ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechncá DIPLOMOVÁ PRÁCE Petr M
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechncá atera řící techny Návrh aatvních PID regulátorů Desgn o aatve PID controllers Dlomová ráce Stujní rogram: Stujní obor: Veoucí ráce: Eletrotechna a normata Kyberneta a měření Ing. Petr Huše, Ph.D. Petr M Praha
Prohlášení Prohlašuj, že jsem svou lomovou rác vyracoval samostatně a oužl jsem ouze olay (lteraturu, rojety, SW at. uveené v řloženém seznamu.
Poěování: Na tomto místě chc oěovat Ing. Petru Hušov, Ph.D. za omoc, veení a obětavý řístu, terý m věnoval ř saní této ráce. aé bych rá oěoval všem, teří m umožnl stuovat na vysoé šole a teří m byl oorou ř saní této ráce. Zejména jsou to moj roče, má řítelyně a můj bratr. Děuj.
Anotace: ato ráce se věnuje návrhu aatvního PID regulátoru ro soustavu rvního řáu s oravním zožěním. Výslený algortmus je rmárně určen ro ávové rocesy, e se aatace nerobíhá ontnuálně, ale o ávách. Aatační roces je rozělen na vě část. Prví částí je entace změn regulované soustavy ouze na zálaě řechoové charatersty uzavřené smyčy. Druhou částí je návrh aatujícího se regulátoru. K němu jsou oužty ja metoy vycházející z numercé otmalzace, ta metoy vycházející z ojmů amltuové a ázové bezečnost. Annotaton: hs loma thess s ocuse on the esgn o aatve PID controller or a rst-orer system wth tme elay. he nal algorthm s ntene or use n batch rocesses, where the aataton oesn t rocee on-lne but n the batches. he aatve mechansm s ve nto two arts. here s an entcaton o varatons n controlle system n the rst art. he entcaton s one only on the bass o the close-loo ste resonse. he secon art s ocuse on the esgn o aatve PID controller. For the esgn the methos o numercal otmzaton an the methos base on gan an hase margns are use.
OBSAH: ÚVOD...- - ADAPIVNÍ NÁVRH REGULÁORŮ, PŘEHLED MEOD...- 3 -. PŘEHLED OBECNÝCH ADAPAČNÍCH SCHÉMA... - 3 -.. Aatvní systémy s reerenčním moelem (MRAS...- 3 -.. Duální řízení...- 4 -..3 Samočnně se nastavující regulátor SC (sel-tunng controller...- 5 -..4 Metoa řízeného zesílení (Gan Scheulng...- 7 -. ADAPIVNÍ PID... - 8 -.. Metoy založené na řechoové charaterstce...- 8 -.. Metoa založená na rozmtávání obvou...- 9-3 ROZBOR ŘEŠENÍ PROBLÉMU...- - 3. POSUP ŘEŠENÍ... - - 3. IDENIFIKACE PŘENOSU SOUSAVY Z PŘECHODOVÉ CHARAKERISIKY UZAVŘENÉ SMYČKY SE ZNÁMÝMI KONSANI REGULÁORU... - - 3.3 NÁVRH REGULÁORU... - - 4 APARÁ POUŽIÝ K ŘEŠENÍ PROBLÉMU...- 4-4. NUMERICKÉ MEODY JEDNOROZMĚRNÉ OPIMALIZACE... - 4-4.. Fbonaccova metoa a metoa zlatého řezu...- 4-4.. Newtonova metoa metoa tečen...- 5-4. NUMERICKÉ MEODY VÍCEROZMĚRNÉ OPIMALIZACE... - 6-4.. Metoa nejrychlejšího sestuu (NS...- 7-5 IDENIFIKACE...- 9-5. DEFINICE PARERŮ PŘECHODOVÉ CHARAKERISIKY... - - 5. VLIV ZMĚNY DOPRAVNÍHO ZPOŽDĚNÍ... - - 5.3 VLIV ZMĚNY ČASOVÉ KONSANY... - 4-5.4 VLIV ZMĚNY ZESÍLENÍ... - 5-5.5 IERAČNÍ ALGORIMY HLEDÁNÍ ZMĚNY JEDNOHO PARERU... - 7-5.5. Korece oravního zožění...- 7-5.5. Iterační algortmus ro zjštění časové onstanty...- 8-5.5.3 Iterační algortmus ro zjštění zesílení K...- 9-5.5.4 Numercé metoy hleání zesílení Newtonova metoa...- 3-5.6 IERAČNÍ ALGORIMY HLEDAJÍCÍ ZMĚNU DVOU PARERŮ... - 3-5.6. Iterační algortmus entace zesílení a časové onstanty...- 3-5.6. Ientace zesílení a časové onstanty graentní metoa NS...- 33-6 ADAPAČNÍ MECHANISMY NÁVRHU PID REGULÁORŮ...- 36-6. NASAVOVÁNÍ PID REGULÁORŮ FREKVENČNÍMI MEODI... - 36 -
6.. Amltuová a ázová bezečnost...- 36-6.. Metoa nastavování ázové a amltuové bezečnost...- 37-6..3 Metoa nastavování a ro systém rvního řáu s oravním zožěním omocí PID regulátoru...- 38-6..4 Určení rozsahu revencí, ro něž mají řvy a smysl...- 4-6..5 Metoa nalezení ro metou vycházející z a...- 43-6. NUMERICKÁ MEODA NASAVOVÁNÍ PID REGULÁORU... - 48-7 SIMULACE...- 5-7. IDENIFIKACE I ADAPACE S POUŽIÍM GRADIENNÍ MEODY NS... - 5-7. GRADIENNÍ MEODA IDENIFIKACE, GRADIENNÍ MEODA ADAPACE... - 54-7.3 GRADIENNÍ MEODA IDENIFIKACE, ADAPACE POMOCÍ A... - 56-7.4 SOUHRN VÝSLEDKŮ SIMULACÍ... - 59-8 ZÁVĚR...- 6 - SEZN POUŽIÉ LIERAURY...- 6 - SEZN OBRÁZKŮ...- 63 - SEZN ABULEK...- 64 -
ÚVOD Aatace je velm častý jev v říroě. Je to roces, y se organsmy řzůsobují svému stále se měnícímu oolí ta, aby měly co největší šanc v nově nastolených omínách řežít. Poobně je tomu v techncé ra. I ze estují systémy, teré racují za měnících se vnějších omíne a je otřeba, aby se svému oolí řzůsobly taovým zůsobem, terý zajstí jen velm málo se měnící valtu jejch výstuu. Velm ůležtým nástrojem aatujících se systémů je zětná vazba. Její rnc je řevzat z říroy, e se hojně vysytuje. Klascá, v regulační ra oužívaná, zětná vazba o výstuu sce výrazně omáhá ř omezování vlvů rostřeí, ale sama o sobě nemůže být jeným rvem aatačního mechansmu. Zařízení, terá j oužívají, se totž žáným zůsobem nevyvíjejí a neochází ta jejch řzůsobení se oolí. V souvslost se změnam rostřeí se taé velm často mluví o robustnost. o je schonost systému oolávat vnějším vlvům nebo nejstotám ve změně arametrů systému. Hlavní rozíl orot aatac oět sočívá v tom, že robustní zařízení se neřzůsobuje změnám svého oolí, nevyvíjí se. A nyní se jž ostáváme aatvním regulátorům. Ze se aatace usutečňuje omocí řenastavování regulátoru během regulačního rocesu. Regulátor se ta v růběhu času vyvíjí na zálaě měření oezvy regulované soustavy. Pou se řeneseme o oblast PID regulátorů, a jsou ostuem času znovu a znovu nastavovány jejch roorconální, ntegrační a ervační složy. Aatační mechansmus ta můžeme cháat jao zětnou vazbu vyššího řáu. V této rác se zaměříme na návrh aatvního mechansmu PID regulátoru racujícího v rostřeí ávových rocesů. aové rocesy se v ra běžně vysytují, naříla ř výrobě otravn, náojů, v chemcém růmyslu nebo ř zracovávání ovů lsováním. Právě ze je možné řenastavovat regulátor mez jenotlvým ávam rocesu, a tím ocílt leších vlastností alších výrobů. Atuální výrobe ta sce bue vyroben s horším vlastnostm, ale alší usy jž buou leší. U taovýchto rocesů ochází e změnám arametrů soustavy taé nesojtě, mez jenotlvým ávam, naříla řvezením materálu s jným vlastnostm. I roto se zá nasazení mechansmu, terý rováí aatac mez jenotlvým ávam, řrozené. Dlomová ráce je rozělena o osm atol. První atolou je úvo a oslení závěr. Ve ruhé atole se seznámíme s obecně oužívaným schématy aatačních systémů a - -
