M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y + z 4 = 0 a σ : x + 2y 2z + 4 = 0. 3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = 12 + 4t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0. 4) Určete vzájemnou polohu přímek p : x = 8 4t, y = 4 + 8t, z = 12t, t R a q : x = 3 + 3s, y = 1 6s, z = 2 + 9s; s R. 5) Vypočítejte odchylku dvou rovin, které jsou dané obecnými rovnicemi ρ : x + 2y + 2z 5 = 0 a σ : x 2y z + 3 = 0. M1 Prog4 D2 1) Spočítejte vektorový součin vektorů a = i 3 j + 2 k, b = 3 i + 9 j 6 k a určete velikost výsledného vektoru. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny dané třemi body A[1; 1; 2], B[2; 1; 2], C[1; 1; 4]. 3) Určete souřadnice bodu souměrného k bodu A[4; 3; 1] podle roviny ρ : x + 2y z = 3. 4) Určete vzájemnou polohu dvou rovin daných parametricky ρ : x = 2 + 3u v, y = 1 9u + v, z = 3 12u 2v; u, v R a σ : x = 1 2s + t, y = 2s 3t, z = 2 4s 4t; t, s R. 5) Vypočítejte vzdálenost bodu A[5; 1; 3] od přímky p : x = 1 + 2t, y = 5 + 3t, z = 2 + 2t; t R. M1 Prog4 D3 1) Určete jednotkový vektor kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j k. 2) Zjistěte, zda body A[2; 1; 2], B[1; 2; 1], C[2; 3; 0], D[5; 0; 6] leží v rovině. 3) Určete souřadnice bodu, který je stejně vzdálený od bodů A[3; 11; 4], B[ 5; 13; 2] a leží na přímce dané implicitně x + 2y + z 1 = 0 3x y + 4z 29 = 0. 4) Určete vzájemnou polohu přímky p : x = 4 3t, y = 5 3t, z = 4 4t; t R a roviny ρ : x = 1 2r + 5s, y = 2 + 3r, z = 4s; r, s R. 5) Určete odchylku rovin ρ : x = 3 + r 2s, y = 2 r + 2s, z = 1 4r; r, s R a σ : 3x + 5 = 0. M1 Prog4 D4 1) Zjistěte, zda jsou dané vektory komplanární a = i 2 j + k, b = 3 i + j 2 k, c = 7 i + 14 j 13 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny dané body A[2; 3; 1], B[3; 4; 0] a vektorem c = (1; 2; 3). 3) Určete průsečík přímky p : x = 1 + 3t, y = 2 + 4t, z = 2t; t R a roviny ρ : x = 1 + 2s + 2r, y = 2 r, z = 7 + 6s + r; r, s R. 4) Určete vzájemnou polohu roviny ρ : 2x 5y + 4z 10 = 0 a roviny σ : 4x 10y + 8z 10 = 0. 5) Vypočítejte vzdálenost bodu A[3; 5; 6] od roviny ρ : 2x 2y + z 8 = 0. 1
M1 Prog4 D5 1) Vypočtěte obsah rovnoběžníku sestrojeného z vektorů a = i + j 2 k, b = 9 i 8 j + 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která je rovnoběžná s osou y a která obsahuje body A[4; 0; 0], B[0; 0; 5]. 3) Najděte pravoúhlý průmět bodu M[3; 1; 1] do roviny ρ : x + 2y + 3z 30 = 0. 4) Určete vzájemnou polohu přímky p : x = 2 t, y = 3t, z = 3 + 4t; t R a roviny ρ : x 5y + 4z 6 = 0. 5) Určete odchylku rovin ρ : x = 1 + 5r s, y = 8 3, z = 2 3r + s; r, s R a σ : x = 5 u 3t, y = 16 + u 3t, z = 3 + 4u; t, u R. M1 Prog4 D6 1) Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu sestrojeného z vektorů a = 3 i + 4 j, b = 3 j + k, c = 2 j + 5 k. 2) Bodem M[1; 1; 2] veďte rovinu kolmou k přímce dané body A[0; 16; 1], B[ 8; 12; 0]. 3) Určete průsečnici roviny α, která je daná bodem A[2; 2; 5] a přímkou p : x = 1 + t, y = t, z = t; t R s rovinou β, která je daná bodem B[ 3; 0; 1] a přímkou q : x = 2 s, y = 1 + s, z = 1 2s; s R. 4) Určete vzájemnou polohu rovin ρ : x = 2 + u v, y = 1 3u + v, z = 3 4u 2v; u, v R a σ : 10x 6y + 2z 32 = 0. 