STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,... Pozn. Při řešení úloh budeme muset prostorová tělesa promítnout do roviny. Existuje celá řada způsobů jak postupovat, my budeme používat tzv. volné rovnoběžné promítání. Většinou budeme tělesa zobrazovat v pravém nadhledu. Tělesa krychle kvádr hranol (podstavy jsou shodné mnohoúhelníky, boční stěny jsou rovnoběžníky) jehlan (podstavou je mnohoúhelník, boční stěny jsou trojúhelníky) čtyřstěn (všechny stěny jsou trojúhelníky viz obrázek níže)
Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin Při studiu polohových vlastností bodů, přímek a rovin budeme vycházet z několika axiomů, které byly formulovány již ve starověku na základě lidského pozorování a které přijímáme bez důkazu. I. Dvěma různými body A, B je určena jediná přímka. II. Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka určená těmito body leží také v této rovině. III. Mají-li dvě různé roviny společný bod A, pak mají společnou celou přímku, která tímto bodem prochází. Mimo tuto přímku nemají společné již žádné body. IV. Rovina je jednoznačně určena: a) třemi různými body neležícími na jedné přímce b) přímkou a bodem, který na přímce neleží c) dvěma rovnoběžkami d) dvěma různoběžkami. 1) Vzájemná poloha dvou bodů, bodu a přímky, bodu a roviny No comment, buddy! 2) Vzájemná poloha dvou přímek Dvě různé přímky p, q mohou být: rovnoběžné p q platí: p q různoběžné p X q platí: p q P (průsečík přímek) mimoběžné p q platí: p q (přitom mimoběžkami nelze proložit rovinu) 3) Vzájemná poloha přímky a roviny Přímka může být s rovinou: rovnoběžná (nemají společné body) různoběžná (mají společný jeden bod průsečík) nebo může být částí roviny (zvláštní případ rovnoběžnosti). 4) Vzájemná poloha dvou rovin Dvě různé roviny mohou být: rovnoběžné (nemají společné body) různoběžné (mají společnou právě jednu přímku, tzv. průsečnici rovin) Příklad 1) Jaká je vzájemná poloha dvou rovin, jestliže mají společné a) dva různé body b) tři různé body neležící na přímce c) přímku a bod, který na této přímce neleží d) dvě rovnoběžky? Příklad 2) Jsou dány dvě a) rovnoběžné, b) různoběžné roviny ρ a σ. V rovině ρ leží přímka p, v rovině σ přímka q. Jakou vzájemnou polohu mohou mít přímky p a q?
Rovnoběžnost přímek a rovin Stejně jako v rovině, i zde platí, že daným bodem A lze vést k dané přímce p jedinou rovnoběžku a je-li p q a současně q r, pak p r. Jak bude situace vypadat mezi přímkou a rovinou? Kritérium rovnoběžnosti přímky a roviny Přímka p je rovnoběžná s rovinou ρ, jestliže v této rovině leží alespoň jedna přímka p rovnoběžná s přímkou p. Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin Dvě roviny ρ a σ jsou rovnoběžné, jestliže v jedné z nich leží dvě různoběžky rovnoběžné s druhou rovinou. Příklad 3) Je dán čtyřstěn ABCD, body K, L, M jsou po řadě středy hran AD, BD, CD. Dokažte, že rovina KLM je rovnoběžná s rovinou ABC. Tranzitivnost rovnoběžnosti platí i pro roviny. Je-li ρ σ a současně σ τ, pak ρ τ. Stejně tak platí, že daným bodem A lze vést k dané rovině ρ jedinou rovinu s ní rovnoběžnou. Příklad 4) Je dána krychle ABCDEFGH. Bodem H veďte rovinu rovnoběžnou s rovinou BEG.
Řešení polohových konstrukčních úloh Zaměříme se na tři typy konstrukčních úloh: sestrojení průsečíku přímky a roviny, řezu tělesa rovinou a průniku přímky tělesem. Průsečík přímky a roviny je-li přímka p různoběžná s rovinou ρ, pak jejich průsečík získáme takto: 1. Přímkou p proložíme vhodnou rovinu σ, která je s rovinou ρ různoběžná. 2. Určíme průsečnici r rovin ρ a σ. 3. Průsečík přímek p a r je hledaný průsečík přímky p a roviny ρ. Příklad 5) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečík přímky CE a roviny BDG. Příklad 6) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečíky přímek AE, EG a EC s rovinou BDH.