s jejch stručnou charaterstou. Jsou ze stručně uveeny rncy uálního řízení č samo se nastavujících regulátorů. Dále jsou ze zmíněny metoy nastavování PID regulátorů z arametrů řechoové charatersty regulované soustavy. Ve třetí atole je stručně roveen rozbor oužtého řešení roblému. aé je ze objasněno, roč nelze oužít v lteratuře osované rncy a roč je zvolena ro regulac soustava rvního řáu s oravním zožěním (tří-arametrcá soustava. Čtvrtá atola je věnována matematcému aarátu otřebnému ro řešení roblému. Jená se o vybrané algortmy numercé otmalzace. Katoly 5 a 6 se zabývají vlastním návrhem aatačního mechansmu. V áté atole je rozebrána entace arametrů soustavy z řechoové charatersty uzavřené smyčy ř známých honotách regulátoru. Jsou ze uveeny vlvy změn jenotlvých arametrů soustavy na valtatvní vlastnost řechoové charatersty uzavřené smyčy. Dále a se v této atole seznámíme se věma metoam entace. Jena vychází z oznatů zísaných na začátu atoly, ruhá je čstě otmalzační. Šestá atola má za úol vyřešt roblém nalezení aatvního regulátoru ro systém entovaný v atole 5. Jsou ze řeloženy vě metoy. První se snaží o aatac ve revenční oblast a nastavuje regulátor ta, aby byly zachovány ázové a amltuové bezečnost ře změnou arametrů (nomnální systém a o změně arametrů (nová, změněná soustava, e teré se hleá regulátor. Druhá metoa rováí aatac v časové oblast, a to taovým zůsobem, aby s byly řechoové charatersty nomnálního systému a aatovaného systému co nejoobnější. K tomu oět využívá meto numercé otmalzace. Semá atola se zabývá vyzoušením navržených algortmů na onrétních systémech. Jsou ze ostuně řeloženy a otestovány tř měnící se systémy s různým stuněm obtížnost regulace. Něol obrázů oté lustruje, ja se regulátor ostuně aatuje na změny systému. - -
ADAPIVNÍ NÁVRH REGULÁORŮ, PŘEHLED MEOD. Přehle obecných aatačních schémat V této atole jsou uveeny zálaní aatační systémy, jejch strutura, a os čnnost. Nejrve se seznámíme se systémy s reerenčním moelem (atola.., oté bue nastíněna roblemata uálního řízení (.., její aromace metoou SR (..3 a naonec řístu omocí metoy řízeného zesílení (..4... Aatvní systémy s reerenčním moelem (MRAS Hlavní myšlenou aatvního řístuu omocí MRAS (Moel-Reerence Aatve Systems [9] je využtí reerenčního moelu. ento moel uazuje, ja by měl eálně výstu regulované soustavy reagovat na říící sgnál w. Neje tey o moel regulované soustavy, ale o moel uzavřené smyčy. Reerenční moel oužíváme, rotože ne všechny arametry regulované soustavy jsou nám známé, anebo se s časem omalu mění. Cílem aatace a je nastavt honoty regulátoru ta, aby výstu reerenčního moelu y r a výstu regulované soustavy y byly shoné a za tímto účelem je enována ochyla soustavy o moelu: e = y. y r Reerenční moel y r Parametry reg. Ajustační mechansmus w Regulátor u Regulovaná soustava y Obr. : Schéma MRAS Regulační schéma se sláá ze vou smyče. Vntřní smyča oovíá lascé zětné vazbě o výstuu a je tvořena regulátorem a regulovanou soustavou. Vnější smyča sestává z reerenčního moelu a blou ajustačního mechansmu a má za úol nastavovat arametry regulátoru ve vntřní smyčce. - 3 -
MRAS systémy ále ělíme ole ajustačního mechansmu. Estuje něol zálaních rnců, ole terých lze nastavovat arametry regulátoru θ. Prvním z nch je tazvaný MI řístu, terý říá, že změna arametrů regulátoru se má rovést ve směru oačném e graentu honotící unce. a může být naříla má a tvar: J ( e =,5e a MI ravlo θ J ( θ e = γ = γ e. (. t θ θ Parcální ervac ochyly ve výrazu nazýváme ctlvost ochyly na změnu arametrů. V jenouchých říaech j lze římo vyočíst, ve složtějších j a musíme aromovat. Parametrγ je laícím rostřeem návrháře a uává, ja rychle má ochyla e onvergovat nule. Důležtou vlastností MI řístuu je to, že nezaručuje výslenou stabltu. a je oonce výrazně ovlvněna amltuou vstuů. Pro malé amltuy může být systém stablní, ro velé a jž nol. Přesná hrance velost vstuu je a obtížně určtelná. uto neříjemnou vlastnost ostraňují řístuy návrhu MRAS systémů založené na ovození ajustačního mechansmu na zálaě Lyaunovy nebo BIBO stablty. Př návrhu MRAS systému je úolem návrháře zvolt struturu regulátoru, určt reerenční moel tey enovat chování uzavřené smyčy a nalézt arametry γ ta, aby ošlo e onvergenc regulovaného systému reerenčnímu moelu ostatečně rychle, avša aby nebyla ztracena stablta... Duální řízení Cílem uálního řízení ([7], [9], [3] je nalézt omroms mez co nejleším oznáním arametrů regulované soustavy a co nejotmálnějším řízením. Rozor mez řízením a entací sočívá v tom, že ro entac otřebujeme řvést na vstu regulované soustavy co možná revenčně nejbohatší sgnál, abychom ostatečně vybul všechny stavy systému. Naoa řízení se snaží ostat celý systém o lu racovního bou. Duální řízení ta vyvažuje oba etrémy. Duální řízení atří o tříy řízení stochastcých systémů. o znamená, že aror se ř návrhu uvažuje to, že stavy systému, ale jeho arametry, jsou zatíženy neurčtostm. y se u arametrů rojevují jejch časovou nestálostí. Proto je vetor stavů systému rozšířen o časově roměnné arametry θ. ato rozšířený stavový vetor je a nazýván hyerstavem z = [ θ ]. Protože vývoj arametrů soustavy je neznámý, moeluje se nejčastěj omocí erencální rovnce θ & = v, e v označuje vetor náhoné velčny s nulovou stření - 4 -
honotou a řeesanou ovaranční matcí. Uveená rovnce vyjařuje sutečnost, že až na náhoné změny jsou honoty arametrů onstantní. Výočet hyerstavu w Nelneární u Regulovaná y regulátor soustava Obr. : Schéma uálního aatvního systému Duální aatvní regulátor, ja je znázorněn na Obr., se sláá ze vou částí. První částí je blo ohaující hyerstav. o znamená, že je ohanuta ja stření honota hyerstavu, ta jeho neurčtost. Díy jeho rozšířenému charateru je toto ohaování nelneární z ůvou násobení stavů a arametrů navzájem. Dalším bloem je nelneární regulátor. Jená se o blo, terý má na aném časovém horzontu otmálně nastavt ační zásah u nejen ole atuálních honot stavů a arametrů, ale ole jejch neurčtost. Krterální unce má tvar: V = E F( z (, u( + ( z( t, u( t t. (. Symbol E označuje oerátor stření honoty, unce F(.,. a (.,. označují salární unce, teré mez sebou váží jenotlvé hyerstavy a ační zásah. Stření honota je očítána řes všechny složy hyerstavu. Nalézt analytcy regulátor, terý mnmalzuje (omocí ačního zásahu u(t rterální unc, je možné jen v něterých jenouchých říaech. K cíl by mohla vést metoa ynamcého rogramování za oužtí Bellmanovy reurzvní rovnce a jejího numercého řešení. Ze vša vyvstává zásaní roblém obrovsé výočetní náročnost, terá eonencálně vzrůstá s menzí hyerstavu (jehož velost íy zahrnutí arametrů soustavy roste rovněž rychle. Zajímavou vlastností uálního regulátoru je volba jeho stratege ř velé neurčtost arametrů. V tom říaě zaváí o systému umělé erturbace ta, aby ošlo jeho lešímu vybuzení, a tey leší entac arametrů. Samozřejmě, že tyto erturbace ačního zásahu jsou voleny ta, aby nebyla řílš zhoršena valta řízení...3 Samočnně se nastavující regulátor SC (sel-tunng controller Obvo samočnně se nastavujícího regulátoru (SC Sel-unng Controller, [7], [8], [9] se sláá ze vou smyče (Obr. 3. Vntřní smyču tvoří regulátor, regulovaná soustava a - 5 -
