DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST OPATŘENÍ: 7.2 ČÍSLO OBLASTI PODPORY: 7.2.2 INOVACE VÝUKY INFORMATICKÝCH PŘEDMĚTŮ VE STUDIJNÍCH PROGRAMECH OSTRAVSKÉ UNIVERZITY REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU: CZ..07/2.2.00/28.0245 OSTRAVA 202

Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky Recezet: Doc. Ig. Fratišek Huňka, CSc. Název: Diskrétí matematika pro iformatiky Autor: Prof. RNDr. Ig. Iva Křivý, CSc. Vydáí: prví, 202 Počet stra: 9 Jazyková korektura ebyla provedea, za jazykovou stráku odpovídá autor. Iva Křivý Ostravská uiverzita v Ostravě

ANOTACE Předkládaá distačí opora představuje úvod do diskrétí matematiky. Je určea především studetům kombiovaého a distačího studia v ásledujících bakalářských studijích programech akreditovaých a Přírodovědecké fakultě Ostravské uiverzity v Ostravě: Iformatika a Aplikovaá iformatika. Zahruje ásledující témata: základí pojmy (možiy, relace, fukce, matematická idukce), kombiatorika a její aplikace, logické fukce, Booleova algebra a její vlastosti, úvod do teorie grafů.

ÚVOD ZÁKLADNÍ POJMY 5. Možiy 5.2 Relace 7.3 Fukce 2.4 Matematická idukce 3 2 KOMBINATORIKA 7 2. Variace 7 2.2 Permutace 9 2.3 Kombiace 2 2.4 Kombiatorické pricipy 23 A. Kombiatorický pricip součtu 23 B. Kombiatorický pricip součiu 24 C. Kombiatorické pricip ikluze a exkluze 25 2.5 Kombiačí čísla 26 2.6 Kombiatorické počítáí 29 3 LOGICKÉ FUNKCE 35 3. Základí pojmy 35 3.2 Formule logiky 38 3.3 Ekvivalece formulí 40 3.4 Pricip duality 43 3.5 Rozklad logických fukcí podle proměých 45 3.6 Fukcioálí úplost 49 3.7 Fukcioálí uzavřeost 53 3.7. Třída logických fukcí zachovávajících kostatu 0 54 3.7.2. Třída logických fukcí zachovávajících kostatu 54 3.7.3. Třída samoduálích fukcí 55 3.7.4. Třída mootóích fukcí 55 3.7.5. Třída lieárích fukcí 57 Korespodečí úkol pro studety XDIMA 6 Korespodečí úkol prostudety 2DIMA 63 4 USPOŘÁDANÉ STRUKTURY 65 4. Uspořádaé možiy 65 4.2 Svazy 69 4.3 Booleova algebra 72 4.4 Booleovské fukce 75 4.4. Algebraická metoda 77 4.4.2 Karaughova mapa 77 4.4.3 Metoda Quieova - McCluskeiova 79 5 ÚVOD DO TEORIE GRAFŮ 85 5. Pojem grafu 85 5.2 Isomorfismus grafů 90 5.3 Reprezetace grafu 92 5. 4 Souvislost grafu 96

5.5 Podgrafy 99 5.6 Eulerovské grafy 05 Autotest 3 Výsledky autotestu 5 LITERATURA 7 Doporučeá a rozšiřující literatura 9

ÚVOD Předkládaá distačí opora (modul), která se Vám dostává do ruky, byla vytvořea iovací původí opory v rámci projektu Iovace výuky iformatických předmětů ve studijích programech Ostravské uiverzity, reg. číslo CZ..07/2.2.00/28.0245. V souvislosti s iovací byly provedey ásledující změy: upravea struktura celé distačí opory, ově zařazey řešeé úlohy, úkoly k procvičeí učiva, kotrolí otázky do všech kapitol, ově zařazeý korespodečí úkoly, autotest a výsledky autotestu. Iovace modulu Iovovaá opora plě pokrývá požadavky učebích osov poviých předmětů 2DIMA a XDIMA pro posluchače distačího a kombiovaého studia ve studijích programech Iformatika a Aplikovaá iformatika a Přírodovědecké fakultě Ostravské uiverzity. Tato opora může být samozřejmě použita jako vhodý studijí materiál i pro studety prezečí formy studia v rámci předmětu DIMAN. Posláí modulu Cíle modulu: Po prostudováí tohoto modulu: rozšíříte své středoškolské zalosti o možiách, relacích a fukcích, osvojíte si základí pricipy kombiatoriky a schopost řešit kombiatorické úlohy, pochopíte základy teorie logických fukcí a aučíte se využívat je při řešeí praktických úloh, sezámíte se s Booleovou algebrou a jejími vlastostmi, pochopíte základí pojmy z teorie grafů a osvojíte si postupy k řešeí jedodušších úloh z této oblasti. Celý modul je rozčleě do ásledujících lekcí: základí pojmy diskrétí matematiky a matematická ídukce, variace, permutace, kombiace, kombiatorické pricipy, kombiačí čísla a kombiatorické počítáí, logické fukce a formule, ekvivalece formulí, Obsah modulu

pricip duality a rozklad booleovských fukcí podle proměých, fukcioálí úplost a uzavřeost, uspořádaé možiy, svazy, Booleova algebra a booleovské fukce, základí pojmy teorie grafů, isomorfismus grafů a reprezetace grafů, souvislost grafu a základí typy podgrafů, eulerovské grafy. opakováí učiva a příprava ke zkoušce. Struktura modulu U jedotlivých lekcí jsou dodržea ásledující pravidla: specifikace cílů lekce (tedy toho, co by měl studet po jejím prostudováí umět, zát, pochopit), vlastí výklad učiva, řešeé příklady, kotrolí úkoly (otázky, příklady) k procvičeí učiva, korespodečí úkoly. Zařazeé korespodečí úkoly jsou určey k ověřeí Vašich schopostí aplikovat získaé teoretické zalosti a aalýzu řešeí kokrétích úloh. Nutou součástí Vašich studijích poviostí je odevzdáí korespodečích úkolů; jejich hodoceí bude započteo do celkového hodoceí kurzu. V každé kapitole je uvedeo vše potřebé pro samostaté studium, počíaje defiicemi základích pojmů a koče využitím teoretických pozatků v praxi. V zájmu správého pochopeí probíraé látky jsou jedotlivá témata doplěa řešeím typových příkladů. Doporučujeme čteáři, aby se ad každým příkladem důkladě zamyslel. Pochopeí pricipů řešeí je totiž ezbytým předpokladem pro porozuměí dalšímu výkladu. Čas potřebý k prostudováí a procvičeí učiva jedotlivých lekcí euvádíme, eboť z ašich zkušeostí vyplývá, že rychlost studia začě záleží a Vašich schopostech a studijích ávycích. Předpokládáme, že si mozí z Vás budou chtít doplit a rozšířit pozatky studiem dalších literárích prameů (učebic a skript), jež se zabývají jak teorií, tak i aplikacemi. Při výkladu jsme vycházeli především z moografie J. Matouška a J. Nešetřila [5], moografie S. V. 2

Jabloského [6] a vysokoškolských skript kolegyě Koečé [7, 8]. Některé řešeé příklady a úkoly k procvičeí učiva jsou převzaty z vysokoškolských skript orietovaých a diskrétí matematiku [, 2, 3, 5, 0,, 2, 4 a 8]. Publikace použité v textu této distačí opory uvádíme v části azvaé Literatura. Další publikace a uvedeé v části Doporučeá a rozšiřující literatura, jsou určey k doplěí Vašich základích zalosti z diskrétí matematiky. Věříme, že předkládaý studijí materiál pomůže pochopit základy diskrétí matematiky, a přejeme Vám hodě úspěchů ve studiu. Autor Autor děkuje touto cestou recezetovi za pečlivé pročteí rukopisu a řadu ceých připomíek směřujících ke zkvalitěí předkládaého učebího textu. 3

