FYZIKA 1. UČEBNÍ TEXT KATEDRY FYZIKY PrF OU

FYZIKA UČEBNÍ TEXT KATEDRY FYZIKY PF OU LSKLENÁK, 00

Fyzia PřF OU, Sleá, 00 MECHANIKA HMOTNÉHO BODU (HB) KINEMATIKA HB Hotý bod (dále je HB) je ejjedodušší z odelů eálých objetů (těles) oužívaých v echaice Za hotý bod ůžee ovažovat aždé těleso, jehož vlastí ozěy ůžee ři vyšetřováí daého ohybu zaedbat Zavedeí tohoto odelu odstatě zjedoduší ois ohybu, teý se zabývá ieatia Záladíi veličiai ieatiy HB jsou olohový veto () t, veto oažité ychlosti v v () t a veto oažitého zychleí a a () t Rozhodutí o ohybové stavu HB a ois ohybu ůžee učiit až o volbě vztažé soustavy jedoho ebo ěolia těles, teá oládáe za lidá Po ois ohybu je uto řiojit e vztažé soustavě soustavu souřadic ař atézsou soustavu souřadic (KSS) s bázovýi vetoy i (, 0, 0), j ( 0, 0, ), ( 0, 0, ) - ob z Ob z(t) () t HB 0 i j y(t) y x(t) x Tajetoie HB v daé vztažé soustavě Po volbě vztažé soustavy a soustavy souřadic ůžee (aždéu) HB řiřadit jeho olohový veto () t x() t i + y () t j + z() t Počátečí bod olohového vetou je tvale v očátu soustavy souřadic, ocový bod je soje se svý HB a solu s í se ohybuje Tajetoie ohybu HB - ožia bodů v ostou, jiiž HB ochází, obecě ostoová řiva, dáha HB z hledisa jejího tvau Tajetoie eí fyziálí veličia - elze ji ěřit Můžee ji ouze hodotit a zařadit - řía, řiva, užice, uželoseča aod Podle (tvau) tajetoie dělíe ohyby HB a říočaé a řivočaé

Fyzia PřF OU, Sleá, 00 DRÁHA A () t Ob s déla oblouu AB B ( t ) Je to saláí veličia - déla s oblouu tajetoie, teý HB oíše (uazí) za časový iteval t t t s (ob); [ ] tajetoie HB PRŮMĚRNÁ RYCHLOST Půěá ychlost HB a dáze s uažeé za časový iteval t t t je - v s t ; v s - saláí veličia [ ] OKAMŽITÁ RYCHLOST POHYBU v v ; Oažitá ychlost HB - vetoová veličia - () t v x () t i + v y () t j + v z () t - [ v ] s Ob3 P A () t τ 0 Tajetoie HB v s () t ( ) B t τ 0 teča Pohyb HB o řivočaé tajetoii (ob3); t A, t B, t > t, t t t t t A B, τ τ, 0 0 Dáha HB - oblou AB o délce olohy HB je s ; zěa Půěá ychlost HB v itevalu t t t je v s t Oažitá ychlost HB v oažiu t ávat z blízého ásledého oažiu t do uvažovaého (očátečího) oažiu t Teto liití řechod t t ředstavuje záladí o vyšší ateatiy o zísáí oažitých vetoových ebo saláích fyziálích veliči!!! t t t 0!!! t t t 0 B A, τ 0 τ0, 0 s τ 0 τ, 0 - jedotové tečé vetoy tajetoie HB v bodech A,B Foálí úava: t 0 t

Fyzia 3 PřF OU, Sleá, 00 t - oečý, ěřitelý (časový) iteval, d t - eoečě alý, eěřitelý, eučitý - ifiitesiálí (časový) iteval t d ; d d τ0 ; d ds Veto oažité ychlosti HB (v oažiu t): d v() t li & t 0 t Veto oažité ychlosti v () t ohybu HB je ví (úlou) deivací olohového vetou () t - vetoové ovice dáhy HB odle času veto v () t ředstavuje oažitou zěu olohového vetou () t d () () t d v t d d ds v xi + v y j + vz v ( v x, v y, vz ), v t τ0 τ0 dx dy dz [ x() t i + y() t j + z() t ] i + j + () Veto oažité ychlosti á v aždé bodě tajetoie sě její tečy v toto bodě - veto v je souhlasě ovoběžý s jedotový tečý vetoe τ 0 - t τ t () () v 0 SPECIÁLNÍ PŘÍPAD v ost - veto v je vetoovou ostatou - á tedy stálý sě a ostatí veliost - ohyb HB je v toto říadě říočaý a ovoěý Dáhu s( t ) HB za časový iteval t t t učíe jao ozdíl souřadic HB, říslušejících oažiů t, t s ( t) x( t ) x( t ) v t POZNÁMKA: Teto vztah o výočet dáhy lze oužít i tehdy, je-li ohyb HB ouze v ost ovoěý ( ) OKAMŽITÉ ZRYCHLENÍ POHYBU HB Oažité zychleí HB: a () t a () t i + a () t j + a () t [ a] s x y z ; veličia - vetoová Pohyb HB o řivočaé tajetoii (ob4) t A, t B, t > t, t t t; t t B A, v v, Chcee-li učit veto oažitého zychleí HB v oažiu t, ovedee oět t 0 t ávat do tohoto oažiu obvylý oe ( ) s t 0 ( t ) t t B A,, d, v v, v dv

Fyzia 4 PřF OU, Sleá, 00 Ob4 A() t v B( t ) v v v v v P a) v b) Veto oažitého zychleí ohybu HB je a v dv a () t li v& t 0 t Veto oažitého zychleí ohybu HB a () t je ví (úlou) deivací vetou oažité ychlosti v () t HB odle času veto a () t ředstavuje oažitou zěu vetou v () t Současě latí taé dv d d d d [ v () t ] &, & taže vztah ezi ieaticýi veličiai oisujícíi ohyb HB lze vyjádřit v jedoduché odobě a v& & x y, z, v v, v, v, a a, a, a ( ) ( ) ( );, x y z x y z a x dv x d x a x dv v& x x& y d y, ay a y v& y&, y a z dv z d z a z v& z& z SPECIÁLNÍ PŘÍPAD a ost veto a á stálý sě a ostatí veliost HB oá říočaý, ovoěě zychleý ebo ovoěě zoaleý ohyb a ost, a a, a, a a ost, a ost, a ( ) ost x y z x y z Rovoěě zychleý říočaý ohyb ( a v ): 0 () t at v0 ; x () t at + v0t + x 0 v + Za časový iteval 0, t uazí HB dáhu () t at + v t s 0

Fyzia 5 PřF OU, Sleá, 00 Rovoěě zoaleý říočaý ohyb ( a v 0 ): () t at v0 ; x () t at + v0t + x 0 v + Za časový iteval 0, t, uazí HB dáhu () t at + v t s 0 POHYB HB PO KRUŽNICI v Křivočaý ohyb HB ohyb s tzv dostředivý zychleí a d ; tajetoií ohybu je užice o oloěu - HB oá oviý ohyb; volba KSS: 0 S Úhlová dáha A ROVNOMĚRNÝ POHYB HB PO KRUŽNICI vetoe) za časový iteval v v ost ; ost a d ost () t [ ϕ] ( ad ) ϕ ; vt ( v ) t ωt [ ω] ( ad) s s - úhel osaý ůvodiče HB (jeho olohový 0,t Hodota úhlu ϕ v oblouové íře je ϕ s ; v ω ost, ω v ω je veliost úhlové ychlosti HB; Složy olohového vetou HB v oažiu t (ob5) x () t cosωt; y() t siωt y v () t Ob5 y(t) a a a d () t 0 S ϕ(t) ωt B (t) x(t) A (t 0) x složy vetou oažité ychlosti v oažiu t : v x () t x& () t ωsiωt; v () t y& () t ωcos ωt Složy vetou oažitého (oálového) zychleí v oažiu t : a x a () t v& x () t x&& () t ω cosωt ω x() t ; () t v& () t y&& () t ω siωt ω y() t y y y

