MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10



Podobné dokumenty
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

Matematika B101MA1, B101MA2

Kapitola 11: Vektory a matice:

8 Matice a determinanty

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustavy lineárních rovnic

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

Operace s maticemi. 19. února 2018

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Soustavy lineárních rovnic

1 Determinanty a inverzní matice

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Operace s maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

Úvod do lineární algebry

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

Základy matematiky pro FEK

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

0.1 Úvod do lineární algebry

Matematika 2 pro PEF PaE

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

Číselné vektory, matice, determinanty

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

0.1 Úvod do lineární algebry

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

3. Matice a determinanty

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

7. Lineární vektorové prostory

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

1 Vektorové prostory.

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Soustavy lineárních rovnic

Základy matematiky pro FEK

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Soustavy linea rnı ch rovnic

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

Matematika I pracovní listy

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Co je obsahem numerických metod?

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

IB112 Základy matematiky

AVDAT Vektory a matice

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

m n. Matice typu m n má

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A

1 Řešení soustav lineárních rovnic

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Jazyk matematiky Matematická logika Množinové operace Zobrazení Rozšířená číslená osa

Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

Transkript:

1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET

2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz cvičící: Milan Cvrček, Staněk Jan, Zedek Lukáš

3 Požadavek na udělení zápočtu: V průběhu semestru budou znalosti prověřovány dvěma testy z probírané látky. Termín každého testu bude dopředu oznámen cvičícím. Pro udělení zápočtu je nutné získat alespoň poloviční počet bodů z každého testu.

4 Požadavky ke zkoušce: Znalost řešení úloh, vyložených pojmů a jejich vlastností v rozsahu daném přehledem přednášek.

Literatura: 5 NEKVINDA M.: Matematika. Část 1. Liberec, Technická univerzita v Liberci, 2001. NEKVINDA M., VILD J.: Matematické oříšky 1. Liberec, Technická univerzita v Liberec, 2006. BITTNEROVÁ, D., PLAČKOVÁ G.: Louskáček. Část 1, Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Liberec, Technická univerzita v Liberci, 2005.

6 HRUBÝD.,KUBÁTJ.:Matematikaprogymnázia: diferenciální a integrální počet. Praha, Prometheus, 2004. KADEŘÁBEK J.: Základy matematiky: Studijní texty pro distanční bakalářské studium textilní marketing. Liberec, Technická univerzita v Liberci, 1999. REKTORYS K.: Přehled užité matematiky. Praha, Prometheus, 2000.

7 CALDA E., DUPAČ V.: Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Praha, Prometheus, 2004. KADEŘÁBEK J.: Statistika, Technická univerzita v Liberci, 2006. KADEŘÁBEK, J. PICEK, J.: Sbírka příkladů z pravděpodobnosti a statistiky. Liberec, Technická univerzita v Liberci, 2001.

8 Internetové zdroje: http://matematika-online-a.kvalitne.cz/ linearni-algebra.htm http://mathonline.fme.vutbr.cz/ Matematika-I/sc-5-sr-1-a-4/ default.aspx http://www.e-matematika.cz/

9 LINEÁRNÍ ALGEBRA

10 Matematika: specifika různé charakteristiky náročnost jak ji studovat dobře seřazené jednoduché věci

Motivace: 11 2x+3y=5 4x+5y=9 4x+6y=10 4x+5y=9 x=1, y=1

12 Modifikace: 2x+3y=5 2x+3y= 5 2x+3y=6 4x+6y=10 Žádné řešení(2. případ), jediné řešení(1. případ) nekonečně mnoho řešení(3. případ)

13 Geometricky: 1. případ: různoběžky jediný průsečík 2. případ: různé rovnoběžky 3. případ: splývající rovnoběžky Možná zobecnění?