4

ZÁKLADNÍ POJMY Po prostudováí této kapitoly: si rozšíříte a doplíte své středoškolské zalosti v oblasti moži, relací a fukcí, pochopíte výzam matematické idukce a aučíte se jí využívat při dokazováí vlastostí přirozeých čísel. Klíčová slova: možia, prázdá možia, mohutost možiy, potečí možia, podmožia, skládáí moži, průik moži, rozdíl moži, doplěk možiy, kartézský souči moži, biárí relace, relace z možiy do možiy, relace a možiě, iverzí relace, komplemetárí relace, skládáí relací, kartézský graf, šachovicový graf, uzlový graf, matice sousedosti, relace reflexiví, relace symetrická, relace asymetrická, relace atisymetrická, relace trazitiví, ekvivalece, částečé uspořádáí, ostré uspořádáí, fukce jako relace, skládáí fukcí, fukce ijektiví, fukce surjektiví, fukce bijektiví, matematická idukce. V prví části této kapitoly si doplíte své zalosti z teorie moži, relací a fukcí. Zvláští pozorost věujte relacím, zejméa relacím ekvivalece a částečého uspořádáí, protože získaé pozatky budeme využívat jak při výkladu teorie booleovských (logických) fukcí, tak v úvodu do teorie grafů. Druhá část kapitoly bude věováa problematice matematické idukce. Je velmi důležité, abyste pochopili pricip matematické idukce a aučili se ji využívat k dokazováí vlastostí přirozeých čísel.. Možiy Pod pojmem možiy se ituitivě rozumí soubor ějakých objektů (prvků možiy). Ve skutečosti pojem možiy patří k tzv. primitivím pojmům, jež se edefiují pomocí jiých, dříve zavedeých pojmů. Možiy se obvykle ozačují písmey velké abecedy (apř. A, B, C,...) a skutečost, že prvek a patří (epatří) do možiy A se zapisuje jako a A ( a A ). V diskrétí matematice se zpravidla pracuje se třemi číselými možiami: možiou čísel přirozeých (), čísel celých ( ) a reálých (). Možia 5

Možiy se zapisují dvěma způsoby: výčtem prvků (apř. {, 4, 9,...}) ebo vyzačeím vlastosti, kterou mají všechy prvky daé možiy (apř. { 2 ; } ). Prázdá možia Mohutost možiy Potečí možia Vztahy mezi možiami Operace s možiami Zvláští postaveí má možia prázdá, tj. možia eobsahující žádý prvek. Taková možia existuje pouze jediá a ozačuje se. Důležitou charakteristikou každé možiy je její mohutost eboli kardialita, která udává počet prvků daé možiy. Mohutost možiy X se zpravidla ozačuje X. Tato charakteristika se defiuje i pro ekoečé možiy. Často se uvažují i možiy, jejichž prvky jsou samy o sobě také možiami. Typickým příkladem takové možiy je možia všech podmoži ějaké možiy X, tzv. potečí možia možiy X, jež se ozačuje ( X ). Dvě libovolé možiy A a B jsou si rovy, právě když obsahují idetické prvky. Takový vztah se azývá rovost moži a ozačuje A = B. Jestliže každý prvek možiy A je také prvkem možiy B, pak říkáme, že možia A je podmožiou možiy B, což začíme A B. Teto vztah (relace) se azývá možiová ikluze. Pokud platí A B, je A vlastí podmožiou B a píšeme A B. Každá eprázdá možia má právě dvě triviálí podmožiy: sebe samu a prázdou možiu. Pro libovolé dvě možiy A a B můžeme defiovat řadu biárích operací. Jejich průik A B je možia všech prvků áležejících současě do A i B. Sjedoceím A B těchto moži je možia všech prvků, které áležejí do A ebo do B ebo obou současě. Rozdíl A\ B uvažovaých moži je možia všech prvků ležících v A, ale ikoliv v B. Doplňkem možiy B v možiě A je právě možia A\ B, tj. možia všech prvků možiy A, které epatří do možiy B. Symetrický rozdíl obou uvažovaých moži je defiová jako ( A B) ( B A) \ \. Obě tyto operace mohou být defiováy pro libovolý (i ekoečý) počet operadů. Tak apř. sjedoceí (průik) moži A, A2,..., A se zapisuje U Ai ( I Ai ).Pro operace průiku a sjedoceí platí mimo jié zákoy i= i= komutativí i asociativí. Navíc jsou obě zmíěé operace provázáy distributivím zákoem, takže platí: A ( B C) = ( A B) ( A C), A ( B C) = ( A B) ( A C). 6

Platost uvedeých vztahů lze ověřit pomocí Veova diagramu. Neuspořádaá dvojice prvků a, b se začí { a, b } a představuje obyčejou dvouprvkovou možiu, v íž a pořadí prvků samozřejmě ezáleží. Naproti tomu v uspořádaé dvojici těchto prvků, která se ozačuje ( a, b ), a tomto pořadí záleží: prvek a je prvím prvkem, kdežto prvek b prvkem druhým.platí: ( ) ( ) a, b = c, d, právě když a = c a b = d. Tuto uspořádaou dvojici však můžeme zapsat pomocí euspořádaé { } dvojice takto: ( a b) { a} { a b} -tice prvků., =,,. Aalogicky se defiuje i uspořádaá Defiice.. Kartézský souči A B moži A a B je možia všech uspořádaých dvojic ( a, b ), kde a A a b B, tedy {( ) } A B = a, b ; a A, b B. Uspořádaá dvojice prvků Kartézský souči moži Kartézský souči se zavádí eje pro číselé možiy, ale pro libovolé koečé možiy. Pojem kartézského součiu můžeme rozšířit a libovolých moži takto: {( ) } A A... A = a, a,..., a ; a A, i =,2,...,. 2 2 i i Speciálím případem je -tá kartézská mocia možiy A, která se zapisuje ve tvaru Úkoly. {( 2 ) i } A = A A... A = a, a,... a, a A, i =, 2,...,.. Za jakých podmíek platí pro možiy ásledující rovosti: a) A B = A, b) A B C = A, c) A B = A. 2. Zjedodušte výraz ( A B) ( B C). 3. Dokažte platost možiové rovosti ( A B) ( A C) ( B C) = ( A B) ( A C) ( B C). 4. Vztah ( A B) \ B obecě eplatí. Vyšetřete, za jakých podmíek skutečě platí..2 Relace S využitím pojmu kartézského součiu můžeme defiovat jede ze základích pojmů matematiky, pojem relace. 7

Relace z možiy A do možiy B Relace a možiě A Defiice.2.. Nechť A, B jsou možiy. Pak libovolá podmožia R kartézského součiu A B se azývá (biárí relace) z možiy A do možiy B. Skutečost, že uspořádaá dvojice ( a, b ) je prvkem relace R se zapisuje obvykle ve tvaru ( a b) (biárí) relace a možiě A, tedy, R. Je-li A = B, pak R se azývá R A A = A 2. Vedle biárí relace existuje i -árí relace a možiě A defiovaá vztahem R A. Speciálí případy relace: relace prázdá, která eobsahuje žádé uspořádaé dvojice ( R = ), relace uiverzálí, která aopak obsahuje všechy uspořádaé 2 dvojice ( R = A B, resp. R = A ), relace idetická (ozačeí id) je taková relace a možiě A, která a, a A. obsahuje všechy uspořádaé dvojice typu ( ) 2 Iverzí relace Komplemetárí relace Skládáí relací Nechť R A B. Pak iverzí relace ( R ) k relaci R je relace tvořeá všemi uspořádaými dvojicemi ( b, a ) takovými, že uspořádaé dvojice ( a b), R. Podobě komplemetárí relace (R ) k relaci R je relace tvořeá všemi uspořádaými dvojicemi ( a, b ) takovými, že uspořádaé dvojice ( a b), R. Úkol. Je dáa relace ( ) komplemetárí. { 2 } R = m, ; m =. Určete relaci iverzí a Nechť R A B a S B C jsou ějaké relace. Pak složeím ( Ro S ) relací R a S v tomto pořadí je relace tvořeá všemi uspořádaými dvojicemi ( a, c ), pro které existuje ějaké b B takové, že uspořádaé dvojice ( a, b) R a uspořádaé dvojice ( b, c) S. Úkol. Určete relaci {( ) } S =, p ; p =. R S o, jestliže ( ) {, ; 2 } R = m m = a Pozámka. Pro skládáí relací eplatí obecě komutativí záko. Složeí relací eí defiováo pro každé dvě relace; vždy musí existovat 8

