Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018
Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a číslo ε poloměr okolí. Množinu U (a, ε) = U(a, ε) {a} = (a ε, a) (a, a + ε) = {x R; 0 < x a < ε} budeme nazývat redukovaným (ryzím) okolím bodu a R. (Pro naše potřeby obvykle předpokládáme, že ε je libovolne malé.)
Definice (Hromadný bod) Bod a R je hromadný bod množiny M R, jestliže v každém jeho redukovaném okolí leží alespoň jeden bod x M.
Definice M a (a M) x M; x a ( x M; a x) Platí - li M a, a R, řekneme, že a je horní mez množiny M a množina M je shora ohraničená. Platí - li a M, a R, řekneme, že a je dolní mez množiny M a množina M je zdola ohraničená. a R je největší prvek množiny M, jesliže platí a M a M a. a R je nejmenší prvek množiny M, jesliže platí a M a a M.
Definice Nechť M R Nejmenší horní mez množiny M nazýváme supremum množiny M. sup M = min{x R; M x}. Největší dolní mez množiny M nazýváme infimum množiny M. inf M = max{x R; M x}.
Posloupnosti Posloupností nazýváme každou funkci, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel N, tedy f : N R je posloupnost reálných čísel. Obvykle klademe a n = f(n) a tuto hodnotu nazýváme n-tým členem posloupnosti. Posloupnost s n-tým členem a n označujeme symbolem (a n ) n=1 nebo zkrácene (a n). Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Rekurentně zadaná posloupnost Vybraná posloupnost
Limita posloupnosti Říkáme, že číslo a je limitou posloupnosti a 1, a 2,... jestliže platí ε > 0 n 0 ; n > n 0 = a n a < ε Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu Posloupnost, která má vlastní limitu, se nazývá konvergentní. Posloupnost, která má nevlastní limitu nebo nemá žádnou limitu, se nazývá divergentní. Bod b se nazývá hromadnou hodnotou posloupnosti (a n ), jestliže pro každé okolí U(b) je a n U(b) pro nekonečně mnoho indexů n. Horní limita-lim sup a n -největší z hromadných hodnot posloupnosti (a n ) Dolní limita-lim inf a n -nejmenší z hromadných hodnot posloupnosti (a n )
Každá konvergentní posloupnost je omezená. Monotónní a ohraničená posloupnost je konvergentní Nechť (a n ) je konvergentní posloupnost. Každá její vybraná posloupnost je konvergentní a má s ní stejnou limitu. Je-li lim a n = a, lim b n = b, je lim(a n + b n ) = a + b, ak b 0 lim a n b n = a b, lim a n b n = a b. Nechť existuje lim a n = a. Potom lim a n = a
Nechť lim a n = lim b n = a, nechť existuje n 1 N tak, že pro n > n 1 je a n c n b n. Potom existuje limita (c n ) a lim c n = a. Nechť ke každému číslu A existuje n 0 tak, že pro každé n > n 0 je a > A. Potom říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu +. lim n a n = +. Nechť ke každému číslu A existuje n 0 tak, že pro každé n > n 0 je a < A. Potom říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu. lim n a n =.
Nechť lim a n = 0, a (b n ) je ohraničená posloupnost. Potom lim a n b n = 0. ( lim 1 + 1 n = 2.71828. n n) lim a 1 n = a n 0 n N; lim = 0 n n a n 1 lim n a n = 0 témeř všechny a n jsou kladné (záporné) lim a n = ( lim a n = ) n n
(Limita funkce) Říkáme, že číslo A je limitou funkce f(x) v bodě c jestliže platí ε > 0 δ > 0; 0 < x c < δ = f(x) A < ε. Říkáme, že číslo A je limitou zprava funkce f(x) v bodě c jestliže platí ε > 0 δ > 0; 0 < x c < δ = f(x) A < ε. Říkáme, že číslo A je limitou zleva funkce f(x) v bodě c jestliže platí ε > 0 δ > 0; 0 < c x < δ = f(x) A < ε. Funkce f(x) má v bodě c nejvýše jednu limitu, a rovněž nejvýše jednu limitu zprava a jednu zleva.
(Typy limít) Limita ve vlastním bodě vlastní nevlastní neexistuje Limita v nevlastním bodě vlastní nevlastní neexistuje
vlastní limita ve vlastním bodě: ε > 0 δ > 0; x D(f) : 0 < x a < δ = f(x) b < ε. nevlastní limita ve vlastním bodě: K > 0 δ > 0; x D(f) : 0 < x a < δ = f(x) > K. vlastní limita v nevlastním bodě: ε > 0 K > 0; x D(f) : x > K = f(x) b < ε.
(Věty o limitách) Ak lim f(x) < lim g(x), tak x a x a U(a); x U (a) D(f) D(g); f(x) < g(x) Ak lim f(x) = b, lim g(x) = c a U(a); f(x) g(x). Potom x a x a b c Ak lim f(x) = lim h(x) = b a x a x a U(a); f(x) g(x) h(x). Potom lim g(x) = b. x a
(Věty o limitách) Ak lim x a h(x) = lim x a g(x) = b a U(a); h(x) f(x) g(x). Potom lim f(x) = b. x a
(Věty o limitách) sin x lim x 0 x = 1
(Aritmetické operace a limity) Nechť f, g mají vlastní limity v bodě a, a lim f(x) = b, lim g(x) = c. Potom x a x a lim x a lim x a lim x a [f(x) + g(x)] = b + c [f(x) g(x)] = b c [f(x) g(x)] = b c f(x) ak c 0, tak lim x a g(x) = b c
(Věty o nevlastních limitách) lim f(x) = lim f(x) = x a x a lim f(x) = ± lim f(x) = x a x a lim x a lim x a 1 f(x) = lim x a f(x) = 0 f(x) = g(x) je ohraničená lim f(x) = g(x) c > 0 lim x a f(x) = 0 g(x) je ohraničená lim x a lim [f(x) + g(x)] = x a [f(x).g(x)] = x a lim[f(x).g(x)] = 0 x a
(Limita složené funkce) Nechť a je hromadný bod množiny D(f), kde f = h g, existují limity c = lim x a g(x), d = lim t c h(t), na jistém okolí bodu a je pro x a také g(x) c. Potom lim x a f(x) = d.
(Spojitost funkce) Funkce se nazývá spojitá v bodě a, platí li lim x a f(x) = f(a). Funkce se nazývá spojitá sprava v bodě a, platí li lim f(x) = f(a). x a + Funkce se nazývá spojitá zleva v bodě a, platí li lim f(x) = f(a). x a
(Klasifikace nespojitostí) nespojitost prvního druhu skok nespojitosti odstranitelná nespojitost skoková nespojitost nespojitost druhého druhu
(Spojitost funkce na intervalu) Funkce se nazývá spojitá na intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém jeho bodě. Funkce se nazývá spojitá na uzavřetém intervalu a, b, jestliže je spojitá na otevřeném intervalu (a, b) a navíc je v bodě a spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.
(Spojitost funkce na uzavřeném intervalu) Ak f je spojitá na a, b, tak je na něm ohraničená Weierstrassova věta Ak f je spojitá na a, b, tak v nějakých bodech intervalu a, b nabývá svého maxima a minima. Ak f je spojitá na a, b, tak nabývá na tomto intervalu všech hodnot mezi svým maximem a minimem.