Difereciálí počet I Kapitola II. Poslouposti I: Vojtěch Jarík (author): Difereciálí počet I. (Czech). Praha: Academia, 1974. pp. 73--103. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/401985 Terms of use: Vojtěch Jarík Istitute of Mathematics of the Academy of Scieces of the Czech Republic provides access to digitized documets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this documet must cotai these Terms of use. This paper has bee digitized, optimized for electroic delivery ad stamped with digital sigature withi the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz
M 73 Kapitola II POSLOUPNOSTI 1. Defiice limity. Budiž dáa posloupost čísel (1) a l9 a l9 a 3, a 4,... Příklad: budiž a x = 1, a 2 = \, a 3 = \, obecě a = - pro každé přirozeé 9 takže máme posloupost W J '2'3' 4> 5' 6' 7' 8' ""' Čteáři je asi již jaso, co rozumíme slovy posloupost čísel", řekěme to však obšírě: Jestliže každému přirozeému číslu je přiřazeo jisté číslo a 9 potom říkáme, ZQa l9 a 2,a 3,... }Q posloupost čísel; a je -tý čle té poslouposti (apř. stopatáctý čle poslouposti (2) je ~^). Dvě poslouposti a l9 a l9...; b l9 b l9... považujeme za stejé tehdy a je tehdy, je-li a = b pro každé přirozeé ; apř. posloupost (2) a posloupost O) Iiiiíííí \ J J 2* x > 4' 3' 6> 5' 8» 7' '* jsou dvě růzé poslouposti. (Posloupriost (3) je posloupost a l9 a 2 *.., defiovaá takto: a 2 «-i =» a i = pro každé přirozeé w. ] V defiici poslouposti 2 2/i - 1 / eí ikde řečeo, že čísla a musí být avzájem růzá; a také skutečě emusí být růzá. Tak apř. (4) 1, - 1, 1, - l,...(w-týčleje(- l)"" 1 ) je také posloupost. Nebo: přiřadíme-li každému přirozeému číslo 2, tj. volíme-li a = 2 pro každé přirozeé 9 dostáváme posloupost (5) 2,2,2,2,... Uveďme ještě ěkolik příkladů posloupostí: (6). l 2,2 2,3 2,4 2,...(a = 2 ); (7) - 1, - 3, - 5, - 7,... (fl. = - (2-1)) ;
74 XAP. u (8) - 1, 2, - 3,4, - 5, 6,... (a. = (- 1)" ) ; (9) 1, 1, 2, 3, f, 4, i,... Uta-i =, a 2 = -J ; do) lh- (..-^). (11) -l.i-i.j.-3..-j«.-(-l)".í)- Podíváme-li se apř. a posloupost (2), vidíme řečeo prozatím populárě a dosti eurčitě že její čleové s rostoucím se eomezeě blíží ule; totéž vidíme u posloupostí (3), (11). U poslouposti (10) f, f,..., ^, f^, vidíme obdobě, že její čleové s rostoucím se eomezeě blíží jedičce. Vyjadřujeme tó slovy, že posloupost (2) (a rověž (3), (11)) má limitu 0, posloupost (10) pak má limitu 1. Tomuto rčeí uto dát ovšem přesý smysl, aby se mohlo stát předmětem matematických úvah. Všiměme si apř. podroběji poslouposti (10). Výroku čleové poslouposti (10) se s rostoucím rieomezeě blíží jedičce" dáme teď přesý smysl; budeme jím rozumět toto: předepíše-li mě ěkdo libovolé kladé číslo e, dovedu mu udat v poslouposti (10) jistý čle, od ěhož počíaje se už všichi další čleové této poslouposti liší od jedičky o méě ež e; tj. dovedu udát číslo 0 takové, že všichi čleové a, jejichž idex" je větší ež 0, splňují erovost \a i < e. A tomu je vskutku tak: v poslouposti (10) je a = atedy a - 1 = + 1 + 1 1 =. Je-li třeba e = r^, položím 0 = 99; vskutku, je-li > 99, je + + 1 + 1 > 100; < --. Aby mě můj protivík potrápil, zvolí e meší, třeba e = ' + 1 = e ž ío^o a ž á d á ope** abych mu udal 0 tak, aby výraz \a - 1 = byl meší ' + 1, imo P ro všecha, jež jsou větší ež 0 }) Zase dovedu takové 0 udat, třeba 0 = 999. Vskutku: je-li > 999, je + 1 > 1000, < ^. Může mě pře + 1 <lepsat ještě meší kladé číslo e; ale vždy,'ať mi předepíše jakékoliv kladé číslo..e, dovedu udat příslušé číslo 0 tak, že pro všecha > 0 je \a 1 < e, tj. < + 1 < e. Stačí totiž volit 0 tak, že = e, tj. 0 = l; 2 ) pro > 1 bude 0 + l e e 1 ) Číslo (ikoliv však w 0, t apod.) bude v této kapitole začit vždy přirozeé číslo; proto. budeme krátce říkat " místo přirozeé číslo «"* 2 ) Mohli bychom za 0 zvolit ovšem též kterékoliv číslo vetší ež 1.
J. 75 pak vskutku + 1 > -, 1 1 X, < e. Číslo 0 závisí ovšem a e; čím je e meší, tím s + 1 větší musím volit 0. To je pochopitelé: čím meší je e, tím dále musím v poslouposti (10) jít, abych měl zaručeo, že se dále už setkám je s takovými čley, které se od jedičky liší o méě ež e. Rčeí posloupost (10) má limitu 1" dáme tedy teto přesý výzam: <*>{ každému kladému číslu dovedu alézt číslo 0 tak, že pro všecha, jsou větší ež 0, platí erovost \a 1 < e. Tímto způsobem budeme limitu defiovat obecě, jeom ještě s jedou změou: může se stát, že des takové číslo 0 alézt eumím, ale zítra to budu umět: potom by taková posloupost des limitu eměla, ale zítra by ji měla. Takový subjektiví prvek se ehodí do matematických úvah: ezáleží a tom, že já ebo ěkdo jiý dovede ke každému kladému e takové číslo 0 alézt, ýbrž záleží pouze a tom, že ke každému kladému e takové číslo 0 existuje. Nahradíme tedy ve výroku (A) slova dovedu alézt" slovem existuje" a defiujeme obecě: Defiice 6. Říkáme, že číslo a je limitou poslouposti a u a 2, a 3,..., 3 ) jestliže má číslo a tuto vlastost: Ke každému číslu e > 0 existuje číslo 0 tak, že pro každé přirozeé číslo, jež je vetší ež 0, platí erovost \a a\ < e, tj. (podle věty 28) erovosti a e<a <a + e. Všechy úvahy, jež jsem před touto defiicí o poslouposti (10) prováděl, měly pouze orietačí výzam: měly čteáře připravit a defiici 6 a objasit mu její smysl. Podle této defiice má posloupost (10) vskutku limitu 1; vlastě jsme to již spočetli, ale zopakujme to: Zde je a 1 = =. Je-li e libovolé kladé číslo, + 1 zvolme 0 tak, že = e, tj. 0 + 1 = -. Pro > 0 je potom vskutku + 0 + 1 e + 1 > -, < e. Dokažme obdobě, že poslouposti (2), (11) mají limitu 0. e + 1 Zde je a = + -, \a 0 = -; je-li e > 0, zvolme 0 tak, že = e 9 tj. 0 = -. 0 e Pro > 0 bude potom vskutku > -, - < e. Dokažme ještě, že posloupost (3) e má limitu 0. V této poslouposti je a = pro liché 9 a = pro sudé ; + 1-1 pro každé > 1 je tedy 0 < a ^ a tedy \a - 0 = a ^. Je-li e > 0, -1 ' - 1 3 ) Místo toho říkáme také, že posloupost -7i,tf 2 > má limitu a. Místo posloupost čísel* říkám kratčeji posloupost", pokud eí třeba se obávat edorozuměí.
