III Určování hodnot funkcí sinus a cosinus

Podobné dokumenty
III Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

III Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

4.2.6 Tabulkové hodnoty orientovaných úhlů

4.2.6 Tabulkové hodnoty orientovaných úhlů

7.5.3 Hledání kružnic II

4.2.9 Vlastnosti funkcí sinus a cosinus

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Goniometrické nerovnice

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce

Funkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a

Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.

4.2.4 Orientovaný úhel I

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

Analytická geometrie lineárních útvarů

4.3.3 Goniometrické nerovnice I

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

x 0; x = x (s kladným číslem nic nedělá)

4.2.3 Orientovaný úhel

Derivace goniometrických funkcí

15. Goniometrické funkce

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

4.3.2 Goniometrické nerovnice

Vektorový součin I

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Přímková a rovinná soustava sil

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Funkce kotangens

1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus II

Shodná zobrazení v rovině

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II

Derivace goniometrických. Jakub Michálek,

Rovnice paraboly

Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: není možné jen tak roznásobit ani rozdělit:

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

4.3.7 Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: 4306

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil

M - Příprava na 12. zápočtový test

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Funkce přímá úměrnost III

Rasterizace je proces při kterém se vektorově definovaná grafika konvertuje na. x 2 x 1

Podmínky k získání zápočtu

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus I

Teorie sférické trigonometrie

= - rovnost dvou výrazů, za x můžeme dosazovat různá čísla, tím měníme

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.

Značení krystalografických rovin a směrů

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Cyklometrické funkce

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

2) Nulový bod stroje používáme k: a) Kalibraci stroje b) Výchozímu bodu vztažného systému c) Určení korekcí nástroje

GONIOMETRICKÉ FUNKCE OBECNÉHO ÚHLU

Transkript:

..7 Určování hodnot funkcí sinus a cosinus Poznámka: Obsah této kapitoly nepřináší nic nového. Sám autor si myslí, že by asi bylo lepší, kdyby si studenti nějako metodu rychlého určování hodnot vymysleli sami. Zkušenosti však ukazují, že ani ti průměrní nejsou schopni během krátké doby, která se látce ve škole věnuje, vyvinout uspokojivou metodu s jejíž pomocí by byli schopni spolehlivě a rychle určit hodnoty goniometrických funkcí. Proto zde uvádí dvě metody, které sám používá, aby si nemusel pamatovat celou tabulku hodnot a zároveň dokázal v podstatě okamžitě určit hodnotu libovolné goniometrické funkce. Rozhodně to neznamená, že je nutné používat tento postup nebo že není možné vymyslet jiný, případně nějakou modifikaci. Př: Urči hodnotu sin 0. Jak můžeme postupovat? a) pamatovat si výsledek, hodnotu už máme v tabulce. Nevýhoda musíme si pamatovat spoustu údajů, které se navzájem pletou. b) nakreslit si obrázek a hodnotu spočítat, jak jsme dělali při doplňování tabulky Nevýhoda strašně zdlouhavé různé způsoby, které nevyžadují příliš mnoho pamatování a jsou rychlé Př (Domácí úkol): Vymysli způsob, jak určovat hodnoty goniometrických funkcí pro úhly v základním tvaru. Př: Souřadná rovina je souřadnými osami rozdělena na čtvrtiny kvadranty. Kvadranty se označují čísly, podle pořadí, ve kterém do nich ukazuje koncové rameno úhlu, který má počáteční rameno shodné s kladno poloosou x a jehož velikost se postupně zvětšuje od 0 do. Nakresli souřadnou rovinu a očísluj kvadranty. - S x - V Př: Nakresli ještě jednou obrázek s kvadranty a do každého kvadrantu dopiš zda jsou hodnoty goniometrických funkcí pro úhly z tohoto kvadrantu kladné nebo záporné.