společá prostředí možia (v ašem případě B). Jsou-li obě relace R i S a téže možiě, je jejich složeí vždy defiováo. Existuje ěkolik způsobů, jak reprezetovat relace: grafické (kartézský graf, šachovicový graf, uzlový graf), algebraický (matice sousedosti). Nechť je dáa relace R A B. { } B b b2 b m, kde A { a a a } =, 2..., a =,,...,. Při kostrukci kartézského grafu vycházíme z mřížky (v kartézské soustavě souřadic) defiovaé vertikálími přímkami x = a, i =,2,...,, a horizotálími přímkami y = b, j =, 2,..., m. i i Všechy možé uspořádaé dvojice jsou reprezetováy průsečíky těchto přímek. Ty dvojice, které áležejí do daé relace R, se ozačí apř. malými kroužky. V případě šachovicového grafu se vychází ze šachovice, jejíž sloupce odpovídají hodotám a i a řady hodotám b j. Pak čtvercová pole acházející se v i-tém sloupci a j-té řadě reprezetují uspořádaé dvojice ( ai, b j ) ebo vybarví.. Pro dvojice áležející daé relaci R se příslušá pole vyšrafují, Uzlový graf se používá k reprezetaci relace R a možiě { } A = a, a2..., a. Jedotlivé prvky možiy A se reprezetují malými kroužky ebo putíky. Pokud ějaká uspořádaé dvojice ( i, j ) relaci R, vyzačí se tato skutečost šipkou směřující V případě ai = a j se zakreslí smyčka od a i do Relaci R a možiě A { a a a } a i. j j a a áleží od a i do a j. =, 2..., lze vhodě reprezetovat tzv. maticí sousedosti. Je to čtvercová matice A = ( ), pro jejíž prvky platí: a ij Kartézský graf Šachovicový graf Uzlový graf Matice sousedosti a ij ( ai a j ) ( ai a j ), jestliže, R, = 0, jestliže, R. Příklad.2.. Pro ilustraci určíme matici sousedosti pro relaci {(,2 ),(,3 ),( 2, ),( 2, 4 ),( 3, 4 ),( 4,2 ),( 4, 4) } A = {,2,3, 4 }. Tato matice má tvar R = a možiě 9

0 0 0 0. 0 0 0 0 0 Úkol. Vytvořte kartézský, šachovicový i uzlový graf odpovídající relaci R z předcházejícího příkladu. Vlastosti relace Ekvivalece Defiice.2.2. Relace R a možiě A je: reflexiví, jestliže pro každé a A irreflexiví, jestliže pro každé a A symetrická, jestliže pro každá a, a2 (, ) a a R, 2 platí ( a a) asymetrická, jestliže pro každá a, a2 pak (, ) a a R, 2, R, platí ( a a) atisymetrická, jestliže pro každá a, a2 a současě (, ) a a R, pak a = a, 2 2 trazitiví, jestliže pro každá a, a2, a3 A současě ( a, a ) R, pak ( a a ) 2 3, R. 3, R, A platí: pokud ( a, a ) R, pak 2 A platí: pokud ( a, a ) R, 2 A platí: pokud ( a, a ) R 2 platí: pokud ( a, a ) 2 R a Defiice.2.3. Relace R a možiě A je ekvivalece, jestliže je reflexiví, symetrická a trazitiví. Uvažujme relaci R a možiě defiovaou předpisem: ( a b) R ( a b),, právě když, kde je přirozeé číslo. Říkáme, že prvek a je kogruetí s prvkem b modulo, když rozdíl ( a b) je dělitelý číslem. Tato relace se azývá kogruece a zapisuje se ve tvaru a b ( ) mod ulo. Příklad.2.2. Dokážeme, že takto defiovaá relace je ekvivalece, tj. je reflexiví, symetrická a trazitiví. Nechť, a, rozdíl ( a a) je dělitelý, tj. platí ( a a). To zameá, že prvek a je kogruetí sám se sebou modulo. Relace R je tedy reflexiví. 0

Nechť a, b. a rozdíl( a b) je dělitelý číslem, tj. ( a b). To však platí právě tehdy, když ( a b), což je totéž jako ( b a). Relace R je proto symetrická. Nechť,, a b c.. Nechť dále platí ( a b) a současě ( b c). Pak existují ějaká k, l taková, že platí a k b k l c ( k l) c, = + = + + = + + a tudíž ( a c). Odtud plye trazitivita relace R. Úkoly.. Uvažujte relaci R a možiě defiovaou předpisem a, b R, právě když a = b (rovost reálých čísel). Dokažte, že tato ( ) relace je ekvivalece. 2. Nechť ( X ) je možia všech podmoži eprázdé možiy X. Uvažujte a této možiě relaci R defiovaou předpisem A, B R, právě když A = B (možiová rovost). Dokažte, že tato ( ) relace je ekvivalece. Defiice.2.4. Relace R a možiě A je částečé uspořádáí (uspořádáí), jestliže je reflexiví, atisymetrická a trazitiví. Částečé uspořádáí Příklad.2.3. Budeme uvažovat relaci R a možiě daou předpisem ( ) a, b R, právě když a b ("eostrá" erovost).,. Dokážeme, že tato relace je částečé uspořádáí. Pro libovolé a zřejmě platí a a, takže daá relace je reflexiví, Nechť jsou dáa libovolá a, b taková, že a b. Jestliže zároveň platí také b a, pak utě musí platit a = b. Odtud plye, že uvažovaá relace je atisymetrická. Zvolme libovolá a, b, c tak, aby platilo a b a současě b c. To ovšem zameá, že platí a b c, eboli a c. Tím je dokázáo, že daá relace je trazitiví. Úkoly.. Uvažujte relaci R a možiě všech podmoži eprázdé možiy X daou takto: ( ) A, B R, právě když A B (možiová ikluze). Dokažte, že uvedeá relace je částečé uspořádáí. 2. Nechť je dáa relace R a možiě všech eulových celých čísel předpisem ( ) a, b R, právě když a b (" a dělí b").,. Dokažte, že tato relace je částečé uspořádáí.

Defiice.2.5. Relace R a možiě A je ostré uspořádáí, jestliže je reflexiví, asymetrická a trazitiví. Úkol. Je dáa relace R a možiě defiovaá předpisem a, b R, právě když a < b. Dokažte, že jde o ostré uspořádáí. ( ).3 Fukce Fukce Fukce (zobrazeí) je jedím ze základích pojmů matematiky. Pojem fukce zde zavedeme etradičě, a to jako speciálí typ relace. Defiice.3.. Fukce f z možiy X do možiy Y ( f : X Y ) je biárí relace f X Y, která splňuje dodatečou podmíku, že pro každý prvek x X existuje právě jede prvek y Y, pro ějž platí ( x y), f. Fukce se zpravidla zobrazují obyčejým grafem y vs. x v kartézské soustavě souřadic, ale v případě diskrétího defiičího oboru X lze s výhodou používat stejých prostředků jako při zobrazováí relací. Skládáí fukcí Fukce prostá Fukce surjektiví Fukce bijektiví Skládáí fukcí se provádí stejě jako u relací, přitom se ovšem používá jié začeí. Jestliže jsou dáy dvě fukce f : X Y a g : Y Z, pak můžeme pro každé x X defiovat ovou (složeou) fukci h : X fukce se zapisuje ve tvaru ( go f )( x). Z předpisem h( x) = g ( f ( x) ). Tato složeá Pro skládáí fukcí platí záko asociativí, ale ikoliv komutativí. Jeli apř. defiováa fukce go f, pak fukce f o g emusí být vůbec defiováa. Defiice.3.2. Fukce f : X Y se azývá: prostá (ijektiví), jestliže pro každá x x2 platí f ( x ) f ( x ) 2, fukce a (surjektiví), jestliže pro každé y Y existuje x X takové, že f ( x) = y, vzájemě jedozačá (bijektiví), jestliže je zároveň prostá a a. Pro skládáí fukcí platí ásledující tvrzeí. Věta.3.. Nechť f : X Y a g : Y Z jsou fukce. Pak platí: jestliže f i g jsou prosté fukce, je také f o g prostá fukce; jestliže f i g jsou surjektiví fukce a, je také f o g surjektiví; 2