76 KAP. II zvolme 0 tak, že = e, tj. 0 = - + 1. Je-li > 0, je vskutku > - + 1 0 1 (tedy > 1), - 1 > -, \a - 0 ^ <. Dokažme ještě, že posloupost (4) 1 emá limitu. Důkaz provedeme epřímo: předpokládejme, že posloupost má limitu a. Potom k číslu = 1 existuje číslo 0 tak, že pro > 0 je \a a\ < 1. Zvolme číslo, větší ež 0 ; potom je též + 1 > 0, tedy \a +í a\ < 1. Odtud plye \<* - 0 +il = \( a - a) + (a- a +í )\ = \a - a\ + a - a + 1 \ < 2 ; ale to je spor, eboť v poslouposti (4) je zřejmě \a a +il = 2. O poslouposti, jež má limitu, říkáme, že je kovergetí; emá-li limitu, azývá se divergetí. Příklad: poslouposti (2), (3), (10), (11) jsou kovergetí, (4) je divergetí. Názor ás vede k doměce, že dvě růzá čísla emohou být současě limitami téže poslouposti; tato doměka je správá, jak ukazuje tato věta: Věta 51. Každá posloupost má ejvýše jedu limitu (tj. buďto žádou ebo právě jedu). Důkaz. Předpokládejme, že posloupost (1) a í9 a 29... má aspoň dvě růzé limity a 9 b 9 přičemž zakem a začme meší z těchto čísel, takže a < b (předpokládáme tedy, že číslo a i číslo b má vlastosti vytčeé v defiici 6). Z toho odvodíme spor. Položme = \{b a) 9 takže > 0. Ježto číslo a je limitou poslouposti (1), existuje číslo x tak, že pro > x (rozuměj: pro každé, jež je větší ež t ) je (12). ' \a a\ <, tj. a < a < a +. Ježto také číslo b je limitou poslouposti (1), existuje číslo 2 tak, že pro > 2 je (13) \a - b\ <, tj. b - < a < b +. Zvolme číslo větší ež Max ( í9 2 ), což je možo; potom platí (12) i (13), takže b <a <a +, b < a +, b a < 2e 9 což je spor, eboť b a = = 2. (Viz cvičeí 4.) Limitu poslouposti au a 29 a 3,... existuje-li ovšem ozačujeme pro zkráceí zvláštím zakem, a to zakem (14) lim a ebo též lim a *П 9 my budeme užívat prvího ozačeí. Čteář se sad ezalekl zaků ->, oo. Celý zak lim a je prostě edělitelý symbol začící oo číslo, jež je limitou postouposti a l9 a 29... Mohli bychom zavést libovolý jiý symbol, třeba a ; ale symbol (14) je všeobecě běžý a má mimoto tu výhodu, že jeho tvar velmi důtklivě připomíá, oč jde. Je-li -tý čle a dá ějakým početím výrazem, píšeme v symbolu
5i 77 (14) často teto výraz místo a. Např. píšeme limitu poslouposti (10) takto: lim ii-oo + 1 ( eboť -tý čle této poslouposti je právě ]. «+ v Rovice lim a = a obsahuje vlastě dvojí tvrzeí: 1. Limita poslouposti (1) -+oo existuje. 2. Tato limita je právě číslo a. Např. lze aše výsledky o posloupostech (2), (10), (11), (3) psát ve tvaru lim - = 0, lim = 1, lim (- l) H X = 0, lim j = 0 (zjistěte -*oo -»oo + 1 U-+00 -+oo ( 1)" \ sami, že -tý čle poslouposti (3) je «-(-i)7,,idex" obecého čleu a emusíme ovšem začit vždy písmeem ; místo lim a = a, lim = 1 můžeme psát apř. lim a k = a, lim = 1 apod. 4 ) ->oo -+oo + 1 k-*co q-*oo q + 1 Neí vhodo vyechávat u zaku lim a zak -> oo ; tím by mohla vzikout edorozuměí. Příklad:'pro přirozeá fe, m klaďme a km = 1. Zvolím-li m + 1 fc fe pevé a echám m probíhat přirozeá čísla, dostau posloupost. 1 1 2 1 3 1 a k,u<tk,i* a w >** - + T> 7 + 7' 7 + 7>- 2 fc 3 fc 4 fe ( m-tý čle je I ]. Tato posloupost má limitu 1 + - (eboť m m + 1 kj k\ m + 1 +o-a 1.. v 1N ' m + 1 < e, je-li c > 0, m > m 0, kde třeba m 0 = ); tedy Ш fe + 1 (15) lim a ktm =, tj. lim ( + -) m-oo k m-»oo \m + 1 k) k Zvolíme-li aopak m pevé a echáme fe probíhat přirozeá čísla, dostaeme posloupost m m 1 m 1 fl l,m> fl 2.m>tf3,m> **] ~ + 1> " + ~, + 7,... m+ 1 m + 1 2 m+ 1 3 ) V poslouposti a lt a 2>... začí pořadové číslo" čleu a \ tak a l2t a k, a začí dvaáctý, k-tý, -tý čle. Defiici 6 lze vyslovit takto: Posloupost a 1,a 2,... má limitu a, jestliže ke každému kladému číslu existuje druhé číslo tak, že všichi čleové poslouposti, jejichž pořadové číslo ie větší ež to druhé číslo, se od čísla a liší o méě ež to prví (kladé) číslo. Smysl tohoto výroku zůstává týž, ať si ozačíme to prví číslo e, to druhé 0 a pořadové číslo (jak jsme to v defiici učiili), ebo ať to prví číslo ozačíme třeba <5, to druhé X a pořadové číslo k. 4
78 KAP. н ( m 1 m k-tý čle je 1 1, jež má limitu ( eboť m+ 1 k) m+ 1 \ m + 1 + k m + 1 = - < e pro e > 0, k > k 0, kde k 0 = -); tedy k -V (16) lim a ktm = m m, tj. lim ( + -) *-->oo m + 1 *-oo \m +1 A:/ m m + 1 Kdybychom v (15), (16) vyechali zaky m -> co, fc -> co, byly by tyto rovice esrozumitelé. Přesto budeme ěkdy pro úsporu místa zak -> co v symbolu (14) vyechávat, ale je tam, kde ehrozí edorozuměí. Kde je v této kapitole teto zak vyechá, je třeba vždy doplit -> co (a ikoliv k -> co ebo podobě). Skoro samozřejmé jsou ásledující dvě věty: Věta 52. JsouAi všechy čley poslouposti (1) od jistého idexu t rovy jedomu a témuž číslu a (tj. je-li a = a pro všecha ^ ^Je lim a = a. +ao Důkaz. Budiž & > 0; položme Q = v vskutku \a a = 0 < e. Potom pro > 0 je a = a 9 tedy Např. posloupost (5) má limitu 2, tj. lim 2 = 2. Toto ozačeí (jež sad a ~*co prví pohled zarazí) je úplě ve shodě s aší úmluvou; lim a začí totiž limitu poslouposti, jejíž -tý čle (pro každé ) je a ; speciálě tedy lim 2 začí limitu #!->0O poslouposti, jejíž -tý čle pro každé je 2. Věta 53. Posloupost (1) a l9 a 29 A 3» m^ limitu tehdy a je tehdy, máai posloupost (17) «2, a 3 > «4>. limitu; obě limity jsou pak stejé. Důkaz. Prví čle poslouposti (17) je a 2i druhý a 39 -tý a +í. b = a +u J e (17) tato posloupost: >«, b l9 b 39... Položíme-li I. Nechť existuje lim a = a. Je-li e libovolé kladé číslo, existuje číslo 0 tak, že pro > 0 je \a a\ < e. Je-li?i > w 0, je tím spíše + 1 > 0 a tedy b a = a +1 a < s; tato erovost platí tedy pro všecha > 0 a tedy je lim b = a. II. Nechť existuje lim b = a. Je-li e libovolé kladé číslo, existuje číslo /li tak, že pro m > x je \b m a\ < s. Položme 0 = x + 1; je-li > 0, je - 1 > «j a tedy \a a =!& _! a '< e; tato erovost platí tedy pro "všecha > w 0, a tedy je lim a = a. Vlastosti poslouposti, jež ás yí zajímají (kovergece, divergece, hodota limity) se tedy ezměí, přidám-li ebo uberu-li a začátku poslouposti jede čle.