5) Ověřte, že roviny ρ : x + y + z 6 = 0 a σ : x + y + z 3 = 0 jsou rovnoběžné, a určete jejich vzdálenost. M1 Prog4 D7 1) Zjistěte, zda jsou dané vektory komplanární a = (1; 2; 3), b = (3; 1; 2), c = ( 2; 1; 1). 2) Napište rovnici roviny souměrnosti úsečky AB, je-li A[ 2; 5; 7], B[6; 3; 1]. 3) Určete souřadnice průsečíku roviny ρ : 2x 3y + 2z 9 = 0 a přímky dané implicitně rovnicemi 5x + 8y z 7 = 0 x + 2y + 3z 1 = 0. 4) Ukažte, že roviny ρ : 5x 3y + 2z 5 = 0 a σ : 2x y z 1 = 0 jsou různoběžné a zapište parametrické vyjádření průsečnice těchto rovin. 5) Uřčete odchylku přímky p : x = 1+t, y = 2 t, z = t; t R od roviny ρ : x = 5 r 3s, y = 16+r 3s, z = 3 + 4r; r, s R. M1 Prog4 D8 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = (4; 3; 4), b = (5; 4; 2). 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází body A[1; 1; 2], B[3; 1; 1] a je kolmá k rovině ρ : x 2y + 3z = 0. 3) Určete souřadnice bodu A, který je souměrný s bodem A[6; 3; 14] vzhledem k přímce p : x = 1 + 2t, y = 2 + 4t, z = 2 + 5t; t R. 4) Jsou dány přímky m, n, p. Určete vzájemnou polohu těchto přímek. m : x = 5 + 3t, y = 8 6t, z = 6 + 9t; t R, n : x = 7 2r, y = 4 + 4r, z = 6r; r R, p : x = 10 + s, y = 3 2s, z = 2 + 3s; s R. 5) Uřčete odchylku přímky p: x + y + z + 1 = 0 x + y + 3z 3 = 0, od roviny ρ : x = 1 2t 3s, y = 2 s, z = 1 + 2t 2s; t, s R. 2
M1 Prog4 D9 1) Vypočtěte obsah trojúhelníka, je-li A[3; 4; 1], B[2; 0; 3], C[ 3; 5; 4]. 2) Přímkou p : x = 1 + t, y = 1 + 2t, z = t; t R proložte rovinu kolmou na rovinu ρ : 2x y + z + 1 = 0. 3) Najděte pravoúhlý průmět bodu M[2; 3; 4] na přímku p : x = y = z. 4) Určete vzájemnou polohu přímky p : x = 2 3t, y = 1 + t, z = 4 t; t R a přímky q dané implicitně x + 4y + z 10 = 0 x + y + 4z 15 = 0. 5) Uřčete odchylku přímky p : x = 5 + t, y = 1 + 3t, z = 2t; t R od roviny ρ : 2x y + 3z 4 = 0. M1 Prog4 D10 1) Vypočtěte objem čtyřstěnu daného body A[1; 2; 3], B[ 1; 0; 0], C[0; 2; 0], D[0; 0; 3]. 2) Určete obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem M[4; 5; 2] a je rovnoběžná s rovinou ρ : x = 3 + 3t, y = 1 + 3s, z = 2 2t + s; s, t R. 3) Určete průsečík přímky p : x = 1 + 2t, y = 5 + 4t, z = 3 + 3t; t R s rovinou, která je kolmá na tuto přímku a prochází bodem A[3; 1; 7]. 4) Určete hodnotu parametru m R tak, aby přímky p : x = 2 + t, y = 3 2t, z = 4; t R a q : x = 1 4r, y = m + r, z = 1 3r; r R byly různoběžné. 5) Uřčete odchylku přímky p: od roviny ρ : x y + z = 0. x y + z + 1 = 0 x + y + 3z 3 = 0 M1 Prog4 D11 1) Určete jednotkový vektor kolmý na vektory a = (1; 1; 2), b = (1; 0; 4). 2) Určete obecnou a parametrické rovnice roviny určené dvěma rovnoběžkami p : x = 1 + 3t, y = 2 + t, z = 3 2t; t R, q : x = 2 + 3s, y = 4 + s, z = 1 2s; s R. 3) Bodem P [2; 0; 2] veďte přímku, která protíná přímky p : x = 3 + s, y = 1 s, z = 0; s R, q : x = 3 + t, y = 3 + t, z = 1 t; t R. 4) Určete vzájemnou polohu přímky p: x + y z 1 = 0 5x + y + z + 15 = 0 a roviny ρ : x = 2 + r s, y = 1 + 3r, z = 3 + 2r + 4s; r, s R. 5) Uřčete vzdálenost bodu A[3; 5; 6] od roviny ρ : x = 1 + t + 2s, y = 1, z = 8 2t 4s; s, t R. M1 Prog4 D12 1) Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu sestrojeného z vektorů a = (1; 3; 1), b = (2; 1; 3), c = (1; 2; 1). 