Řez tělesa rovinou je průnik tělesa a roviny. Sestrojit řez rovinou znamená sestrojit průsečnice dané roviny s rovinami jednotlivých stěn. Pro konstrukci řezů jsou důležité následující tři věty a jejich důsledky: V1: Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině. V2: Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách. V3: Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jeden společný bod, prochází tímto bodem všechny tři průsečnice. D1: Leží-li dva různé body roviny řezu v rovině některé stěny, pak leží v rovině této stěny i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu. D2: Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné. D3: Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají v jednom bodě. cvičení: 7) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou ρ určenou body: a) ABU; U je střed hrany CG b) BGV; V je střed hrany AE c) XYZ; X je bodem hrany AE, AX : XE = 4:1, Y je bodem hrany BF, BY : YF = 1:2, Z je bodem hrany CG, CZ : ZG = 2:1 d) VWZ; W je střed hrany AB. 8) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM; K je bodem hrany AE, L je bodem hrany BF, M je bodem hrany GH. 9) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte řez krychle rovinou KLM, bod K leží na úhlopříčce BD tak, že BK = 1/3 BD, bod L leží na hraně FG tak, že FL = 2, a bod M leží na hraně EF tak, že EM = 2. 10) Sestrojte řez krychle A-H rovinou XYZ, je-li bod X středem hrany AD, bod Y středem hrany BF a bod Z je bodem hrany HG, HZ : ZG = 1:3. 11) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte řez krychle rovinou KLH, jestliže bod L je střed hrany CG a bod K leží na hraně AB, AK = 2 KB. 12) Zobrazte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou, která je určena body AMN. Bod N leží na hraně VC blíže k bodu C, bod M leží na prodloužení hrany VB za bod B. 13) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte řez krychle rovinou KLM, jestliže: a) bod K leží na hraně CG a CK = 1,5; bod L leží na hraně HG a HL = 1,5; bod M je středem hrany AE; b) bod K leží na polopřímce BA a BK = 8, bod L leží na polopřímce BF a BL = 7, bod M leží na úhlopříčce HC a HM = 2; c) bod K leží na polopřímce EA a EK = 8, bod L leží na polopřímce DC a DL = 9, bod M leží na polopřímce EH a EM = 9. 14) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV jsou body K, L po řadě středy hran AB a BC. Sestrojte řez jehlanu rovinou, která prochází přímkou KL a je rovnoběžná s přímkou BV. 15) Sestrojte řez pětibokého hranolu ABCDEA B C D E rovinou KD L, kde bod K leží na hraně BB, přičemž BK = 0,25 BB a bod L je střed hrany EE.
Průnik přímky s tělesem řešíme podobně jako průsečík přímky s rovinou: přímkou proložíme vhodnou rovinu, určíme řez tělesa touto rovinou a průnik přímky s řezem tělesa je zároveň průnik přímky s tělesem. Pozn. Je-li těleso hranol, je dobré proložit přímkou rovinu rovnoběžnou s bočními hranami hranolu, je-li těleso jehlan, proložíme přímkou rovinu obsahující vrchol jehlanu. Příklad 16) Je dán kvádr ABCDEFGH se čtvercovou podstavou a přímka p = PQ, kde Q leží na polopřímce FE za bodem E, P leží na polopřímce DC za bodem C, QE > CP. Sestrojte průsečíky přímky p s povrchem kvádru. Příklad 17) Sestrojte průnik trojbokého jehlanu ABCV a přímky MN. Bod M je bodem polopřímky AB tak, že AM = 2 AB, bod N je středem úsečky TV, kde bod T je těžiště trojúhelníku ABC. Příklad 18) Je dán kvádr ABCDEFGH, AB = 4 cm, BC = 6 cm, AE = 7 cm. Bod P je bodem polopřímky EH, EP = 9 cm, bod Q je bodem polopřímky AB, AQ = 5 cm. Sestrojte průsečíky přímky PQ se stěnami kvádru. Příklad 19) Je dán kolmý čtyřboký hranol ABCDA B C D, jehož podstavou je lichoběžník. Bod M leží na polopřímce AD za bodem D, bod N na polopřímce BB za bodem B. Sestrojte průsečík přímky MN s bočními hranami hranolu.