Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f této poslouposti, aeb spočtěte ( lim δ x m, + přičemž limitou se myslí limita poslouposti ve smyslu distribucí Přesě specifikujte v jaké smyslu je kovergece defiováa Řešeí: Chceme ukázat, že pro každou testovací fukci ϕ platí f, ϕ D (R,D(R, ϕ D (R,D(R, kde kovergece je yí stadardí kovergece poslouposti reálých čísel f, ϕ D (R,D(R Diracova distribuce δ ( x m aeb δ(x m je defiováa jako δ(x m D, ϕ = def ϕ (R,D(R Dualita f, ϕ D (R,D(R je tedy f, ϕ D (R,D(R = δ(x m, ϕ = D (R,D(R ϕ Velmi ám prospěje pokud si akreslíme obrázek Z obrázku je zřejmé, že výraz ϕ pod křivkou ϕ(x a itervalu 0, Očekáváme tedy, že by mělo platit je aproximací plochy lim ϕ = ϕ(x dx + oto tvrzeí můžeme formálě dokázat takto Především platí, že ϕ = ϕ(x m (x m+ x m, kde x m = m je děleí itervalu 0, Výraz ϕ ( m je tedy totožý s Riemaovým součtem s ormou děleí pro itegrál 0 ϕ(x dx Itegrál 0 ϕ(x dx existuje ebot ϕ je testovací fukce (hladká fukce s kompaktím osičem a jakákoliv posloupost Riemaových součtů s ormou děleí jdoucí k ule tedy musí kovergovat k tomuto itegrálu Zatím jsme tedy dokázali, že platí lim + pravou strau ovšem můžeme přepsat jako δ(x m, ϕ = ϕ(x dx, D (R,D(R ϕ(x dx = + ϕ(xχ 0, dx = χ0,, ϕ D (R,D(R,
kde χ 0, je charakteristická fukce itervalu 0, tedy χ 0, = {, x 0,, 0, x 0, která je lokálě itegrovatelou fukcí, a χ0, začí odpovídající distribuci Celkem proto pro každou testovací fukci platí lim + δ(x m, ϕ = χ0,, ϕ, D (R,D(R D (R,D(R což zameá, že lim + δ(x m = χ 0, Ke stejému výsledku můžeme samozřejmě dospět i jiak V rychlosti ačrteme postup založeý a ourierově trasformaci Použítím ourierovy trasformace zjistíme, že δ(x m = e i m ξ Přičemž jsme použili defiici ourierovy trasformace f(ξ = def ( d 2 R d f(xe ix ξ dx, kde d je dimeze prostoru, a kterém pracujeme, a zámý vztah pro ourierovu trasformaci Diracovy distribuce, δ(x 0(ξ = Řadu sado sečteme s použitím vzorce pro součet geometrické řady e i m ξ = ( m e i ξ = e iξ e i ξ = i ξ e iξ e i ξ iξ Limitím přechodem tedy dostaeme lim + δ(x m = e iξ iξ Spočteme-li si iverzí ourierovu trasformaci výrazu a pravé straě, zjistíme, že předchozí rovost lze zapsat jako lim + δ(x m = χ 0,, odkud plye lim + δ(x m = χ 0,
8 2 S použitím Laplaceovy trasformace ajděte řešeí g obyčejé difereciálí rovice a itervalu (, + s počátečími podmíkami d 2 g dx 2 5 dg dx + 6g = 0 g x= = 2, dg dx = 2 x= (Podívejte se pozorě a jakém itervalu chceme ajít řešeí a v jakém bodě předepisujeme počátečí podmíky Řešeí: Nejprve si uvědomíme, že amísto fukce g můžeme rovici řešit pro fukci f, která je defiovaá jako aeb f(x = def g(x +, g(x = f(x Pro fukci f je uté vyřešit rovici d 2 f dx 2 5df dx + 6f = 0 a itervalu (0, + s počátečími podmíkami f = 2, df dx = 2, což je stadardí úloha řešitelá Laplaceovou trasformací S použitím zámých vztahů pro Laplaceovu trasformaci + Lf = def f(xe px dx derivace fukce df L = plf f(0, převedeme rovici do tvaru odkud L dx d 2 f dx 2 = p 2 Lf pf(0 df dx (0, p 2 Lf 2p 2 5pLf + 0 + 6Lf = 0, Lf = 2p 8 p 2 5p + 6 Zbývá spočíst iverzí Laplaceovu trasformaci Výraz a pravé straě rozložíme a parciálí zlomky, jest p 2 5p+6 = (p 3(p 2 a stadardí algebraické maipulace ás vedou k závěru, že 2p 8 p 2 5p + 6 = 2 p 3 + 4 p 2 Víme, že platí což zameá, že odkud Řešeí původě zadaé rovice je tedy Le ax = p a, Lf = 2Le 3x + 4Le 2x, f(x = 2e 3x + 4e 2x g(x = 2e 3(x + 4e 2(x