2) Vypočtěte obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[3; 1; 2] a přímkou p : x = 4 + 5t, y = 3 + 2t, z = t; t R. 3) Určete rovnici přímky q, která je kolmá na přímku p : x = 1 + 2t, y = 1 t, z = 5 + 3t; t R a prochází bodem M[2; 3; 1]. 4) Určete vzájemnou polohu přímky p: a roviny ρ : 2x 4y + 7z 3 = 0. y + z + 5 = 0 2x + y + 4z = 0 5) Vypočítejte vzdálenost bodu M[0, 2, 2] od roviny ABC, když je dáno A[1; 2; 2], B[2; 1; 1], C[1; 1; 2]. 3
M1 Prog4 D13 1) Vypočtěte obsah trojúhelníka sestrojeného z vektorů a = i + 3 k, b = j + 3 k. 2) Určete obecnou a parametrické rovnice roviny určené dvěma různoběžkami p : x = 1 + 3t, y = 12 + 2t, z = 2 t; t R, q : x = 18 + 4s, y = 3 s, z = 2 + 5s; s R. 3) Určete rovnici kolmice spuštěné z bodu P [5; 6; 0] na přímku p : x = 3 + 2t, y = 1 t, z = 1 + 3t; t R. 4) Určete vzájemnou polohu přímek daných implicitně p: a q: x + y + z 7 = 0 x y + 3z 9 = 0 x + z 8 = 0 2x + 2y + z 8 = 0. 5) Uřčete vzdáleost bodu M[3; 1; 4] od přímky p dané body A[0; 2; 1], B[1; 3; 0]. M1 Prog4 D14 1) Spočítejte vektorový součin vektorů a = (1; 3; 2), b = ( 2; 3; 3) a určete velikost výsledného vektoru. 2) Určete obecnou a parametrické rovnice roviny určené přímkou p : x = 1 + 2t, y = 3 t, z = 2 + 3t; t R a vekrotem a = (3; 2; 1). 3) Bodem M[1; 0; 7] veďte přímku q rovnoběžnou s rovinou ρ : 3x y + 2z 15 = 0 a protínající přímku p : x = 1 + 4t, y = 3 + 2t, z = t, t R. 4) Určete vzájemnou polohu přímky p : x = 4 + 5t, y = 3 5t, z = 1 + 2t; t R a roviny ρ dané body A[2; 0; 7], B[1; 3; 9], C[5; 4; 7]. 5) Uřčete odchylku přímky p : x = 5 t, y = 3 2t, z = 1 + 2t; t R od přímky určené body A[3; 2; 2] a B[7; 2; 1]. M1 Prog4 D15 1) Jsou dány vektory a = (2; 3; 4), b = ( 2; m; 0). Určete hodnotu prarametru m R tak, aby platilo a b = 4 6. 2) Určete obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem M[4; 5; 2] a je rovnoběžná s rovinou ρ : 2x y + 3z + 1 = 0. 3) Určete průsečnici roviny α, která je daná směrovým vektorem a = (1; 3; 2) a přímkou p : x = 3 + 3t, y = 1 7t, z = 2 + t; t R s rovinou β, která je daná směrovým vektorem b = (1; 3; 2) a přímkou q : x = 1 + 3s, y = 4 + 2s, z = 4 s; s R. 4) Určete vzájemnou polohu přímky p dané body A[7; 2; 3], B[4; 1; 0] a roviny ρ : 2x 4y + 7z 3 = 0. 5) Uřčete vzdálenost bodu M[4; 5; 3] a přímky p : x + y 9 = 0 x + 2y + z 17 = 0. 4
M1 Prog4 D16 1) Jsou dány vektory a = (3; 2; 1), b = (1; 4; 3). Najděte všechny vektory, které jsou kolmé k oběma daným vektorům. 2) Napište rovnici roviny určené bodem A[5; 3; 6] a přímkou p x 7y + z + 20 = 0 x 3y z = 0. 3) Určete průsečík různoběžek p : x = 3 t, y = 2+2t, z = 3t; t R, q : x = 2+s, y = 1 s, z = 9+3s; s R. 4) Určete vzájemnou polohu přímky p dané body A[2; 0; 1], B[3; 3; 0] a roviny ρ : x = 1 + s + 2r, y = 3s + 3r, z = 1 s 3r; s, r R. 5) Jsou dány roviny ρ : x = 2s, y = 2r, z = 2 r s; r, s R a σ : x = 1 u 2v, y = u, z = v; u, v R. Ověřte, že jsou rovnoběžné a určete jejich vzdálenost. 5