14 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy(obecně m) Metody řešení

15 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy(obecně m) Metody řešení

16 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy(obecně m) Metody řešení

17 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy(obecně m) Metody řešení

18 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy Metody řešení

19 Metody řešení: Eliminační(vylučovací) Komparační(srovnávací) jen speciální případ Cramerovo pravidlo spíše teoretický význam

20 Metody řešení: Eliminační(vylučovací) Komparační(srovnávací) jen speciální případ Cramerovo pravidlo spíše teoretický význam

21 Metody řešení: Eliminační(vylučovací) Komparační(srovnávací) jen speciální případ Cramerovo pravidlo spíše teoretický význam

22 Metody řešení: Eliminační(vylučovací) Komparační(srovnávací) jen speciální případ Cramerovo pravidlo spíše teoretický význam

23 Náznak postupu: ax+by=u cx+dy=v cax+bcy = cu cax+ady=av (ad bc)y=(av cu), (ad bc)x=(du bv) x= du bv ad bc, cu y=av ad bc

24 Standardní označení: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 12 x 1 + a 22 x 2 = b 2 resp. a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a n1 x n = b 1 a 12 x 1 + a 22 x 2 + +a n2 x n = b 2.. a 1m x 1 + a 2m x 2 + +a nm x n = b m

25 Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 31.... a m1 a m2 a mn nazývámematicítypu m n.je-li m=nmluvíme o čtvercové matici řádu n.

26 a ij prveksenacházívi-témřádkuavj-tém sloupci. Označení: A= (a ij ) j=1..m i=1..n řádek, sloupec matice- vektory

27 Rovnostmatic:Jsoustejnéhotypuaprvkysestejnými indexy se rovnají ) j=1..m ) j=1..m Součetmatic:Nechť A= (a ij, B= (b ij A+B= i=1..n a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a 31 + b 31.... a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn i=1..n

28 Nulovámatice:Všechnyjejíprvkyjsourovny0 Opačnámatice:KAjetomatice( 1)A= A Maticejakoreálnáčísla :Maticestejnéhotyputvoří grupu Lze matice mezi sebou násobit? Násobení číslem lehké:

29 Násobení matice A reálným číslem λ λa= λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λa 31.... λa m1 λa m2 λa mn

30 Součinmatic:Nechť A= ) s=1..m (a is, B= i=1..n (b sj ) j=1..k s=1..m c ij = AB= C= m a is b sj, s=1 (c ij ) j=1..k, i=1..n i=1,..., n, j=1,...,k.

31 A= ( 10 3 21 1 ), B= 2 110 0 131 1 045 ( 1 2+0 0+3 1, 1 1+0 ( 1)+3 0, 1 1+0 3+3 4, 1 0+0 1+3 5 2 2+1 0+( 1) 1, 2 1+1 ( 1)+( 1) 0, 2 1+1 3+( 1) 4, 2 0+1 1+( 1) 5 )

32 Součinmatic:Jakémávlastnosti? násobení není komutatitivní, je-li např. A typu 2 3aBtypu3 4,paksoučin ABjedefinován, zatímco BA nikoliv. Ani v případě dvou čtvercových matic stejného řádu obecně neplatí AB = BA. A, B, Cčtvercovématiceřádu n. Platí(AB)C = A(BC), A(B+C)=AB+AC,(A+B)C= AC+BC

33 A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n...... a n1 a n2 a nn Nechť Aječtvercovámaticeřádu n. Prvky a 11, a 22, a 33,..., a nn tvořítzv.hlavnídiagonálu

34 Jednotková matice řádu n 1 0 0 0 0 1 0 0 I=..... 0 0 1 0 0 0 0 1 AI= IA=A

35 Ačtvercovématiceřádu n.lzenaléztmatici B řádu ntak,že AB= BA=I? (anenulovéreálnéčíslo: ab=ba=1, b=a 1 ) Obecně nikoliv ( ) 10 A 00 Nechť A čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje čtvercová matice Břádu ntaková,že AB= BA=I

