KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme: 0,, ± 0, Poslouposti komplexích čísel α + j β α + j β, α, β R defiice limity jko v reálém přípdě Pltí: lim 0 lim lim Re + Im 0 lim C lim Re Re lim Im Im lim lim + k tomu stčí, když pltí lim Re + ebo lim Im + eí to ovšem uté viz posloupost, j, 3, 4 j,..., pro kterou i jed z uvedeých dvou limit eexistuje. Úvod posloupost reálých ebo komplexích čísel ekoečá řd reálých ebo komplexích čísel, -tý čle řdy obecěji: Defiice : ;, kde P je ějký výrok př. 3 edělí ;... P Necht N N. Pk N-tý částečý součet řdy s N defiujeme předpisem: N + +... + N. Existuje-li s lim N s N, zýváme s součtem řdy. Píšeme s. Řekeme, že řd koverguje diverguje osciluje, jestliže posloupost částečých součtů s N N vlstí evlstí emá limitu. má limitu Pozámk : Změ koečě moh čleů řdy emá vliv to, zd řd koverguje, diverguje či osciluje. Příkld.: diverguje sn NN+ ] ; osciluje osciluje v R, le diverguje v C ] s N N,,,, 3, 3,... sn N, 0,, 0,, 0,... ] ; Veroik Sobotíková, FEL ČVUT Prh
MA-8:P.] Příkld.: Geometrická řd s kvocietem q:, kde 0 0, + q, tj. 0 q Speciálě pro 0 je N N q s N + q + q +... + q N. 0 0 Je-li q, pk zřejmě pltí s N N +. Pro q máme { sn s N+ + q + q +... + q N + q N+ + q N+ + q s N 0 tedy s N + q N+ + q s N, To ám dává pro q < obecěji q 0 q N0 q N0 s N qn+ q q q m N0 Pro osttí kvociety q z vyjádřeí s N dostáváme { + pro q v R: q osciluje pro q 0 { pro q > ebo q v C: q osciluje pro q, q 0 m0. q N0 q m q N0 q. Pro 0 obecé všechy součty vyásobíme číslem 0. Speciálě pro q < dostáváme obecěji jko výše 0 q 0 q, 0 0 q 0 q N0 q N 0 q. Příkld.3: 0 3 4 3 3 4 5 4 0 Příkld.4: s N +. Máme totiž + +, tkže + 3 + 3 4 +... + N N + N N+ N+ N. Vět. : Je-li A R C, b B R C c R C, pk pltí + b A + B, c c A, pokud je výrz vprvo defiová. Veroik Sobotíková, FEL ČVUT Prh
Vět. : Necht C. Pk řd Pokud řdy kovergují, pk koverguje právě tehdy, když kovergují obě řdy Re + j Im. MA-8:P.3] Re, Im. Vět.3 utá podmík kovergece : Jestliže koverguje, pk lim 0. Příkld.5: Řdy rctg, si π ekovergují. Je totiž lim rctg π 0 si π, 0,, 0,, 0,,..., tedy limit lim si π eexistuje.. Řdy s ezáporými čley Vět.4 : Je-li 0 pro kždé N, pk existuje součet je ezáporý. Pozámk : Protože je zde s N N eklesjící tedy lim N s N existuje, stčí k určeí hodoty součtu řdy jít limitu jkékoliv podposlouposti poslouposti s N N. Příkld.6: Hrmoická řd Vět.5 srovávcí kritérium : Necht 0 b pro kždé. Potom pltí: Jestliže koverguje řd b, pk koverguje i řd b Jestliže diverguje řd Příkld.7: Příkld.8: +., pk diverguje i řd Pro α řd Řd b. α diverguje, protože pro tto α je α je-li, pk 0 b. hrmoická řd koverguje. Podle příkldu.4 totiž koverguje řd + + Pozámk limití verze srovávcího kritéri : Uvžujme řdy, b s kldými čley. Předpokládejme, že existuje vlstí limit lim b c zřejmě c 0. Pokud je c 0, pk řd koverguje právě tehdy, když koverguje řd b. Z defiice limity totiž existuje k ε c > 0 idex N tkový, že pro kždé je c c ε < b < c + ε 3 c, tedy c b < < 3 c b. Použijeme-li yí srovávcí oz. kritérium řdy s čley c c b oz., d 3 c b, zjistíme, že jestliže koverguje řd, koverguje i řd c, pokud koverguje řd d, koverguje i řd. Řdy c d přitom zřejmě kovergují právě tehdy, když koverguje řd b. Pokud je c 0, pk ám kovergece řdy b dává kovergeci řdy. Z defiice limit totiž k ε existuje idex N tkový, že pro kždé je b < 0 + ε, tedy < b. Kovergece řdy ám zákldě limity lim b 0 o kovergeci řdy b ic eříká. Příkld.8 dodtek: K důkzu kovergece řdy můžeme použít tké výše uvedeou limití verzi srovávcího kritéri: Máme lim / + + lim řd + koverguje. Veroik Sobotíková, FEL ČVUT Prh