jestliže f i g jsou vzájemě jedozačé fukce, je také f o g vzájemě jedozačá fukce. Příklad.3.. Důkazy uvedeých tvrzeí jsou jedoduché; vycházejí přímo z defiice. Pro ilustraci dokážeme druhé z ich. Zvolíme tedy ějaké z Z a hledáme x X, pro které platí ( g f )( x) = z. o Protože g je fukce surjektiví, musí existovat y Y takové, že g ( y) = z. Ale f je také fukce surjektiví, proto musí existovat x X, které splňuje f ( x) = y. Takové x je pak hledaý prvek, pro ějž platí ( go f )( x) = z. Úkoly.. Dokažte obě zbývající tvrzeí. 2. Nechť X je koečá možia. Pak fukce f : X X je prostá, právě když je surjektiví. Dokažte. 3. Najděte příklad prosté fukce f :,, která eí surjektiví. Další úlohy k procvičeí středoškolských zalostí o možiách, relacích a fukcích lze alézt v učebích textech [, 3, 5, 0, 2]..4 Matematická idukce Matematická idukce se užívá pro důkazy vět typu,, : ( ), kde ( ) x V 0 V je výroková forma proměé a 0 pevě zvoleé přirozeé číslo. Tato metoda důkazu vychází z tzv. pricipu matematické idukce, který je jedím z Peaových axiomů teorie přirozeých čísel. Peaovy axiomy lze (poěkud zjedodušeě) formulovat takto:. Číslo 0 je přirozeé číslo. 2. Ke každému přirozeému číslu existuje přirozeé číslo, které je jeho ásledovíkem. 3. Číslo 0 eí ásledovíkem žádého přirozeého čísla. 4. Růzá přirozeá čísla mají růzé ásledovíky. 5. Nechť platí, že ějakou vlastost má číslo 0 a avíc z toho, že ji má přirozeé číslo, plye, že ji má také jeho ásledovík, pak tuto vlastost mají všecha přirozeá čísla. 3

Pricip mat. idukce Pricip matematické idukce (viz [5]). Nechť X je možia přirozeých čísel, pro kterou platí: X. Je-li X, pak také + X. Potom X je možia všech přirozeých čísel, tj. X =.. Důkaz matematickou idukcí se provádí ve dvou krocích:. krok. Daá vlastost se dokáže pro ejmeší přirozeé číslo, které přichází v úvahu, zpravidla pro. = 2. krok (idukčí krok). Vychází se z předpokladu (idukčího předpokladu), že tato vlastost platí pro ějaké = 0, a ásledě se dokáže, že platí též pro = 0 +. Matematická idukce je jedím ze základích důkazových prostředků v matematice. Použití matematické idukce ilustrujeme a ěkolika jedoduchých příkladech. i= Příklad 4... Dokážeme, že pro všecha ( ) i = + 2 +... + = + / 2. platí V. kroku ověříme platost vztahu pro =. Dostaeme =.2 / 2, tj. vztah platí.. Předpokládáme, že vztah platí pro ějaké 0 0 =, takže i = ( + ) Dokážeme jeho platost i pro = 0 +. Postupě dostaeme: 0 + 0 i= i= i= 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) i = i + + = + / 2 + + = + + 2 / 2. 0 0 0 0 0 0 Tímto je platost vztahu dokázáa pro všecha,. / 2. Příklad 4..2. Dokážeme, že pro všecha přirozeá čísla je číslo 2 + 2 6 3 3 + + dělitelé. Pro = platí platí. 2 3 6 + 3 + 3 = 36 + 27 + 3 = 66 = 6, takže uvedeé tvrzeí Nechť toto tvrzeí platí pro ějaké = 0. Potom ( + ) + + ( + ) 2 0 0 3 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 6 + 3 + 3 = 6.36 + 3.3 + 3.3 = 3 6 + 3 + 3 + 33 6. Výsledé číslo je skutečě dělitelé, protože oba sčítace jsou dělitelé. 4

Úkoly.. Dokažte matematickou idukcí i= i 2 = ( + )( + ) 2..2.3.2 2.3... 2. 3 2. Dokažte mat. idukcí + + + ( + ) = ( + )( + ) 3. Dokažte matematickou idukcí, že pro 3 platí 2 > 2 +. Někdy se může stát, že ve formulaci vlastosti, kterou je třeba dokázat, vystupují dvě proměé pro přirozeá čísla. V takových případech jedu proměou zafixujeme (přidělíme jí pevou hodotu) a důkaz provedeme pro druhou. Kotrolí otázky. Kolik prvků má potečí možia možiy X, jestliže X? 2. Jaký je rozdíl mezí euspořádaou a uspořádaou -ticí prvků? 3. Ukažte, že pro skládáí biárích relací eplatí obecě komutativí záko. 4. Jaké jsou základí způsoby grafické reprezetace relace? 5. Je možé reprezetovat relaci z možiy do možiy pomocí matice sousedosti? 6. Jaké jsou základí vlastosti relací a možiě? 7. Srovejte klasickou (středoškolskou) defiici fukce s defiicí.3.. 8. Vysvětlete pricip matematické idukce. 9. Jaký je postup při důkazu matematickou idukcí? Pojmy k zapamatováí: možia, prázdá možia, mohutost možiy, potečí možia, podmožia, sjedoceí moži, průik moži, rozdíl moži, doplěk možiy, uspořádaá dvojice prvků, kartézský souči, relace z možiy do možiy, relace a možiě, 5

iverzí relace, komplemetárí relace, skládáí relací, kartézský graf, šachovicový graf, uzlový graf, matice sousedosti pro relaci a možiě, relace reflexiví, relace symetrická, relace asymetrická, relace atisymetrická, relace trazitiví, ekvivalece, částečé uspořádáí, ostré uspořádáí, fukce jako relace, skládáí fukcí, fukce prostá (ijektiví), fukce a (surjektiví), fukce vzájemě jedozačá (bijektiví), matematické idukce. Shrutí V této úvodí kapitole jsou rozšířey a doplěy středoškolské zalosti o možiách, relacích i fukcích. Zvláští pozorost je věováa pricipu matematické idukce a jejímu využití při dokazováí vlastostí přirozeých čísel. Je velmi důležité, abyste vše správě pochopili. Věujte této části mimořádou pozorost a teprve, až se ujistíte, že jste všemu porozuměli, přistupte ke studiu dalších kapitol. 6

2 KOMBINATORIKA Po prostudováí této kapitoly: si doplíte zalosti o variacích, permutacích a kombiacích (bez opakováí i s opakováím) a aučíte se těchto zalostí využívat při výpočtech klasické pravděpodobosti jevů, pochopíte základí kombiatorické pricipy (pricip součtu, pricip součiu, pricip ikluze a exkluze) a osvojíte si jejich aplikaci a řešeí kombiatorických úloh, pozáte základí vlastosti biomických koeficietů a jejich výzam v diskrétí matematice. Klíčová slova: variace s opakováím, variace bez opakováí, permutace bez opakováí, permutace s opakováím, kombiačí číslo, kombiace bez opakováí, kombiace s opakováím, pricip součtu, pricip součiu, pricip ikluze a exkluze, Dirichletův pricip, Pascalův trojúhelík, biomická věta, pravděpodobost jevu. Tato kapitola je věováa kombiatorice v širším slova smyslu. Naučíte se pracovat s variacemi, permutacemi, kombiacemi a osvojíte si základí kombiatorické pricipy. Získaé zalosti a praktické dovedosti pak oceíte při studiu ásledujících kapitol věovaých především logickým fukcím a základům teorie grafů. 2. Variace Základí pojmy variace, permutace a kombiace zavedeme etradičě, s využitím pojmu zobrazeí (fukce). Nejprve dokážeme matematickou idukcí ásledující větu. Věta 2... Libovolá -prvková možia X má právě 2 podmoži. Důkaz. Nejprve dokážeme, že věta platí pro = 0. Pro X = skutečě existuje jediá podmožia (prázdá možia), tj. Nechť pro -prvkovou možiu X platí, že má 2 ( ) 0 2 =. podmoži. Uvažujme + prvkovou možiu X { a}. V takovém případě se počet podmoži zvětší o počet všech podmoži typu ξ { a}, kde ξ je libovolá podmožia možiy X. Dostaeme tedy: + { a} X = 2 + 2 = 2.2 = 2. 7