zětná vazba o výstuu. Vnější smyča slouží růběžnému návrhu regulátoru. Je tvořena třem zálaním bloy: regulátorem, bloem ro návrh regulátoru a bloem ro oha arametrů soustavy. Regulátor je vyočítáván na zálaě arametrů regulované soustavy ta, aby byly zajštěny řeem secované vlastnost a chování celého regulačního rocesu. secace Samočnně nastavující se regulátor Parametry soustavy Návrh regulátoru Ohaování arametrů w Regulátor Parametry regulátoru u Regulovaná soustava y Obr. 3: Bloové schéma SC Metoa SC je oláána za aromac uálního řízení. Cílem uálního řízení je nalezení otmálního ačního zásahu ja vzhleem řízení, ta s ohleem entac. K tomu účelu se bere v otaz ř návrhu regulátoru taé osavaní neurčtost ohanutých arametrů soustavy. o značně omluje řešení roblému. Proto se u metoy SC využívá rnc searace (Certanty equvalence rncle. en sočívá v tom, že se ohau arametrů řstuuje jao by byl roven sutečné honotě arametrů [9]. Do blou návrhu regulátoru tam nevstuuje neurčtost arametrů (jao u uálního řízení, ale ouze jejch boový oha. Zcela se ta ř návrhu regulátoru zanebává stochastcá část ohau. Metoy ohaování arametrů lze rozělt na vě ategore vzhleem časovému zracovávání měřených at. Jená se o růběžnou entac, y jsou arametry ohaovány ostuně a ávovou entac, y je určování arametrů systému rováěno o ávách. Do rvní ategore atří entace ARX moelu omocí reurzvní metoy nejmenších čtverců a nelneární Kalmanův ltr (stavy jsou rozšířeny o arametry soustavy. Ačolv obě zmíněné metoy osytují normac o neurčtostech ohau, nejsou tyto neurčtost ř návrhu regulátoru brány v úvahu. K návrhu regulátoru lze taé řstuovat různě. Lze využít výsleů LQG řízení nebo umsťování ólů (ole lacement omocí řešení algebracých oantcých rovnc. - 6 -
..4 Metoa řízeného zesílení (Gan Scheulng Zálaem metoy GS ([9], [] je využtí omocné (oerační velčny. Na zálaě její honoty se a nastavují arametry regulátorů. Pro oužtí metoy je tey nutné, aby estovala orelace mez omocnou velčnou v rocesu a arametry regulátoru. aovou velčnou může být naříla růto vtou o systému regulace výšy hlany nárže, y na jeho velost závsí ynama systému. Časová onstanta velost oravního zožění (teré vzná vtoem veeným louhou trubcí jsou ta neřímo úměrné velost růtou. Vhoným návrhem závslost arametrů regulátoru na růtou lze zajstt obré vlastnost regulátoru ro šroý rozsah racovních boů. Určení oerační velčny (č velčn záleží na yzálním náhleu na roblém. Aatační mechansmus je ze zobrazením z rostoru oeračních velčn o rostoru arametrů regulátoru. oto zobrazení může být realzováno buď unčním řesem nebo omocí loo-u tabuly. w Parametry regulátoru Regulátor u Mechansmus řízení zesílení Regulovaná soustava Oerační velčna y Obr. 4: Aatační schéma metoy GS Mez metoy GS se taé řaí eatní lnearzace [9]. Ze je řízen nelneární systém, u terého ř oužtí lascé lnearzace může ocházet velm rozílnému chování zětnovazebního obvou v různých racovních boech. Proto je nelneární systém řetransormován omocí nelneární transormace souřanc o nového stavového rostoru, ve terém je jž jeho os lneární (a tey nezávslý na racovním boě. Pro tato řetransormovaný systém se nalezne lneární regulátor zajšťující ožaované chování. Ační zásah oávaný regulátorem je a omocí nverzní transormace řeočítán ro ůvoní systém []. V tomto říaě neochází e lascé aatac ro měnící se arametry regulované soustavy, ale aatac naříč různým racovním boy. K oužtí meto eatní lnearzace je zaotřebí mít řesný nelneární moel soustavy. Je třeba zůraznt, že roces nastavování arametrů regulátoru robíhá v římé větv. Není ze zětná vazba, terá by moovala regulátor ole chování zětnovazebního obvou. GS vžy reuuje vlv změny arametrů nebo říaných nelneart. - 7 -
. Aatvní PID V této atole buou uveeny metoy, teré ovolují nastavování PID regulátoru. yto metoy ělíme o vou sun. V rvní suně jsou metoy vycházející z řechoové charatersty otevřené smyčy, ve ruhé suně jsou metoy založené na rozmtávání uzavřené smyčy a násleném oečtení rtcých arametrů... Metoy založené na řechoové charaterstce Pro tyto metoy je ůležté mít možnost změřt řechoovou charaterstu regulované soustavy. ey rozojený regulační obvo bez regulátoru. yto ožaavy nemohou být vžy slněny ať jž z eonomcých, nebo technologcých ůvoů. Jenouše řešeno, není možné ř sebemenším změně chování systému hne řerušt výrobu, rozojt zětnou vazbu, změřt řechoovou charaterstu, znovu nastavt onstanty regulátoru a oté oračovat ve výrobě. Metoy obecně vycházejí z aromace systémů vyšších řáů tří-arametrcým systémem rvního řáu s oravním zožěním. Pro tato aromovaný moel jsou a ole řeem řravených vzorců římo vyočteny arametry regulátoru. Něteré vybrané vzorce jsou uveeny v ab., alší metoy a vzorce lze nalézt v [] a []. Zegler-Nchols Åström-Hägglun Frauehau a ol. 5, 3,8 e( 8,4τ + 7,3τ K K 9K K,6,73 e( 5,9τ + 8, 7τ K K 9K K,6 3,38 e( 8,77τ + 3,τ,5,5 K K rozsah, < <, < < <, 33, 33 ab. : vybrané vzorce meto návrhu PID ole řechoové char. soustavy yto vzorce ávají většnou obré regulátory ro určté rozmezí oměrů oravního zožění u časové onstantě:. Rozsah oužtelnost se a lší ro metoy různých autorů. U vzorců Zeglera-Ncholse se uává,, 6. V této souvslost se taé enuje tzv. stueň obtížnost regulace = ( + τ, terý je v rozsahu o nuly o jené. Čím více se τ blíží jené, tím obtížněj je možné obvo regulovat. - 8 -