Fyzia 6 PřF OU, Sleá, 00 Oud dostáváe () t cos ωt i + siωt j v() t ωsi ωt i + ωcos ωt j, a t ω cos ωt i + ω siωt () j Rovoěý ohyb HB o užici je eiodicý ohyb s eiodou T Vyjádřeí eiody zísáe z odíy eiodičosti goioeticých fucí si ωt a cos ωt ( t + T ) si( ωt + π) ωt π si ω T π ω ω f ; T π Fevece f ohybu je a [] f s Hz ( hetz) B NEROVNOMĚRNÝ POHYB HB PO KRUŽNICI v v() t Vyjádřee dáhu ohybu HB a deivuje ji odle času s () t ϕ () t s& v ϕ& ω; s&& v& a ϕ&& ω& ε ; t ; v ω ; at ε a ω ; s ϕ ; ε ω& ϕ&& - - ε je úhlové zychleí ohybu; [ ε] ( ad ) s s Je-li ohyb HB o užici ovoěě zychleý ebo zoaleý, latí v () t a ε ( ) ω ost ε ost; ω 0 t 0 () t v ± a t t + v 0 ± εt + ω0 ω t () t ± ε + ω0 K učeí olohy HB a užici ůžee oužít délu oblouu s () t, ěřeého od bodu [, 0] v ladé i záoé syslu [užice je souřadicovou osou a s t 0,± ] Jiou ožostí je oužití úhlové souřadice hodoty () ) oietovaého úhlu ϕ () 0, ± ) t, jehož očátečí aee je ladá oloosa x Při ovoěě zychleé ebo zoaleé ohybu HB lze tyto souřadice vyjádřit jao s () t s ± att + v0t + s0 ± εt + ω0t + ϕ0 ϕ t () t () t ± εt + ω0 + ϕ0 Po úhlovou dáhu za časový iteval 0, t dostáváe ϕ () ± εt + ω t t 0 Zaéo (+) ve výše uvedeých vztazích latí o ohyb zychleý, zaéo (-) o ohyb zoaleý

Fyzia 7 PřF OU, Sleá, 00 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Předět studia: vzájeé ůsobeí těles, vedoucí e zěě jejich ohybového stavu Záladí veličia: síla F F N g s [ ] - Duhy sil (v echaice): vtištěé (oteciálové, disiativí), setvačé Zálad a východiso dyaiy - tři záoy ohybu (ubliovaé ové solečě INEWTONEM 687) + axio o ezávislosti silového ůsobeí Záo setvačosti (GGALILEI) Každé těleso setvává ve stavu lidu ebo ohybu ovoěé říočaé, oud eí vější (vtištěou) silou uceo teto ohybový stav zěit F 0 v ost Setvačost - záladí vlastost hoty Jestliže a HB schoý ohybu eůsobí (vtištěá) síla, ebo a ěj ůsobí více sil, teé ají ulovou výsledici F 0 v ost - HB oá setvačý ohyb, což je ohyb ovoěý říočaý ebo elativí lid Ve vztažých soustavách, v ichž latí záo setvačosti, oá volé těleso výhadě setvačý ohyb Taový soustavá říáe setvačé eboli ieciálí HYBNOST HB Vetoová veličia defiovaá jao souči hotosti a vetou v oažité ychlosti HB: d v & ; v ; [ ] g s Setvačý ohyb: v ost ost ( ost ) Hotost - ía láty obsažeé v tělese o objeu V ůěá hustota 3 láty (tělesa) je ρ V ; [] ρ g Hotost tělesa (hotého bodu) oládáe v ewtoovsé echaice za ostatí Hybost je ifoativější veličiou ež oažitá ychlost, eboť veliost hybosti vyovídá o setvačých účicích tělesa hotosti, ohybujícího se ychlostí v a taé - ja dále uvidíe i o iulsu síly, otřebé ař jeho zastaveí (sovej ohyb oáa a loootivy, dějící se stejou ychlostí) Duhý ohybový záo Oažitá zěa hybosti tělesa je ova vtištěé síle d dv ost a F a F d & F

Fyzia 8 PřF OU, Sleá, 00 a F > 0 a F s F a, tato defiovaou hotost (tělesa) azýváe hotost setvačá Těleso v gavitačí oli se (v daé bodě ole) ohybuje s gavitačí zychleí a a gavitačí síla ůsobící a těleso je tedy F a F a ; g g je tzv hotost gavitačí g g Podle jedoho z ejdůležitějších iciů fyziy latí s g V ozesých odíách a těleso o hotosti ůsobí tíhová síla F g G Záo ace a eace Ace F vyvolává vždy stejě veliou eaci F ; F F oačého sěu F F F F Síly vzájeého ůsobeí těles ají stejou veliost, oačý sě, solečou vetoovou říu a stejou dobu ůsobeí ( ) F ace tělesa hotosti vůči tělesu hotosti, F hotosti vůči tělesu hotosti F G g g g - eace tělesa a F ; F a, F a a a a a ; a Síly ace a eace jsou síly ůsobící a dvě ůzá tělesa - elze je oto solu sládat Vzájeé ůsobeí těles se usutečňuje buď ři říé otatu (sážce), ebo a dálu - ostředictví silových olí (ař olí gavitačích) Axio o ezávislosti silového ůsobeí Působí-li a HB více vtištěých sil současě, je výsledé zychleí HB vetoový součte tzv sueozicí dílčích zychleí v libovolé ořadí (vetoových) sčítaců F a F a, F a, K, F a, 3 3 ( F + F + F + KF ) F a a + a + a3 + L+ a 3, F F + F + F + K 3 F SÍLA JAKO PŘÍČINA ZMĚNY POHYBOVÉHO STAVU HB F ost a ost ovoěě zychleý ebo zoaleý říočaý F obecě eovoěý a řivočaý ohyb HB ohyb HB, F() t a a() t a a t + a F a ( a t + a ) a t + a Ft + F ; F t - tečá složa vtištěé síly, F - oálová složa vtištěé síly

Fyzia 9 PřF OU, Sleá, 00 F t dv v τ0, F 0 ω 0 Tečá složa vtištěé síly ěí veliost vetou (oažité) ychlosti v ohybu HB, oálová složa ěí jeho sě POZNÁMKA - ři ovoěé ohybu o užici ůsobí a HB, teá á eulovou ouze oálovou složu v F Fd F 0 ω 0 Vzhlede tou, že tato oálová síla sěřuje stále do středu tajetoie HB, říáe ji síla dostředivá Stejě ta i oálové zychleí ři ovoěé, jehož a ω v a je tato síla říčiou, azýváe zychleí dostředivé - 0 ( ) 0 d (t) Ob6 HYBNOST HB (TĚLESA) A IMPULS SÍLY d F d F (t ) I d di Eleetáí zěa d vetou hybosti HB je ova eleetáíu iulsu síly d I F d di F Na ob6 je I celová zěa hybosti HB; I je celový iuls síly v oečé časové itevalu t DISIPATIVNÍ SÍLY Disiativí síly jsou síly odoující ohybu těles ouze a ohybující se tělesa v F v Disiativí síly ůsobí TŘECÍ SÍLA Ob7 g ost F T F t N F G g Třecí síla F T se ojevuje ři vlečeí (sýáí) jedoho tělesa o ovchu jiého, obvyle lidého tělesa - ob7 v F T N F, N G cosα α G g

Fyzia 0 PřF OU, Sleá, 00 Veliost třecí síly závisí - a jaosti styčých loch obou těles () f, - a veliosti N síly N, teá sobě tlačí styčé lochy a je i olá, F v F f N Veliost třecí síly ezávisí - a veliosti styčých loch, T - a veliosti (elativí) ychlosti jedoho tělesa vůči duhéu Bezozěový součiitel třecí síly f souvisí s jaostí styčých loch a duhe láte, teé se o sobě sýají Jeho hodota f 0 je ři uváděí těles z lidu do T ohybu (za jia stejých odíe ) větší, ež ři ohybu saé ( f 0 > f ) Přitlačující silou N je ejčastěji tíha vlečeého tělesa ebo její složa (ob7) VALIVÝ ODPOR Valivý odo F v se ojevuje ři váleí jedoho tělesa o ovchu jiého tělesa V říadě ola o oloěu, jedoucího o vodoové oviě latí N Fv v Fv ξ, de ξ je součiitel (ebo taé aeo) valivého odou [] ξ Příčiou valivého odou je defoace odložy v oolí styu s ole POSUVNÝ POHYB TĚLESA PO NAKLONĚNÉ ROVINĚ A F T 0 - těleso se o aloěé oviě ohybuje bez ůsobeí síly odoující jeho ohybu Na těleso (ob0b) ůsobí tíhová síla FG g Ft + F, a eace aloěé oviy R F Výsledice těchto sil F F + R F + F + F F, g siα G t ( ) t je ostatí síla, teá uděluje tělesu o hotosti zychleí a F, a g siα t Toto (ostatí) zychleí oste s áloe oviy α o a o α 90 řechází v tíhové zychleí B F T 0 Na těleso v toto říadě ůsobí síly F G, R a F T, o ěž latí FG Ft + F, F t g siα, F g cosα, R F, F T Ft, F T f N, N F F T f g cosα Jejich výsledicí je síla F F + R + F F + F F g siα f cosα, ( ) G T t T F t

Fyzia PřF OU, Sleá, 00 Je-li F > 0, je říčiou ovoěě zychleého ohyu se zychleí a F, a ( siα f cos α)g Pozáa Poocí aloěé oviy s lyule oěý úhle slou ůžee ěřit lidovou hodotu f0 součiitele třecí síly Při alé slou je F T > F a těleso je v lidu Zvětšováí slou dosáhee té hodoty úhlu α, ři íž se dá těleso do ohybu Pávě ři toto slou je F T F g siα g cosα f tgα 0 f 0