cos x <0 sin x >0 cos x >0 sin x >0 - sin x <0 sin x <0 cos x <0 - cos x >0 V Poznámka: Uvedené nerovnosti platí nejenom pro sin x a cos x, ale i pro souřadnice všech bodů, které se v daných kvadrantech nalézají ( sin x a cos x nejsou nic víc než souřadnice bodů v kvadrantu, proto pro ně musí platit to samé, co platí pro libovolný bod). Obrázek pak můžeme překreslit i takto: x-ová souřadnice <0 y -ová souřadnice > 0 x-ová souřadnice >0 y -ová souřadnice > 0 - - y -ová souřadnice <0 x-ová souřadnice <0 y -ová souřadnice <0 x-ová souřadnice >0 V Př: Prohlédni tabulku s hodnotami goniometrických funkcí a najdi v ní co nejvíce pravidel. Úkol může být splněn různě, některé možnosti. Úhly můžeme podle hodnot goniometrických funkcí rozdělit do čtyř skupin: Úhel [ ] 0 0 5 60 90 0 5 50 80

Úhel [rad] 0 6 5 6 sin ( x ) 0 0 cos ( x ) 0 - Úhel [ ] 80 0 5 0 70 00 5 0 60 Úhel [rad] 7 6 5 5 7 6 sin ( x ) 0 cos ( x ) - - 0 0 Násobky - jedna z goniometrických funkcí má nulovou hodnotu, hodnota druhé se rovna nebo (nakreslením úhlu hned určíme hodnoty). Úhly při jejich vyjádření v obloukové míře používáme zlomek se ve jmenovateli ( čtvrtinový úhel) absolutní hodnota sin x i cos x je stejná (nakreslením úhlu zbývá určit pouze znaménko) Úhly při jejich vyjádření v obloukové míře používáme zlomek se 6 ve jmenovateli ( šestinový úhel) absolutní hodnota sin x se rovná a je menší než absolutní hodnota cos x (nakreslením úhlu zbývá určit pouze znaménko) Úhly při jejich vyjádření v obloukové míře používáme zlomek se ve jmenovateli ( třetinový úhel) absolutní hodnota sin x se rovná cos x (nakreslením úhlu zbývá určit pouze znaménko) a je větší než absolutní hodnota Předchozí jsou dobře rozeznatelné i z obrázku, na kterém jsou barevně nakreslena konečná ramena jednotlivých úhlů.

- 0 - Násobky jsou rovnoběžné se souřadnými osami jedna z goniometrických funkcí musí být nulová a druhá nebo. Čtvrtinové úhly půlí kvadranty leží na jejich osách sinus i kosinus mají stejnou velikost. Šestinové úhly se tulí k ose x velikost x-ové složky souřadnice bodu na kružnici je větší než velikost souřadnice y-ové absolutní hodnota cosinus je velké číslo hodnota sinus je malé číslo., absolutní Třetinové úhly se tulí k ose y velikost y-ové složky souřadnice bodu na kružnici je větší než velikost souřadnice y-ové absolutní hodnota sinus je velké číslo hodnota cosinus je malé číslo., absolutní Teď už sestavím postup na rychlé určení hodnoty:. Podle druhu goniometrické funkce sleduji x-ovou nebo y-ovou souřadnici.. Zjistím do jaké skupiny úhlů patří úhel, který studuju. Z toho určím velikost goniometrické funkce.. Zjistím v jakém kvadrantu hodnotu určuju a podle toho přidělím znaménko. Př: Urči 7 sin 6. Hledám sinus sleduju y-vou souřadnici. Úhel 7 6 je šestinový přimyká k ose x malá y-ová souřadnice a tedy malé sinus.

Úhel 7 směřuje do třetího kvadrantu malá y-ová souřadnice je záporná. 6 sin 7 =. 6 Př: Urči cos80. Hledám cosinus sleduju x-vou souřadnici. Úhel 80 je násobek koncové rameno splývá se souřadnou osou směřuje kolmo dolů y-ová souřadnice je. cos80 =. Př: Urči sin. Hledám sinus sleduju y-vou souřadnici. Úhel je čtvrtinový půlí kvadrant velikost obou souřadnic stejná. Úhel směřuje do druhého kvadrantu y-ová souřadnice je kladná. sin =. Př: Urči cos00. Hledám cosinus sleduju x-vou souřadnici. 5 Úhel 00 = je třetinový přimyká k ose y malá x-ová souřadnice a tedy malá velikost cosinus. Úhel 00 směřuje do čtvrtého kvadrantu malá x-ová souřadnice je kladná. cos 00 =. 5