..7 Určování hodnot funkcí sinus a cosinus Poznámka: Obsah této kapitoly nepřináší nic nového. Sám autor si myslí, že by asi bylo lepší, kdyby si studenti nějako metodu rychlého určování hodnot vymysleli sami. Zkušenosti však ukazují, že ani ti průměrní nejsou schopni během krátké doby, která se látce ve škole věnuje, vyvinout uspokojivou metodu s jejíž pomocí by byli schopni spolehlivě a rychle určit hodnoty goniometrických funkcí. Proto zde uvádí dvě metody, které sám používá, aby si nemusel pamatovat celou tabulku hodnot a zároveň dokázal v podstatě okamžitě určit hodnotu libovolné goniometrické funkce. Rozhodně to neznamená, že je nutné používat tento postup nebo že není možné vymyslet jiný, případně nějakou modifikaci. Př: Urči hodnotu sin 0. Jak můžeme postupovat? a) pamatovat si výsledek, hodnotu už máme v tabulce. Nevýhoda musíme si pamatovat spoustu údajů, které se navzájem pletou. b) nakreslit si obrázek a hodnotu spočítat, jak jsme dělali při doplňování tabulky Nevýhoda strašně zdlouhavé různé způsoby, které nevyžadují příliš mnoho pamatování a jsou rychlé Př (Domácí úkol): Vymysli způsob, jak určovat hodnoty goniometrických funkcí pro úhly v základním tvaru. Př: Souřadná rovina je souřadnými osami rozdělena na čtvrtiny kvadranty. Kvadranty se označují čísly, podle pořadí, ve kterém do nich ukazuje koncové rameno úhlu, který má počáteční rameno shodné s kladno poloosou x a jehož velikost se postupně zvětšuje od 0 do. Nakresli souřadnou rovinu a očísluj kvadranty. - S x - V Př: Nakresli ještě jednou obrázek s kvadranty a do každého kvadrantu dopiš zda jsou hodnoty goniometrických funkcí pro úhly z tohoto kvadrantu kladné nebo záporné.
cos x <0 sin x >0 cos x >0 sin x >0 - sin x <0 sin x <0 cos x <0 - cos x >0 V Poznámka: Uvedené nerovnosti platí nejenom pro sin x a cos x, ale i pro souřadnice všech bodů, které se v daných kvadrantech nalézají ( sin x a cos x nejsou nic víc než souřadnice bodů v kvadrantu, proto pro ně musí platit to samé, co platí pro libovolný bod). Obrázek pak můžeme překreslit i takto: x-ová souřadnice <0 y -ová souřadnice > 0 x-ová souřadnice >0 y -ová souřadnice > 0 - - y -ová souřadnice <0 x-ová souřadnice <0 y -ová souřadnice <0 x-ová souřadnice >0 V Př: Prohlédni tabulku s hodnotami goniometrických funkcí a najdi v ní co nejvíce pravidel. Úkol může být splněn různě, některé možnosti. Úhly můžeme podle hodnot goniometrických funkcí rozdělit do čtyř skupin: Úhel [ ] 0 0 5 60 90 0 5 50 80
Úhel [rad] 0 6 5 6 sin ( x ) 0 0 cos ( x ) 0 - Úhel [ ] 80 0 5 0 70 00 5 0 60 Úhel [rad] 7 6 5 5 7 6 sin ( x ) 0 cos ( x ) - - 0 0 Násobky - jedna z goniometrických funkcí má nulovou hodnotu, hodnota druhé se rovna nebo (nakreslením úhlu hned určíme hodnoty). Úhly při jejich vyjádření v obloukové míře používáme zlomek se ve jmenovateli ( čtvrtinový úhel) absolutní hodnota sin x i cos x je stejná (nakreslením úhlu zbývá určit pouze znaménko) Úhly při jejich vyjádření v obloukové míře používáme zlomek se 6 ve jmenovateli ( šestinový úhel) absolutní hodnota sin x se rovná a je menší než absolutní hodnota cos x (nakreslením úhlu zbývá určit pouze znaménko) Úhly při jejich vyjádření v obloukové míře používáme zlomek se ve jmenovateli ( třetinový úhel) absolutní hodnota sin x se rovná cos x (nakreslením úhlu zbývá určit pouze znaménko) a je větší než absolutní hodnota Předchozí jsou dobře rozeznatelné i z obrázku, na kterém jsou barevně nakreslena konečná ramena jednotlivých úhlů.
- 0 - Násobky jsou rovnoběžné se souřadnými osami jedna z goniometrických funkcí musí být nulová a druhá nebo. Čtvrtinové úhly půlí kvadranty leží na jejich osách sinus i kosinus mají stejnou velikost. Šestinové úhly se tulí k ose x velikost x-ové složky souřadnice bodu na kružnici je větší než velikost souřadnice y-ové absolutní hodnota cosinus je velké číslo hodnota sinus je malé číslo., absolutní Třetinové úhly se tulí k ose y velikost y-ové složky souřadnice bodu na kružnici je větší než velikost souřadnice y-ové absolutní hodnota sinus je velké číslo hodnota cosinus je malé číslo., absolutní Teď už sestavím postup na rychlé určení hodnoty:. Podle druhu goniometrické funkce sleduji x-ovou nebo y-ovou souřadnici.. Zjistím do jaké skupiny úhlů patří úhel, který studuju. Z toho určím velikost goniometrické funkce.. Zjistím v jakém kvadrantu hodnotu určuju a podle toho přidělím znaménko. Př: Urči 7 sin 6. Hledám sinus sleduju y-vou souřadnici. Úhel 7 6 je šestinový přimyká k ose x malá y-ová souřadnice a tedy malé sinus.
Úhel 7 směřuje do třetího kvadrantu malá y-ová souřadnice je záporná. 6 sin 7 =. 6 Př: Urči cos80. Hledám cosinus sleduju x-vou souřadnici. Úhel 80 je násobek koncové rameno splývá se souřadnou osou směřuje kolmo dolů y-ová souřadnice je. cos80 =. Př: Urči sin. Hledám sinus sleduju y-vou souřadnici. Úhel je čtvrtinový půlí kvadrant velikost obou souřadnic stejná. Úhel směřuje do druhého kvadrantu y-ová souřadnice je kladná. sin =. Př: Urči cos00. Hledám cosinus sleduju x-vou souřadnici. 5 Úhel 00 = je třetinový přimyká k ose y malá x-ová souřadnice a tedy malá velikost cosinus. Úhel 00 směřuje do čtvrtého kvadrantu malá x-ová souřadnice je kladná. cos 00 =. 5