Fyzia PřF OU, Sleá, 00 MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ PRÁCE ELEMENTÁRNÍ PRÁCE SÍLY Předoládeje, že ři abseci disiativích sil ůsobí a HB ( ) eleetáí dáze d ( dx, dy, dz) d τ a jeho, 0 ouze vtištěá síla F ; eleetáí dáha d ( dx, dy, dz) HB je tedy současě eleetáí osuutí ůsobiště síly F Saláí veličia F d je tzv dáhový účie síly F ři osuutí jejího ůsobiště (ři její ůsobeí a HB) o dáze d Tuto veličiu azýváe eleetáí áce síly a ozačujee d W Platí tedy d W F d CELKOVÁ PRÁCE SÍLY PŮSOBÍCÍ NA KONEČNÉ DRÁZE Síla F ( Fx, Fy, Fz ) ři osuutí d ( dx, dy, dz) svého ůsobiště (ři osuutí HB, a ějž síla F ůsobí) vyoá eleetáí áci dw F d F dx + F dy + F dz Fd cosα x y Přioeňe, že veto d á eoečě alou veliost, taže síla F á a této eoečě alé dáze (běhe osuutí svého ůsobiště o d ) stálou veliost i sě (ob8) z Ob8 F F d α F ; F t t F cos α Z ob8 je até, že eleetáí áci síly lze zasat taé jao dw F d F d cos α cos ( F α) d F d Kladou ebo záoou áci tedy oá ouze tečá složa F t síly F, zatíco áce její oálové složy F o je ova ule ( F d, α 90, cos α 0) Celová áce síly ři její ůsobeí a oečé dáze AB je součte eleetáích ací a eoečě alých úsecích této dáhy Teto výočet je t

Fyzia 3 PřF OU, Sleá, 00 obecě veli obtížý, eboť běhe svého ůsobeí ůže síla F ěit svůj sě i veliost (ob9a) A a) F F B Ob 9 F 3 b) F A α α s α B Ve zvláští říadě, dy veto F síly svíá s tajetoií stálý úhel α síly je ostatí (ob9b), ůžee celovou áci W síly F oečé dáze s učit odle jedoduchého vztahu a veliost F ůsobící a W F s cos α F s t Je-li α 0 a s, je hodota celové áce W vyoaé silou F o veliosti F N ova J (džaul) VÝKON SÍLY OKAMŽITÝ VÝKON Uave výaz vyjadřující eleetáí áci síly F ásledující zůsobe dw d d W F d F F v Oažitý výo P dw síly F učíe tedy jao saláí souči vetou síly F a vetou oažité ychlosti v ohybu HB, a ějž tato síla ůsobí dw P d t F v Půěý (středí) výo učíe z její celové áce W za čas t PRŮMĚRNÝ VÝKON P oěé síly F () t běhe časového itevalu 0, t s W P s t

Fyzia 4 PřF OU, Sleá, 00 Hlaví jedotou SI výou je watt W Mohe častěji se oužívají jedoty ásobé ebo dílčí - GW, MW, W, W, µ W aod Z jedoty výou je odvozea i veli často oužívaá jedota áce ebo eegie W Pt J W s Ws Ws - wattseuda 3 3600 Ws Wh, 0 Wh Wh, Wh 3,6 0 Ws 3, 6MJ MECHANICKÁ ENERGIE POHYBOVÁ (KINETICKÁ) ENERGIE 6 Saláí veličia E v se azývá ohybová eboli ieticá eegie HB Kieticá eegie HB závisí výhadě a hotosti ( ) HB a a veliosti (v ) jeho oažité ychlosti (v daé vztažé soustavě) Je-li HB v této soustavě v elativí lidu, je jeho ieticá eegie ulová ouze v této vztažé soustavě Vzhlede tou, že eexistuje soustava absolutě lidá (eexistuje hota bez ohybu), á aždé těleso (eulovou) ieticou eegii Při abseci disiativích sil lze sát Důslede d v F d de dw Neůsobí-li a (zychleě ebo zoaleě) se ohybující HB disiativí síly, je eleetáí áce d W a ěj řito ůsobící vtištěé síly F ova (eleetáí) zěě de ieticé eegie HB Poocí ieticé eegie lze výazě zjedodušit výočet celové áce síly Působí-li výsledá síla F a HB o dáze AB, a á-li HB v bodě A ychlost v a v bodě B ychlost v, a celová áce W síly F a této dáze je ova W E ( B) E ( A) W ( v v ) POLOHOVÁ (POTENCIÁLNÍ) ENERGIE Zatíco ieticou eegii á aždé (i zcela dyaicy izolovaé a osaoceé ) těleso (HB), o olohové eegii E ůžee hovořit ouze v říadě iiálě dvou těles, teá a sebe vzájeě silově ůsobí Z ázvu této eegie lye její souvislost s olohou tělesa (HB) - olohovou eboli oteciálí eegii E á ouze to těleso (HB), teé se achází v silové oli vytvářeé (buzeé) jiý tělese (ebo tělesy) Polohová eegie HB závisí a jeho oloze (v silové oli), je tedy fucí E E x, y, z E olohy (olohového vetou) HB: ( ) ( )

Fyzia 5 PřF OU, Sleá, 00 POTENCIÁLNÍ ENERGIE TÍHOVÁ Nachází-li těleso (HB) hotosti v hoogeí tíhové oli ( ost ) ůžee jeho tzv oteciálí tíhovou eegii vyjádřit ve tvau ( z) gz E g, Po absolutí učeí oteciálí eegie títo vztahe je uto dohodou staovit ulovou hladiu oteciálí eegie odíou, že o z 0 je E 0 POTENCIÁLNÍ ENERGIE PRUŽNOSTI Při užé defoaci vziá v defoovaé tělese síla užosti eboli elasticá síla F, teou se těleso báí oti defoaci Je-li ař v říadě užiového oscilátou y veto jeho oažité výchyly z ovovážé olohy, je veliost F síly užosti F ři alých defoacích oscilátou řío úěá veliosti výchyly; síla užosti vša á vzhlede vetou y oačý sě Platí tedy vetoová ovice F y ; > 0 Celovou áci defoující síly a tí i oteciálí eegii užosti E oscilátou y 0 ři dosažeí libovolé výchyly o veliosti y z jeho ovovážé olohy ( ) vyočtee jao E y KONZERVATIVNÍ SILOVÉ POLE Silové ole, v ěž se echaicá eegie azýváe ozevativí ( + E ) E E 0 E ost E E + E zachovává (ozevuje), Teto výslede vyjadřuje veli důležitý záo zachováí echaicé eegie HB Kozevativí silový ole je ař hoogeí tíhové ole ( g ost ) ři abseci disiativích sil (ve vauu) Páce ři řeístěí HB v ozevativí silové oli závisí ouze a očátečí a ocové oloze HB v toto oli V ozevativí silové oli celová áce ezávisí a délce a tvau tajetoie Sočí-li tedy HB o ohybu o jaoliv složité, ale uzavřeé tajetoii v ozevativí silové oli ve své výchozí oloze, je celová áce tou oužité síly ova ule

Fyzia 6 PřF OU, Sleá, 00 NEKONZERVATIVNÍ SILOVÉ POLE V toto silové oli ůsobí a ohybující se HB (těleso) oě síly ole i síly, odoující jeho ohybu, teý říáe síly disiativí (třecí síla, valivý odo, odo ostředí aod) Mechaicá eegie HB se v eozevativí silové oli ezachovává Její část se běhe ohybu sotřebuje a áci utou řeoáí sil odoujících ohybu V eozevativí silové oli celová áce závisí a délce a tvau tajetoie Eleetáí áci vtištěé síly F ůžee v eozevativí silové oli zasat jao F d dw δw + δw, de část δ W se ojeví zěou ieticé eegie HB a část δ W se sotřebuje a řeoáí disiativích sil, odoujících ohybu HB (tělesa) Páce δ W se zavidla řeěí ve vitří eegii HB (tělesa) a ostředí, v ěž obíhá ohyb