9i ^ 79 Opakováím tohoto postupu vidíme, že se tyto vlastosti ezměí, přidáme-li, vyecháme-li ebo změíme-li koečý počet čleů. Např. posloupost a l9 a 2, a 39 a 49 05- a 69 a l9 a 89 a 99... má tytéž vlastosti jako posloupost b l9 a 4, b l9 a l9 a S9 a 99... (vyechám v prví poslouposti po řadě a l9 a 2,.. 9 a 6 a přidám potom po řadě &2» ^4, bj). Pozámka 1. Teto výsledek ás vede k ásledující celkem málo závažé, ale pro praxi leckdy důležité pozámce. Předpis, kterým je urče -tý čle a poslouposti, je ěkdy takový, že jím ejsou určey všechy čley a l9 a l9 a 39... této poslouposti, ýbrž pouze všechy čley až a koečý počet. Klademe-li apř. a = =, je tím defiováo a x = \ 9 a 4 = \, a s = \ atd., kdežto a l9 a 3 ( _2)(-3) emají smyslu (ula ve jmeovateli). Ale i v takovém případě mluvíme o kovergeci, divergeci a limitě poslouposti, a to v tomto smyslu: ty scházející čley ějak doplíme (v ašem příkladě klademe třeba a 2 = 12, a 3 = y/l ebo jiak) a tuto doplěou posloupost vyšetřujeme; podle posledí věty víme, zeje lhostejé, jakým způsobem jsme toto doplěí provedli, takže se o ě vůbec emusíme starat. Ve smyslu této i pozámky je apř. lim = 0. Neboť pro > 3 je («-2)(и-3) 1 ( _2)(-3) 1. * 1 <. Je-li tedy e > 0 a defiujeme-li 0 rovicí = e, tj. 0 = 3 + -, 3 0 3 e platí pro > 0 erovosti 1 (н-2)(п-3) -0,-= e. и 3 и 0 3 Pozámka 2. Mluvili jsme o poslouposti čísel a V9 a l9...,jestliže každému přirozeému bylo přiřazeo jisté číslo a ; obšírěji se taková posloupost azývá také ekoečou posloupostí čísel, a rozdíl od tzv. koečých posloupostí čísel, čímž rozumíme toto: budiž apř. každému přirozeému číslu ^ 12 přiřazeo jisté číslo a ; potom říkáme, že a l9 a 2,..., a 12 je koečá posloupost čísel o dvaácti čleech. Mimoto je možo zobecit pojem poslouposti (ekoečé ebo koečé) též a případ, že a l9 a l9... jsou věci jakéhokoliv rázu (emusí to být zrova čísla: může být dáa třeba ějaká posloupost trojúhelíků apod.). V této kize bude však slovo posloupost" vždy zameat ekoečou posloupost čísel, pokud výslově ezdůrazím, že připouštím i jié případy. 1. Rozvažte si tyto drobosti k defiici 6: Cvičei A) Smysl defiice se ezměí, píší-li v í ^ 0 místo > 0 (platí-li totiž erovost \a a\ < e pro všecha ^ 0, platí tím spíše pro všecha > 0 ; platí-li pro všecha > Q9 platí apř. pro všecha ^ «0 + 1, takže stačí zvětšit 9 o jedičku).
80 KAP. II B) Smysl defiice se ezměí, požaduji-h v í, aby 0 bylo přirozeé číslo (ahradím třeba 0 ejblíže vyšším přirozeým číslem). C) Smysl defiice se ezměí, omezím-li se v í a oa kladá e, jež jsou meší (ebo ^) ež jakékoliv předem daé kladé číslo s 0 (uvažte: platí-li erovost \a a\ < e pro jistou hodotu e, platí tím spíše pro každou větší hodotu e). Těchto a podobých pozámek budu v této kize často bez další zmíky používat. 1 2. Položme a = 100 000 pro 0 < 1 000 000, a = = - pro > 1 000 000. Podle věty 53 je limo rt = lim - = 0, ačkoliv se posloupost a l9 a 29... počíá dlouhou řadou velkých čísel. Určete ke každému e > 0 ejmeší přirozeé číslo 0 tak, aby pro všecha bylo \a 0 < = 0 < e. (Pro > 100 000 vyjde 0 = 1, pro 7 001 < e = -00 000 vyjde 0 = 1 000 001, pro 0 < є = 1000001 vv J de o = - I +! (symbol [ ] viz ve větě 46). 1000 1000 3. Je-li a =, b = 3, je lim a = 0, lim b = 3. Pro všecha dosti velká je tedy a < b (proč?). Pro malá je ovšem a mohem větší ež b. Najděte ejmeší (ovšem přirozeé), pro ěž je a < b ( = 667). 4. Číslo a azveme hromadou hodotou" poslouposti a l9 a 2,..., jestliže ke každému kladému číslu e existuje ekoečě moho hodot tak, že \a a\ < e. Pro teto pojem eplatí věta, obdobá větě 5Í; apř. posloupost (4) má hromadé hodoty 1,1 (eboť při kladém e je \a 1 < e pro všecha lichá, \a ( 1) < e pro všecha sudá ). Podrobě budeme pojem hromadé hodoty vyšetřovat v 2. svazku tohoto díla. Hojější a zajímavější cvičeí ajdete v ásledujících paragrafech. 2. Věty o limitách. Budiž dáa posloupost (18) a l9 a 29 a 39... Možiu všech čísel, jež vystupují jako čleové v poslouposti (18), azveme možiou všech čleů poslouposti (18); ozačme ji a okamžik písmeem M. Číslo x je tedy tehdy a je tehdy prvkem možiy M, existuje-li alespoň jedo přirozeé číslo tak, že je a = x. Např. u poslouposti (2) se možia M skládá ze všech čísel tvaru - (kde je libovolé přirozeé číslo); u poslouposti (3) je možia M táž jako u poslouposti (2); u poslouposti (4) se možia M skládá pouze ze dvou čísel 1, 1 (je tedy koečá, ač jde o ekoečou posloupost), u poslouposti (5) se skládá dokoce z jediého čísla 2. Je-li možia M (tj. možia všech čleů poslouposti (18)) shora omezeá, tj. existuje-li číslo k tak, že pro všecha je a g k, budeme říkat, že posloupost (18) je shora omezeá. V tom případě existuje supremum možiy M (začka sup M, viz defiici 4 a větu 39). Tomuto číslu budeme říkat též supremum poslouposti (18); zak sup a. Toto číslo má podle věty 39 a defiice #1=1,2,3,... 4 tyto vlastosti: 1. Žádý čle poslouposti (18) eí větší ež sup a. 2. Je-li G' =l,2,...
2 81 libovolé číslo meší ež sup a, existuje v poslouposti (18) aspoň jede čle, jež =l,2,... je větší ež G'. 5 ) Podobě (vyjadřuji se již stručěji): Je-li M zdola omezeá, říkám, že posloupost (18) je zdola omezeá. Číslo if M azývám potom ifimum poslouposti (18)", zak if a. Toto číslo má tyto dvě vlastosti: i. Pro každé přirozeé fc -=l ( 2,... je a k _ if a. 2. Je-li g > if a 9 existuje aspoň jedo přirozeéfc tak, že a k < g'. =l,2,... /i=l,2,... Posloupost, jež je shora i zdola omezeá, se azývá krátce omezeá. 6 } Věta 54. Každá kovergetí posloupost je omezeá. Důkaz. Budiž lim a = a. Podlé defiice 6 (viz též cvič, 1 k 1) existuje k číslu -+oo E = 1 přirozeé číslo 0 tak, že pro > 0 je \a a[ < 1. Položme K = Max (a i9 a 2,..., a o, a + 1);fc = Mi'^, a 2 ',..., a Q, a - 1). Je-li > 09 je a 1 < a < a + 1 a tedy fc.< a < K; je-li však 09 je zřejmě fc a K. Vskutku je tedy k a K pro všecha 71. = = Pozámka. Všiměte si však, že omezeá posloupost emusí být kovergetí, viz posloupost (4) v L Věta55. Je-li (19) lim a = a, lim Ъ = &, je (20) lim (a л + b л ) = a + Ъ, (21) lim a л b л = aъ a v případ ЬфO tèz (22) lim 7- - - Ъ Ъ Důkaz. Předpokládejme, že platí (19). I. Máme dokázat, že posloupost, jejíž -tý čle je a +.&, má limitu a + b. Jest (23) \(a + b ) - (a + fc) = (a,. - a) + (b, - b)\ ^ \ct - a\ + b - fe[. Budiž e libovolé kladé číslo; položme S = - g. Podle (19) existuje předě číslo t tak, že pro > _ je (24) a - a\ < 5 5 ) Stačí si všimout toho, že prvky možiy M jsou právě čísla a it a% t, 6 ) Místo. sup a lze ovšem psát též sup a q apod. 11=1,2,... «2=1,2,... 6 Jarík: Difereciálí počet T.
82 KAP. a dále existuje číslo 2 tak, že pro ň > 2 je (25) b - b < S. Položme 0 = Max^, 2 ); pro každé > 0 je současě > i i > 2, takže platí (24), (25) a z (23) plye \(a + b ) - (a + b) < 25 = e. Tedy platí (20). II. Podle věty 54 a podle (19) existuje fc > 0 tak, že pro všecha je bj < k; položme K = Max(fc, a ), takže K > 0. Jest * A - a& = (<* - a)b H + (b - b)a (všiměte si tohoto rozkladu, často se podobého obratu užívá) a tedy (26) \aj>. - ab\ < K(\a - a\ + \b - b\). Budiž e > 0; zvolme ó tak, že 2KS = s, tj. S =. Podle (19) existují čísla it 2 tak, 2K že jest (27) \a a\ < ó pro > x ; b b < 5 pro > 2. Položme 0 = Max( l9 2 ); tím je Jcaždému e > 0 přiřazeo jisté 0 ; pro > 0 je pak podle (26), (27) \a b - ab\ < 2K5 = sa tedy platí (21). III. Budiž yí b4= 0, takže b > 0. Dokažme apřed, že (28) lim-=-. V ' K b Podle (19) existuje číslo t tak, že pro > i je b b < b a tedy podle vzorce (14), kap. I bj = b - (b - b )\ = b - b - bj > b - bl = flbl. Pro > i je tedy (29) bj > \\b\ > 0 a tedy b 4= 0, takže má smysl (že pro ^ i emusí mít smysl, evadí, viz pozámku 1 ke koci 1J. Pro > t je dále podle (29) (30) 1 _ i = \ b - b»\ = \ b " ^' < fe» " *' - 2 ^ --*'- b b I b b bj. b - flbl.lbl b 2 Budiž e > 0 a volme <5 tak, že 25b" 2 = e, tj. 5 = b^. Existuje 2 tak, že pro >? e 1 1 je b b < S. Klademe-li 0 = Max( l5 2 )J e P ro M > o podle (30) ья b <.
