limitu (osciluje). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 13 / 43

Limita posloupnosti Definice Je-li V(n) nějaká výroková forma a platí-li, že výrok ( n 0 N tak, že n N:n n 0 V(n)) je pravdivý, pak říkáme, že V(n) platí pro skoro všechna n. Definice Říkáme, že posloupnost {a n } má limitu a v každém okolí U(a) leží skoro všechny členy této posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 14 / 43

Posloupnost aritmetická Aritmetická posloupnost je dána svým prvním členem a 1, konstantní diferencí d a rekurentním pravidlem n N:a n+1 = a n + d. Posloupnost, u níž rozdíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstantní. n-tý člen: a n = a 1 +(n 1)d. Vidíme, že aritmetická posloupnost má pro d > 0 limitu+, pro d < 0 limitu. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 15 / 43

Posloupnost aritmetická Úloha V posledních třech měsících činil celkový objem zakázek přibližně a 1 = 325 tisíc Kč, a 2 = 354 tisíc Kč a a 3 = 383 tisíc Kč. Jaký objem lze očekávat ve 4. měsíci? Řešení. Lze vyslovit hypotézu, že objem zakázek tvoří aritmetickou posloupnost, kde a 1 = 325, d= 29 (tisíc Kč). Pak a 4 = a 3 + d= 412 (tisíc Kč). Lze očekávat objem zakázek za 412 tisíc Kč. (Samozřejmě korektnost vyslovení takové hypotézy závisí na praktických okolnostech.) Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 16 / 43

Posloupnost aritmetická Součet s n prvních n členů Vyjádříme s n dvěma způsoby: s n s n = a 1 +(a 1 + d)+(a 1 + 2d)+ +(a 1 +(n 1)d), = a n +(a n d)+(a n 2d)+ +(a n (n 1)d). Po sečtení máme 2s n = n (a 1 + a n ), takže s n = n 2 (a 1+ a n ). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 17 / 43

Posloupnost aritmetická Úloha Na skládce jsou uloženy roury tak, že v dolní vrstvě jich je 26 a každá roura v každé vyšší vrstvě vždy zapadá mezi dvě roury ve vrstvě nižší; vrstev je celkem 12. Kolik je na skládce rour? Řešení. Položíme a 1 = 26; pak d= 1. V horní vrstvě je a 12 = 26+11 ( 1)=15 rour a celkem s 12 = 6 (26+15)=246 rour. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 18 / 43

Posloupnost geometrická Geometrická posloupnost je dána svým 1. členem a 1, konstantním kvocientem q 0 a rekurentním pravidlem n N:a n+1 = a n q. Geometrickou posloupnost lze tedy rovněž definovat jako posloupnost, u níž podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstantní. Z rekurentního pravidla dostaneme vzorec pro n-tý člen: a n = a 1 q n 1. (Dokazuje se jednoduše například matematickou indukcí). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 19 / 43

Posloupnost geometrická Úloha V prvním měsíci roku činil obrat 300 000 Kč a v každém dalším měsíci byl o 5% větší než v měsíci předchozím. Určete předpokládaný listopadový obrat. Řešení. Jde o geometrickou posloupnost, kde a 1 = 300 000, q= 1, 05, n=11. Pak a 11 = 300 000 1, 05 10 300 000 1, 629=489 000 Kč. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 20 / 43

Posloupnost geometrická Limity GP Je-li a 1 > 0, pak geometrická posloupnost { a 1 q n 1} má limitu: 0 (pro q < 1) nebo a 1 (pro q= 1) nebo + (pro q > 1) a nebo nemá limitu (pro q < 1). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 21 / 43

Posloupnost geometrická Součet prvních n členů GP Vyjádříme s n a q s n : s n = a 1 + a 1 q+ a 1 q 2 + +a 1 q n 1, q s n = a 1 q+ a 1 q 2 + +a 1 q n 1 + a 1 q n. Po odečtení je s n (1 q)=a 1 (1 q n ), takže s n = a 1 1 q n 1 q tj. též s n = a 1 q n 1 q 1. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 22 / 43

Posloupnost geometrická Úloha Vynálezce šachové hry požadoval podle pověsti odměnu za každé ze 64 polí šachovnice takto: za 1. pole jedno obilní zrno, za 2. pole 2 zrna, za 3. pole 4 zrna, atd., za každé další vždy dvojnásobek. Kolik zrnek obilí měl dostat? Řešení. Jde o geometrickou posloupnost, kde a 1 = 1, q= 2, n=64. Proto s 64 = 1 264 1 2 1 = 264 1 1, 845 10 19 a to je více obilí, než se kdy na Zemi urodilo. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 23 / 43

