Vlny v plazmatu linární nlinární Linární vlny - malá porucha určitého stacionárního konstantního nbo v čas a/nbo v prostoru pomalu proměnného stavu Linární rozvoj vličin a a+ a(,) rt b b+ b(,) rt a, b mohou obcně být funkcmi r, t a, a b, b Součiny zandbám (malé.řádu) V nohraničném prostřdí a a p( ikr ) dk k Fourirův rozvoj Poruchy s vyvíjjí nzávisl na sobě, stačí zkoumat vývoj priodických poruch. PV
Často nás budou zajímat vlastní módy, tj. řšní v tvaru { a R a ( ) } p i kr t Vlastní módy jsou jdnou z charaktristik prostřdí. Budm hldat disprzní vztah ( k ) Způsob popisu Dvoukapalinová hydrodynamika - jdnoduchý, al v něktrých případch núplný popis prostřdí Vlasovova rovnic Rozdělní vln Podélné vlny příčné vlny Vysokofrkvnční (lktronové) vlny nízkofrkvnční Plazma bz stacionárního B plazma v magntickém poli PV
Plazmové vlny (doručná litratura Chn 4.3, 4.4, 7.4 nbo Nicholson 6.3-6.8,7.3,7.4) podélné vlny - rychlost u k vysokofrkvnční (v. přiblížní mi ) Uvažujm malé odchylky od homognního stacionárního stavu n n+ n rt ( ), u u+ u rt Rovnic kontinuity n + div( nu ) t n. řád + div( nu ) t n + div nu. řád + nu t n + ndivu t (, ) n n Zn i const. zandbám nu. řád PV 3
Změny hustoty lktronů > E + E ( rt, ) q q div E ( n Zni) div E n Pohybová rovnic (zákon zachování hybnosti) u q p + ( u ) u E ν i ( u ui ) t m mn u q p + ν i u E t m mn Budm přdpokládat řšní tvaru i( kr t) ( k rálné) ( ) ( ) ( ) i kr t i( kr t) art, R A R A i( kr t ) a ( A + cc..) Vlká písmna komplní amplitudy ( p ) PV 4
Studné plazma bz srážk (vypadnou posldní člny na obou stranách pohyb.rc) n t + n divu div E u t ue, k n E m i N + n iku ike + N i U + E m n t n + n m Oprava na ionty + p p pi n p m Z n pi mi U N E i N k n k PV 5
Rakc na vysokofrkvnční pol E (můž být vnější nbo vnitřní) i n j nu + nu E m div E ρ ρ + div j div t t ij frkvnc i div E + iσ E div + E σ E n ( ) E vlastní vlny náboj p r m a tdy disprzní vztah p nzávisí na k plazmové oscilac div E j E r PV 6
Vliv srážk u n n t m t řšní + νi u E + νi + pn t i t, Vliv tlaku (nnulové tploty) při T i i ν ± ν p 4 v g d dk i n ν i i t pt n tlumné osc. al když T, poruchy s šíří k kˆ u uˆ prostorový tvar poruchy s zachovává, zvolím u adiabatický děj, > νi srážky nstačí E P j izotropizovat rozdělovací funkci t m mn rj P PV 7
Nporušný tlak p nkt B (skalár, T lktronová tplota) Porucha tlaku napříč vlnovému vktoru j dáno pouz změnou hustoty P P nk T T yy zz B ( ) V podélném směru prác tlaku s musí změnit v tplnou nrgii dn nvk B dt pdv pv n dn n, dt T du p kt k B BT n n P nkt n n B + nkt B 3kTn B V podélném směru s lktrony chovají jako částic s stupněm volnosti (γ3) 3kT B n u E t m mn n 3kT n n + n B t m m p 3kvT v T kt B / m ( ) Plazmová vlna s šíří + PV 8
Disprzní vztah () l ( ) prostřdí s časovou a prostorovou disprzí r k v v v ϕ g g T + 3k v p 3vT + k k p T d 3v k T dk + 3k v 3v v ϕ, p T p 3k vt PV 9