J2 83 9iS 1 1 < = e; tedy platí (28). Podle (19), (28) je lim a = a 9 Um = -; podle lije tedy b b b čímž je (22) dokázáo. lim^ = lim a.l = a.i = ^, b. b b b Pozámka 1. Je-li lim a = a a je-li c libovolé číslo, je lim c = c a tedy podle (21) lim a c = ac; speciálě lim ( a ) = a (pro c = 1). Platí-li (19), je lim (- b ) = - b a tedy lim (a - b ) = lim (a + (- b )) = a + (- b) = a - b. Všechy tyto výsledky (i s větou 55) lze tedy shrout přehledě do těchto rovic: ( 31 ) lim (a + b ) = lim a + Um b ; Um (a b ) = Um a - Um b ; limca = cuma ; lim a b = lim a. lim b ; lim^ = l m "" & Um b Přitom je uto rovic m (31) rozumět takto: má-u pravá straa ěkteré z těchto rovic smysl, 7 ) má smysl i levá straa a rová se pravé straě. Úplou idukcí lze ovšem rovice (20), (21) rozšířit a větší počet sčítaců ebo čiitelů; apř.: je-u Um a = a, lim b = fc, Um c = c, lim d = á, je lim (a + b + c + d ) = a + + 6 + c + d. Příklad 1. Opětovým použitím rovic (31) můžeme řešit i složitější příklady. Hledejme 2 2 + 1 Um ->oo 3 + 2 (tj. ptejme se, zda tato limita existuje a jestuže existuje jaká je její hodota). Jest 2 3 + 2 = ( 3) + 2 ^ 2 pro ^ 3, takže apsaý zlomek má pro = 3 smysl (jmeovatel =f= 0). Čitatel emá limitu (eí totiž shora omeze), rověž jmeovatel. Proto upravme pro ^ 3 takto: 2 2 + 1 2 2 Víme, že lim c = c 9 lim - = 0. Podle (31) dostáváme postupě: lim ( - 3. -) = V *) = -3.0 = 0, lim = Um -. lim - = 0, lim 2. = 2. lim = 0, 2 r rr 7 ) To zameá ov em: existují-li limity vpravo a jde-u o posledí rovici je-li lim b + 0> (aproti tomu smí ovšem být lim a == 0, i v posledí rovici).
ы KAP. IГ lim (l + \ ) = 2 + O = 2, lim (1-3. - + 2. ^ = 1 + O + O = 1; limita jmeovatele je + O a tedy hledaá limita existuje a je rova \ = 2. Příklad 2. lim = 0. Důkaz: TÍ 2 - = «( - 1) + O pro > 1. 2 Upravím-li zlomek a tvar, emá ještě jmeovatel limitu (eí totiž omeze). #2 1 1 A Proto jej upravme a tvar ;zdejelim[ - + ) =0(to evadí), lim ( 1 ) = _ I 1 \ 2 J V j = 1 +0, tedy hledaá limita existuje a je rova, j = 0. Věta 56. Nechť existuje lim a = a. Potom existuje též lim* aj = a(. Důkaz. Budiž a > 0; podle předpokladu existuje 0 tak, že pro > 0 je \a a \ < s '> P ro» > o i e tec *y l«.l = \ a + («. - 41 = l fl i + I*. - «l < l«l + «, M = \ a + ( a - <0! = íflj + A " «.l < flj +, tj- l a *l > I a I "" * te( ly c e U- er JaJ < JaJ < a + e; tedy vskutku lim aj = = \a\. Pozámka 2. Obrátit se věta edá: existuje-li lim aj, emusí existovat lim a. Příklad: volme a = ( 1)" +1, takže máme posloupost 1, 1, 1, 1,..., jež je divergetí, ač posloupost JaJ, a 2,..., tj. posloupost 1, 1, 1,... je kovergetí. Ale v jedom speciálím případě se věta 56 přece dá obrátit, totiž tehdy, jde-li o li mitu rovou ule: Věta 57. Rovice lim a = 0 platí tehdy a je tehdy, je-li lim aj = 0. Důkaz. Prví rovice zameá: ke každému e > 0 existuje 0 tak, že pro > 0 je \a 0 < ". Druhá rovice zameá: ke každému e > 0 existuje 0 tak, že pro > 0 je aj 0 < fi". Ale oba tyto výroky zameají totéž, ebof Ja 0 = aj 0 (levá straa této rovice je číslo aj, pravá straa je prostá hodota čísla aj, tedy opět číslo JaJ)-. Věta 58. Nechť Um a = 0; echť existuje čís lo t tak, že pro > x je bj ^ ^ aj. Potom je též lim b = 0. Důkaz. Budiž > 0; potom existuje 2 tak, že pro každé > 2 je \a 0 < <, tj. aj <. Budiž 0 = Max(«x, 2 ). Pro každé > 0 je pak 6 0 =- ^\K\Ú \a H \ < s, tedy lim b m = 0-
$2 85 Příklad 3 (důležitý). Budiž \a\ < 1, tj. - 1 < a < 1. Potom je lim a" = 0. Důkaz. 1. Pro a = 0 je a = 0, lim 0 = 0. 2. Budiž 0 < m < 1, tedy - > 1. a Klaďme h = a 1, tedy h > 0, - = 1 + ft. Pro > 1 je a (32) (1 + A)- = 1 + f \ h + f \ h 2 +... + f"\ h > 1 + fc (eboť vyechaé čley jsou kladé; erovosti (32), jež platí pro každé kladé h a každé celé > 1, se často užívá). Tedy je pro > 1 IV 1 - ) = (1 + h) Є) > 1 + h > h, a <. a) h Jest lim = - lim - = 0. Ježto je vše kladé, je a" < pro > 1 a podle h h věty 58 je lim a = 0. 3. Budiž - 1 < a < 0; tedy 0 < a < 1; podle případu 2 je lim \a \ = = lim \a\ = 0, tedy (podle věty 57) lim a = 0. Příklad 4 (rověž důležitý). Budiž x > 0; potom je lim JJ/x -=- 1. Důkaz. 1. Případ x = 1 je jasý. 2. Budiž x > 1, takže též ^x > 1 (viz cvič. 1 k 8, kap. I ebo větu 45). Položme J x = l + h, takže h > 0. Podle (32) je x = (1 + h ) > 1 + h m > h pro > 1, tedy 0 < h < -. Ježto lim - = x. lim - == 0, plye jako v příkladu 3 limh = 0, tj. lim^x = 1. 3. Budiž 0 < x < 1; klaďme y = -, tedy y > 1. Jest \f~y\fx =.^/xy = ^T = x = 1,.yx = -=. Podle případu 2 a podle (31) je tedy - lim 1 1 / lim r/x = 7= = - = 1. V lim ýy 1 Z erovosti mezi limitami plyou erovosti mezi čley posloupostí: Věta 59. Budiž lim a < lim b. Potom existuje 0 tak, že pro > 0 jest <* < b.