Fyzia 7 PřF OU, Sleá, 00 VZTAŽNÉ SOUSTAVY Des již dávo řeoaá NEWTONOVA ředstava o to, že osto a čas jsou absolutí (ezávislé a hotě a její ohybu) uožňovala existeci jaési záladí, absolutí vztažé soustavy, od íž by se odvozovaly všechy ostatí soustavy Otáza je volba vztažé soustavy (lidého tělesa) lhostejá z hledisa latosti záoů echaiy? Z hledisa ieatiy je to sutečě lhostejé, eboť echaicý ohyb je elativí a volba vztažé (souřadicové) soustavy je zavidla ovlivěa ouze ožadave co ejjedoduššího ateaticého oisu Z hledisa dyaiy a volbě vztažé soustavy záleží, eboť v ěteých soustavách vziají obléy s eálostí sil v těchto soustavách ůsobících Vztažé soustavy v ichž latí NEWTONOVY ohybové záoy (jejich ateaticý tva je v těchto soustavách stejý), se azývají soustavy ieciálí KLASICKÝ (GALILEŮV) PRINCIP RELATIVITY Platí-li NEWTONOVY ohybové záoy v jedé (ieciálí) vztažé soustavě, latí taé ve všech vztažých soustavách, teé se vůči této soustavě ohybují setvačý ohybe, tj ohybe ovoěý říočaý Důsledy ieciálích soustav je eoečě oho a elze je echaicýi ostředy od sebe odlišit - echaicé děje v ich obíhají aosto stejě Všechy ieciálí soustavy jsou o ois a studiu echaicých dějů zcela ovoceé žádá z ich eí ivilegovaá eexistuje oto absolutí ohyb (HB, tělesa) vztažeý ěteé (ivilegovaé) ieciálí soustavě GALILEOVA TRANSFORMACE INERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY Zvole lidou (ieciálí) KSS: S ( 0xyz) a ohybující se KSS: S ( 0 x y z ) Obě soustavy ají stejé bázové vetoy a soustava S se vůči S ohybuje uášivou ychlostí u j (Ob0) Pohyb S vůči S je setvačý (ovoěý říočaý) - soustava S je tedy ověž ieciálí soustavou; u ost ; u ( 0, u, 0) uy u ost u& 0 z z u Ob0 ut y y A [x,y,z] [x,y,z ] 0 j 0 y y x x

Fyzia 8 PřF OU, Sleá, 00 Počáte ěřeí času zvole v oažiu, dy obě soustavy slývaly V oažiu t latí o souřadice (libovolého) bodu A - teé jsou složai olohových vetoů a HB ( A ) v soustavách S a S tzv GALILEOVA tasfoace x& x& y& y& u z& z& v x v y v z v v v x y z x x y y ut; z z t t a x ax u a a a a a a F F y a z a y z F 0 F 0 Je-li soustava S ieciálí, eěí se GALILEOVOU tasfoací S S ateaticý tva záoů echaicého ohybu - říáe, že tyto záoy jsou ivaiatí vůči GALILEOVĚ tasfoaci Po ozdější disuse uozoěe a tasfoačí vztah t t, teý je vyjádřeí GALILEOVA i NEWTONOVA (chybého) ředoladu existece absolutího, a iče ezávisejícího času, teý běží ve všech soustavách stejě NEINERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY Soustava S se vůči S ohybuje eovoěý říočaý ohybe uášivou ychlostí u j ; ux uz 0; uy u () t u& 0, u& au Pa o složy oažité ychlosti v a v HB v soustavách S a S latí v x v y v z v v x y a x ax u a a a a a a a a a y y u u u vz az az F F + Fs F 0 F Fs as au ; as a ( ) u Z výsledu vidíe, že v soustavě S ůsobí a HB (oě vtištěé síly vzájeého ůsobeí) tzv setvačá (ieaticá) síla F a, teou ozoovatel P sojeý se soustavou S evíající její eovoěý ohyb vůči soustavě S edoáže vysvětlit vzájeý ůsobeí s další tělese Pozoovatel P sojeý se soustavou S, teý vidí ohyb soustavy S, uí vysvětlit vzi této setvačé síly eovoěý ohybe soustavy S a ůže ji oto vyjádřit oocí uášivého zychleí a u soustavy S jao Fs as ( au ) Zychleí a s, oačé uášivéu zychleí a u ( a s a u ), azýváe setvačé zychleí V eieciálí vztažé soustavě S ají ohybové záoy HB jiý ateaticý tva ež v ieciálí soustavě S a oto lze soustavu S (echaicýi ostředy) odlišit od soustavy S Po řechod ezi těito soustavai již elatí GALILEOVA tasfoace s s

Fyzia 9 PřF OU, Sleá, 00 Přílady eieciálích soustav abia výtahu, vagó, autobus aod, oající eovoěý ohyb vůči ovchu Zeě V říadě, že by ař abia výtahu (volě) adala, byla by abia saa a všecha tělesa uvitř abiy by byla v tzv beztížé stavu SETRVAČNÉ SÍLY PŮSOBÍCÍ V ROTUJÍCÍ SOUSTAVĚ S Zvole o jedoduchost ovoěé otáčeí ( ω ost ) soustavy S ole evé osy ( ω ost 0z ) ob Ob33 z z ω 0 0 α R v u y y v u ω a u a d a s a o x x HB evě sojeý s otáčející se soustavou S ( 0 x y z ) je uáše ychlostí v u ω o veliosti vu ω siα ωr a ohybuje se oto s uášivý v dostředivý zychleí a u ad ( ad ω) o veliosti a d R ω Stejě jao v říadě eovoěého říočaého ohybu soustavy S je i ři její otáčeí uášivé zychleí říčiou setvačého zychleí a a a a, jeuž vzhlede jeho sěu říáe setvačé odstředivé zychleí a o Na HB () ůsobí tedy v otující soustavě S setvačá odstředivá síla F F a F ω o veliosti F Rω s o o ( ) o o Další setvačou silou ůsobící v otující soustavě S je tzv CORIOLISOVA síla ( F c ) Účie této síly, teá ůsobí ouze a HB (tělesa), teé(á) se vůči soustavě S ohybují, si oíšee a ásledující říladě - ob s u d o Ob A ω t B s D ω 0 0 ω t A v u v v B Pozoovatel P, sedící v bodě A a evíající otáčeí s í sojeé soustavy S, střílí do teče v bodě B Po ečlivé zaířeí ve sěu AB a výstřelu zjistí, že iul teč a jeho střela doadla do bodu D I ři oaovaí střelby je výslede stále stejý Z jeho hledisa je teto výslede vysvětlitelý ouze

Fyzia 0 PřF OU, Sleá, 00 ůsobeí ezáé síly, teá vychyluje letící střelu a seveí oloouli sěe vavo Čáovaě zázoěý oblou A D je tajetoie střely ozoovaá ozoovatele P Z hledisa ozoovatele P v ieciálí soustavě S je chováí střely ochoitelé, eboť ví o to, že se soustava S otáčí V bodě A á tedy střela oě ychlosti v sávě aířeé ozoovatele P do bodu B ještě uášivou ychlost v u o veliosti v u 0Aω Z hledisa ozoovatele P tedy letící střela oá složeý ohyb výsledou ychlostí v v + v o tajetoii AD u

Fyzia PřF OU, LSleá, 00 MECHANIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Soustava hotých bodů (SHB) - soubo hotých bodů, teé tvoří učitý cele ař laetáí systé, ulečíové oule a ulečíové stole, oleuly ideálího lyu v ádobě aod Mechaia SHB je ozšířeí a zobecěí echaiy jediého HB VNĚJŠÍ A VNITŘNÍ SÍLY Soustava hotých bodů (,, 3, K ) Na tý HB ( ) této SHB ůsobí obecě vější síly, ající ůvod io SHB a vitří síly vzájeého ůsobeí ezi HB tvořícíi daou soustavu Ozače výsledici všech vějších sil ůsobících a tý HB jao F a vitří síly jao F, F, K, F,, F, +, K, F Výsledice všech sil, ůsobících a tý HB je tedy i F F + F i, i ohybový záo (ohybová ovice) o tý HB á tedy tva i d & F F + F, i, i i, i Sečtěe yí vetoově ohybové ovice všech HB soustavy a ředoládeje, že vitří síly vzájeého ůsobeí ezi HB jsou silai ace a eace Při toto ředoladu se vitří síly avzáje uší Ozače dále jao, F F celovou hybost SHB a výsledici všech vějších sil ůsobících a SHB PRVNÍ IMPULSOVÁ VĚTA Oažitá zěa celové hybosti SHB je ova výsledici vějších sil, teé a SHB ůsobí & & F F Důslede o dyaicy izolovaou SHB: F F 0 & & ost, což je vyjádřeí veli důležitého záoa zachováí (celové) hybosti dyaicy izolovaé SHB Hybosti jedotlivých HB (těles) tvořících izolovaou soustavu se saozřejě ohou ři vzájeé silové ůsobeí ěit, v aždé oažiu vša usí být jejich vetoový součet ove téuž vetou (teý ůže být i ulový)

Fyzia PřF OU, LSleá, 00 HMOTNÝ STŘED SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ ÚKOL: Najít olohu ( T ) (yšleého) hotého bodu, teý by ěl hotost celé SHB ( ) T a do ěhož by bylo ožo uístit ůsobiště výsledice F F vějších sil ůsobících a SHB Pohyb tohoto yšleého bodu tzv hotého středu SHB - ůže ahadit (osuvý) ohyb celé SHB Výhoda - výazé ateaticé zjedodušeí ři oisu (osuvého) ohybu SHB Po olohový veto hotého středu SHB vzhlede výše uvedeý ožadavů dostáváe T Teto vztah je vetoovou ovicí, teá vede e tře saláí složový ovicí uožňující učeí slože olohového vetou hotého středu ( T T T z y x,, ) (a tí tedy i souřadic tohoto yšleého bodu) x x x T, y y y T z z z T, POZNÁMKA V hoogeí silové oli (ařv hoogeí tíhové oli ost g ) je hotý střed SHB (tělesa) totožý s těžiště soustavy (tělesa) VZTAŽNÁ SOUSTAVA HMOTNÉHO STŘEDU Zvolíe-li očáte vztažé soustavy v hoté středu SHB, dostaee tzv vztažou soustavu hotého středu (ob) Ve vztažé soustavě hotého středu, v íž je hotý střed SHB očáte, je olohový veto hotého středu (očátu) ulový P P T (HS) Ob T T 0 Hotéu středu SHB a vztažé soustavě HS ůžee řisoudit další důležitou vlastost Platí zřejě 0 d d 0 & v t Ve vztažé soustavě (svého) hotého středu je celová hybost soustavy hotých bodů tvale ulový vetoe