.. Metoa založená na rozmtávání obvou Zálaem této metoy je uveení uzavřené smyčy o ustálených osclací. K tomu je oužt zětnovazební obvo, e je místo regulátoru zaojeno relé. ey voustavový rve, terý ává ro laný vstu horní mamum a ro záorný vstu olní mamu. Prnc metoy sočívá v tom, že většna běžných regulovaných soustav se v tomto zaojení rozmtá a uzavřená smyča se ostane o lmtního cylu. Výstuem soustavy je a řblžně harmoncý sgnál s onstantní amltuou a eroou mtání. Peroa lmtního cylu u se nazývá mezní eroa. Je-l na vstu soustavy řváěn z relé obélníový sgnál s amltuou A a amltua mtů na výstuu soustavy je B, a je enováno tazvané mezní zesílení K u = 4B πa. oto zesílení oovíá zesílení čstě roorconálního regulátoru, jenž řvee soustavu na mez stablty. Sočtené mezní arametry se a osaí o vzorců, teré navrhl ánové Zegler a Nchols:,6K u ab. :abula honot ro nastavení regulátoru omocí metoy rozmtávání uzavřené smyčy Použtelnost této metoy je v ra taé sutablní. Ne vžy je možné z technologcých ůvoů regulovaný roces řvést na mez stablty, abychom zjstl mezní arametry. Je-l to ale acetovatelné, a je tato metoa oolnější vůč šumům a jným nejstotám v rocesu než metoa uveená v atole... ato oolnost je zůsobena tím, že entace robíhá v uzavřené smyčce. K u u,,7k u u - 9 -
3 ROZBOR ŘEŠENÍ PROBLÉMU Př návrhu regulátorů se v ra často setáváme s aromací systému vyššího řáu systémem rvního řáu s oravním zožěním. ato aromace je běžně oužívaná a estují metoy, teré umí navrhnout ro tato aromovaný systém římo regulátor. Proto je jao regulovaná soustava v této rác římo oužt tří-arametrcý systém. Jeho hlavní řeností je jenouchost a taé schonost celem věrně aromovat systémy vyšších řáů, terá je ána oužtím oravního zožění. Navíc by oužtí složtějších moelů bylo mnohem omlovanější. a jao se ro entac často oužívá tří-arametrcý systém, ta se ro řízení často oužívá PID regulátor. Jená se o v růmyslu velm rozšířené regulační zařízení. I řesto, že je ta jenouchý, oáže solehlvě řít velou šálu systémů. V této rác navržené řešení aatace je rmárně určeno ro ávové rocesy. ey ro rocesy, e se výroba jenoho routu neustále oauje a e změně arametrů soustavy může ojít naříla změnou vlastností vstuního materálu. ycým řílaem taového rocesu je ls vyrábějící stále oola velé množství stejných výrobů. Ze může být změnou soustavy naříla jná šířa lsovaného lechu. Ke změně arametrů soustavy ta ochází ouze jenou za čas. Z tohoto charateru chování soustavy a vychází navržené aatační schéma, y aatac nebue ocházet lynule, ale rovněž o ávách. Na řílau lsu tey vžy ře vylsováním alšího výrobu na zálaě vlastností oezvy, terou vyvolal řechozí výrobe. 3. Postu řešení Cílem našeho roblému je nalézt vhoný aatační mechansmus. o znamená mechansmus, terý bue řzůsobovat arametry regulátoru ta, aby s oezvy uzavřené smyčy ře a o změně soustavy byly co nejvíce oobné. Problém rozělíme na vě část. První částí je entace změny arametrů regulované soustavy, ruhou částí, terá vychází z výsleů rvní, je nalezení nového regulátoru, zajšťujícího ožaované chování. Celý aatační roces se bue ít mmo vlastní regulovanou soustavu. o znamená, že nejrve změříme řechoovou charaterstu uzavřené smyčy yzcého moelu a regulátoru. Z tato změřené charatersty uzavřené smyčy roveeme entac systému. Pro entovaný moel a nalezneme nový regulátor. Až tato navržený regulátor se oět oužje na yzcý systém. Je třeba s uvěomt, yž to možná v růběhu ráce nebue - -
vžy jasné, že e všem omocným roům aatace bue ocházet ouze na matematcém moelu a ne na vlastním regulovaném systému. Na tomto místě je nutné uvést, ja bue vyaat aatační schéma (Obr. 5 a osat velčny, teré se v něm vysytují. Ientace soustavy Parametry regulátoru Návrh regulátoru Secace regulátoru w + _ e PID regulátor u Regulovaná soustava y Obr. 5: Aatační schéma navržené ro řešení našeho roblému w... reerenční, říící velčna, v našem říaě je to jenotový so y... výstu soustavy e... ochyla o reerence u... ační zásah, vstu o regulované soustavy PID regulátor s řenosem: G ( s = r + s s + s + Regulovaná soustava s řenosem: G ( s = s K s e + s... roorconální zesílení regulátoru... ntegrační zesílení regulátoru... ervační zesílení regulátoru... časová onst. ltrace ervační složy K... zesílení regulované soustavy... časová onstanta regulované soustavy... oravní zožění regulované soustavy Ja můžeme ozorovat na Obr. 5, aatační schéma je složeno ze vou smyče. První smyču tvoří PID regulátor a regulovaná soustava. Druhou smyču tvoří blo entace a blo nastavování arametrů. Hlavní rozíl orot aatační strutuře SC (atola..3 sočívá v tom, že entace nerobíhá na zálaě ačního zásahu u, ale na zálaě říící velčny w a výstuu systému y. Jená se tey o entac v uzavřené smyčce. - -
3. Ientace řenosu soustavy z řechoové charatersty uzavřené smyčy se známým onstantam regulátoru K entac nejsou oužty běžně oužívané metoy, jao je římé oečtení arametrů z řechoové charatersty regulovaného obvou nebo ARX entace. Použtí rvní jmenované metoy je nemožné, rotože sozc nemáme samotný regulovaný obvo, ale ouze jeho zětnovazební zaojení s regulátorem. Navíc nelze řeoláat, že by bylo možné ř ažé změně soustavy řerušt výrobu a změřt řechoovou charaterstu otevřené smyčy a z ní oté oečíst otřebné úaje. Použtí ARX entace sojené s metoou nejmenších čtverců je taé omlované. Za rvé je sutablní, za moel vyhovuje řeolaům nutným ro oužtí této metoy. o znamená, za náš systém vůbec lze řevést na ARX moel a za o něj vstuuje (vstuuje-l? šum srávným zůsobem. Za ruhé určtě nebue slněna omína ostatečného vybuzení (sucent ectaton conton [8]. Její neusoojení je sojeno s tím, že se rováí entace v uzavřené smyčce a nelze řeoláat, že bue tímto zůsobem systém vybuzen natol, aby ošlo e onvergenc arametrů e srávné honotě. Pro srávnou ARX entac je otřeba ostatečně revenčně bohatý reerenční sgnál (naříla seuonáhoně generovaná bnární oslounost s enovaným revenčním ásmem. V našem říaě vša máme sozc ouze jenotový so. Další omínou entace měnícího se systému metoou nejmenších čtverců je omína trvalého vybuzení (ersstent ectaton conton [8]. Její neslnění vša úzce souvsí s neslněním rvní omíny. Vlastní entac se věnuje celá atola 5. Nejrve jsou na začátu stručně rozebrány cíle entace a oté se jž věnujeme vlvu změny arametrů systému na řechoovou charaterstu uzavřené smyčy. Postuně jsou ze sutovány vlvy změny oravního zožění (5., časové onstanty (5.3 a onečně zesílení (5.4. V oatole 5.5 jsou navrženy metoy nalezení nové honoty jenoho arametru (víme terý, ale nevíme, ja se změnl. Ze jsou ro entac oužty ja lascé metoy (Newtonova, Fbbonacova, ta metoy založené na výslecích atol 5. - 5.4. V oslení oatole (5.6 jsou uveeny vě metoy entace lbovolného očtu arametrů najenou. 3.3 Návrh regulátoru V této atole se bueme zabývat ruhou částí aatačního mechansmu. Přeolááme, že jsme v mnulé atole srávně entoval změny regulované soustavy. Nyní se ousíme navrhnout aatvní regulátor. Uveeme s ze va řístuy návrhu. První, - -