Věta 2.. 2. Nechť X a Y jsou koečé možiy takové, že X = k a Y =. Pak počet všech možých zobrazeí f : X Y je rove k. Variace s opakováím Důkaz. Dokážeme matematickou idukcí vzhledem ke k (při pevě zvoleém ). Nechť X je jedoprvková možia, tedy k =. Z defiice zobrazeí plye, že uvažovaý prvek má právě jediý obraz v možiě Y. Existuje tedy právě růzých zobrazeí, tj. =. Nechť uvedeá věta platí pro ějakou k-prvkovou možiu X. Přidáme prvek a, tím vytvoříme ( ) k + prvkovou možiu X { a}. Přidáím prvku a se počet zobrazeí pro každé původě uvažovaé zobrazeí f : X Y zvětší -krát, takže celkový počet zobrazeí bude Uvedeá věta tedy platí pro každé,. + k k. =. Defiice 2... Nechť X a Y jsou koečé možiy takové, že X = k a Y =. Pak každé zobrazeí f : X Y se azývá variace k-té třídy z prvků s opakováím. Počet všech variací k-té třídy z prvků s opakováím je podle předcházející věty rove * k ( ) V = k. Pozámka. Variace s opakováím jsou v podstatě uspořádaé k-tice prvků (s opakováím) z možiy Y, které jsou obrazem prvků možiy X v daém zobrazeí f. Příklad 2... Vypočteme, kolik existuje růzých třímístých čísel zapsaých v desítkové soustavě. Je zřejmé, že se číslice mohou opakovat, tj. a každé pozici může být obecě libovolá číslice z možiy { 0,, 2,...,9}. Proto použijeme vzorce pro variace třetí třídy z 0 prvků: ( ) V = Vyloučíme-li čísla začíající číslicí 0 a prví pozici, * 3 3 0 0. dostaeme 2 9.0.0 = 9.0. Úkoly.. Výtah s r pasažéry zastavuje postupě v podlažích. Kolika růzými způsoby mohou pasažéři vystoupit? 2. Kolik existuje růzých matic typu s prvky z možiy { 0,, 2,...,9}? Věta 2..3. Nechť X a Y jsou koečé možiy, přičemž X = k a Y =. Potom počet všech možých prostých (ijektivích) zobrazeí f : X Y 2..., -. je rove ( )( ) ( k + ) Důkaz se provádí aalogicky jako u věty 2..2. 8

Defiice 2..2. Nechť X a Y jsou koečé možiy, přičemž X = k a Y =. Pak každé prosté zobrazeí f : X Y se azývá variace k-té třídy z prvků bez opakováí. Počet všech variací k-té třídy z prvků bez opakováí je podle předcházející věty rove ( ) = ( )( ) ( + ) V 2..., - k. k Pozámka. Variace bez opakováí jsou v podstatě uspořádaé k-tice prvků (bez opakováí) z možiy Y, které jsou obrazem prvků možiy X v daém zobrazeí f. Příklad 2..2. Určíme počet růzých třímístých čísel (zapsaých v desítkové soustavě) takových, že se žádá z číslic emůže opakovat. Jde zřejmě opět o variace třetí třídy z 0 prvků, ale s podmíkou, že se číslice esmí opakovat. Obecě platí: V 3 ( 0) = 0.9.8 = 720. Jestliže vyloučíme čísla začíající číslicí 0 a prví pozici, dostaeme 9.9.8 = 646. Variace bez opakováí Úkoly.. Dokažte větu 2..3 matematickou idukcí. 2. Výtah s r pasažéry zastavuje postupě v podlažích. Kolika růzými způsoby mohou pasažéři vystoupit za předpokladu, že žádí dva z ich evystoupí ve stejém podlaží? 2.2 Permutace Pojem permutace zavedeme jako speciálí případ variací pro k =. Defiice 2.2.. Variace -té třídy z prvků možiy X bez opakováí se azývá permutace možiy prvků bez opakováí. Jejich počet je P = 2... 2. =!, (podle věty 2..3) rove ( ) ( )( ) Permutace bez opakováí kde! je fukce defiovaá a možiě.,, přičemž 0! =. Pozámka. Permutace je vlastě prosté zobrazeí možiy X a sebe. Předpokládejme, že jsou prvky možiy X srováy v ějakém pořadí. Potom permutace představuje pouhé přerováí prvků. Uvažujme apř. možiu X { a b c d} zapsat takto: =,,,. Jedu z jejich možých permutací můžeme a b c d π =, b d c a kde v prví řádku jsou seřazey prvky možiy X zpravidla v ějakém přirozeém pořadí a ve druhém řádku jejich obrazy v zobrazeí π : X X.. V ašem případě platí: ( ) ( ) ( ) ( ) π a = b, π b = d, π c = c, π d = a. 9

Zajímavá je grafická reprezetace permutace pomocí cyklů [5]. V tomto případě se postupuje tak, že prvky možiy X zázoríme jako body v roviě a pak zakreslíme šipky od každého prvku x k prvku π ( x). Příklad 2.2.. Uvažujme skupiu 2 osob stojících v řadě ebo v zástupu. Kolik existuje růzých způsobů jejich rozmístěí? Je zřejmé, že jde o permutace, přitom a pořadí samozřejmě záleží. Podle defiice 2.2. je počet růzých rozmístěí rove P ( 2) = 2! = 47900600. Příklad 2.2.2. Vyřešme yí úlohu rozmístěí 2 osob kolem kulatého stolu za doplňující podmíky, že rozmístěí jsou růzá, pokud má každá z osob růzé sousedy. V tomto případě musíme uvážit, že vždy 2 rozmístěí, které se liší je posuutím v kruhu, lze považovat za stejá. Proto bude celkový počet růzých rozmístěí podstatě meší, rový 2!! 3996800. 2 = = Úkoly.. Kolika způsoby lze rozmístit 6 lvů v kruhové maéží, pokud se šelmy pohybují po obvodu maéže? 2. Kolik slov (včetě esmyslých ) lze vytvořit z 0 růzých písme abecedy, pokud je seřadíme za sebou? Permutace s opakováím V řadě kombiatorických úloh se pracuje s pojmem permutace s opakováím, přesěji permutace skupiy (eí to možia!) objektů, z ichž ěkteré jsou stejé (erozlišitelé). Předpokládejme, že z těchto objektů je objektů. druhu, 2 objektů 2. druhu,..., k objektů k-tého druhu. Každé z možých, vzájemě růzých rozmístěí těchto objektů azveme permutace objektů s opakováím. Jejich celkový počet je dá formulí: kde k i= i =.! P ( ;, 2,..., k ) =,!!...! 2 k Důkaz. Představme si, že objekty téhož druhu ějakým způsobem rozlišíme (apř. barvou ebo idexováím). Pak by byl počet permutací (vzájemě růzých rozmístěí) rove!. Ve skutečosti bude podstatě meší. Uvážíme-li, že i objektů i-tého druhu lze rozmístit i! způsoby, i =, 2,.., k, dostaeme pro celkový počet vzájemě růzých rozmístěí výše uvedeý vzorec. 20