Věty o limitách Věta Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz (sporem). Kdyby existovaly dvě limity a, b, pak by existovala disjunktní okolí U(a), U(b) tak, že pro skoro všechna n by mělo platit současně a n U(a), a n U(b), což je spor. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 24 / 43

Věty o limitách Věta Má-li posloupnost {a n } limitu, pak každá posloupnost {b n } vybraná z posloupnosti {a n } má tutéž limitu. Důkaz. Označme tuto limitu a; pak U(a) n 0 N tak, že n N:n n 0 a n U(a); pro k n > n 0 je ovšem též b m = a kn U(a), takže b m U(a) pro skoro všechna m. Limita posloupnosti se tedy nezmění, vynecháme-li nebo pozměníme-li libovolný konečný počet členů posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 25 / 43

Věty o limitách Při výpočtu limit využíváme také tohoto postupu: 1) zjistíme, že daná posloupnost je konvergentní a 2) najdeme limitu a nějaké vhodné vybrané posloupnosti. Pak toto a je i limitou dané posloupnosti. Když naopak zjistíme, že nějaká vybraná posloupnost je divergentní, znamená to podle předchozí věty, že je divergentní i daná posloupnost. Podobně zjistíme-li, že dvě vybrané posloupnosti mají různou limitu, je daná posloupnost divergentní. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 26 / 43

Věty o limitách Věta Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz. Označme limitu a; zvolme ε=1. Pak množina M těch členů posloupnosti, které neleží v okolí U(a, 1), je konečná. n N pak platí a min {min M, a 1}, a max {max M, a+1}. Tato věta ovšem neplatí obráceně, nebot např. posloupnost {( 1) n } je omezená, ale je divergentní. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 27 / 43

Věty o limitách Větší hloubku pohledu do vztahu mezi omezeností a konvergencí dává následující věta. Věta (Bolzano Weierstrassova) Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 28 / 43

Princip důkazu B W věty Bolzanova metoda půlení intervalů: Je dána posloupnost {a n }; ježto je omezená, K 1, L 1 tak, že n N je a n K 1, L 1. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 29 / 43

Princip důkazu B W věty Konstrukce vybrané posloupnosti: Za b 1 zvolíme libovolný člen dané posloupnosti {a n }, necht v ní má index k 1. Interval K 1, L 1 rozpůlíme a označíme K 2, L 2 tu část, do níž je zobrazeno nekonečně mnoho členů posloupnosti {a n }. V K 2, L 2 vybereme za b 2 libovolný takový člen posloupnosti {a n }, který má index k 2 > k 1. Interval K 2, L 2 rozpůlíme, atd. Označíme a (jediný) společný bod všech intervalů K n, L n (podle věty o vložených intervalech). Pak U(a) pro skoro všechna n platí K n, L n U(a), takže též b n U(a), tedy b n a. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 30 / 43

Věty o limitách Věta Každá neklesající shora omezená posloupnost je konvergentní. Princip důkazu. Mějme dánu posloupnost {a n }; z omezenosti množiny M= {a 1, a 1,... } plyne existence vlastního suprema a=sup M. Ze druhé vlastnosti suprema plyne, že v libovolném levém okolí U(a ) leží alespoň jedno a n, takže vzhledem k monotónnosti {a n } leží v U(a ) skoro všechny členy posloupnosti {a n }. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 31 / 43

Aritmetické operace s posloupnostmi Definice Operace s posloupnostmi jsou definovány takto: násobení reálným číslem c: c {a n }={c a n }; aritmetické operace (součet, rozdíl, součin, podíl): {a n }+{b n }={a n + b n }, {a n } {b n }={a n b n }, {a n } {b n }={a n b n }, {a n } / {b n }={a n /b n }, (pro b n 0); opačná posloupnost k {a n } je { a n }; reciproká posloupnost k {a n } je {1/a n } (pro a n 0). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 32 / 43