osaný v atole 6.., se snaží o aatac ve revenční oblast. ey o nastavení regulátoru ta, aby řenosy otevřené smyčy ře změnou arametrů a o řenastavení regulátoru měly stejnou amltuovou a ázovou bezečnost. Druhý řístu (atola 6. je čstě numercý, vychází z meto vícerozměrné otmalzace, a snaží se o aatac v časové oblast. Je tey o to, aby byla řechoová charatersta s nově nastaveným regulátorem co nejvíce oobná nomnální řechoové charaterstce ůvoního systému. - 3 -
4 APARÁ POUŽIÝ K ŘEŠENÍ PROBLÉMU Př řešení roblému se vysytla otřeba využít numercé metoy otmalzace. Proto je ze zařazena atola uváějící řehle oužtých meto se stručným vysvětlením rncu, hlavních výho a nevýho jenotlvých meto. 4. Numercé metoy jenorozměrné otmalzace Metoy jenorozměrné otmalzace oužjeme ro entac změn systému ř změně jenoho arametru (atola 5.5.4. Dále a buou oužty ro řešení analytcy těžce řeštelných rovnc vysytujících se v atolách 6..4 a 6..5. 4.. Fbonaccova metoa a metoa zlatého řezu Fbonaccova metoa hleá etrém rterální unce ( na řeem známém ntervalu. Ze osaný algortmus je navržen ro hleání mnma, ale jenouchou úravou lze zajstt, aby hleal mamum. Krterální unce musí být na vyšetřovaném ntervalu unmoulární musí mít ouze jeno loální mnmum. V říaě, že je loálních mnm více, není zaručeno, že metoa oonverguje o mnma globálního. ato metoa nevyžauje onvenost an sojtost (, což je její velou výhoou. Proto j lze oužít jao metou ro nalezení očátečního bou ro start Newtonovy metoy (atola 4... Hlavní myšlenou metoy je stálé zmenšování ůvoního ntervalu na ontervaly, řčemž se v ažém rou vyberou va vntřní boy ntervalu, ve terých se vyčíslí honota rterální unce. Bo, ve terém je její honota větší, se rohlásí za novou hranc ntervalu. V alším rou oaujeme ostu s jž ozměněným ntervalem. Pro rác algortmu je otřeba vyčíslt Fbonaccho oslounost, rotože ělení ntervalu ochází v oměru vou o sobě joucích Fbonaccho čísel. y jsou ány reurentním řesem: F ( = F( + F(, F ( = F( =, =,3,4.... (4. Cílem Fb. metoy je mnmalzovat nterval neurčtost. o znamená, že výsleem algortmu není římo hleaná honota, ale ásmo α ( N, β ( N, ve terém se tato honota nachází. Písmeno N uává očet teračních roů. - 4 -
Algortmus Fbonnacovy metoy: Vstuem roceury je očáteční nterval nejstoty a, b.. Proveď ncalzac: α ( = a, β ( = b.. Vyočt ro všechny =,,3... N F( N 3. α ( = β ( β ( α(, F( N + F( N β ( = α( + β ( α(. F( N + 4. Jestlže ( α ( ( β (, otom α ( + = α ( a β ( + = β (. 5. Jestlže ( α ( > ( β (, otom α ( + = α ( a β ( + = β (. (4. Lmtním říaem Fbonaccovy metoy je metoa zlatého řezu. Mohl jsme s ovšmnout, že Fb. metoa vžy zmenší nterval nejstoty v oměru vou o sobě joucích Fbonaccho čísel F ( / F( +. ento oměr ale ro onverguje řevrácené honotě tazvaného zlatého řezu. Proto byla navržena metoa, terá římo racuje s tímto oměrem. ato metoa zmenšuje nterval neurčtost v ažém rou římo,68-rát. O Fbonaccovy metoy se lší ouze tím, že ve vzorcích na třetím řáu algortmu (4. je vyměněn oměr vou Fbonaccho čísel onstantou,68. Zmenšování ntervalu neurčtost je ta áno řesem N ( N =,. Víme-l, že chceme omocí metoy zlatého řezu 68 osáhnout zmenšení ntervalu nejstoty r-rát, můžeme s lehce sočítat řešením uveené rovnce, ol tomu otřebujeme terací : log( ( N log( r log( r log( N = = = = & 5 (4.3 log(,68 log(,68 log(,68 log(,68 Víme, že ro zmenšení ntervalu nejstoty tsícrát otřebujeme 5 terací, bez ohleu na to, ja vyaá rterální unce. Výslee tohoto výočtu je využt ve všech atolách, e je oužívána Fbonaccova metoa. 4.. Newtonova metoa metoa tečen Aby Newtonova metoa srávně ungovala, musí být honotící unce sojtá a musí estovat její rvní a ruhé ervace. Dále musí být tato unce onvení na celém rohleávaném ntervalu. Newtonova metoa hleá bo, y je rvní ervace honotící unce nulová. V tom říaě nezáleží na tom, za se jená o mnmum nebo mamum. Proto je ta ůležté zajstt onvenost honotící unce. V oačném říaě by totž mohla Newtonova metoa oonvergovat o loálního mama, nebo neonvergovat vůbec. Mez - 5 -
velé řenost Newtonovy metoy atří to, že ou je ostatečně blízo hleaného etrému, oáže zvýšt řesnost řešení v ažém rou o řá, v tom říaě onverguje s řáem onvergence. Problém nastává s encí ostatečně blízého oolí a ja se o něj ostat. Metoou tečen se Newtonova metoa nazývá roto, že v ažé terac sočte rvní ervac honotící unce, v racovním boě vyočte tečnu rvní ervac. Bo, e rochází tečna nulou, a vezme jao racovní bo o alší terace. Estuje ještě jeen řístu jejímu ovození. Pole [] aromujeme honotící unc rvním třem členy aylorova rozvoje. ( =& g( = ( ( + ( ( ( ( +,5 ( ( ( ( Nyní hleáme mnmum aromačního olynomu. Položíme rvní ervac unce g ( rovnu nule: g ( = = ( ( + ( ( ( ( A ostáváme vztah ro Newtonovu metou: ( ( ( + = = (. (4.4 ( ( Z tohoto vztahu je taé atrné, roč musí být ř hleání mnma unce onvení. První ervace (jenorozměrný graent nám říá, terým směrem je mamum unce. Znaméno ře zlomem a vyjařuje, že se v alším rou chceme vyat rot směru stouání, tey že jeme o mnma. V říaě, že je unce onvení, je její ruhá ervace laná a vyáváme se oravu o mnma. V říaě onávnost unce se ale stává ruhá ervace záornou, otáčí nám směr ostuu a my se s alší terací vyáváme směrem mamu. Velm neříjemná je stuace olem nleních boů rterální unce, y je ruhá ervace nulová a metoa selhává úlně. 4. Numercé metoy vícerozměrné otmalzace yto metoy mnmalzují rterální unc ( v n-rozměrném rostoru n R. Proměnnou ta bueme vžy rozumět sloucový, n-rozměrný vetor. Dále se v tetu vysytuje symbol ro graent rterální unce: ( ( ( g =,, L, (4.5 n a ro matc ruhých ervací rterální unce, tazvanou Hessovu matc: - 6 -
- 7 - = ( ( ( ( ( ( ( ( ( n n n n n H L M O M M L L. (4.6 V našem říaě vša nebueme znát řesný analytcý os mnmalzovaných uncí. o je zůsobeno složtostí řešení erencálních rovnc osujících regulační obvo, ve terém se vysytuje oravní zožění. Honotu rterálních uncí vša bueme moc vyčíslt v jaémolv boě. Proto se nabízí možnost nahrat ervace vysytující se v graentu a v Hessově matc erencem. Aromace graentu má ro unc vou roměnných tvar:, (, (, (, (, ( + + = & g (4.7 Př této aromac musíme zvolt vhonou velost řírůstů a. Jejch volba má vlv na řesnost zísaného řešení. Měly by být ostatečně malé, aby se erence co nejvíce blížly ervacím. Aromace Hessovy matce matcí ruhých erencí, oět v vourozměrném rostoru: + + + + + + + + + + + + + + + + =, (, (, (, (, (, (, (, (, (, (, (, (, (, (, ( H &. (4.8 4.. Metoa nejrychlejšího sestuu (NS Metoa nejrychlejšího sestuu (NS atří o rony graentních meto. y jsou založeny na tom, že alší ro je vžy ve směru největšího olesu unce. Zjštění tohoto směru je a usutečňováno omocí záorně vzatého graentu. Graent, ja známo, uazuje směr největšího vzestuu unce. Vezmeme-l směr oačný, ostaneme rávě směr největšího olesu. Z rou se o alšího rou + ostaneme omocí násleujícího řesu: ( ( ( g = + α. (4.9 Různé graentní metoy se lší ostuem, jímž je zísána velost α. en můžeme zísat jenorozměrným rohleáváním řezu rterální unce oél graentu. Koecent α se a