Fyzia 3 PřF OU, LSleá, 00 VĚTA O POHYBU HMOTNÉHO STŘEDU Zaiše ohybový záo o SHB oocí celové hybosti a výsledice vějších sil jao & F Vyjádříe-li úlou časovou deivaci celové hybosti oocí veliči souvisejících s hotý střede soustavy jao d & d d T v a sováe-li ji s ohybový záoe, ůžee sát a T a Posuvý ohyb soustavy hotých bodů lze ahadit ohybe jejího hotého středu Důslede: Je-li výsledice vějších sil ůsobících a soustavu hotých bodů ulová, oá její hotý střed v (ieciálí) soustavě setvačý ohyb (ebo je v elativí lidu) F T F F 0 vt ost () 0 Uvažuje yí jediý HB ze SHB ebo ještě lée jede HB ze soustavy eoečě oha HB tvořících tzv tuhé těleso a studuje jeho ohyb ři otáčeí SHB ebo tohoto tělesa ole evé osy o MOMENT SÍLY Představe si, že se HB ohybuje o užici π se střede v bodě S P a oloěe (ob) Na HB ůsobí síla F, jejíž ositela leží v oviě π Uave ohybovou ovici HB vetoový ásobeí olohový vetoe HB zleva a tva ( v ) d d( v ) F F d t Objasěe ejdříve výza avé stay tohoto výazu F M M M F M je veto, teéu říáe oet síly F vzhlede očátu vztažé soustavy M je tzv osový (axiálí) veto [jeho ositelou je osa o ob] F π, π, M π M, o ; M 0 F 0 F M F si α F; aeo síly F

Fyzia 4 PřF OU, LSleá, 00 o Ob M F π P HB POZNÁMKA (o budoucost) fyziálí výza oetu síly vzhlede Je-li ái uvažovaý HB součástí tělesa ař destičy a ob vyjadřuje veto M F - oet síly F vzhlede ose o ( je olohový veto ůsobiště síly F ) otáčivý účie této síly a daé těleso, schoé otáčeí ole evé osy o Sysl otáčivého účiu vzhlede e sěu vetou oetu síly je dá avidle avé uy á-li vztyčeý alec (avé) uy sě vetou M, ají atažeé sty (avé) uy sě (eovoěého) otáčeí daého tělesa Je-li tedy těleso silou F uváděo do otáčivého ohybu ole osy o z lidu, jde o zychleý otáčivý ohyb Zaie-li v učité oažiu oet síly, teá uvedla těleso do otáčivého ohybu ebo teto ohyb zychluje či zoaluje, oá od tohoto oažiu těleso ovoěý ( setvačý ) otáčivý ohyb ole osy o úhlovou ychlostí, teou ělo v oažiu záiu oetu síly vzhlede této ose Objasěe yí fyziálí výza levé stay výazu d( v ) F, d t teou ůžee uavit ásledující zůsobe d( v ) d d v db & ( ) ( ) b b v - veto (oažitého) oetu hybosti HB vzhlede [ ] očátu vztažé soustavy b g s J s Js ; b je osový veto s ositelou o Pohybovou ovici HB ůžee tedy o těchto úavách avé i levé stay výazu d( v ) F d t db & zasat jao b M Oažitá zěa vetou oetu hybosti HB je ova (vetou) oetu (vtištěé) síly vzhlede téuž bodu

Fyzia 5 PřF OU, LSleá, 00 Důslede: M 0 b ost ( 0), což je ateaticý vyjádřeí důležité věty o zachováí vetou oetu hybosti Z této věty lye zajíavý závě: b v b b v ; b ost olohový veto HB i veto v jeho oažité ychlosti leží stále v téže oviě tajetoie ohybu HB, jehož oet hybosti je ostatí veto, je oviá řiva Návat do echaiy SHB IMPULSOVÁ VĚTA Oažitá zěa (vetou) celového oetu hybosti b b SHB vzhlede daéu bodu je ova celovéu oetu vějších sil M M (vzhlede téuž bodu) a SHB ůsobících db & b M Důslede: M 0 b ost ( 0) SHB - věta o zachováí vetou oetu hybosti DŮLEŽITÁ SHRNUTÍ, ZOBECNĚNÍ A ZÁVĚRY iulsová věta hotý střed SHB se ohybuje jao (jediý) HB, a ějž ůsobí výsledice vějších sil a jehož hotost je ova celové hotosti SHB Vlastí ohyb hotého středu SHB eá vliv a (ožé) otáčeí SHB ole osy, teá ochází její hotý střede iulsová věta oažitá zěa celového oetu hybosti SHB vzhlede jejíu hotéu středu (ebo vzhlede libovoléu evéu bodu) je ova výsledéu oetu vějších sil vzhlede téuž bodu Pevý bod ehybý vzhlede libovolé ieciálí soustavě Jestliže latí F F 0 M M 0, azývá se SHB dyaicy izolovaá Po (aždou) dyaicy izolovaou SHB latí Věta o zachováí hybosti SHB celová hybost dyaicy izolovaé soustavy je ostatí a její hotý střed se (v ieciálí soustavě) ohybuje setvačý ohybe - F F 0 vt ost () 0 Věta o zachováí oetu hybosti SHB celový oet hybosti dyaicy izolovaé SHB vzhlede jejíu hotéu středu (ebo vzhlede libovoléu evéu bodu) je ostatí () 0 M M 0 b b ost

Fyzia 6 PřF OU, LSleá, 00 3 MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA Tuhé těleso (TT) je oět ouze zjedodušeí je to odel sutečých těles Východise ři studiu ohybu tuhého tělesa je echaia SHB, eboť Tuhé těleso je soustava eoečě oha hotých bodů odobeých dooale tuhý vazbá Vzájeá oloha hotých bodů tvořících tuhé těleso se oto ůsobeí vějších sil eěí Důsledy: Stálý tva a obje TT, účie vějších sil a TT je ouze ohybový (edochází defoaci tělesa), stálá oloha hotého středu (HS) v tělese, ze všech úvah je ožo vyloučit vitří síly Mateaticé důsledy řechodu od soustavy oečého očtu HB TT áhada součtu učitý itegále (viz dále) řes celý obje TT: i V HUSTOTA Sojitost látového ostředí tvořícího TT uožňuje zavedeí oju jeho ůěé hustoty ρ jao hotosti objeové jedoty TT Půěá hustota: ρ ρ ; ístí (loálí) hustota: ρ li ; V V V 0 V 3 [] ρ g Je-li (ístí) hustota fucí olohy v TT: ρ ρ( ) ρ( x, y, z), je těleso ehoogeí Platí-li ρ ρ( x, y, z), je TT hoogeí, je (ístí) hustota v celé TT stejá a latí ρ ρ V KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA Po jedozačé učeí (oažité) olohy TT stačí zát souřadice tří jeho ůzých bodů eležících v říce, tj ávě devět souřadic Zvolíe-li taové body TT, je jejich vzájeá vzdáleost ostatí, což ředstavuje tři ateaticé odíy o souřadice těchto bodů, ať je oloha TT jaáoliv Poto se z devíti souřadic těchto bodů ouze šest ěí sutečě ezávisle říáe, že TT á šest stuňů volosti ( 6) Je-li TT uevěo v jedo bodě, je 3, je-li uevěo ve dvou (ůzých) bodech, je, je-li uevěo ve třech (ůzých) bodech, je ehybé a 0 Pois ohybu TT je obecě složitý, oto jej ozládáe a čistou taslaci (ouze ohyb osuvý) a a čistou otaci ouze ohyb otáčivý ole osy ebo bodu ČISTÁ TRANSLACE TT Všechy body TT ají tutéž oažitou ychlost v v() t ohybu