86 KAP. Důkaz. Položme lim a = a, lim b = b, e = \(b a), tedy e > 0, a + e ==- = b e. Existují čísla l9 2 tak, že je a e < a < a + e pro > l9 b e < < b < b + e pro > 2. Klademe-li 0 = Max ( l9 2 ), platí pro každé > 0 erovosti a < a + e = b e < b 9 tedy a < b. Pozámka 3. Klademe-li speciálě b = b 9 dostáváme (ježto limb = b): je-li lim a < b, existuje x tak, že pro > 1 je a < b. Obdobě (klaďme a = a): je-li lim b > a 9 existuje t tak, že pro > t je b > a. Z erovostí mezi čley poslouposti plyou aopak erovosti mezi limitami: Věta 60, Nechť existuji lim a = a, lim b = b a e^hť existuje t tak, že pro > t je a _ b. Potom je a ^ b. Důkaz. Nechť je aopak a > b; položme e = \(a b), takže e > 0, b + e = = a e. Existují čísla 2, 3 tak, že je a e < a < a + e pro > 2, b e < < b < b + e pro > 3. Zvolíme-li větší ež Max(«l5 2, 3 ) 9 vychází b < < b + e = a e < a 9 což je ve sporu s erovostí a < b. Pozámka 4. Klademe-li jedou b = b, po druhé a = a 9 dostáváme: existuje-li lim a a je-li a ^ b pro všecha > l9 je též lim a ^ b; existuje-li lim b a je-li b = a pro všecha > l9 ]e též lim b = a. Pozámka 5. Existují-li lim a 9 lim b a je-li a < b pro všecha > l9 je podle věty 60 lim a = lim b ; emusí však být lim a < lim b (tj. může platit. 1 2 1 2 zameí rovosti). Např. je - < -, ale lim- = lim - = 0. Pamatujme si toto upo zorěí třeba pod heslem erovost může v limitě přejít v rovost". Začátečík sado a tuto okolost zapomee, což může být zdrojem ejhrubších chyb. Věta 61. Budiž lim a = lim b = a; echť existuje číslo 1 tak, že pro > x je a = c = b. Potom existuje těž lim c a jest lim c = a. Důkaz. Budiž e > 0. Potom existují čísla 2, 3 tak, že je a e < a < a + e pro > 2, a e < b < a + e pro > 3. Položme 0 = Max( l9 2, 3 ); pro > 0 je potom a e<a =^c =^b <a + e a tedy [c a\ < e; tedy lim c = a. Pozámka 6. Nejpodstatější rozdíl mezi větou 60 a větou 61 je te, že věta 61 zaručuje existeci jisté limity, totiž lim c m. Budiž a = \ -\ -, b = 1 + -; budiž c B =H -, je-li prvočíslo, c = 1 + -, eí-li prvočíslo. Je-li velké, 2 je leckdy dosti obtížé vypočíst c (tj. zjistit, zda je prvočíslo). Přesto z věty 61 ihed plye lim c = 1, eboť a =^ c = b, lim a ^ lim b = 1.
-T2 87 Budiž opět dáa posloupost (18) a í9 A 2, A 3,... ; budiž fc lf fc 2,... posloupost přirozeých čísel taková, že k x < fc 2 < fe 3 <... (obecě k < fc +i). Potom posloupost (33) a kl9 a k29 a k39... (-tý čle je a k ) azýváme posloupostí vybraou z poslouposti (18). Posloupost (33) vziká tedy tím, že z poslouposti (18) podržíme pouze čley s idexy k l9 fc 2,... Pozameejme, že k =. (Neboť k x = 1, tedy fc 2 > 1, a tedy fc 2 = 2 (eboť fc 2 je celé číslo); obecě: je-li již dokázáo, že k = 9 dostáváme fc +1 > a tedy fc B+1 + 1.) Příklady vybraých posloupostí: (34) A 2, A 4, A 6, fl 8,... (fc! = 2, fc 2 = 4,..., obecě k -= 2); (35) A lf A 3, fl 5, fl 7,... (fcj = 1, fc 2 = 3,..., obecě k = 2-1) ; (36) A lt A^, A 9, A 16,... (fci = 1, fc 2 = 4,..., obecě fc B = 2 ) ; (37) A 2, A 3, fl 5, fl 7, fl, a 13, fl 17,...(obecě k = p, kde p začí -té prvočíslo; sad víte, že existuje ekoečě moho prvočísel, takže dostáváme vskutku ekoečou posloupost); (38) A 5, A 6, A 7, fl 8,... (k i 5, fc 2 = 6,..., obecě fc = w + 4). Věta 62. Nechť posloupost (18) má Z/mfíu A; potom každá vybraá poslouposi má limitu a (takže všechy vybraé poslouposti jsou kovergetí a mají touž limitu). Důkaz. Budiž (33) vybraá posloupost; její -tý čle ozačme pro zkráceí b 9 takže b = a k. Máme dokázat, že lim b = a. Budiž e > 0; ježto lim a = a 9 existuje 0 tak, že pro > 0 je \a - a\ < e. Je-li > 09 je fc,, > 0 (eboť k ^ ) a tedy \b a\ = fl* - A < e; tedy vskutku lim fc = a. Příklad 5. Položme a = -, takže limfl = lim- = 0. Vytvoříme-li vybraé * 1 1 1 poslouposti, uvedeé v (34) až (38), dostaeme lim = lim = lim = 2 2 1 2 = lim = lim = 0. P + 4 Příklad 6. Položme a = (- l) +1, takže máme posloupost 1, 1,1, - 1,... Vybraá posloupost (35) je 1, 1, 1,... a má limitu 1, kdežto vybraá posloupost (34) je 1, 1, 1,... a má tedy jiou limitu 1. Posloupost 1, 1,1, - 1,... je tedy divergetí (podle věty 62), což jsme jiým způsobem zjistili již v 1.
88 KAP. Cvičei 1. Je-li k celé kladé, lim a = a, je lim a = a k ; totéž platí pro k celé záporé, je-li a + 0-2. Z cvičeí 1 odvoďte: pro každé celé k je lim [ ) =1; pro každé celé kladě k je v * / lim k = 0. 3. Je-li k _přirozeé číslo, ff > 0, lim a = a, je lim ^a,, = \Ja. (Návod: budiž e > 0; kdyby bylo íy/a,, = \Ja + c, bylo by podle biomické věty a = a + e k, což je pro velká emožé. Podobě emůže být \Ja = \ja + e pro velká. Pro dosti velká je tedy \Ja e < < Va < Va + e.) 4. lim iy = 1 (pro > 1 položme yj = 1 + h, tedy > 0; biomická věta dává > %( 1) h 2, odtud lim h 2 = 0 a podle cvičeí 3 též lim h = 0). 5. Nechť existuje číslo 6 < 1 a přirozeé číslo x tak, že pro každé = t je f 5 s / a =^ <5; potom je lim a = 0 (užij příkl. 3 a věty 58). 6. Nechť existuje 6 < 1 a přirozeé x tak, že pro každé =?Wj je úr rt+1 < ^ ^ ; potom je lim a = 0 (pro > 1 je \a \ = d. ó' i \a i \; užij příkl. 3, (31) a věty 58). 7. Je-li lim Vl^Tl < *»i e - im fl = ( DU d-ž / hodota té limity; pro dosti velká je \/\ a < < i(í +1); užij cvičeí 5). 8. Obdobě: je-li lim < 1, je lima = 0. 9. Z cvičeí 8 odvoďte lim (a : \) = 0, lim ((!) 2 : (2)!) = 0. 10. Z cvičeí 6 odvoďte lim (!: ) = 0 (klademe-li a =!:, je a +l i i. / A" A ^ -, ježto 1 + - š l +». -. (, + :) 11. Je-li JC < 1, k celé, je lim k x = 0 (užij cvičeí 2, 8). 12. Je-li A lt Í7 2,... omezeá posloupost, je ifa = sup a. Zameí rovosti =l,2,... =l,2,... platí je tehdy, jsou-li si všechy čley rovy. 13. Je-li a l9 a 2,... shora omezeá, je a l9 a 2,... zdola omezeá a je if ( a ) = =l,2,... = sup a. Obdobě, vyměíme-li slova shora" a zdola". =l,2,... 14. Je-li a 1,a 2,... shora omezeá a je-li b = a pro všecha, je též b l9 b 29 shora omezeá a je sup b sup a. Obdobě pro zdola omezeé poslouposti. =l,2,... =l,2,... 15. Je-li a x,a 2,... shora (zdola) omezeá, je i každá vybraá posloupost tf*i> tffo- shora (zdola) omezeá a jest sup ak = sup a (if ak = if a ). =l,2,... 11=1,2,... =l,2,... =l,2,... 16. Zjistěte, které z posloupostí (2) až (11) jsou shora (zdola) omezeé a ajděte jejich supremum (ifimum).