Ačtvercovématiceřádu n.lzenaléztmatici B řádu ntak,že AB= BA=I? (anenulovéreálnéčíslo: ab=ba=1, b=a 1 ) Obecně nikoliv ( ) 10 A= 00 Nechť A čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje čtvercová matice Břádu ntaková,že AB= BA=I 36

Ačtvercovématiceřádu n.lzenaléztmatici B řádu ntak,že AB= BA=I? (anenulovéreálnéčíslo: ab=ba=1, b=a 1 ) Obecně nikoliv ( ) 10 A= 00 Nechť A čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje čtvercová matice Břádu ntaková,že AB= BA=I 37

38 Nechť Ajeregulárnímaticeanechť Bjetamatice,prokterouplatí AB= BA=I.Matici Bpaknazývámeinverzní maticíkmatici Aaznačímeji A 1. Existují nějaké regulární matice? Ano, jednotková matice je regulární. Jak zjistit, zda-li je matice regulární? Jak určit inverzní matici?

39 Mějme řádky matice(řádkové vektory): a 1 =(a 11,..., a 1n ),...,a k =(a k1,..., a kn ). Lineární kombinací řádků rozumíme λ 1 a 1 +...+λ k a k, λ i R Triviální lineární kombinací řádků rozumíme 0a 1 +...+0a k

40 Řekneme,ževektorya 1,...,a k jsoulineárněnezávislé, jestliže platí λ 1,..., λ k R:λ 1 a 1 +...+λ k a k =(0,...,0) λ 1 = λ 2 =...=λ k =0. Mezi všemi lineárními kombinacemi řádků je rovna nulovému vektoru jen triviální lineární kombinace Hodnost matice... maximální počet lineárně nezávislých řádků, ozn. h(a)

41 Nechť Aječtvercovématiceřádu n.maticejeregulární,právěkdyž h(a)=n. Jak prakticky určovat hodnost(a inverzní matici)? Jednoduše lze pro schodovité matice: Matice A typu m n je schodovitá,jestližeprokaždé i 2,..., mplatí,že i-týřádek matice Ajenulovýnebozačínávětšímpočtemnulnež(i 1)-ní řádek. Hodnost je pak zřejmě rovna počtu nenulových řádků.

42 Elementární řádkové úpravy: záměna dvou řádků vynásobení řádku nenulovým číslem přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku Lze ukázat, že pokud pomocí těchto úprav převedemematicianaschodovitoumaticib,pak h(a)=h(b)

43 Elementární řádkové úpravy: záměna dvou řádků vynásobení řádku nenulovým číslem přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku Elementární úpravy lze použít i na hledání inverzní matice: (A I)... (I A 1 )

44 A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 31.... a m1 a m2 a mn Transponovanámatice A T kmatici A: a 11 a 21 a 12 a 22 A T = a 13.... a m1 a m2 a 1n a 2n a mn

45 Vlastnosti transponovaných matic (A T ) T = A (A+B) T = A T + B T (AB) T = B T A T

46 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Mám k dispozici 110 příkladů na derivace, 105 na integrály a 185 příkladů z finanční matematiky. Chci dát testy, z nichž 1. test obsahuje jeden příklad na derivace a dva příklady na integrály, atd. Počty popisuje tabulka. Zajímá mne, kolik variant jednotlivých testů mohu sestavit tak, abysekaždýpříkladvyskytovalprávěvjednomtestu(azdatovůbec půjde nějak zkombinovat). Podle následující tabulky sestavíme soustavu rovnic.

47 T 1 T 2 T 3 početpříkladů derivace 1 2 3 110 integrály 2 5 1 105 finanč.mat. 0 1 7 185 KolikvariantT 1,T 2,T 3? Označímepočty:(x 1, x 2, x 3 )

48 1 x 1 +2 x 2 +3 x 3 =110 2 x 1 +5 x 2 +1 x 3 =105 0 x 1 +1 x 2 +7 x 3 =185 123 251 017 x 1 x 2 x 3 = 110 105 185

49 1 x 1 +2 x 2 +3 x 3 =110 2 x 1 +5 x 2 +1 x 3 =105 0 x 1 +1 x 2 +7 x 3 =185 123 251 017 x 1 x 2 x 3 = 110 105 185

50 soustava lineárních rovnic obecně: a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 +...+a mn x n = b m Ax=b

51 A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n...... a m1 a m2 a mn x= x 1 x 2. x n b= b 1 b 2. b m A je matice soustavy, x je vektor neznámých, a bjevektorpravýchstran

(A b) = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2....... a m1 a m2 a mn b m 52 (A b) je rozšířená matice soustavy Soustava je řešitelná, právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.