Fyzia 7 PřF OU, LSleá, 00 Při studiu čisté taslace TT stačí tedy zabývat se ohybe jeho jediého bodu obvyle jeho hotého středu (těžiště) ČISTÁ ROTACE TT Všechy body TT ají stejou (oažitou) úhlovou ychlost ω ω () t ; Veto úhlové ychlosti ω otace TT leží tvale v jeho (oažité) ose o otáčeí (ob3) A) ROTACE KOLEM PEVNÉ OSY říy o, teá je v ieciálí soustavě v lidu o o u ost ; ω o, ω o - veto úhlové ychlosti Ob3 ω á stálý sě, jeho veliost ůže ebo eusí být fucí času - odle toho ozlišujee R S eovoěou, es ovoěou otaci TT ole evé osy ω v o α Po tzv obvodovou ychlost v o libovolého bodu TT v daé oažiu latí (očáte vztažé 0 soustavy leží deoliv a ose o) - vo ω vo vo( ) - ob3 Nositelou vetou v o je teča e užici (tajetoii bodu TT) o oloěu v ω o v o R, jejíž střed S leží a ose otáčeí TT ( ) Po veliost v o oažité ychlosti v o latí B) ROTACE KOLEM BODU PEVNÉHO V TĚLESE o v o ω ω siα Rω o Obvyle jde o hotý střed (těžiště) T TT, do ěhož uístíe očáte vztažé soustavy ( 0 T P) Počátečí bod vetou úhlové ychlosti ω je tvale totožý s títo bode tzv střede otáčeí TT Veto úhlové ychlosti je v toto říadě fucí času: ω ω () t obecě se tedy v čase ěí ja sě, ta i veliost úhlové ychlosti VÝSLEDNÝ POHYB TT Výsledý ohyb libovolého bodu TT je složeí jeho čisté taslace a otace DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA Vzhlede dooale tuhý vazbá ezi body TT eusíe bát v úvahu ůsobeí vitřích sil Uvaže ejdříve říad, dy a TT ůsobí oečý očet (soustava) vějších sil F, F, K, F, je řiozeé číslo Zvolíe-li vztažou soustavu s očáte ve středu otáčeí TT ( P 0 o) ; o je osa otáčeí TT, ají ůsobiště těchto sil olohové vetoy,, K, Vější síly, ůsobící a TT, jsou vázaýi vetoy jejich ůsobišti (očátečíi body) jsou učité (obvyle ovchové) body TT

Fyzia 8 PřF OU, LSleá, 00 DYNAMICKÉ ÚČINKY PŮSOBENÍ SOUSTAVY VNĚJŠÍCH SIL NA TT Má-li soustava F, F, K, F eulovou výsledici F F + F + L + F, je důslede jejího ůsobeí eovoěý (obecě řivočaý) osuvý ohyb TT i Má-li soustava F, F, K, F eulový výsledý (celový) oet M i i F i vzhlede e středu otáčeí ( 0 ) TT, teý je současě očáte vztažé soustavy ( P 0 o), je důslede jejího ůsobeí eovoěý otáčivý ohyb TT ole tohoto bodu Výsledice F sil F, F, K, F F F + F i + L + F F i : i a její ůsobiště - ezávislost a volbě vztažé soustavy Výsledý (celový) oet M sil F, F, K, F vzhlede očátu vztažé i i P : M Mi i Fi - závislost a volbě soustavy středu otáčeí TT ( 0) vztažé soustavy - závislost a oloze středu otáčeí TT!!! Pohybové účiy soustavy sil a TT závisí tedy výhadě a vetoových součtech F i Fi a M i Mi Růzé soustavy sil ohou ít a TT tytéž ohybové účiy ají-li stejou výsledici F a stejý výsledý oet M vzhlede téuž středu otáčeí Taový soustavá sil říáe soustavy dyaicy evivaletí Tato sutečost ředzaeává áš další ostu zjedodušeí soustavy vějších sil ři zachováí stejých ohybových účiů PRAVIDLA PRO SKLÁDÁNÍ SIL PŮSOBÍCÍCH NA (JEDINÉ) TT A Dvě oačé síly a téže ositelce eají a TT žádý ohybový účie i i Ob3 F F F F F F Výsledice: + ( F ) 0 F Moety sil vzhlede P 0 : F M F F F P 0 P 0 P 0, F ( ) F M + ( M ) 0 M ; M M F

Fyzia 9 PřF OU, LSleá, 00 Výsledý oet sil F a F vzhlede bodu P 0 je tedy ulový B Účie síly a TT se ezěí, řeístíe-li (osuee) ůsobiště síly o její ositelce ( ) - ob33 A ( ) B Ob33 F B ( F ) A F P 0 Původí ůsobiště síly F je bod A Do ově zvoleého ůsobiště B a ositelce síly F vložíe dvě oačé síly ( F ) a F, teé odle A eají a TT žádý ohybový účie Složíe-li yí síly F a F, jejichž výsledice i výsledý oet vzhlede bodu P 0 jsou oět ulové vetoy, zůstae á s ůsobiště v bodě B, teá á a TT je řesuutá (osuutá) síla ( F ) stejý ohybový účie jao síla F s ůsobiště v bodě A B Přeesee-li v TT ůsobiště síly F z bodu A do libovolého bodu B (io její ositelu ) ob34, usíe síle ( F ) s ůsobiště v bodě B řidat dvojici sil F a F s oete M Veto d (i oet ( ) F F d F D A B BA M D ) ezávisí a volbě vztažé soustavy! P 0 Ob34 F ( F ) B A B A A B F ( ) Do ového ůsobiště bodu B a říce oět vložíe dvě oačé síly F a F F áe yí ( ), teé ají ulovou výsledici Koě řesuuté síly ( )

Fyzia 30 PřF OU, LSleá, 00 co do čiěí se dvěa oačýi silai a ůzých (ovoběžých) ositelách silou F v ůvodí oloze a ositelce a silou F a ositelce Síly F a F, teé eají výsledici, se avzáje euší, ýbž tvoří veli důležitý silový útva (soustavu), azývaý dvojice sil Učee yí výsledý oet M D těchto dvou sil vzhlede bodu P 0 středu otáčeí TT, teý ochází (oažitá) osa otáčeí: M F + F F F M d ( ) ( ) D A B A B BA D F Z tohoto výsledu je até, že oet M D dvojice sil ezávisí a oloze osy otáčeí (a volbě vztažé soustavy) a je ove oetu síly F (v ůvodí oloze) vzhlede ose, ocházející její ový ůsobiště d BA A B BA Vzhlede této ezávislosti a volbě vztažé soustavy je oet dvojice sil volý veto jde o oet, teý eusíe dolit slovy vzhlede! Moet M D dvojice sil F a F á a TT ouze otáčivý účie a je olý oviě, učeé ositelai sil F a F, tvořících dvojici Sě vetou M D (ob35) je oět uče avidle avé uy atažeé sty ají sě síly F (!!!), vztyčeý alec učuje sě vetou M Z ávě uvedeého výsledu lye další důležité avidlo Dvojici sil F a F říáe v toto říadě (ři řeosu ůsobiště síly F ) oezačí silová dvojice D Ob35 M D B ( F ) M D BA M d D M D F A F Koezace silovou dvojicí [ D( F F) ], sil F a F ři řeosu ůsobiště síly F io její ositelu je dáa utostí zachováí otáčivého účiu síly F vzhlede bodu P 0 v ůvodí i v ové ůsobišti Teto účie je dá oete M síly F vzhlede bodu P 0 (ob34) Soveje F ( A ) M F ; ( F)( B) M F +? F? B A F + A F B ( A B ) F BA F MD A

Fyzia 3 PřF OU, LSleá, 00 PODMÍNKY ROVNOVÁHY TUHÉHO TĚLESA Tuhé těleso je v ovováze, dyž výsledice F i F i soustavy vějších sil ůsobících a těleso a výsledý oet M i M i těchto sil vzhlede ose otáčeí jsou ulové vetoy Nastaou-li v učité oažiu odíy ovováhy a je-li TT v toto oažiu v lidu, eůže být uvedeo do osuvého ai do otáčivého ohybu Neí-li TT v toto oažiu v lidu, oá od tohoto oažiu ohyb slňující záoy zachováí hybosti a oetu hybosti

Fyzia 3 PřF OU, LSleá, 00 SKLÁDÁNÍ SIL PŮSOBÍCÍCH NA TT VÝSLEDNICE SOUSTAVY SIL Obecě ostoovou soustavu F i ( i,, K, ) sil ůsobících a TT, ůžee o řeeseí jejich ůsobišť do téhož bodu ři zachováí avidel A a B (o dvojicích) sládat (vetoově sčítat) Gaficý ostu sládáí ůzoběžých a ovoběžých sil je azače a ob35 Přioeňe, že ři sládáí ioběžých sil usíe řeos jejich ůsobiště io ositelu oezovat říslušou silovou dvojicí (viz avidlo B st9) Po oečé očtu těchto oů ta dosějee výsledici F F i i F F + F F F + F Ob35 F F S F S F P F F F + ( R) F F F + F ( R ) ( R ) ( R) + F + ( R) F + F F + ( R) Z ob35 je atá latost ásledujícího tvzeí: Součet oetů M F, M F sil F, F vzhlede libovoléu bodu ositely F jejich výsledice F F + F je ove ulovéu vetou: M + M 0