nalezne ta, aby alší ro terace sončl v mnmu rohleávaného řezu. Další metoa, terá je méně oužívaná, oužívá onstantní velost α. Je jasné, že tato metoa má roblémy v blízost hleaného etrému, terý může snano řeračovat tam a zět, anž by ocházelo e zřesnění výsleu. Metoa nejrychlejšího sestuu je založena na aromac rterální unce vícerozměrnou varatcou uncí: ( = & g( = ( +,5( H(. Poloha jejího mnma a oovíá oloze bou, o terého se chceme ostat násleující terací. Po roveení ovození osaného naříla v lteratuře [] ostáváme násleující řes ro metou nejrychlejšího sestuu: g( g( ( + = ( g(. (4. g( H g( V lteratuře [] se uává, že rychlost onvergence graentní metoy nejrychlejšího sestuu je lneární, to znamená relatvně omalá. - 8 -
5 IDENIFIKACE Cílem této atoly je entace změn arametrů soustavy. Po jejím roveení ostaneme nový moel regulované soustavy, terý využjeme v atole 6 návrhu aatvního regulátoru. Protože se návrh nového regulátoru bue ít ouze na zálaě tato zísaného moelu, je určení jeho srávných honot velm ůležté. Ientace bue robíhat na zálaě řechoové charatersty uzavřené smyčy. Nebuou ze roto oužty metoy růběžné entace. Pro začáte s musíme uvěomt, co všechno máme sozc, co známe a co ne. Přeoláejme, že máme zaán řenos soustavy ře změnou jejích arametrů. Dále známe ůvoní nastavení onstant regulátoru. Poslením věcm, teré známe, jsou řechoové charatersty ůvoního a ozměněného systému. Naším úolem je na těchto charaterstách rozoznat, terý arametr soustavy se změnl a ja honě. Musíme s uvěomt, že řešení roblému máme ouze řechoovou charaterstu uzavřené smyčy. Kybychom měl řechoovou charaterstu smyčy otevřené, byl by roblém jenoušší. Sočítal bychom s nverzní řenos regulátoru, jehož řesné nastavení známe. Potom bychom analytcy sočetl jeho mulsní charaterstu (nverzní Lalaceovou transormací, tu bychom navzoroval a rovel onvoluc s řechoovou charaterstou otevřené smyčy a zísal bychom řechoovou charaterstu regulovaného obvou. Z té bychom oečetl římo arametry regulované soustavy a to by byl onec entace. ento ostu ale nemůžeme oužít, rotože máme sozc ouze řechoovou charaterstu uzavřeného obvou. Proto se ousíme rozoumat vlv arametrů soustavy na výslenou řechoovou charaterstu. Analytcé řešení je vša obtížné, ne-l nemožné. Jsme sce schon sestavt řenos uzavřené smyčy, ale jeho řevo o časové oblast je obtížný. Poívejme se z jaého ůvou: Přenos soustavy: Přenos regulátoru: G s = K s e + s K Gr = K + + K s Sestavíme řenos uzavřené smyčy známého vztahu (řenos otevřené smyčy je značen s G CL (close loo se záornou zětnou vazbou ole G OL (oen loo: - 9 -
G K K + s ( K + K s + K s e s + K ( K + K s + K s e s GOL s + K CL = = = + GOL K K s s + s + K + + K s e s + K s K s e s + Všmněme s, že se člen s oravním zožěním vysytuje v charaterstcém olynomu řenosu uzavřené smyčy ouze u něterých členů. Z tohoto ůvou je a nemožná transormace systému o časové oblast omocí zětné Lalaceovy transormace. Vlv změny arametrů bychom taé mohl zoumat ta, že aromujeme oravní zožění omocí rvních něola členů aylorova nebo Paého olynomu. Ale an ta s mnoho neomůžeme, rotože výslený charaterstcý olynom bue třetího č vyššího řáu a jeho rozla na ořenové čntele je obecně analytcy obtížný (ro třetí řá je to možné omocí Caranových vzorců, ale ro čtvrtý a vyšší je to nemožné. K zjštění ořenů charaterstcého olynomu by bylo nutno oužít numercé výočty a ze bychom ztratl obecný řístu. Proto řstouíme rovnou zjštění hleaných závslostí omocí smulací. Nyní rozoumáme vlv změny arametrů soustavy na řechoovou charaterstu násleujících regulačních obvoů: Systém Systém Systém 3 Přenos regulátoru: G r (s,6,s,7s 4,,s + +,5 + + 4,6 + + s,s + s,s + s,s + s Přenos soustavy: G s (s s,5 e e e s + s + s + ab. 3: Přenosy smulovaných soustav a jejch regulátorů Můžeme s ovšmnout, že soustavy se lší řeevším v oměru časové onstanty a oravního zožění. Velost zesílení je u všech soustav stejná, rotože to lze velm jenouše vyomenzovat regulátorem. Protože mají všechny tř soustavy jné časové arametry, jsou v graech v násleujících atolách tyto arametry normalzovány jejch nomnální honotou. Půvoní honota má vžy v graech honotu. Je-l ta v grau na Obr. na voorovné ose mamální rozsah 4, znamená to, že smulace byla roveena o nuly až o čtyřnásobe ůvoní honoty časové onstanty. Smulační schéma oužté ro zísávání arametrů je na Obr. 6. Jená se o aralelně zaojený PID regulátor a soustavu rvního řáu s oravním zožěním.,s Než se ale ustíme o vyšetřování vlvu změny arametrů na řechoovou charaterstu, je nejrve nutné enovat arametry, ole terých bueme řechoovou charaterstu honott. Jená se naříla o obu náběhu, obu ustálení a řemt. - -
K.6 s s+ Vstu KI Integrator = system Scoe. K s.s+ ltr Obr. 6: Schéma oužté ro smulac vlvu změny arametrů soustavy na řechoovou charaterstu uzavřené smyčy 5. Dence arametrů řechoové charatersty Na řechoové charaterstce je enováno něol zálaních arametrů, teré nám omáhají osout její valtu a teré slouží ro orovnávání různých řechoových charaterst..4. t t s y [-].8.6 t M ε.4. t n vstu w(t výstu y(t 4 6 8 4 6 8 t [s] Obr. 7: Dence arametrů řechoové charatersty Obecně se ř aromac řechoových charaterst vyšších řáů na charaterstu rvního řáu s oravním zožěním oužívají va zálaní arametry, vě oby, osující ynamu řechoového jevu. Jsou to oba růtahu t u a oba náběhu t n. Doba náběhu je čas, terý otřebuje řechoový jev, aby rošel stanoveným ásmem. V našem říaě je to rozmezí až 8 % ustálené honoty. Něy se taé oužívá rozmezí až 9%. Doba růtahu je čas, terý systém otřebuje na to, aby začal reagovat na změnu reerence. Je enována věma boy na časové ose. Prvním je oamž změny reerence, ruhým a růsečí římy rocházející boy, teré vymezují obu náběhu, s časovou osou. V našem říaě, y máme systém s oravním zožěním, tuto obu enujeme římo jao obu - -