53 Soustava je řešitelná: má 1 řešení nebo nekonečně mnoho řešení Je-li matice soustavy čtvercová matice(soustava má nrovniconneznámých),pakmásoustavajediné řešení, právě když je matice soustavy regulární Řešení: Gaussova eliminace(elementární úpravy jako inverzní matice)

54 Determinanty Determinant je funkce, která každé čtvercové matici přiřadí číslo. Označení:det Anebo A Definice: { a11 pokud n=1 deta= ni=1 ( 1) i+1 a i1 deta i1 pokud n >1

55 A ij jematice,ukterévynecháme i-týřádekaj-tý sloupec. Její determinant se zpravidla nazývá subdeterminant. Ve vzorci se subdeterminantům navíc přidělujíznaménka podleschematu + + + + + +..

56 matice2 2:detA=a 11 a 22 a 21 a 12 ( ) a11 a 12 a 21 a 22 Pamatujeme si: součin prvků na diagonále zleva dopravaberemeseznaménkem +,součinprvkůna diagonálezpravadolevaberemeseznaménkem -

57 matice 3 3: Sarrusovo pravidlo deta=a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12

Pomůcka: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 třikrát součin prvků na diagonálách zleva doprava seznaménkem+atřikrátsoučinprvkůnadiagonáláchzpravadolevaseznaménkem ;lzeispřipsánímprvníchdvouřádkůpodpůvodnímatici Vyšší řády: nutno upravit 58

59 A z Avzniknezáměnoudvouřádkůmezisebou deta = deta A z Avzniknevynásobenímjednohořádkučíslem λ deta = λdeta A z Avzniknepřičtenímnásobkujednohořádku k jinému řádku deta =deta

60 Rozvoj determinantu podle j-tého sloupce n deta= ( 1) k+j a kj deta kj k=1 Rozvoj determinantu podle i-tého řádku n deta= ( 1) i+k a ik deta ik k=1

61 Vlastnosti: deta=deta T det(a B)=detA detb Je-li A horní(resp. dolní) trojúhelníková matice, pak platí deta=a 11 a 22... a nn. Ajeregulární,právěkdyždetA 0.

62 Determinanty a inverzní matice: (a ij ) j=1..n (b ij ) j=1..n A= i=1..n, A 1 = i=1..n, b ij = ( 1)i+j deta ji deta

63 Rozložíme-li do jednodušších kroků: vytvoříme matici ze stejnolehlých subdeterminantů A ij opatřímeje střídavýmiznaménky takto vzniklou matici transponujeme každý prvek vzniklé matice dělíme determinantem matice původní

Determinant a řešení lineární rovnic: Cramerovo pravidlo: Nechť Ax=bjesoustavalineárníchrovnic,kde A jeregulárníčtvercovámaticeřádu n.označme A j matici, která vznikne z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem b pravých stran rovnic dané soustavy.pakprokaždé j=1,2,..., nplatí x j = deta j deta 64

65 Podrobnější výklad a návod k řešení příkladů najdete na adrese: http://mathonline.fme.vutbr.cz/ Matice-a-determinanty-inverzni-matice/ sc-63-sr-1-a-33/default.aspx Přečtěte si nejprve výklad vystavený pod STUDIJNÍ TEXT apaksiprojděteanimacev ŘEŠENÉ PŘÍKLADY- PRESENTACE. Část NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY obsahuje příklady, ale bez výsledků.