5 3 89 3. Nevlastí limity. Poslouposti (6), (7), (8), (9) z 1 jsou divergetí, ježto ejsou omezeé. Přesto ěkteré z ich mají zvláště jedoduché vlastosti. Všiměme si apř. poslouposti (6) l 2,2\3\4 2,...{a = *). Vidíme, že čley této poslouposti s rostoucím idexem vzrůstají ad každé číslo"; přesě řečeo: ke každému číslu A existuje číslo 0 tak, že pro každé přirozeé číslo > 0 je a > A. Vskutku: je-li předě A ^ 0, stačí volit 0 = 0, eboř pro > 0 je 2 > 0 _ A; je-li však za druhé A > 0, stačí volit 0 = y/a 8 ) eboť pro > w 0 je z > i = A. Je přirozeé: čím větší je A 9 tím větší musíme volit w 0, chceme-li, aby pro všecha > 0 bylo 2 > A. Podobou vlastost (ježe s opačým zameím) má posloupost (7) - 1, - 3, - 5, - 7,... (a = - 2 + 1). Zde platí toto: ať je A jakékoliv číslo, existuje číslo 0 tak, že pro všecha > 0 je a < A. Stačí vskutku volit 0 tak, že 2 0 + 1 = A, tj. 0 = (1 A); pro > 0 je pak 2 + 1 < - 2 0 + 1 = A. Přirozeě: volím-li A daleko vlevo a číselé ose (tj. volím-li -A záporé s velmi velkou prostou hodotou), vyjde 0 velmi veliké; apř. pro A = 1000 vyjde 0 = 500 +, pro A =. 100 000 vyjde 0 = 50 000 + \ atd. Vlastosti posloupostí (6), (7), jež jsme právě probrali, vyjadřujeme krátce slovy: posloupost (6) má evlastí limitu + oo, posloupost (7) má evlastí limitu oo. Defiujeme pak obecě: Defiice 7. Nechť ke každému číslu A existuje 0 tak 9 že pro každé > 0 je a > A. Potom říkáme, ze posloupost a Í9 a 29... má evlastí limitu + oo (čti: plus ekoečo) a vyjadřujeme to zakem (39) lim a = + oo. -*oo Defiice 8. Nechť ke každému číslu A existuje 0 tak 9 že pro každé > 0 je a < A. Potom říkáme, že posloupost a í9 a 29... má evlastí limitu oo (čti: mius ekoečo) a vyjadřujeme to zakem (40) lim a = - oo. -*oo Čteář se emusí lekat toho, že se v (39), (40) vyskytuje + oo, oo, ačkoliv jsme tyto dvě věci dosud edefiovali. Vzorec (39) (a podobě (40)) je pro ás prostě edělitelý symbol, který ezameá ic jiého, ež že posloupost a í9 a 2,... má 8 ) Mohli bychom ovšem za 0 volit též kterékoliv číslo větší ež JÁ.
90 KAP. II vlastost, popsaou obšírě v defiici 7 (ebo 8). 9 ) Rověž sad čteáři evadí, že evlastí limita" podle def. 7, 8 eí limitou" ve smyslu defiice 6. 10 ) Ostatě se limitě ve smyslu defiice 6 říkává často vlastí limita", aby se odlišila od evlastí limity. Slovem limita" bez další pozámky budeme v této kize rozumět vždy vlastí limitu; kde připouštím též evlastí limitu, připomeu to výslově. Slov* kovergetí posloupost" užíváme je pro poslouposti, jež mají vlastí limitu;' ostatí poslouposti azýváme divergetími, i když mají evlastí limitu. Příklad 1. Již jsme zjistili, že lim 2 = + oo, lim ( 2 + l) = co. Příklad 2. Je-li dáa posloupost (41) a ±, a 2,..., jsou zřejmě možé jeom tyto případy: 1) Existuje vlastí lim a.. 2) Jest lim a = + oo. 3) Jest lim a = oo. 4) Neexistuje ai vlastí ai evlastí lim a. Tvrdím, že se tyto čtyři možosti avzájem vylučují. Že čtvrtá možost vylučuje prví tři, je jasé: Že se prví tři možosti avzájem vylučují, bude zřejmě dokázáo, dokážeme-li. tato tři tvrzeí: A) Má-li posloupost (41) vlastí limitu, je omezeá (shora i zdola). B) Je-li lim a = + co, je posloupost (41) zdola omezeá, ale eí shora omezeá.. C) Je-li lima rt = co, je posloupost (41) shora omezeá, ale' eí zdola omezeá. Tvrzeí A) bylo dokázáo ve větě 54. Budiž yí lim a = + co; budiž K libovolé číslo. Potom existuje přirozeé číslo 0 tak, že pro > 0 je a > K. Tedy eí posloupost (41) shora omezeá. Za druhé je pro každé platá erovost.a., = Mi (a l9 a 2,..., a 0, K), takže (41) je zdola omezeá. Tím je dokázáo tvrzeí B); tvrzeí C) se dokáže obdobě. Příklad 3. Z příkladu 2 ihed ásleduje, že věta každá posloupost má ejvýše jedu limitu" (věta 51) zůstává v platosti i tehdy, připouštíme-li též evlastí limity. Příklad 4. Má-li posloupost (41) vlastí ebo. evlastí limitu, má každá vybraá posloupost ( 42 ) ci k í,a k 2 9... 9 ) Mohli bychom též rozšířit možiu reálých čísel o dvě věci", zvaé + oo, oo a pojímat vzorce (39), (40) skutečě jako rovost mezi levou a pravou straou; později tak skutečě učiíme, ikoli však v této elemetárí kize. * ) Také v obecé mluvě se vyskytují podobé úkazy. Defiujeme-li pojem matka" slovy matka osoby A je žea, která osobu A porodila" (což je obvyklý. smysl slova matka), eí evlastí matka osoby A matkou osoby A.
*_3 91 touž limitu. Důkaz: Pro vlastí limitu viz větu 62. Budiž za druhé lima = + <_o. Budiž A libovolé číslo; existuje 0 tak, že pro > 0 je a > A. Je-li > 0 ;je k > > 0 (ježto k ^ ) a tedy a k > A; tedy lim a h = + oo. Případ lim a = oo se řeší obdobě. Příklad 5. Příklady ke čtvrté možosti příkladu 2: poslouposti (4) 1,~1,1, -1,1, -1,... (8) -1,2,-3,4,-5,6,... (9\ 1 1 2-3 - 4 - emají ai vlastí ai evlastí limitu, * *) eboť z každé z ich lze vybrat dvě poslouposti s růzými (popř. evlastími) limitami: Z poslouposti (4): Z poslouposti (8): Z poslouposti (9): 1, 1, 1,...; -1, -1, -1,...; limity 1, -1. 1, 3, 5,...; 2, 4, 6,...; limity oo, + oo. 1,2, 3,4,...;l,f,f,,...; limity + oo, 0. Příklad 6. Budiž dáa posloupost (P) a í9 a 29 a 39... a budiž dáa jakákoliv posloupost přirozeých čísel r i9 r 2, r 3,... Sestrojme posloupost (P') takto: apřed přijde ^-kráte čle a u potom r 2 -kráte čle a 2 atd. Je-li apř. r t = 2, r 2 = 1, r 3 = 4, r 4 = 2,..., vypadá (P') takto: 0i, <*i, a 29 a 39 a 39 a 39 a 39 a 4, a 4, a 59... Tvrdím: má-li jeda z posloupostí (P), (P') limitu (vlastí ebo evlastí), mají obě limitu, a to touž. Důkaz. I. Nechť má (P') limitu (stále připouštím i evlastí); ježto (P) je vybraá posloupost z (P'), má i (P) touž limitu. II. Nechť má (P) limitu, apřed třeba slastí: lim a = a. Budiž e > 0. Existuje přirozeé t tak, že pro > t je \a a\ < e. Položme 0 = r 1 + r 2 +... + r Bl. Prvích 0 čleů poslouposti (P') jsou právě a í9..., a i (prví z ich rj-kráte atd.); za imi přijdou již čley a m s idexem m > t. Je-li tedy > 09 liší se -tý čle poslouposti (P') od čísla a o méě ež e. Tedy má posloupost (P') limitu a. Podobě se řeší případy lim a = + oo, lim a = oo (pouze místo \a a\ < e se píše erovost a > A 9 popř. a < A). ìi ) U poslouposti (8) to plye též z toho, že eí shora ai zdola omezeá.