Věty o limitách Věta (o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu) Necht lim a n = a, lim b n = b. Pak platí, pokud výrazy na pravých stranách mají v R smysl: 1) lim(a n + b n )=a+b, lim(a n b n )=a b, 2) lim(a n b n )=a b, 3) pro b n 0, b 0 je lim(a n /b n )=a/b, 4) lim a n = a. Důkaz. Ukázka pro součet, kde a, b jsou vlastní limity: ε > 0 n 1, n 2 N tak, že : n n 1 a n U(a, ε/2), : n n 2 b n U(b, ε/2). Necht n 0 = max {n 1, n 2 } a n n 0. Pak a ε/2 < a n < a+ε/2, b ε/2 < b n < b+ ε/2. Po sečtení obou nerovností máme(a n + b n ) U(a+b, ε). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 33 / 43

Věty o limitách Úloha Dokažte větu pro součet, kde a je vlastní limita a b=+. Věta (limita nerovnosti) Necht lim a n = a, lim b n = b a pro nekonečně mnoho n platí a n b n. Pak a b. Důkaz sporem. Kdyby bylo a > b, existovala by disjunktní okolí U(a), U(b) tak, že x U(a) y U(b) by platilo x > y. Pro skoro všechna n je však a n U(a), b n U(b), tedy by platilo a n > b n, což dává spor s předpokladem věty. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 34 / 43

Věta o třech limitách Pro konvergentní posloupnosti {a n }, {b n } zřejmě platí, že když pro nekonečně mnoho členů je a n b n a pro nekonečně mnoho členů je a n > b n, pak a=b. Věta (věta o třech limitách) Necht lim a n = a, lim b n = a a necht pro skoro všechna n je a n c n b n. Pak lim c n = a. Princip důkazu. Podle definice limity patří do libovolného okolí U(a) skoro všechny členy posloupnosti {a n } a také skoro všechny členy posloupnosti {b n }. Proto do U(a) patří také skoro všechny členy posloupnosti {c n }. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 35 / 43

Věta o třech limitách Pro nevlastní limity má věta o třech limitách (zvaná též věta o třech posloupnostech) speciální tvar. Je-li totiž lim a n =+, lze brát za b n posloupnost {+ }, proto z nerovnosti a n c n plyne lim c n =+. Podobně lze větu o třech limitách upravit pro nevlastní limitu. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 36 / 43

Limes inferior a limes superior Uvažujme omezenou posloupnost {a n }. Pro n N definujeme posloupnosti {α n } a {β n }: α n = inf {a n, a n+1, a n+2,... }, β n = sup {a n, a n+1, a n+2,... }. Úloha Určete { tři } prní členy posloupností {α n } a {β n } pro posloupnost ( 1) n. n+1 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 37 / 43

Limes inferior a limes superior Úloha Určete { tři } prní členy posloupností {α n } a {β n } pro posloupnost ( 1) n. n+1 Řešení. α 1 α 2 α 3 12 13 15 17 19 = inf {,, 14,, 16,, 18, } = 1 2, { 1 = inf 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, 1 } 9 = 1 4, 14 15 17 19 = inf {,, 16,, 18, } = 1 4, Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 38 / 43

Limes inferior a limes superior Úloha Určete { tři } prní členy posloupností {α n } a {β n } pro posloupnost ( 1) n. n+1 Řešení. β 1 β 2 β 3 12 13 15 17 19 = sup {,, 14,, 16,, 18, } = 1 3, { 1 = sup 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, 1 } 9 = 1 3, 14 15 17 19 = sup {,, 16,, 18, } = 1 5. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 39 / 43

Limes inferior a limes superior Z definic {α n } a {β n } plyne: α n a n β n, {α n } je neklesající, {β n } je nerostoucí a z omezenosti {a n } plyne i omezenost {α n } a {β n }, a tedy jsou obě posloupnosti {α n } a {β n } konvergentní (mají vlastní limitu). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 40 / 43

Limes inferior a limes superior Definice Necht posloupnost {a n } je omezená, pak definujeme její dolní limitu (limes inferior) lim inf a n:= lim α n= lim inf {a n, a n+1, a n+2,... } n + n + n + a její horní limitu (limes superior) lim sup a n := lim β n= lim sup {a n, a n+1, a n+2,... }. n + n + n + Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 41 / 43

Úloha Určete dolní a horní limitu posloupnosti( 1) n 2n 1 n+1. Řešení. Zde si opět vypíšeme několik prvních členů studované posloupnosti: 1 2, 3 3, 5 4, 7 5, 9 6, 11 7, 13 8, 15 9, 17 10, 19 11,, 1997 1000, 1999 1001,. Zřejmě lim a n =2, ale samotná lim a n n + n + neexistuje. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 42 / 43