Příklad 2.2.3. Vyřešíme ásledující úlohu: Kolik růzých slov (včetě esmyslých) je možo vytvořit z písme slova MATEMATIKA? Uvedeé slovo sestává z 0 písme, přitom obsahuje tři písmea A, dvě písmea M, dvě písmea T a po jedom písmea E, I, K. Proto dostaeme 0! P ( 0;3, 2, 2,,, ) =. 3!2!2!!!! Úkol. Kolik růzých slov (včetě esmyslých) je možo vytvořit z písme ásledujících slov: INFORMATIKA, PODPROGRAM a PROCEDURA. 2.3 Kombiace Také kombiace zavedeme etradičě, vyjdeme přitom z defiice pojmu kombiačí číslo. Defiice 2.3.. Nechť, k jsou ezáporá celá čísla, k. Potom fukce obou proměých, k defiovaá vztahem k ( i) ( )( ) ( + ) 2... - k i= 0! = = = k k! k! ( k )! k! Kombiačí číslo se azývá kombiačí číslo ebo biomický koeficiet. Obě defiice jsou přirozeě ekvivaletí. Prví z ich je ovšem pro praxi vhodější, protože při výpočtu poskytuje meší mezivýsledky. Kombiačím číslům a jejich vlastostem se budeme věovat později. Věta 2.3.. Nechť X je libovolá -prvková možia. Pak počet všech jejích k-prvkových podmoži je rove kombiačímu číslu. k Důkaz (podle [5]). Spočítáme dvěma způsoby všechy uspořádaé k-tice, které lze vytvořit z prvků možiy X (bez opakováí). Na jedé straě je teto počet dá počtem variací k-té třídy z prvků bez opakováí, je tedy ( ) 2)... - +. Na straě druhé můžeme z jedé k- rove ( ) ( k ) prvkové podmožiy možiy X (takových podmoži je ) vytvořit k! k růzých uspořádaých k-tic a každou takovou uspořádaou k-tici dostaeme z jedé podmožiy právě jedou. Proto musí platit: ( )( 2 )... ( - k + ) = k!. k 2

Kombiace bez opakováí Kombiace s opakováím Defiice 2.3.. Každá k-prvková podmožia -prvkové možiy X se azývá kombiace k-té třídy z prvků bez opakováí. Pro jejich celkový počet Ck ( ) platí: C ( ). k = k Pozámka. Při vytvářeí k-prvkových podmoži zřejmě ezáleží a pořadí, ve kterém prvky vybíráme Příklad 2.3.. Kolika způsoby lze a čtvercové šachovici (o 64 polích) vybrat tři pole tak, aby všecha vybraá pole eměla stejou barvu (viz [7])? Je zřejmé, že libovolá tři pole můžeme vybrat celkem 64 C3 ( 64) = = 4 664 způsoby. Nyí určíme počet všech trojic 3 složeých jeom z bílých polí. Takových trojic bude C 3 32 32 = = 4 960. 3 ( ) z čerých polí. Proto řešeím úlohy bude: Právě tolik bude i trojic vytvořeých pouze 64 32 2. = 3 744. 3 3 Příklad 2.3.2. Při oslavě se připíjelo a zdraví. Pozorovatel zaregistroval právě 66 ťukutí. Kolik bylo přítomých za předpokladu, že si každý účastík přiťukul se všemi ostatími? Nechť x je počet x účastíků. Potom musíme řešit rovici = 2 66 eboli x x 32 = 0. 2 Uvedeá kvadratická rovice má dva reálé kořey: 2 a -. Druhý z kořeů emá ovšem smysl, takže účastíků bylo 2. Úkol. Z balíčku 32 karet se áhodě vyberou tři karty. Kolika způsoby lze vybrat: a) právě jedo eso. b) ejméě jedo eso, c) ejvýše jedo eso? V ěkterých kombiatorických úlohách se vyskytuje pojem kombiace s opakováím. Jde o vytvářeí kombiací k-té třídy (k prvků) z prvků za předpokladu, že se každý prvek může ve výběru vyskytovat vícekrát. Defiice 2.3.2. Kombiace k-té třídy z prvků s opakováím je libovolý výběr k prvků z růzých druhů prvků, ve kterém ezáleží a pořadí vybíraých prvků. Přitom se předpokládá, že prvky daého druhu jsou erozlišitelé. Věta 2.3.2. Počet kombiací k-té třídy z prvků s opakováím urče vztahem 22

* + k + k Ck ( ) = =. k Důkaz. Každý výběr k prvků z růzých druhů zakódujeme řetězcem ul (reprezetují rozhraí mezi objekty růzých druhů) a jediček (reprezetují prvky). Tak apř. řetězec 00 reprezetuje výběr, jež zahruje dva prvky prvího druhu, tři prvky druhého a jede prvek třetího druhu. V obecém případě má takový řetězec délku + k, protože obsahuje právě k jediček a rozhraí. Každý řetězec je jedozačě urče tím, a kterých pozicích jsou jedičky, resp. a kterých pozicích jsou uly. Úlohu je tedy možo převést a problém určit, kolika způsoby lze vybrat k pozic pro jedičky (ebo pozic pro uly) z celkového počtu + k. Tím je vztah ve větě 2.3.2 dokázá. Příklad 2.3.3. Představme si, že v cukrárě mají tři druhy zákusků: věečky, trubičky a marokáky. Spočteme, kolika růzými způsoby je možo zakoupit celkem 7 zákusků. V ašem případě je = 3 a k = 7. * Řešeím daé úlohy je proto C ( ) 7 9 9 3 = = = 36. 7 2 Úkol. Kolik existuje růzých trojúhelíků, jejichž délky stra jsou přirozeá čísla z možiy { 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 }. Každý trojúhelík je jedozačě urče délkami svých stra, tj. třemi čísly, které musí splňovat trojúhelíkovou erovost. 2.4 Kombiatorické pricipy V této části se budeme věovat třem základím kombiatorickým pricipům: A) pricipu součtu, B) pricipu součiu, C) pricipu ikluze a exkluze. Navíc se sezámíte s tzv. Dirichletovým pricipem a jeho využitím v kombiatorických úvahách. A. Kombiatorický pricip součtu Teto pricip se zakládá a ásledující větě. 23

Pricip součtu Věta 2.4.. Nechť A, A2,..., A k jsou koečé možiy s mohutostí postupě, 2,..., k. Jsou-li tyto možiy po dvou disjuktí, pak je mohutost možiy U Ai rova k i= k i=. i Důkaz této věty je elemetárí, proto jej poechávám čteáři. Při aplikaci uvedeého pricipu se ejprve celek (možia všech možostí realizace uvažovaého jevu) rozloží a disjuktí podmožiy a ásledě se určí mohutosti jedotlivých podmoži. Řešeím úlohy je pak součet mohutostí všech podmoži. Příklad 2.4.. Určíme počet všech přirozeých čísel meších ež 200 takových, že kočí číslicí 3. Nechť A ozačuje možiu všech jedociferých čísel kočících trojkou, A 2 možiu všech dvouciferých čísel kočících trojkou a koečě A 3 možiu všech trojciferých čísel meších ež 200 a kočících trojkou. Pak zřejmě dostaeme: { } A { } A = 3, = 3,23,33, 43,53,63,73,83,93, 2 A 3 = { 03,3,23,33,43,53,63,73,83,93 }. Pro mohutosti těchto moži platí: =, 2 = 9, 3 = 0. Počet všech přirozeých čísel meších ež 200 a kočících trojkou je rove 3 i= = 20. i Úkoly.. Morseovka. Uvažujte čtyřmístý kód s abecedou {., }. Kolik růzých zaků (písme, číslic, pomocých zaků) lze takto zakódovat? 2. Brailleovo písmo. Představte si, že jedotlivé zaky jsou reprezetováy zvýrazěím růzých kombiací růzého počtu výstupků a šestibodové matrici. Určete kolik růzých zaků lze vyjádřit v Brailleově 6-bodovém systému. Návod: všechy možé zaky ejprve rozdělte do disjuktích moži A,..., A 6, kde A k ozačuje možiu všech možých zaků s právě k zvýrazěými výstupky. B. Kombiatorický pricip součiu Pricip součiu Toto kombiatorické pravidlo je založeo a ásledujícím tvrzeí: Počet všech uspořádaých k-tic, jejichž prví čle lze vybrat způsoby a 24