Vět.6 podílové kritérium D Alembertovo : Necht > 0 pro všech. Potom pltí: Jestliže existuje 0 < q < tk, že + b Jestliže + pro všech, pk q pro všech, pk koverguje. MA-8:P.4] Vět.7 limití podílové kritérium : Necht > 0 pro všech N. Potom pltí: + Jestliže existuje lim <, pk b Jestliže existuje lim + >, pk koverguje. Vět.8 odmociové kritérium Cuchyovo : Necht 0 pro všech N. Potom pltí: Jestliže existuje 0 < q < tk, že q pro všech, pk b Jestliže pro ekoečě moho, pk koverguje. Vět.9 limití odmociové kritérium : Necht 0 pro všech N. Potom pltí: Jestliže existuje lim <, pk koverguje. b Jestliže existuje lim >, pk Pozámky : V elimitích kritériích pro kovergeci estčí + < resp. < pro všech viz př. hrmoická řd: + + <, <, le řd diverguje. b Limití kritéri epomohou, je-li lim + ebo lim viz př. řdy: diverguje, koverguje. c U podílového kritéri pro divergeci estčí: pro ekoečě moho viz příkld.0. d Lze-li ukázt, že řd koverguje pomocí podílového kritéri, lze to i pomocí odmociového. Pro divergeci to le epltí viz př. řdu, jejíž divergeci lze ukázt pomocí podílového kritéri, e všk pomocí odmociového. Připomeutí užitečé limity viz P3.8]: lim Příkld.9: pro > 0 lim! lim koverguje podle kritéri podílového + + + 0 <, odmociového limitího tedy, přitom řd koverguje. Příkld.0:! + <, podílového limitího + 0 <, srovávcího pro je!,, kde pro - sudé 5 pro - liché, koverguje podle odmociového + kritéri podílové le epomůže, protože > pro všech lichá ; elze použít i limití odmociové kritérium, protože lim eexistuje; vhodé je le použití srovávcího kritéri, protože pro kždé pltí. Veroik Sobotíková, FEL ČVUT Prh
Příkld.: U řd, α > 0, podílové i odmociové kritérium epomůže. α MA-8:P.5] Vět.0 itegrálí kritérium : Necht f je ezáporá erostoucí fukce itervlu N,, kde N N. Pk řd tehdy, když koverguje itegrál N fx dx. Příkld.: Podle itegrálího kritéri řd kritériu. Příkld.3: Vyšetřete kovergeci řdy α l. f koverguje právě N koverguje právě tehdy, když α > využití ve srovávcím Řešeí: Máme l f pro fukci fx x l x, která je itervlu, ezáporá erostoucí. Můžeme tedy zkusit použít itegrálí kritérium. Protože zkoumá řd podle itegrálího kritéri x l x dx l l x ] ll, Pozámk : Pokud ve Větě.0 s N řd koverguje její součet je rove A, pk pro chybu r k A k f k+ f, které se dopustíme, když místo celé řdy sečteme je jejích prvích k čleů, pltí k+ fx dx r k k fx dx. Příkld.4: Odhděte chybu součtu π 6 řdy lze získt pomocí Fourierových řd, které budete mít později., jestliže sečteme je prvích 00 čleů. Součet uvedeé Řešeí: Máme f pro fukci fx x, která je itervlu, ezáporá erostoucí. K odhdu chyby r 00 00, tedy můžeme použít předchozí pozámku. T ám dává odhdy r 00 r 00 0 00 x dx x x dx x ] 0 ] 0 00 00 Pro hledou chybu r 00 tk máme odhd 0, 0099 r 00 0, 0. 0, 0099 0, 0..3 Řdy s obecými čley Vět. : Jestliže pro řdu pltí lim 0, pk tto řd M Pltí : Řd koverguje právě tehdy, když pro kždé ε > 0 existuje 0 tkové, že s M s N < ε, N+ kdykoliv 0 N < M tj. řd splňuje tzv. Bolzo-Cuchyovu podmíku B.C.P. pro kovergeci řd < +... +, koverguje... koverguje bsolutě koverguje ebsolutě reltivě Veroik Sobotíková, FEL ČVUT Prh