Úloha Určete dolní a horní limitu posloupnosti( 1) n 2n 1 n+1. Řešení. Odvodíme omezenost: 2n 1 ( 1)n n+1 = 2n 1 n+1 2n+2 n+1 = 2, a tak 2 ( 1) n 2n 1 n+1 2. Posloupnost je tedy omezená existence dolní a horní limity je tedy zajištěna. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 43 / 43

Úloha Určete dolní a horní limitu posloupnosti( 1) n 2n 1 n+1. Řešení. lim inf n + a n lim sup a n n + := lim α n= lim inf {a n, a n+1, a n+2,... } n + n + = lim 2= 2, n + := lim n + β n= lim n + sup {a n, a n+1, a n+2,... } = lim n + 2=2. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 44 / 43

Nulové posloupnosti Jsou to posloupnosti, kde lim a n = 0. Nulové posloupnosti fakticky nejsou jen zvláštním případem konvergentních posloupností, ale i naopak, konvergenci bychom mohli definovat užitím nulových posloupností podle věty: Věta a n a (a n a) 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 45 / 43

Věty o limitách nulových posloupností Věta Jestliže a n a, pak a n a. Tato věta neplatí pro a 0naopak, ale pro a = 0 ano. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 46 / 43

Věty o limitách nulových posloupností Věta Jestliže a n +, je 1 a n posloupnost nulová. Jestliže jmenovatel zlomku konverguje k nule, je situace složitější: Věta Je-li n N a n > 0, a n 0, pak 1/a n +, a n < 0, a n 0, pak 1/a n, a n 0, a n 0, pak 1/ a n. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 47 / 43

Věty o limitách nulových posloupností Nulových posloupností se s výhodou využívá při výpočtech limit. Vypočtěte Vypočtěte Vypočtěte Vypočtěte 6n 2 + n lim n + 4n 2 + 5. lim n + lim n + lim n + 6 2 2n + 5 2 n 4 2 2n+1 2 n + 15. 7n+150 n 2 0, 25. n 3 8n 9n 2 + 10. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 48 / 43

Posloupnosti v praxi Uspořádané n-tice používá název konečné posloupnosti, který zčásti navozuje použití posloupností v praxi. Známe několik prvních členů a 1, a 2, a 3,..., a n nějaké posloupnosti. Pomocí této znalosti chceme zjistit, zkonstruovat nebo předpovědět její další člen a n+1. Může jít o posloupnost peněžních částek, (časovou) posloupnost údajů o objemu výroby, posloupnost časových termínů nebo intervalů ad. Problémem je, jak určit další člen (nebo alespoň jeho přibližnou hodnotu) ze znalosti předchozích. Může jít o nalezení vzorce pro n-tý člen, rekurentního pravidla nebo i o jiný postup. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 49 / 43

Některé významné limity Věta a > 0: lim n + Princip důkazu. n a=1. Pro a > 1 položíme n a=1+u n, zřejmě u n > 0. Podle Bernoulliovy nerovnosti je a=(1+u n ) n > 1+n u n, odkud 0 < u n < a 1 n, podle V3L je u n 0. Pro a < 1 použijeme předchozí pro 1 a, pro a=1je výsledek zřejmý. Věta (Bernoulliova nerovnost) h R, h > 1, h 0, n N, n 2 platí V(n):(1+h) n > 1+nh. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 50 / 43

Některé významné limity Podobně lze užitím vhodných odhadů odvodit následující dvě limity: Věta lim n + n n=1. Věta a n a > 1, k > 0: lim n + n k=+. (Říkáme, že exponenciála a n roste k+ rychleji než mocnina n k.) Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 51 / 43

Úloha log Dokažte, že a > 1: lim a n = 0. n + n Řešení. Pro ε > 0 je a ε > 1, takže pro skoro všechna n platí 1 < n n < a ε. zlogaritmováním nerovnosti při základu a dostaneme: log a 1 < log n a n < log a a ε, log a 1 < log a n 1 n < loga a ε, 0 < 1 n log a n < ε log a a, 0 < log a n n < ε, Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 52 / 43