Fyzia 33 PřF OU, LSleá, 00 Této, tzv MOMENTOVÉ VĚTY, oužíváe často ři ozladu sil a ovoběžé složy ebo ři záěě jedé soustavy sil soustavou dyaicy evivaletí TĚŽIŠTĚ TUHÉHO TĚLESA i g ( i,, K, ) - soustava Ob36 souhlasě ovoběžých sil i i i g s výsledicí T T P FG ig g i g i i g ost F G Těžiště T tuhého tělesa azýváe ůsobiště tíhové síly F G ůsobící a tuhé těleso V hoogeí tíhové oli ( g ost ) - ob36 - je těžiště T totožé s hotý střede tuhého tělesa Výsledý oet soustavy i g ( i,, K, ) výsledice vzhlede téuž bodu F G M Mi i ig T ig i i i Obovsé ateaticé zjedodušeí o TT ( ) : ρ d dv d ρdv je ove oetu jejich T F G i d ρ dv; ii d ρ dv i ( ) ( V ) i ( ) ( V ) T i i i i i d ( ) d ( ) ρdv ( V ) ρ dv ( V ) d V je eoečě alý, hoogeí (objeový) eleet tuhého tělesa, jehož hotost je d a hustota je ρ Hoogeí TT ( ρ ost ) T ρ dv ( V ) ρ dv ( V ) ρ dv ( V ) ρ dv ( V ) dv ( V ) dv ( V ) T dv V ( V )

Fyzia 34 PřF OU, LSleá, 00 URČOVÁNÍ POLOHY TĚŽIŠTĚ TT Lieáí TT (ut, tyč, ažec aod) odíáí až do dosažeí ovováhy vůči otáčeí Rovié TT zavěšováí zísáí alesoň dvou těžic Hoogeí TT jedoduchého tvau T v geoeticé středu Hoogeí syeticé TT T a ose syetie Obecé TT výočet (učitá itegace) i F i F 0 ( F ) M M 0 ( M 0) i i i i i POHYB TUHÉHO TĚLESA o TT oá eovoěý osuvý ohyb; TT oá eovoěý otáčivý ohyb ole bodu (ebo osy) KINETICKÁ ENERGIE POSUVNÉHO POHYBU TT i ; E, os i vi E,os v T i i KINETICKÁ ENERGIE ROTAČNÍHO POHYBU TT Úhlová ychlost otačího ohybu: ω Obvodová (ostuá) ychlost i tého bodu TT: v o ω i (ob3) Součet ieticé eegie osuvých ohybů bodů TT ři jeho otaci tvoří (celovou) ieticou eegii otačího ohybu TT a tedy E,ot ivo i i i i i ( ω ) ω ( siα ) i i i E,ot ω i R i ; i R i vzdáleost i tého bodu od osy otáčeí Položíe-li R J, dostaee i i i E,ot J ω J i i [ J] g i R ; - oet setvačosti TT vzhlede ose otáčeí KINETICKÁ ENERGIE SLOŽENÉHO POHYBU TT Posuvý ohyb TT + otáčeí TT ole osy ocházející jeho těžiště (HS) E E,os + E,ot vt + J 0 ω

Fyzia 35 PřF OU, LSleá, 00 STEINEROVA VĚTA Moet setvačosti J TT vzhlede ose o eocházející jeho těžiště je ove oetu setvačosti J 0 vzhlede ose o ocházející těžiště a ovoběžé s osou o o o, zvětšeéu o souči hotosti TT a duhé ( ) ociy vzdáleosti a osy o od těžiště: J J 0 + a POHYBOVÁ ROVNICE TUHÉHO TĚLESA ROTUJÍCÍHO KOLEM PEVNÉ OSY Oažitá zěa ε ω & úhlové ychlosti ω ϕ &otace je sojea s ací síly F, ůsobící a TT a úhlové dáze ϕ Bez této áce by se TT otáčelo ole evé osy ovoěě Moet síly F vzhlede evé ose otáčeí o je M s 0 F Pohybovou ovici TT otujícího ole evé osy o a ůžee sát jao d ϕ& dω J ϕ & J M o ; Jω & J Mo ; J ϕ && Mo ; J ω & Mo ; J ε M d ϕ& Výaz J M o je ohybovou ovicí otačího ohybu TT ole evé osy, výaz J ε M o je vyjádřeí N EWTONOVA ohybového záoa o otačí ohyb TT ole evé osy ZÁKON ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI TT M o 0 bo ost ω ost TT oá ovoěou otaci TT ole evé osy o POZNÁMKA M o ost ( 0) ovoěě zychleá (zoaleá) otace TT ole evé osy o a tedy ϕ o 0 0 () t ϕ ± εt ; ω() t ω ± εt ; ε ost DŮSLEDKY ZÁKONA ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI TT J b Jω ost J J ; ω ω ω ω (iuety aod) J b ost o Při začé veliosti oetu hybosti TT (vtule, lodí hřídel aod) je e zěě sěu osy otáčeí zaotřebí začá áce vějších sil, ojevuje se tzv gyosoicý efet Poto se ychle otující TT vyzačují začou stabilitou sěu osy otáčeí (ař olo, učí otačí hoblí, otující ojetil aod) M J o

Fyzia 36 PřF OU, LSleá, 00 ROVNOVÁŽNÁ POLOHA TT V (HOMOGENNÍM) SILOVÉM POLI Nuté odíy ovováhy TT (elativího lidu) ulová výsledice a ulový výsledý oet vějších sil vzhlede těžišti TT O duhu ovovážé olohy ozhoduje zěa oteciálí eegie ři eaté vychýleí TT Rovovážá oloha stálá - E je iiálí Rovovážá oloha vatá - E je axiálí Rovovážá oloha volá - E je ostatí STABILITA ROVNOVÁŽNÉ (STÁLÉ) POLOHY TT Těžice řía ocházející těžiště TT Mía stability ovovážé olohy TT zěa ři řechodu (otočeí) TT z ovovážé olohy stálé do ovovážé olohy vaté Tato zěa ůže být osuzováa z ůzých hledise Ob37 t t h - T h α o Hlediso GEOMETRICKÉ uazatele zěy je zěa výšy těžiště TT Přílad TT je vád stojící a jedé ze svých stě a vodoové oviě (Ob37); α - úhel ezi svislýi těžicei t a t v ovovážé oloze stálé a ovovážé oloze vaté; o haa áceí TT Míou stability TT je vzdáleost h Hlediso ENERGETICKÉ vycházející z áce ři řechodu: oloha stálá oloha vatá W E g ( h) - ožost disuse o stabilitě z hledisa veliči,, h 3 Hlediso DYNAMICKÉ vycházející z veliosti F síly F otřebé o řechod: oloha stálá oloha vatá Veliost F síly F učíe z oováí oetů vzhlede ose o: F FG F FG

Fyzia 37 PřF OU, LSleá, 00 4 GRAVITACE KINEMATIKA Histoicé východiso Nebesá echaia KEPLEROVY ZÁKONY Objet Sluečí soustava Johaes KEPLER - 7 století (Paha) 3 záoy o ohybu laet Všechy laety se ohybují o elisách o alé výstředosti, v jejichž solečé ohisu leží Sluce Ob4 F a e b a Výstředost (exceticita): lieáí e a b, ueicá ε e a užice: ε 0 ; elisa: 0 < ε < ; aabola: ε ; hyebola: ε > Po Zei ε & 0 07; eihéliu začáte leda, aféliu začáte čevece Z, Plošé ychlosti laet jsou ostatí ( w ost ) ( excet ) 0 ost w ost ε v Zeě seveí olooule - letí ůlo (3 39 86 dí), zií ůlo (39 3 79 dí) 3 Poěy duhých oci oběžých dob (T ) a třetích oci velých oloos ( a ) dah jedotlivých laet jsou stejé: T o 3 3 a L T a ost T Přesá latost ouze o alé laety (Meu, Veuše, Zeě, Mas) U velých laet (Juite, Satu) začá odchyla DYNAMIKA NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON a Každá dvě (hotá) tělesa se avzáje řitahují silai téže veliosti Lze-li tato tělesa ovažovat za hoté body ebo hoogeí oule, ůžee sílu jejich vzájeého řitahováí vyjádřit jao F κ κ ; 3 F κ de, jsou hotosti těles a je vzdáleost hotých bodů (ebo středá oulí), 3