Popis pomocí Vlasovovy rovnic f f f + v E t r p Poruchy f( r, p),, k ˆ E Řšní tvaru p(ik-it) řšní f ( p ), E f f f + v k E t p v v /k E porucha nmusí být malá pro ϕ f f i kv rzonanční lktrony p div E n E f f dp ike i dp k p f ik + dp E k kv p kd r g( p ) n f ( p)dp dp y z v p g( p) r dp ( ) v k PV
Při v ϕ k v T použijm Taylorův rozvoj, rzonanční lktrony zandbám (při v ϕ > c njsou vůbc žádné rzonanční lktrony) přdp. v u 3 v p k T p r p + 3k vt p v 3k v ( ) r g p k + + dp Pak Při v ϕ < c? co s pólm v intgrálu odpověď musím hldat řšním počátční úlohy, tj. porucha j zadána na počátku v čas t a sldujm, jak s vyvíjí Pro řšní počátční úlohy musím použít Laplacovu transformaci Laplacův obraz j dfinován intgrálm ( ) () i A at t dt pro s dostatčně vlkou kladnou imaginární částí (pro a(t) omzné j to pro Im() > ) Pro ostatní získám Laplacův obraz analytickým prodloužním funkc t PV
m p dg r + dp k kv dp Pro Im() > lží intgrační csta pod pólm, při analytickém prodloužní musí csta zůstat nadál pod pólm (musím pól objít zspodu!) Z rziduové věty vím ž intgrál přs polokružnici dá Pro /k << c j i π rziduum m m P m m iπ δ p kv m k k m p k k p k k Zd P označuj intgrál v smyslu hlavní hodnoty PV
Pro rálné j Im r (, k) π p m dg k dp m p k Im(r) > Im(r) < Hldám komplní R+i I takové, ž r(,k) Slabě tlumné (pomalu rostoucí) vlny I << R PV 3
d R r( R) ( + i ) R ( ) + iim ( ) + i d r R I r R r R I Pro R/k >> vt j R r( R) a tdy imaginární část frkvnc j R 3k v + 3k v R p T Im r( R) mr dg I πp d R r( R) k dp m R p k d Vývoj j p(-irt)p(it) Pro Mawllovo rozdělní j p R T R - rychlost Landauova útlumu j γl-i π I 8 k v v p R R p 3 3 T k T R PV 4
Enrgi plazmové vlny E j E je t t d d ( R) E R σ ( R) E dt 4d R Wtot hustota nrgi E E + E ( i * ) Rt irt E j komplní amplituda, R značí rálnou část, střduji přs čas d E R ( ) 4dt ( σ) E d Imσ R σ ( ) R σ ( R) I d d d Im d E σ E R σ ( R ) E 4dt 4 d dt Vodivost σ a prmitivita r souvisí R užito d E dt R π I R E iσ r + označm R R( r) obcný vztah d (plazmová vlna ( R ) d ) PV 5
Linární Nlinární Landaův útlum v soustavě spojné s vlnou j R E U k k a E E sin k a p ϕ cos pohybová rovnic lktronu j m E sin k lktron osciluj v potnciální jámě s frkvncí Ek b m / (bounc frquncy) pro časy t b pohyb nní ovlivněn polm a Landaův útlum j linární pro γl I > b v čas t π / b začínají lktrony vract nrgii vlně zachycné lktrony v v < v< v + v ϕ m t v t /ϕ m E vt mk ϕ / t PV 6
BGK módy (Brnstin, Grn, Kruskal) Vychází z nhomognní rovnováhy přsné nlinární řšní Stacionární Vlasovova rovnic pro částic s má řšní f f p v + qe s f f + qsϕ( ) f( U) p ms Njjdnodušší řšní pro chladné nzachycné svazky n ()v ( ) n v n n i()v i( ) v i v ( ) v + ϕ ( )/ m Rovnic kontinuity pro,i a pohyb částic v potnciálním poli (vi obdobně) Hustoty nábojů částic dosadím do Poissonovy rovnic i i i / / d ϕ n v vi n ϕ Zϕ + d v ( ) v ( ) m v M v Rovnic obdobná jako pro pohyb v potnciálním poli potnciál V(ϕ) d ϕ n ϕ M v i Zϕ i V ( ϕ) V( ϕ) m v + + d ϕ kd mv Z M v i i Z / / PV 7