oravního zožění a značíme j t. Parametr regulované soustavy oravní zožění je a značen velým ísmeny. Na řechoové charaterstce otom t oečítáme trochu jným zůsobem, než je uveeno výše. Jená se o nterval mez začátem jenotového sou a oamžem, y se orvé něja rojeví změna reerence na výstuu. ey oamž rvní změny výstuu. Dále sleujeme na řechoové charaterstce velost a čas rvního loálního mama. Honota řemtu je značena M a oba, y řemt nastává, a t. Důležtým arametrem je oba ustálení t s. a nám říá, y ratcy řechoový jev oezní. Je enována jao čas, y naosle ochyla o reerence vročí o ásma ε, + ε a už toto ásmo neoustí. Konstanta ε je v různých zrojích jná a obvyle se ohybuje o jenoho o ět rocent. V této rác je oužta honota ε = 3%. 5. Vlv změny oravního zožění Změnu oravního zožění oznáme na řechoové charaterstce velm snano. Posouvá se totž očáte řechoové charatersty. Díy oravnímu zožění rochází reerenční sgnál regulovaným obvoem oožěně. Zětná vazba je vůl tomu o začátu změny reerence o obu oravního zožění jaoby rozojena a obvo se nechová jao uzavřená regulační smyča, ale jao smyča otevřená. Vlastní regulace začíná až o růchou reerenčního sgnálu soustavou a oravním zožěním..5 oezva [-] =..5 = =.8 reerence 3 4 5 6 7 8 9 t [s] Obr. 8:Vlv oravního zožění na řechoovou charaterstu CL Na Obr. 8 můžeme vět vlv změny oravního zožění na růběh regulace. Víme, že osun řechoové charatersty řesně oovíá honotě oravního zožění. Dále můžeme ozorovat (Obr. 9, že se vzrůstajícím oravním zožěním se zvětšuje řemt. Vyreslená závslost je ro velý oměr / téměř lneární, tomuto oměru oovíají charatersty v ruhé olovně obrázu. Na grau ro systém chybí očáteční boy. o je - -
zůsobeno tím, že ro oravní zožění menší než,6 s rochází řechoová charatersta mezí aerocty a násleně je už ta utlumená, že řemt zmzí. 8 6 M [%] 4 systém systém systém 3 -..4.6.8..4.6.8 / j [-] Obr. 9: Vlv změny oravního zožění na velost řemtu Velm zajímavý je taé vlv změny oravního zožění na obu náběhu. Můžeme ozorovat (na Obr., že ř malých oravních zožěních je oba náběhu velá, se vzrůstajícím oravním zožěním lesá, až se ustálí na onstantní honotě. Ja jž bylo řečeno výše, oravní zožění zůsobuje řerušení zětnovazebního obvou na obu rátce o změně reerence. ím, že je na výstuu o tuto obu nulový sgnál, roná na vstu PID regulátoru celý reerenční sgnál (o obu je regulační ochyla onstantní. Kvůl tomu, že máme řerušenou zětnou vazbu, zísáváme íy ntegrační složce regulátoru astatcou soustavu. Pou zanebáme vlv P a D složy, výstuem regulátoru bue rama se slonem aným násobem velost reerence a honotou ntegrační složy. n [s].5.5 systém systém systém 3..4.6.8..4.6.8 / j [-] Obr. : Vlv změny oravního zožění na obu náběhu Na vstuu soustavy je a rama a soustava j začíná sleovat, a to ř ostatečně velém s onstantní rychlostí. ímto je vysvětlena onstantní oba náběhu ro velá časová zožění. Po ulynutí oby se oět uzavírá záorná zětná vazba a může ojít ustálení řechoového ěje. Nyní s shrňme, co jsme zjstl o vlvu změny oravního zožění na řechoovou charaterstu uzavřené smyčy. S rostoucím oravním zožěním lesá oba náběhu, až - 3 -
se ustálí na onstantní honotě. Naoa roste velost řemtu, a to lneárně. Pro malé oravní zožění ochází řechou meze aerocty a systém se stává zatlumeným bez řemtu. As nejůležtějším a nejsnáze rozoznatelným arametrem, ole terého lze oznat změnu oravního zožění je očáte řechoové charatersty. Jeho oožění orot začátu reerenčního jenotového sou je římo rovno honotě oravního zožění. 5.3 Vlv změny časové onstanty Velost změny časové onstanty už bohužel nelze oečíst z řechoové charatersty ta jenoznačně jao ř změně oravního zožění. Na obrázcích Obr. a Obr. se můžeme oívat, ja se rojevuje změna časové onstanty na velost řemtu a obě náběhu ro nám zoumané systémy. M [%] 8 6 4 systém systém systém 3.5.5.5 3 3.5 4 / j [-] Obr. : Závslost velost řemtu na časové onstantě Závslost řemtu na časové onstantě má onvení charater. Půvoní regulátor byl nastaven ro časovou onstantu rovnu jené. Víme, že ro ažý systém ochází mnmu řemtu ř jné honotě. Něy ř honotě časové onstanty menší než je její nomnální honota (řomeňme s, že ta je v grau vžy v boě, něy ř honotě větší. Záleží na onrétním nastavení říslušného regulátoru. Z tohoto chování je zřejmé, že výše uveenou závslost nemůžeme jenouše oužít ro určení nové honoty časové onstanty. o, že není tento růběh monotónní a jené honotě řemtu oovíají vě časové onstanty, nám omluje stuac. Pou bychom chtěl využít této charatersty entac časové onstanty, mohlo by se nám velce jenouše stát, že oonvergujeme rávě o ruhé honoty časové onstanty. Nalezení mnmálního řemtu rovněž nemá smysl. Příznvěj se a jeví závslost oby náběhu na časové onstantě. Ja víme na Obr., je tato závslost monotónní. Zvětšení časové onstanty oovíá zvětšení oby náběhu a tato závslost latí ro všechny tř systémy. - 4 -
.5 n [s] systém.5 systém systém 3.5.5.5 3 3.5 4 / j [-] Obr. : Velost oby náběhu v závslost na časové onstantě Na Obr. 3 víme, ja závsí oba ustálení na velost časové onstanty. Obobně, jao ro velost řemtu, tato charatersta má onvení charater. Pro malou časovou onstantu ochází ustálení řechoové charatersty velm ozě a řechoový ěj je velm mtavý. o se oesuje taé na níže uveené závslost, na teré můžeme vět mnoho nesojtostí, teré znemožňují její ozější využtí. 3 s [s] systém systém systém 3.5.5.5 3 3.5 4 / j [-] Obr. 3: Závslost oby ustálení na časové onstantě Ja tey souhrnně ůsobí změna časové onstanty na řechoovou charaterstu uzavřené smyčy a teré závslost jsou oužtelné ro ozější nalezení ozměněných arametrů? Využtí řemtu se zá na rvní ohle omlované, rotože íy onvenímu charateru této závslost máme ro jenu honotu řemtu vě honoty časové onstanty. Obobný řía nastává taé u oby ustálení, navíc se ze řává roblém s nesojtostí růběhu. Jao jené oužtelné rtérum se ta jeví oužtí oby náběhu. 5.4 Vlv změny zesílení Poslením arametrem, jehož vlv na tvar řechoové charatersty uzavřeného obvou musíme řezoumat, je zesílení systému. Regulátor v obvou je nastaven ř honotě zesílení systému K =. Na Obr. 4 víme, že závslost řemtu M na zesílení K je ro rvní systém řblžně lneární. Pro ruhé va systémy roste řemt se zesílením naře - 5 -