každý další čle postupě 2, 3,..., k způsoby, je rove k i= =.. L.. i 2 k Příklad 2.4.2. Kolik trojciferých čísel lze vytvořit z číslic 0,, 2, 3 bez opakováí za předpokladu, že číslo esmí začíat ulou? Je zřejmé, že číslici ejvyššího (druhého) řádu můžeme vybrat 3 způsoby (, 2 ebo 3), číslici prvího řádu také 3 způsoby (esmí to být číslice již vybraá) a číslici ultého řádu 2 způsoby (esmí to být dvě číslice již vybraé). Celkový počet možostí je tedy 3.3.2 = 8. Úkoly.. Vyjděte z řešeí předcházejícího ilustrativího příkladu a určete: a) kolik z těchto 8 možých trojciferých čísel je dělitelých 0, b) kolik z těchto 8 čísel je sudých. 2. Určete, kolika způsoby lze sestavit trojčleou posádku raketopláu (velitel, pilot, výzkumík), jestliže jsou k dispozici 5 kadidátů a fukci velitele, 3 kadidáti a fukci pilota a 4 kadidáti a fukci výzkumíka. 3. Krotitel má přivést do aréy 5 lvů a 4 tygry. Kolika způsoby to lze zařídit za předpokladu, že a pořadí tygrů i lvů záleží a přitom žádí 2 tygři emohou jít bezprostředě za sebou (musí být mezi imi lev). Návod: ejprve rozmístěte lvy a pak do 6 zbývajících míst (a počátku, mezi lvy a a koci) umístěte tygry. C. Kombiatorické pricip ikluze a exkluze Teto pricip se používá v případech, kdy chceme spočítat mohutost sjedoceí koečého počtu koečých moži, jestliže záme mohutosti všech jejich průiků. Vychází se přitom z ásledující věty. Věta 2.4.2. Nechť A, A2,..., A je ějaký systém koečých moži. Pak platí: Pricip ikluze a exkluze U i= ( ) 2 A = A A A + A A A... + A A... A. i i i j i j k i= i< j i< j< k Důkaz této věty, dokoce ěkolika růzými metodami, alezete v moografii [5]. Příklad 2.4.3. Určíme počet přirozeých čísel od do 00, které ejsou dělitelé 3 ai 5. Nechť fukce x začí celou část reálého čísla x, t.j. 25

Dirichletův pricip ejvětší celé číslo, pro ějž x < x. Možiy, s imiž budeme pracovat, si ozačíme takto: { } { } { } A =,2,..., 00, A = A; 3, A = A; 5. Pro jejich 3 5 mohutosti zřejmě platí: A = 00, A3 = 00 / 3 = 33, A5 = 00 / 5 = 20 a A3 A5 = 00 /5 = 6. Hledaý počet přirozeých čísel splňujících zadáí je tedy A3 A5 = A A3 A5 + A3 A5 = 00 33 20 + 6 = 53. Úkoly.. Eratostheovo síto. Kolik čísel zbude z možiy {,2,..., 000 }, když vyloučíme všechy ásobky čísel 2, 3, 5, 7 a? 2. Kolik existuje přirozeých čísel meších ež 00, která ejsou dělitelá druhou mociou žádého přirozeého čísla většího ež? Jestliže ezáme mohutosti všech průiků, emůžeme určit mohutost sjedoceí všech moži přesě. Představte si, že záte mohutosti všech průiků až do k-ásobých včetě, ale mohutosti průiků většího počtu moži ikoliv. V takovém případě se k odhadu chyby, které se dopustíte vyecháím čleů, jejichž velikost ezáte, používají tzv. Boferroiho erovosti. Podle těchto erovostí bude mít uvažovaá chyba stejé zaméko jako prví vyechaý čle. Na závěr této části uvedeme jedoduchou formulaci tzv. Dirichletova pricipu (přihrádkového pricipu). Jestliže umístíme m objektů do přihrádek za předpokladu m >, pak musí existovat alespoň jeda přihrádka, v íž budou ejméě dva objekty. Příklad 2.4.4. Mějme krabicí, jež obsahuje 0 čerých a 20 bílých poožek. Z této krabice budeme aslepo po jedé vytahovat poožky s cílem získat alespoň jede pár stejé barvy. Kolik poožek budeme muset ejméě vytáhout? V tomto případě máme dvě přihrádky (jedu s čerými a druhou s bílými poožkami), tedy = 2. Abychom dosáhli staoveého cíle, stačí vytáhout tři poožky ( m = 3 ). Podobě lze dokázat, že v Praze existují ejméě dva lidé, kteří mají přesě stejý počet vlasů. Stačí totiž uvážit, že počet vlasů u člověka epřevyšuje 000000. 2.5 Kombiačí čísla Pojem kombiačího čísla (biomického koeficietu) byl již zavede defiicí 2.3.. Tuto defiici je možo rozšířit takto. 26

Defiice 2.5.. Nechť x je reálé číslo a k ezáporé celé číslo. Pak x kombiačí číslo je fukce proměých x a k defiovaé vztahem k Pomocí této defiice lze psát apř.: x = x x 3 6 ( )( ) ( + ) x x x x 2... x k =. k k! ( )( x 2) ( ) ( ) ( ). 2. 3 ebo = 3 3.2. =. Nyí si dokážeme ěkteré výzamé vlastosti kombiačích čísel. Pro celá ezáporá čísla, k ( k ) platí =. k k (2.) Důkaz tohoto tvrzeí je triviálí. Z hlediska kombiatoriky to zameá, že počet k-prvkových podmoži -prvkové možiy je stejý jako počet podmoži obsahujících k prvků. Stačí uvážit, že každé k-prvkové podmožiě lze jedozačě přiřadit její doplěk. V praxi se často používá vzorec pro součet kombiačích čísel + =. (2.2) k k k Důkaz (viz [5]). Pravá straa (2.2) udává počet k-prvkových podmoži -prvkové možiy X. Vybereme libovolý prvek a X a všechy k-prvkové podmožiy X rozdělíme do dvou skupi podle toho, zda obsahují či eobsahují prvek a. Podmožiy eobsahující prvek a jsou a, a je jich celkem. k Je-li A ějaká k-prvková podmožia X obsahující prvek a, můžeme jí právě všechy k-prvkové podmožiy X \{ } zřejmě jedozačě přiřadit ( ) = \. Proto * k -prvkovou možiu A A { a} počet k-prvkových podmoži X obsahujících prvek a je celkem. k Odtud už dostaeme pro celkový počet k-prvkových podmoži možiy X výraz +. k k 27

Pascalův trojúhelík Biomická věta Se vztahem (2.2) souvisí tzv. Pascalův trojúhelík: 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 M M 0 Vrcholem tohoto trojúhelíku ke kombiačí číslo =. Každý 0 ásledující řádek schématu se vytváří tak, že pod dvojici čísel předcházejícího řádku se zapíše jejich součet a a okrajích (zleva i zprava) se doplí jedičky. Idetita (2.2) je vhodá i k důkazu biomické věty + = ( x) k x (2.3) k = 0 k matematickou idukcí podle proměé. Důkaz. Pro = vztah (2.3) zřejmě platí, eboť + x = + x = + x. Předpokládáme, že vztah platí pro libovolé 0 ( ) 0., a dokážeme jeho platost i pro 0 +. + = + + = + = k = 0 k 0 0 0 0 + 0 k 0 k 0 + k 0 l = x x x x k = 0 k + k = 0 k = + = k = 0 k l= l ( ) ( ) ( ) 0 0 + 0 0 k x x x x ( x) 0 0 + 0 + l 0 0 l 0 + = x + = x. l= 0 l l= l l= 0 l Tím je biomická věta dokázáa. Z biomické věty lze odvodit celou řadu vztahů pro biomické koeficiety. Nejjedodušší z ich dostaeme dosazeím x =. + + +... + = 2. 0 2 Celkový počet podmoži -prvkové možiy je rove součtu počtů prvků podmoži s mohutostí 0,, 2,...,. Z dalších idetit platých pro biomické koeficiety uvedeme 28