M i vi ϕ( ) m v ( ) Pro malá ϕ Z d ϕ n Z + + ϕ d mv Mivi řšní ϕ ( ) ϕ( ) ϕ sin / λ BGK kd λ / v + / v BGK p pi i priodický potnciál lktrony jj vidi obrácně K libovolnému potnciálu lz sstrojit takové stacionární rozdělní iontů a lktronů, ž vyvolá příslušný potnciál Cas-van Kampnovy módy Hldá s f pro zadané, k f f p ( ik it ) obsahují δ funkc - nfyzikální Eistují kombinac CvK módů, ktré singularity nmají PV 8
Vysokofrkvnční lktrostatické vlny v plazmatu s stacionárním magntickým polm B k B magntické pol vlny novlivní plazmové vlny k B kromě lktrostatické síly lktrony vrací navíc i magntické pol cyklotronová frkvnc c při T p + c h horní hybridní frkvnc horní hybridní vlny plazmové vlny v směru kolmém na B v tplém plazmatu s šíří v důsldku trmokintického tlaku (obdobně jako plazmové vlny) navíc istují vlastní linární módy Vlasovovy rovnic, ktré nmají hydrodynamický kvivalnt Brnstinovy módy PV 9
Svazkové nstability (Dvousvazková nstabilita) Mnoho situací pohyb lktronů proti iontům či pohyb skupin lktronů Njjdnodušší situac (zvláště z hldiska analytického řšní) svazky lktronů proti sobě ionty nhybné u i n A n B n /, Zn i n v T << v E nα uα E + ( nu α α) + ( uα uα) div E ( na + nb n ) t t m hldám vývoj linární poruchy n α, u α, E ~ p(ik-it) ( ) ( ) in + ik n u / v n i n + ik n u /+ v n A A A B B B E E iu ikv u iu + ikv u ike n + n ( ) A A B B A B m m z pohybových rovnic vyjádřím amplitudy rychlostí a dosadím do rovnic kontinuity PV
n E n E n k ( i) n k ( i) m k m k A B ( v ) ( v ) + a dosadím do n ike ik + E a odtud p + + kv kv a upravím Poissonovy rovnic m ( + kv ) ( kv ) získám disprzní vztah ( ) ( ) ( ) p 4 + (k v + p) + k v k v, charaktr řšní závisí na znaménku absolutního člnu, pokud >, >, > a systém j stabilní, pokud k v < p, pak >, < a istuj kořn s kladnou imaginární frkvncí řšní rost v čas nstabilita p k v, k v + ± + 8 p a řšní, pro k v < p j 3 i j rostoucí p(-i 3 t) p (γt) ± i 3,4 PV
pro k v p j 3 iγ ikv chcm najít mód (k), ktrý rost d( ) 3 p k v njrychlji v maimu p; γ d( k v ) 8 8 čili njrychlji rychljší mód rost jn o trochu pomalji nž j p Jak vypadají rostoucí módy? Pro malé k pro narůstající mód ikv s poruchy hustot svazku A,B téměř vyruší (horní obrázk v ) Pol E vytvářno jn malou sumou hustot řádu ~k v / p narůstající pol p(ik+kv t) Njrychlji rostoucí mód (dolní obr.) J vidět nnulovou sumu poruch hustot svazků A,B Zd zvláštní případ zsilující s statické poruchy (dáno symtrií úlohy) PV
Jiný případ pohyb lktronů vůči iontům rychlostí v zavdu / p a ykv / p Zm / M i + Fy (, ) y Disprzní vztah ( ) pro y> hranic má disprzní vztah 4 rálné kořny - j stabilní pro y < hranic má rovnic jn rálné kořny nstabilita hranic stability maimální růst y /3 M Zm Zm + + 3 i 3 Zm M i M i /3 Zm γma p M i (tdy kv p ) PV 3