2 3 S pomocí ourierovy trasformace spočtěte e x e x, kde hvězdička začí operátor kovoluce, který je defiová jako g h (x = def g(x yh(y dy y R Řešeí: Dle ávodu využijeme ourierovy trasformace Víme, že platí g h = g h, přičemž ourierova trasforamce je defiováa jako f(ξ = def ( d 2 R d f(xe ix ξ dx, kde d je dimeze prostoru, a kterém pracujeme Nejdříve spočteme ourierovu trasformaci e x Výsledkem je e x 2 (ξ = π + ξ 2, což ukážeme takto e x (ξ = + e x e ixξ dx = + ( e = (iξ x iξ e x e ixξ dx + 0 e (iξ+x + iξ + 0 Použijeme-li tedy vztah pro ourierovu trasformaci kovoluce, vidíme, že e x e x = 4 ( + ξ 2 2 e x e ixξ dx = ( iξ + iξ + Nyí se pokusíme přepsat pravou strau jako ourierovy trasformaci ějaké fukce Hledáme tedy ( + ξ 2 2 = + ( + ξ 2 2 dξ, = 2 π + ξ 2 což je rutií úloha, kterou vyřešíme metodami komplexí aalýzy Nejprve si uvědomíme, že fukce je sudá (+ξ 2 2 fukce, a její ourierova trasformace proto musí být sudá fukce o ám umoží zjedodušit si výpočet tím, že ho provedeme pouze pro x < 0 ebo pro x > 0 Zabývejme se případem x < 0 Budeme zkoumat itegrál z komplexí fukce g(z = def ( + z 2 2, podél křivky γ R, kterou je kruhový oblouk o poloměru R v horí komplexí poloroviě, viz Obrázek ODO Parametrizace obloku je z = Re iϕ, ϕ (0, π, parametrizace úsečky a reálé ose je z = ξ, ξ ( R, R Pro daou parametrizaci tedy platí γ R g(zdz = R ξ= R Jelikož je ϕ (0, a x < 0 vidíme, že výraz π ( + ξ 2 2 dξ + e ixreiϕ ϕ=0 ( + R 2 e 2iϕ 2 ireiϕ dϕ e ixreiϕ = e ixr cos ϕ xr si ϕ e zůstává pro R + omezeý, a proto s použitím Jordaova lemmatu sado ukážeme, že π ϕ=0 e ixreiϕ ( + R 2 e 2iϕ 2 ireiϕ dϕ R + 0
a proto Podle reziduové věty ovšem také platí lim g(zdz = R + γ R ( + ξ 2 2 dξ γ R g(zdz = i res zs itγ R g(z ukce g(z má zjevě sigularity v bodech z s = ±i a tyto sigularity jsou dvojásobými póly Je proto lim g(zdz = i res zs=i R + γ R ( + z 2 2, což v kombiaci s předchozím vztahem pro křivkový itegrál zameá, že ( + ξ 2 2 dξ = i res z s=i ( + z 2 2 Zbývá spočíst reziduum v bodě z s = i, což provedeme podle stadardího lemmatu o výpočtu rezidua v dvojásobém pólu, res zs=i ( + z 2 2 = d dz (z i 2 ( + z 2 2 = Po dosazeí do reziduové věty tedy dostaeme a ásledě tedy pro x < 0 dostaeme ( + ξ 2 2 = + d dz (z + i 2 = ixe ixz (z + i 2 2 (z + i (z + i 4 = i ex (x 4 ( + ξ 2 2 dξ = π 2 ex ( x ( + ξ 2 2 dξ = π 2 2 ex ( x = π 2 2 e x ( + x, ze symetrie (ourierova trasformace sudé fukce je sudá fukce ovšem plye, že teto vztah platí i pro x > 0, aeb π ( + ξ 2 2 = 2 2 e x ( + x Vrátíme-li se zpět k rovici vidíme, že ji můžeme přepsat jako odkud plye, že e x e x = 4 ( + ξ 2 2, e x e x = e x ( + x e x e x = ( + x e x