k = 0 2 2 =. k Důkaz. Nejprve sumu a levé straě upravíme s použitím idetity (2.) a tvar k = 0. k k Tato suma je rova počtu -prvkových podmoži možiy obsahující 2 prvků. Uvažme 2-prvkovou možiu X takovou, že prvků je obarveo červeě a zbývajících prvků modře. Chceme-li vybrat libovolou podmožiu X, pak stačí vybrat ějakou k-prvkovou podmožiu červeých prvků a ějakou ( k ) { } -prvkovou podmožiu modrých prvků, k 0,,...,. Při pevě zvoleém k máme pro výběr červeé podmožiy k možostí a pro výběr modré podmožiy k možostí, celkem tedy k = 0 k k možostí. 2.6 Kombiatorické počítáí V této části ukážeme, jak aplikovat základí pozatky z kombiatoriky při výpočtu klasické pravděpodobosti jevů a základě Laplaceovy defiice. Defiice 2.6.. (Laplaceova defiice pravděpodobosti). Nechť určitý áhodý pokus může vykázat celkem růzých, vzájemě se vylučujících výsledků, které jsou a podkladě symetrie a homogeity stejě možé. Jestliže m z těchto výsledků má evyhutelě za ásledek astoupeí určitého jevu A, kdežto zbývajících m výsledků jej vylučuje, pak pravděpodobost jevu A je dáa vztahem Pravděpodobost jevu m ( ) =. P A Pozámka. Na středí škole se tato klasická defiice pravděpodobosti formuluje takto. Pravděpodobost daého áhodého jevu A je dáa poměrem počtu výsledků přízivých astoupeí jevu A a počtu všech možých výsledků áhodého pokusu. V souladu s Lapalaceovou defiicí můžeme pravděpodobost P ( A ) považovat za fukci jevu A. Tato fukce má ásledující vlastosti. Pro každý jev platí P ( A) 0. 29

. Pravděpodobost jistého jevu Ω je jedotková, tj. P ( Ω ) =. 2. Jestliže se ějaký jev A skládá z dílčích jevů A, A2,..., A, pak Vlastosti pravděpodobosti = i= ( ) P( A ) P A 4. Pravděpodobost jevu A (jevu opačého k A) je P ( A) = P( A) i.. 5. Pravděpodobost jevu emožého je rova ule, tj. P ( ) = 0. 6. Jestliže z jevu A plye jev B, pak platí P ( A) P ( B). 0. 7. Pro pravděpodobost libovolého jevu platí P( A) Pozámka. Na základě uvedeých vlastostí pravděpodobosti můžeme řešit jedoduché kombiatorické úlohy. Další vlastosti klasické pravděpodobosti jsou popsáy apř. ve skriptech [3]. Příklad 2.6.. Někdo má v kapse N růzých klíčů a chce potmě otevřít dveře svého bytu. Vyjímá aslepo z kapsy jede klíč po druhém a zkouší jimi otevřít dveře. Určíme pravděpodobost, že pří k-tém pokusu zvolí správý klíč? Počet všech možých pořadí, jak vyjímat klíče, je zřejmě rove počtu permutací možiy N prvků, tedy N!. Předpokládejme, že všechy permutace jsou stejě možé. Musíme tedy určit, kolik je takových permutací, při ichž stojí správý klíč a k-tém místě. Odpověď je jedoduchá. Existuje právě ( N )! takových permutací, takže hledaá pravděpodobost je ( N )! =. N! N Pravděpodobosti toho, že správý klíč pade do ruky při prvím, druhém,..., posledím N-tém pokusu, jsou stejé a rovají se. N Příklad 2.6.2. Výtah s M pasažéry zastavuje postupě v N patrech ( M < N ). Určíme pravděpodobost jevu A, který spočívá v tom, že v žádém patře evystoupí více ež jede pasažér. Celkový počet růzých rozmístěí pasažérů do pater je zřejmě rove počtu M variací M-té třídy z N prvků s opakováím, tj. výrazu N. Kolik je však způsobů rozmístěí přízivých jevu A? Hledaý počet je tetokrát dá počtem variací M-té třídy z N prvků bez opakováí, tj. výrazem ( )...( ). ( ) ( + ) P ( A) N N N M + Pro hledaou pravděpodobost tedy platí N N... N M N! = = M M N N N M ( ).! 30

Příklad 2.6.3. Z hromádky 32 karet (4 barvy po 8 kartách) se áhodě vybere k karet ( k > ). Určíme pravděpodobost toho, že mezi vybraými kartami bude alespoň jedo eso. Ozačme symbolem k vybraými kartami ( i m mi { k, 4} A i jev, který spočívá v alezeí právě i es mezi = ) a symbolem A jev spočívající v tom, že mezi k vybraými kartami bude alezeo alespoň jedo eso. Možia všech možých výsledků áhodého pokusu je tvořea všemi kombiacemi k-té třídy z 32 prvků, počet těchto kombiací je rove kombiačímu číslu 32. k takto. Jedo eso lze vybrat Počet výsledků přízivých jevu A určíme 4 růzými způsoby a zbývající karty 28 v počtu k celkem způsoby, takže počet přízivých případů je k (podle pricipu součiu) rove součiu obou uvedeých kombiačích čísel. Pro hledaou pravděpodobost tedy platí ( ) P A 4 28 k =. 32 k Aalogicky staovíme i pravděpodobosti jevů A, i = 2, 3,..., m. Zřejmě platí: ( ) P ( A ) P A 2 4 28 4 28 2 k 2 m k m =,..., m =. 32 32 k k Jev A se ovšem skládá ze vzájemě eslučitelých jevů A, A2,..., A m, proto m = i= ( ) P( A ) P A i. i Příklad 2.6.4. Dítě si hraje s písmey M, M, A, A, A, T, T, E, I, K. Jaká je pravděpodobost, že se mu podaří při áhodém řazeí písme za sebou vytvořit slovo MATEMATIKA? 3

Ozačme uvažovaý jev symbolem A. Kdyby byla všecha písmea rozlišitelá (apř. velikostí, typem ebo barvou), pak by byl počet všech možých výsledků pokusu rove počtu permutací možiy těchto 0 písme, tj. 0!. Přirozeě se předpokládá, že mezi uvažovaými písmey jsou dvě avzájem erozlišitelá písmea M, tři erozlišitelá písmea A a dvě erozlišitelá písmea T. Proto permutace, které se liší traspozicí (záměou) písme M (takových je celkem 2!) a/ebo traspozicí písme A (celkem 3!) a/ebo traspozicí písme T (celkem 2!) představují jede a tetýž výsledek pokusu. Z uvedeého je zřejmé, že počet všech vzájemě růzých výsledků pokusu je 0!. ( 2! 3! 2! ) Pouze jediá z těchto permutací je přízivá jevu A, takže pro hledaou pravděpodobost dostaeme 2! 3! 2! P ( A ) = 0, 00000066. 0! Metodám řečeí kombiatorických úloh jsou věováy speciálí moografie, apř. [9]. Úkoly.. Číslice, 2,..., jsou áhodě uspořádáy do poslouposti (řetězce). Jaká je pravděpodobost toho, že číslice a 2 stojí vedle sebe právě v tomto pořadí? 2. Ve studijí skupiě je celkem 30 studetů. Jaká je pravděpodobost jevu, že žádí dva studeti (popř. více studetů) eslaví arozeiy téhož de? Předpokládejte, že rok má přesě 365 dů. 3. V sérii výrobků je k zmetků. Určete pravděpodobost jevu, že mezi m áhodě vybraými výrobky bude právě r zmetků. 4. Z deseti losů vyhrávají dva. Určete pravděpodobost toho, že z pěti áhodě vybraých losů a) vyhrává právě jede, b) vyhrává ejméě jede, c) vyhrává ejvýše jede. 5. V krabici se achází 5 červeých, 9 modrých a 6 zeleých kuliček. Jaká je pravděpodobost toho, že mezi šesti áhodě vybraými kuličkami bude jeda zeleá, dvě modré a tři červeé? 6. Určete pravděpodobost výhry prví, druhé, třetí a čtvrté cey v Sazce. Sázkař tipuje výsledky 2 utkáí ( - výhra domácích, 0 erozhodě, 2 výhry hostí). Prví ceu vyhraje te, kdo uhode výsledky všech 32