Fyzia 38 PřF OU, LSleá, 00 - - 3 - κ 6,67 0 g s - gavitačí ostata Vzhlede její eaté hodotě se gavitačí řitahováí ojevuje ouze tehdy, je-li hotost alesoň jedoho z uvažovaých těles velá ař v gavitačí ole Zeě Pozáa Nelze-li tělesa ovažovat za hoté body ebo za hoogeí oule, je výočet síly jejich vzájeého gavitačího ůsobeí ateaticy složitější GRAVITAČNÍ POLE Gavitačí ole buzeé tělese je zostředovatele a ositele sil jeho (vzájeého) gavitačího ůsobeí (iteace) a jiá tělesa Gavitačí ole je ositele oteciálí eegie á tedy hotou ovahu MATEMATICKÉ MODELY GRAVITAČNÍHO POLE A VEKTOROVÝ MODEL Gavitačí ole buzeé tělese o hotosti M je defiováo vetoovou fucí K K olohy - vetoe itezity gavitačího ole ( ) Itezita gavitačího ole K v jeho libovolé bodě v toto bodě ůsobí a těleso (HB) jedotové hotosti ( g) ( ) je síla, teou ole ; [ K] N g Má-li ole v daé bodě itezitu K, ůsobí ole a těleso o hotosti, acházející se v toto bodě, silou F K (ob4) Předoládeje, že všecha dále uvažovaá tělesa lze ovažovat za HB ebo hoogeí oule Ob4 M P F K M F ; K F M K K K M, ; K N g F K F a g - ( ) [ ] K a g M Itezita K K( M, ) gavitačího ole buzeého tělese o hotosti M je v aždé bodě ova gavitačíu zychleí a g (libovolého) tělesa acházejícího se v toto bodě Gavitačí ole ůžee oocí vetou jeho itezity K v ůzých bodech geoeticy zázoit Je-li tělese budící ole (gavitačí cete) hoogeí oule (ebo ůže být ovažováo za HB), jsou ositelai vetou itezity říy (asy, adiály), ocházející střede oule (HB) Taovéu silovéu oli říáe obecě ole adiálí ebo taé ole cetálí síly S ohlede a ožadavy řesosti ůžee ve větší ebo eší části (ehoogeího gavitačího) ole ovažovat jeho itezitu K za ostatí K a g ost a ovažovat tuto část ole za ole hoogeí (ob43) veto ( )

Fyzia 39 PřF OU, LSleá, 00 Ob43 K ole hoogeí ole adiálí (ehoogeí) B SKALÁRNÍ MODEL Gavitačí ole buzeé tělese o hotosti M je osáo saláí fucí olohy oteciále V V() gavitačího ole Uvažuje řeístěí (ař volý ád) tělesa hotosti v (adiálí) gavitačí oli, buzeé tělese hotosti M, o adiále z bodu A do bodu B (ob44) Na těleso ( ) ůsobí ři toto řeístěí gavitačí síla ěí se vzdáleostí od (středu P ) gavitačího ceta ( ) F g, jejíž veliost se M M P Ob44 B F g d A Učíe yí celovou áci eleetáí áce W a celová áce W AB W AB gavitačí síly F g ři řeístěí A B Její F g d d je ova ( ) dw M Fg d κ d W AB ři A B je tedy ( cos0) B B B M d M M κ d M M κ κ κ κ A B A Přesuee-li bod A do eoeča ( ) gavitačí síly F g ateaticé vyjádřeí oteciálu () A A A ; B a vztáhee-li áci a jedotu hotosti řeisťovaého tělesa, dostaee V gavitačího ole v závislosti a vzdáleosti od (středu) (gavitačího) ceta silového ole jao

Fyzia 40 PřF OU, LSleá, 00 W M M M V() κ κ V () κ ( ) Poteciál V () (adiálího) gavitačího ole ve vzdáleosti od (středu) gavitačího ceta ( M) učíe odle vztahu M - V () κ ; [ V] J g Poteciál V () gavitačího ole ve vzdáleosti od (středu) gavitačího ceta je ove áci gavitačího ole ři řeístěí tělesa jedotové hotosti z eoeča do vzdáleosti Poteciál V () gavitačího ole tedy abývá ouze záoých hodot Je tou ta oto, že jeho fučí závislost a usí slňovat dvě odíy usí být ostoucí fucí vzdáleosti a současě usí být v liitě o (ři vyizeí gavitačího ole) ove ule Geoeticý zázoěí saláího odelu gavitačího ole jsou lochy stejého oteciálu evioteciálí lochy I bez obázu je zřejé, že evioteciálíi lochai adiálího gavitačího ole jsou soustředé ulové lochy se střede ve středu gavitačího ceta Nositela vetou itezity gavitačího ole je oálou evioteciálí loše v daé bodě gavitačího ole Evioteciálíi lochai hoogeího ole jsou avzáje ovoběžé oviy POTENCIÁLNÍ ENERGIE TĚLESA V GRAVITAČNÍM POLI Nachází-li se těleso (HB) o hotosti v adiálí gavitačí oli buzeé tělese o hotosti M v bodě s oteciále V, je jeho oteciálí gavitačí eegie E v toto bodě ova E V E κ M GRAVITAČNÍ POLE ZEMSKÉ Po další úvahy budee ovažovat Zei za hoogeí ouli o oloěu 6 4 R 6,378 0 a hotosti M 5,98 0 g Po veliost itezity a Z Z gavitačího zychleí ehoogeího adiálího zesého gavitačího ole latí MZ K ag Povch Zeě: R K( R ) a ( R ) κ & Z Z g Z M R Z Z g 0 a & g 9,8 s ; 0 g je dohodou staovaá veliost tzv oálího tíhového zychleí a ovchu Zeě

Fyzia 4 PřF OU, LSleá, 00 POTENCIÁLNÍ GRAVITAČNÍ ENERGIE TĚLESA V NADMOŘSKÉ VÝŠCE h Přeístěí tělesa (HB) hotosti z bodu A ( R Z ) a ovchu Zeě do bodu B ( R Z +h) je sojeo se zěou jeho oteciálí eegie Zvolíe-li zesý ovch za ulovou evioteciálí hladiu ůžee (v eříliš velé adořsé výšce h ) oužít o oteciálí (gavitačí tíhovou) eegii tělesa (HB) záý vztah ( h) g h E 0 POHYB V NEHOMOGENNÍM GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ A SLUNCE Pohyb balisticých aet, (uělých) dužic Zeě, Sluce a osicých sod letících io Sluečí soustavu Představe si, že uělá dužice je doavea aetoláe do (tetoáte začé) výšy h ad zesý ovch a v této výšce je jí udělea ychlost v, jejíž ositela je o jedoduchost olá a adiálu gavitačího ole - ob45 A v v Ob45 h F o F g R Z A F g Podíou o ohyb dužice o užici ole Zeě je její beztížý stav ulová výsledice gavitačí síly a setvačé odstředivé síly F g + F o 0 κ M ( R + h) Z Z v R + h Z v MZ MZ κ κ & RZ + h RZ Z RZ g R + h 0 RZ R + h taže tzv uhová ebo taé osicá ychlost v dužice ve výšce h ad zesý ovche je v ( h) v ( h) & g 0 R R Z Z + h Z

Fyzia 4 PřF OU, LSleá, 00 Veliost uhové ebo taé osicé ychlosti o ovch zesý ( h 0) 0 Z - v & g R & 7,9 s je GEOSTACIONÁRNÍ DRUŽICE Jde o dužici, teá obíhá Zei o užici ležící v oviě zesého ovíu s eiodou jede de ( T d) její ostuý ohyb o užicové tajetoii je sychoí s otáčeí Zeě dužice tedy visí ad učitý bode zesého ovíu a je oužíváa zejéa e ouiačí účelů Poloě užicové tajetoie geostacioáí dužice je dá odíai v Z ( h) g v ( h) 0 R R Z h + h ( R + h) π Z R g T Z T 4π R 3 Zg0T R Z ; ( & 35 000 ) 4π 3 Z 0 ( R + h) h Ob46 v v A v < v v > v v Na ob46 jsou zázoěy tajetoie dužice v závislosti a veliosti její oažité ychlosti v bodě A (ve výšce h ad zesý ovche) Po eješí eliticé tajetoii, jejíž část ochází zesý tělese, se ohybují balisticé aety Zvětšuje-li se ychlost dužice, ohybuje se tato o elise ole Zeě bod A je aogee bode, v ěž je dužice ejdále od zesého ovchu Při další zvětšováí ychlosti dosáhe dužice uhové ychlosti, říslušející vzdáleosti bodu A od zesého ovchu Má-li dužice v bodě A ychlost větší, ež je ychlost uhová, ohybuje se dužice oět o elise, bod A je vša již o tyto eliticé tajetoie eigee Další zvětšováí ychlosti dužice á za áslede stále větší výstředost její tajetoie Při dosažeí tzv aabolicé ychlosti v (v bodě A ) se již (eliticá) tajetoie euzavře a dužice o aabolicé tajetoii uiá z dosahu zesého gavitačího ole a stává se uělou dužicí Sluce K učeí aabolicé (ebo taé úiové, či osicé) ychlosti (v daé vzdáleosti od ovchu Zeě) si stačí uvědoit, že dužice uiá do eoeča, v ěž se zastaví Její echaicá eegie je tedy ulová, eboť je v elativí lidu vůči Zei a oteciál zesého gavitačího ole v eoeču je ove ule Poládáe-li zesé gavitačí ole za ozevativí, usí být součet ieticé a oteciálí eegie dužice ohybující se aabolicou ychlostí ove ule v libovolé bodě její tajetoie i ve výšce h tedy usí latit MZ MZ E + E 0 v κ 0 v κ v v v R + h R + h Z Z