velm omalu, avša ř větších zesíleních se vzestu urychlí. Př malých honotách zesílení se všechny tř soustavy stávají řetlumeným a u rvní oonce řemt zcela vymzí. Naoa ř velých zesíleních ochází vlvem oravního zožění e ztrátě stablty a rychlému nárůstu řemtu. M [%] 8 6 4 systém systém systém 3 -..4.6.8..4.6.8 K/K j [-] Obr. 4: Závslost řemtu na zesílení Doba náběhu neřímo úměrně závsí na zesílení, ja oláá Obr. 5. Se zvětšováním zesílení lesá oba náběhu. ento jev není nja řevavý. Se vzrůstajícím zesílením totž roste rychlost oezvy. Můžeme s to řestavt ta, že o obu, y je zětná vazba rozojená vlvem oravního zožění, řváíme na vstu soustavy jenotový so aný roorconální složou regulátoru. en je a zesílen soustavou. Čím je zesílení soustavy větší, tím rychlej roje oezva soustavy mezem ro oečet oby náběhu ( a 8% honoty reerenčního sgnálu a tím je oba n ratší. n [s] 8 6 4 systém systém systém 3..4.6.8..4.6.8 K/K j [-] Obr. 5: Vlv zesílení na obu náběhu Na Obr. 6 můžeme ozorovat vlv zesílení na obu ustálení. Závslost je oět nemonotónní, s mnmem v jenčce ro systém s největším oměrem / až o mnmum nalézající se mmo vyreslený rozsah u systému 3 s nejmenším oměrem oravního zožění u časové onstantě. Do honoty mnma se jená o relatvně hlaé lesající růběhy vysthující sutečnost, že oba ustálení s rostoucím zesílením systému lesá. V této oblast jsou řechoové charatersty uzavřené smyčy bez řemtu - 6 -
(zatlumená soustava, nebo s řemtem velm malým. Druhá část řvy ale jž ta otmstcy nevyaá. Nejenže je tato část charatersty rostoucí, ale hlavně jsou na ní nesojtost. y jsou ány změnou relatvního tlumení systému (jeho zmenšováním. Ja se mtavá část řechoové charatersty stává stále méně utlumenou, ostává se trvale řechoová charatersta stále ozěj o ásma 3% oolo ustálené honoty. Oamž oby ustálení a ostuně řesauje z jenotlvých ero a těmto řesoy vznají nesojtost v závslost oby ustálení na zesílení. s [s] 4 3 systém systém systém 3..4.6.8..4.6.8 K/K j [-] Obr. 6: Závslost oby ustálení na zesílení 5.5 Iterační algortmy hleání změny jenoho arametru V této atole se bueme zabývat entací nových arametrů soustavy. Pro začáte bueme řeoláat, že se změnl vžy jen jeen arametr a ousíme se nalézt jeho novou honotu. Dále řeolááme, že víme, terý arametr se změnl. ey jestl je to oravní zožění, časová onstanta nebo zesílení K. V mnulé atole jsme s vyzoušel, jaý vlv má změna arametrů na řechoovou charaterstu. Nyní zísané oznaty využjeme entac nových arametrů. 5.5. Korece oravního zožění Zjšťování nové honoty tohoto arametru je velm snané. Jao jený se totž římo rojevuje na řechoové charaterstce uzavřené smyčy a lze jej z ní oečíst. Kromě toho, že se zvětšení oravního zožění rojevuje zvětšením řemtu a zrácením oby náběhu (tyto charatersty jsou celem omlované, je ze ještě jeen arametr, terý římo oovíá novému oravnímu zožění. ímto arametrem je oba růtahu, terou vůl této souvslost značíme římo jao obu oravního zožění t. Stačí nám tey oečíst tuto obu z řechoové charatersty a zjstíme arametr soustavy. - 7 -
5.5. Iterační algortmus ro zjštění časové onstanty Časová onstanta už bohužel nemá taový římý vlv na řechoovou charaterstu jao oravní zožění. Se vzrůstající časovou onstantou vzrůstá oba náběhu. Přemt naře lesá a oté zase stouá. Mnmum této charatersty se nemusí nacházet v ůvoní honotě časové onstanty, ale síše záleží na onrétním nastavení regulátoru. Jena z možností, terá se nám nabízí, je nalézt honotu časové onstanty omocí numercých smulací mmo sutečnou regulační smyču. A omocí tato entovaného moelu násleně nalat nový regulátor. Protože tento arametr nelze z řechoové charatersty určt římo, oužíváme terační metou. Jao výchozí bo, ou začíná rvní terace, bylo zvoleno ůvoní nastavení systému a regulátoru. Změříme řechoovou charaterstu uzavřené smyčy ře (char. A a o (char. B změně arametrů a ole nějaého líče uravíme časovou onstantu. Nyní sustíme smulac s nově vyočtenou honotou časové onstanty a ostaneme novou racovní řechoovou charaterstu A. ímto jsme rovel jeen ro terace. Zjstíme, ja honě se oobají charatersty A a B. V říaě velé oobnost uončíme algortmus, v říaě rozílnost roveeme alší ro algortmu. Našm cílem tey je ostuně měnt časovou onstantu systému A ta, aby oonvergovala honotě změněné časové onstanty systému B a řtom aby obě řechoové charatersty byly naonec co nejoobnější. Nyní zůstává otáza, co je oním líčem, terý uraví velost staré časové onstanty na novou a zajstí ta nový ro terace. Dále musíme stanovt, ja určt míru oobnost. Pro výběr líče nám slouží oznaty zísané v atole 5.3. Jao jená rozumně oužtelná charatersta se jeví závslost oby náběhu na časové onstantě (Obr.. a má zálaní vlastnost, teré otřebujeme. Je monotónní, taže ažé honotě oby náběhu oovíá ouze jena honota časové onstanty. Dále je sojtá, taže ro ažou honotu oby náběhu jsme schon nalézt oovíající časovou onstantu a v teracích nebue ocházet e soům. Uončovací omínou bue to, že oby náběhu nové a staré řechoové charatersty buou stejné, nebol že jejch rozíl bue v absolutní honotě menší než zvolená řesnost δ. Nyní zaíšeme osaný algortmus v seuoóu: Algortmus ro výočet časové onstanty: Vstuy: Přechoová charatersta B, ůvoní arametry soustavy A, arametry regulátoru.. Oečt obu náběhu. = B t n řechoové charatersty B. - 8 -
3. VYKONÁVEJ CYKLUS: 4. Proveď smulac s časovou onstantou A (, oečt obu náběhu ( A 5. JESLIŽE ( t t δ 6. 7. = + A n ( AK Uonč cylus. JINAK B n B A tn ( + = ( (5. A t ( 8. VRAŤ SE NA ZAČÁEK CYKLU 5.5.3 Iterační algortmus ro zjštění zesílení K n Pro zjštění zesílení K oužjeme oobný algortmus jao ro zjštění časové onstanty. Je ovšem nutné znovu zjstt, ole jaého líče se bue očítat nová honota zesílení K. Nyní máme sozc vě sojté, monotónní charatersty. A to ja závslost řemtu na zesílení (Obr. 4, ta závslost oby náběhu na zesílení (Obr. 5. Zá se, že je možné oužít obě vě závslost, ale ř oužtí oby náběhu ochází omalejší onvergenc arametrů a něy oonce e mtání oolo srávné honoty. yto výjmy se musejí ošetřt rogramově. Př oužtí rvní závslost tyto roblémy nemáme, onvergence je ze rychlejší a e mtání během eermentů neošlo, vyvstávají ze ale jné roblémy. A to s neestencí řemtu ř nízých zesíleních. V těchto oblastech tento laící arametr ztrácíme a nemáme se ole čeho řít. Mmo tyto oblast se vša terační výočet zesílení omocí řemtu zá výhonější než výočet omocí oby náběhu. Ja tey vyaají algortmy ro výočet zesílení? Pomocí oby náběhu ostáváme téměř totožný algortmus, ouze vzorec ro výočet časové onstanty (5. se nahraí vzorcem ro výočet zesílení: K A t ( A A n + K (. (5. B tn ( = Můžeme s ovšmnout, že ve vzorc ro výočet zesílení je orot vzorc ro výočet časové onstanty rohozen čtatel se jmenovatelem. o je áno tím, že jenou je závslost (Obr. rostoucí, zatímco v ruhém říaě je lesající (Obr. 5. Dále se ještě na řáu 4 nebue rováět smulace s novou časovou onstantou, ale s novým zesílením K A (. Pro zjštění zesílení je možné využít taé oečtu řemtů obou charaterst. Potom se ale změní vzorec ro novou terac násleujícím zůsobem: t A n - 9 -