MA-8:P.6] Pozámk : Koverguje-li reálá řd ebsolutě, pk součet jejích kldých čleů je +, záporých. Tj. ozčíme-li + mx{, 0}, mx{, 0} všiměte si, že +, + +, pk + +. Příkld.4: Řd koverguje bsolutě. Pozámk : Absolutí kovergeci řd lze zkoumt pomocí kritérií z odstvce.. Vět. : Koverguje-li řd bsolutě, pk koverguje. Obráceé tvrzeí epltí. Vět.3 Leibizovo kritérium : Necht b je erostoucí posloupost ezáporých čísel. Pk řd tzv. lterující řd koverguje právě tehdy, když lim b 0. + b b b + b 3 b 4 +... Příkld.5: Řd + + 3 +... koverguje ebsolutě. 4 Pozámky : Je-li f : N N prosté zobrzeí, pk řdu f zýváme přerováím řdy. Pltí: Jestliže řd koverguje bsolutě, pk koverguje bsolutě i kždé její přerováí má stejý součet. Jestliže reálá řd koverguje ebsolutě, pk kždé reálé číslo je součtem ěkterého přerováí této řdy. Totéž pltí pro ±. Řdu lze přerovt v tomto přípdě i tk, že ová řd bude oscilovt. b Cuchyovým součiem řd, zýváme řdu c, kde c 0 0 b 0, c 0 b + b 0,..., 0 c 0 b + b +... + b 0 Pltí: Jestliže řdy Cuchyův souči, 0 0 c 0 pltí b bsolutě i jejich Cuchyův souči..4 Příkldy Příkld.6: 0 b k b k k0 0 srovejte s výpočtem koeficietů při ásobeí dvou polyomů. kovergují lespoň jed z ich koverguje bsolutě, pk koverguje i jejich b c. Kovergují-li bsolutě obě řdy, pk koverguje 0 0 Zjistěte, pro jká x R koverguje řd 0 5. x + Řešeí: Jde o geometrickou řdu s kvocietem q 5, která podle Příkldu. koverguje právě tehdy, když x + 5 <. Toto stává, právě když 5 < x +, tj. pro x > + 5 3 pro x < 5 7. Uvedeá řd x + tk koverguje pro x, 7 3,. Příkld.7: Vyšetřete kovergeci řdy Řešeí: Máme 9 4 + 7 0 3 4 + 7. 9 4 + 7 9 4 >. Tedy podle limitího odmociového kritéri řd Divergeci můžeme dostt tké pomocí prostého odmociového kritéri, protože pro 4 je. Veroik Sobotíková, FEL ČVUT Prh
Příkld.8: Vyšetřete kovergeci řdy rcsi. MA-8:P.7] Řešeí: Máme π 0 π π π π >. Tedy podle limitího odmociového kritéri řd Divergeci můžeme dostt tké pomocí limitího podílového kritéri, protože + π + + π π + π π >. Příkld.9: Vyšetřete kovergeci řdy Řešeí: Máme > 0! + + + +!! +!. Tedy podle limitího podílového kritéri řd koverguje. Příkld.0: Vyšetřete kovergeci řdy 3 + + + + + 0 e 0 <. 6 + 5 3 +. Řešeí: Rozkldem jedoduché zlomky dosteme fukce fx x + ezáporá erostoucí x 3 + + dá řd koverguje. Podílové i odmociové kritérium zde epomohou, protože ukázt, že tké. +. Protože je itervlu 3, fx dx x ] 0 x 3 3, + ověřte dá se cosπ Příkld.: Vyšetřete kovergeci bsolutí kovergeci řdy 3 + rctg. Řešeí: Ozčíme-li čley dé řdy, pk b, kde b je ezáporá 3 + rctg erostoucí posloupost, lim b π 0. Podle Leibizov kritéri tedy řd koverguje. Zkoumejme yí bsolutí kovergeci řdy. Máme 3 + rctg 3 + π. Protože řd 5π 5π diverguje, dostáváme ze srovávcího kritéri, že i řd Dá řd tedy bsolutě ekoverguje. Dostli jsme tk, že zkoumá řd koverguje ebsolutě. Při zkoumáí bsolutí kovergece jsme mohli použít tké limití verzi srovávcího kritéri: 3 + rctg 3 π 0, řd 3π Příkld.: Vyšetřete kovergeci bsolutí kovergeci řdy + 3 +. + 3 Řešeí: Protože lim eex. 3 eexistuje, eí splě utá podmík kovergece, dá řd proto ekoverguje. Nekoverguje tedy i bsolutě. 3 Příkld.3: Vyšetřete kovergeci bsolutí kovergeci řdy + 5.! + 3 + 7 Řešeí: Protože lim lim +!! 3 + 7 3 lim + 5 + 5 0 0, dá řd koverguje + bsolutě, tedy i koverguje. Mohli jsme tké ejdřív pomocí Leibizov kritéri dokázt prostou kovergeci, pk ž zkoumt kovergeci bsolutí. Pro použití Leibizov kritéri bychom le ejdřív museli ověřit, že posloupost 3 + 5! je erostoucí. To je možé, le epříjemé. Veroik Sobotíková, FEL ČVUT Prh