Úloha Vypočtěte lim n + q n, kde q > 0. n! Říkáme, že faktoriál roste k+ rychleji než exponenciála q n. Řešení. Pro q 1 je tato limita rovna 0. ] Pro q > 1 jde o typ (nelze použít větu o limitě podílu). [ + + Označme a n = qn n! ; pak a n+1= q n+1 a n, pro skoro všechna n je posloupnost {a n } klesající a zdola omezená (nulou), takže má limitu; označme ji a. Přejdeme-li v rovnosti k limitě, máme a = 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 53 / 43

Úloha Ukažte, že každé iracionální číslo je limitou neklesající posloupnosti racionálních čísel; najděte tyto posloupnosti pro r= π, s= 2. Řešení. Lze uvažovat například posloupnost dolních desetinných aproximací. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 54 / 43

Další typy posloupností v MA Posloupnosti množin (např. intervalů), posloupnosti funkcí, ad. Definice těchto posloupností vytvoříme podle stejného schématu. Například posloupnost funkcí definujeme jako zobrazení množiny N do množiny všech funkcí. Pracujeme-li s jinými posloupnostmi než s posloupnostmi číselnými, je třeba dbát na korektnost definice posloupnosti, případně její limity. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 55 / 43

Eulerovo číslo e Funkce y= e x a funkce y= ln x (= log e x) patří k nejdůležitějším funkcím v matematické analýze; v obou případech je základem Eulerovo číslo e. ( e:= lim 1+ 1 ) n n + n Abychom tuto definici mohli považovat za korektní, je třeba dokázat, že uvedená posloupnost {a n } je konvergentní: 1 dokážeme, že tato posloupnost je rostoucí, 2 dokážeme, že je shora omezená. Existence konečné limity pak plyne z věty o limitě monotónní posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 56 / 43

{ (1+ ) 1 n } n je rostoucí Podle binomické věty je a n = ( 1+ 1 n) n = 1+ ( ) n 1 1 n + ( ) n 1 2 n2+ + ( ) n 1 n n n První dva členy součtu na pravé straně jsou rovny 1, pro každý další člen provedeme úpravu ( n k ) 1 n k = = n! k!(n k)! ( 1 1 n 1 n(n 1) (n k+ 1) nk= n k 1 ) ( 1 2 n ) ( 1 k 1 n ) 1 k!. k! = Pro posloupnost {a n } tak platí, že každý její( člen a n je součtem n+1 kladných výrazů, v nichž jsou činitelé tvaru 1 j ). n Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 57 / 43

a n = ( n+1 výrazů s činiteli tvaru 1 j ) n { ( ) }} ( ) { n 1 n 1 1+ 1 n + + n n n ( ) ( ) n+1 1 n+1 a n+1 = 1+ 1 n+1 + + 1 n+1 (n+1) }{{ n+1 ( } n+2 výrazů s činiteli tvaru 1 j ) n+1 ( Jelikož 1 j ) > n+1 sčítanec víc, je a posloupnost {a n } je rostoucí. ( 1 j ) a navíc v a n+1 je o jeden kladný n a n+1 > a n Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 58 / 43

{ (1+ ) 1 n } n je shora omezená ( Ve výrazu pro a n nahradíme všechny závorky 1 j ) číslem 1 n+1 ( ) ( n 1 k n k= 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 k 1 ) 1 n n n k! < 1 k!, takže platí a n < b n = 1+1+ 1 2! + 1 3! + + 1 n! < 1+1+ 1 2 + 1 1 22+ + < 3. 2n 1 Závěr: Podle věty o limitě monotónní posloupnosti existuje limita posloupnosti {a n }; nazýváme ji Eulerovo číslo a označujeme ji e; z předchozího plyne, že 2 < e < 3. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 59 / 43

Výpočet čísla e Hodnotu čísla e lze vcelku snadno určit jako součet číselné řady. Vidíme, že pro konstantní k < n platí ( a n > 2+ 1 1 ) ( 1 n 2! + + 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 k 1 ) 1 n n n k!. Odsud pro n + máme e b k, takže platí a n < b n e; podle věty o třech limitách pak je lim n + b n = e. Přitom b n je podle své definice tzv. n-tým částečným součtem řady, takže ( e= lim 1+ 1 ) n = 1+ 1 n + n 1! + 1 + =2, 718 281 828 459 0... 2! Tato řada dosti rychle konverguje a má jednoduchý algoritmus výpočtu členů, takže výpočet hodnoty čísla e na zadaný počet desetinných míst lze provést vcelku rychle. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 60 / 43