92 KAP. Příklad 7. Je-li lim a = + co, je lim (- a ) = - co a aopak, je-li lim a = = oo, je lim( a ) = + co. Důkaz: Budiž lim a = + co; budiž dáo A. K číslu A existuje 0 tak, že pro > 0 je a > A, tj. a < A. Tedy lim ( a ) = co. Druhá část obdobě. Příklad 8 (důležitý). Pro \a\ < 1 je podle 2, příkl. 3 lim a = 0. Proberme ještě ostatí případy. I. Je-li a = 1, je lim a = 1. II. Je-li a > 1, položme h = a - 1, tedy h > O, a = 1 + h, a" = (1 + h) = 1 + h > h. Budiž A libovolé číslo, položme 0 h = A, tj. 0 = -. Pro > 0 je a > h > 0 h = A; tedy lim a = h = + co. III. Je-li a < - 1, je a > 1 a tedy lim \a\ = + co. Vezměme vybraé poslouposti tj. a 2, a 4, a 6,...ja 1, a 3, a 5,..., MMalMal 6,...;-^! 1, - a 3, - a 5,...; prví má limitu + co, druhá co. Tedy eexistuje lima" (vlastí ai evlastí). IV. Obdobý výsledek platí pro a = - 1 (posloupost - 1, 1, - 1, 1,...). Tedy celkem: lim a = 0 pro - 1 < a < 1, lim a = 1 pro a = 1, lim a = + co pro a > 1. Pro a ^ 1 eexistuje vlastí ai evlastí limita. Cvičeí 1. K defiicím 7, 8 lze učiit obdobé pozámky A), B), C), jako byly učiěy k defiici 6 ve cvičeí 1, 1. Pozámka C) má yí teto tvar: Smysl defiice 7 se ezměí, omezíme-li se a oa A, jež jsou větší ež jakékoliv předem daé číslo A 0 ; podobě se v defiici 8 smíme omezit a hodoty A < A 0. 2. Věta 53 platí i pro evlastí limity; proto můžeme (a také budeme) o evlastích limitách mluvit i tehdy, když koečý počet čleů poslouposti eí defiová. 3. Je-li lim a = + co (popř. co) a existuje-li x tak, že pro > x je b "= a (popř. b ^ a ), je též lim b = + co (popř. co). 4. Je-li lima = + co ebo co, je lim a = + co. Obrátit se tato věta edá: je-li a = ( 1)", je lim a = + oo, ale lim a (vlastí ai evlastí) eexistuje. 5. Nevlastí limita lim a existuje tehdy a je tehdy, je-li lim a = + co a jsou-li pro > l všechaa kladá (potom je lim a = + oo) ebo všecha a záporá (potom je lim a = = oo). Srovej s cvičeím 4. Rovice (31) obsahují věty o lim (a ± b ), lim a b, lim. Následující cvičeí obsahují b obdobé vety pro evlastí limity. 6. Je-li lim a = + co a je-li posloupost b l,b 2,... zdola omezeá, je lim (a + b ) = = 4-oo (ávod: b > k; budiž dáo A; existuje 0 tak, že pro > 0 je a > A k, tedy a + b > A). Speciálě: existuje-li lim b ±-oc a je-li lima = + co, je lim (a + b ) -= -= + co.
$3 93 7. Je-li však limtf rt = + oo, lim^b = oo, jsou možé ejrůzější případy: budiž třeba -a = ; je-li b = - + a, je lim (a + b ) = a; je-li b = - \ 9 je lim (a ri + b ) = + oo je-li & rt = - 2/7,jelim(a,. + b ) = - oo; je-li b = - /i + (- l), eexistuje lim (<? + ^(vlastí ai evlastí). 8. Proberte obdobě k cvičeí 6 případ lim a = oo. 9. Je-li lim a = + oo a existuje-li kladé číslo 6 tak, že pro > t je b *^, je iima^ = = + oo; platí-li b = b místo b = b 9 vyjde lim a^ = --- oo. Speciálě: je-li limo,. = = + co a existuje-li lim b (vlastí ebo evlastí) růzá od uly 9 existuje evlastí lim a b ; sado zjistíte, kdy + co a kdy co. Obdobě pro lim a = co. 10. Je-li však lim a = + oo, lim b = O, jsou možé ejrůzější případy: sestrojte příklady, v ichž lim a b je + oo, oo, O, vlastí kladá, vlastí záporá, popř. vůbec eexistuje. 11. Je-li O O, \ima = ± oo, je lim ca = ± co, lim(-- ca ) = + oo, kde platí buďto všecha horí ebo všecha dolí zameí. 12. Ježto ovládáme ásobeí (cvičeí 9, 10, 11),-stačí, když místo podílu vyšetříme převráceou hodotu. Dokažte: tehdy a je tehdy je lim \a \ = + oo, je-li lim = 0 (evadí, je-li M = 0 pro koečý počet hodot, viz cvičeí 2). 13. Je-li lim a = + oo ebo lim a = oo, je lim = 0. Naopak: je-li lim = 0 a a a jsou-li všecha a pro > t kladá ebo všecha záporá, existuje evlastí lim a. Omezeí o zaméku je uté: pro a = ( 1)". eexistuje lim a, ač lim = 0. 14. Je-li lim a == 0, emusí být lim = + co [ příklad: a = 0 pro všecha 9 emá V a smyslu J. Platí však: budiž lima,. = 0; je-li a 4= 0 pro > i9 je lim ) pro > l9 je lim = + oo; je-li a < 0 pro > i9 je lim = oo. a a a = + oo;je-lia > 0 15* Buďte dáa čísla A 0, A í9..., A fc, k celé kladé, A 0 =}= 0. Potom je lim (A 0 k + A x k ~ * + +... + Afc-x/i + A h ) = + oo pro A 0 > 0, = oo pro A 0 < 0 (ávod: vytkěte k a užijte cvičeí 9). 16. Buďte k 9 l celá ezáporá čísla, A 0 4-0, B 0 4= 0. Staovte t. A 0 k + A^' 1 +... + A k lim i j i ; B 0 l + Bi'" 1 +... + B- -vyjde pro k = /, 0 pro fc < /, + oo ebo oo (podle toho, zda A 0, B 0 mají stejá či růzá. B o.zameí) pro k> /.. 17. Existuje-li číslo d > 1 a přirozeé číslo ± tak, že pro každé "^ /^ je ^> 0, yla~ >d 9 je lim ^ = + 00 (důkazy v cvičeí 17 až 20 jsou obdobé jako v 2, cvičeí 5 až 8). IB. Je-li lim \la~ > 1 (po příp. = + oo), je lim a = + oo.
94 KAP. ir 19. Existuje-li číslo <5> 1 a přirozeé t tak, že a i > 0 a že pro *= t je +1 > ó, jea Mma = -f oo 1? ;. 20. Je-li ťz > 0 pro > íf lim --------- > I, je lim a = + oo.. 21. Kdybychom ve cvičeí 19 místo a i > O psali a i < 0, dostali bychom lim a, I + 1 Kdybychom podmíku a í > 0 vyechali a místo w + 1 > (5 psali > <5, dostali bychom lim \a \ = + co. 22. Je-li lim(a +1 : a ) < 1, je lim laj = -f co, ale lima rt eexistuje (ai evlastí). 23. lim ^T = + oo. (Návod: budiž A > 0; podle 2, cvičeí 9 je A < i pro > 0 ; utvořte -tou odmociu). 24. Budiž k celé; podle 2, cvičeí 11 je lim k x = 0 pro JC < 1. Vyšetřete ještě ostatí hodoty x. Pro x = 1 vyjde limita + oo, 1, 0, podle toho, zda k > 0, = 0, < 0. Pro x > 1 je limita -f- co. Pro x = 1, k < 0 je limita 0. Pro x = 1, k = 0 limita (ai evlastí) eexistuje, ale lim *x = 1. V ostatích případech (x = 1, k > 0 ebo x < 1) eexistuje limita (ai evlastí),, ale lim \ k x \ = -f- - 4. Mootóí poslouposti. Jestliže v poslouposti (43) a l9 a 29 a 39... je a < a +l pro každé, tj. je-li každý ásledující čle větší ež předcházející., říkáme, že posloupost (43) je rostoucí; v takové poslouposti je tedy a t < a 2 < < a 3 <... Mohé úvahy, platé pro rostoucí poslouposti, platí i tehdy, ahradíme-li zameí < zameím ^. Proto dáváme takovým posloupostem zvláští jméo: je-li a ^ a +í pro každé, říkáme, že posloupost (43) je eklesající* Každá rostoucí posloupost je eklesající, ale e aopak. Obdobě: je-li a > a +í pro každé, říkáme, že posloupost (43) je klesající; je-li a = a +1 pro každé > říkáme, že posloupost (43) je erostoucí (každá posloupost klesající je ovšem erostoucí, ale e aopak). Posloupostem eklesajícím a posloupostem erostoucím dáváme společý ázev: poslouposti mootóí. Na ázvy právě zavedeé uto dát trochu pozor: posloupost, která eí rostoucí", emusí být proto ještě erostoucí"; apř. posloupost,i\ 1, 1! 1 1 ( 2 4 3 6 5 V 1 X > \ 2 2-1 / 12 ) V předpokládaé erovosti a +í : a > ó je obsaže (evysloveý) předpoklad, že pro ^ x je a -# 0; jiak by totiž levá straa erovosti emela smyslu. Obdobě je třeba rozumět takovým výrokům v podobých případech: vyslovím-li ěkde předpoklad (ebo tvrzeí), že je apř. A = B, předpokládám (popř. tvrdím) tím, že předě oba výrazy A, B mají smysl a za druhé, že si jsou rovy.
r4 95 eí ai rostoucí \ ai erostoucí (eboť apř. 1 > -. obecě a 2 = > -- = a 2+í ) F 4 2/i - 1 2( + 1) / í eboť apř. - < 1, obecě a 2. í = < = a 2 ). \ 2 2/i 2/i - 1 / Všechy mootóí poslouposti tvoří je zcela speciálí, ale velmi důležitou třídu posloupostí. Z posloupostí (2) až (11) v 1 jsou (2), (7) klesající, (6), (10) rostoucí, (5) erostoucí a současě eklesající (pro každé je a = a +í = 2, tedy a _ a +í a současě a ^ a +í ), kdežto (3), (4), (8), (9), (11) vůbec ejsou mootóí. Pro mootóí poslouposti dokážeme yí dvě svrchovaě důležité věty. Budiž předě (43) posloupost eklesající^ potom je zdola omezeá (eboť a x je její ejmeší čle, takže if a = a^); může také, ale emusí být shora omezeá 71=1,2,... (viz (10), (6)). Shora omezeá" zameá tedy pro eklesající poslouposti totéž jako omezeá". Platí pak tato věta: Věta 63. Posloupost (43) budiž eklesající. Neí-li shora omezeá, je lim a = = + co. Je-li shora omezeá, má vlastí limitu (44) lim a = sup a. Jl->CO 71=-1,2,... Důkaz. I. Neí-li (43) shora omezeá, existuje ke každému A přirozeé číslo 0 tak, že a Q > A (tj.: aspoň jede čle poslouposti je větší ež A). Ježto posloupost je eklesající, platí pro > 0 erovost a _ a Q,tedya > A. Tedy je lim a = = + co. II. Budiž (43) shora omezeá; položme G = sup a. Je tedy předě a = G =l,2,... pro všecha. Za druhé: je-li s > 0, existuje v poslouposti aspoň jede čle větší ež G c, tj. existuje přirozeé číslo 0 tak, že a Q > G s. Pro > 0 je a = a 0, tedy G - e < a = G < G + s, tj. \a - G\ < e. Tedy je lim a = G. Důsledek. Je-li posloupost (43) eklesající a shora omezeá, je a k ^ lim a -*oo pro každé přirozeé k; to je zřejmé podle (44), eboť je jistě a k= supa,,. =l,2,... Podobě: je-li posloupost (43) erostoucí, je vždy shora omezeá (ejvětší čle = = a x = sup a ); zdola omezeá být může; ale emusí (viz (2), (7) v 1). Platí pak
96 KAP.H Věta 64. Posloupost (43) budiž erostoucí. Neí4i zdola omezeá, je lim a =. -*oo = oo. Je-li zdola omezeá, má vlasti limitu (45) lim a = if a. -*oo =l,2,... Důsledek. Je-/i posloupost (43) erostoucí a zdola omezeá, je a k = lim a -*oo pro každé přirozeé k. Důkaz, který je zcela obdobý důkazu věty 63, přeechávám čteáři. Viz též cvičeí 1. Z vět 63, 64 plye ihed Věta 65. Mootóí posloupost je kovergetí tehdy a je tehdy, je-li omezeá. Že každá kovergetí posloupost je omezeá, víme (věta 54). Víme však také, že omezeá posloupost emusí být kovergetí (apř. posloupost (4) v 1)..Ale mootóí omezeá posloupost je vždy kovergetí. Věty 63 až 65 jsou základího výzamu. Představme si, že chceme podle defiice 6 zjistit, zda ějaká posloupost a l9 a 29... je kovergetí; k tomu cíli sestrojíme výraz \a a\; zjistíme-li, že ke každému > O existuje 0 tak, že pro > 0 je \a a\ < s, je posloupost kovergetí a má limitu a. Abychom však tohoto postupu mohli užít, musíme apřed ějak uhodout, které číslo a by mohlo být limitou poslouposti, eboť jiak bychom výraz \a a\ emohli sestrojit. U mootóí poslouposti však stačí zjistit, že je omezeá: potom je jistě kovergetí, i když emáme a prví pohled vůbec poětí, jakou hodotu by limita vyšetřovaé poslouposti mohla mít; v tom je výzam vět 63 až 65. Když jsme zjistili, IQ posloupost má limitu (jejíž hodotu třeba prozatím ezáme), askýtá se ovšem další úkol: totiž alézt postup, kterým lze hodotu této limity s libovolě malou chybou vypočíst; tímto úkolem se budeme později též v mohých případech zabývat (viz též příklad 3 v tomto ); ale prví úkol, totiž zjistit existeci limity, se často řeší přímým použitím věty 65. Důkaz vět 63 až 65 spočívá a pojmu supremum a ifimum poslouposti"; teto pojem spočívá (viz počátek 2) přímo a pojmu supremum a ifimum možiy"; a teto pojem spočívá a základích větách 39, 40. Vidíte, že věty 63 až 65 souvisejí úzce s větami 39, 40; bližší o tom viz v cvičeí 12. Následující příklady jsou velmi důležité v matematice. Příklad 1. Posloupost, jejíž -tý čle je (1 -\ ], je kovergetí. V j Pišme.a = ( 1 H ) ; limitu lim a, jejíž existeci dokážeme, budeme vždy začíte; a aopak V j písmeo e bude vždy začit toto číslo. Číslo e ie velmi důležité, jak pozáme později.
_4 97 / 1V +1 Důkaz. Položme b = j 1 H j ; tvrdím, že posloupost b l9 b l9... je klesa- / l\ +1 / 1 V +2 jící, tj. že [ 1 + - ) > (1 H ). Tato erovost (kterou máme dokázat) V ) V + l) platí tehdy a je tehdy, platí-li í + 1V + 1 ( + 2Y +2. /w + 1V +2 > /«_±_?Y +2 + 1 (!i±i r I >1+i, tja 1+ >r! > 1 + i, \( +2)/ \ ( + 2)/ eboť ( + l) 2 = «( + 2) + 1. Pro h > 0, k > 1, k celé je (1 + h) k > 1 + kh; levá straa posledí erovosti je tedy větší ež 1 + ( + 2) = 1 H. Tím je posledí erovost doká( + 2) záa, takže posloupost b l9 b 2,... je klesající a ovšem zdola omezeá (eboť b > 0); tedy existuje lim b = A a tedy lim A + ly-limv "^ = V "^ -A. V "1 i + i limri Ҷ + í^ 1 + i) Tím je důkaz provede;.a je právě číslo, jež jsme se rozhodli ozačit písmeem e. Tedy je / IV / 1V +1 lim a = e = lim b, tj. lim I 1 + -) = e = lim f 1 + - j Příklad 2. Pro každé je (1 + - j < e < (1 + - J (tj. a < e < b 9 podržíme-li ozačeí z příkl. 1). Důkaz. Ježto b l9 b 2,... je klesající posloupost, lim b = e 9 je podle důsledku věty 64 b > b + i e. Dckážeme-li, že a l9 a l9... je posloupost rostoucí, bude podle důsledku věty 63 a < a +1 = e. Podle biomické věty je, 1 ( - 1) 1 ( -' 1) ( - 2) 1 a = 1 + -. - + > '-. + -i ^. +...+ \ 1.2 2 1.2.3 /i 3,»(»-!) ' (-( -1)) 1 1.2... ' 7 Jarík: Difereciálí početí.
98 KAP. ir _KKK)H) + - + Píšeme-li zde rc + 1 místo, dostáváme a + 1 = 1 + x + 1A ) + 1A J_Vi ) +... + 2! V +lj 3! V " + 1/V +V (47) + _(. V,...(, >) + v '! V + V V» + 1/ V» + 1/ +_L_ u - -i-v, - y.. /, _ - ). ( + l)!\ "+1/V/ "+V V "+ 1 / k k Pro k = 1, 2,..., 1 je 1 < 1 ; každý čle v (46) od třetího počí + 1 aje 13 ) je tedy meší ež stejolehlý čle v (47); mimoto vystupuje v (47) ještě další ový kladý čle, totiž _jl_(. -_v,- y.y, y ( + 1)! V + 1/ V +íj V +\J Tedy je vskutku a < a +í. Příklad 3. Příklad 2 ám dává možost počítat číslo e s libovolou přesostí, tj. s libovolě malou chybou. Je totiž a l = 2, b t = 4 a pro > 1 je 2 < a < e < < b < 4, b = a (1 + -) = a + - a. Zvolíme-li určité a vypočteme a = V J = (1 H ), bude číslo a vyjadřovat číslo e s chybou 14 ) meší ež b a = V J 1 4 = a <. Zvolíme-li dosti velké, můžeme tuto chybu učiit libovolě malou. Např. zvolím-li = 4000, bude chyba meší ež JQ^Q. Vidíte, že by teto postup byl velmi amáhavý: k dosažeí této poměrě malé přesosti bychom musili vypočíst (t + 4oW) 4000-15 ) Požiji si odvodíme jiý postup, který ám umoží esrovatelě 13 ) Pro -= 1 vystupují ovšem je prví dva čley: a í = 1 + 1. 14 ) Chybou" rozumíme zde ovšem číslo \e a \. 1 4 15 ) Ježto a < 4, vyšel by pro číslo - a o ěco lepší odhad ež -; ale e o moho lepší, eboť 1 2 a > 2 a tedy - a > -. //