ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY"

Transkript

1 ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava a Západočeská uiverzita v Plzi

2 Michael Kubesa Základy diskrétí matematiky c Michael Kubesa, 2011 ISBN

3 Předmluva Vážeí čteáři, teto učebí text je a bude dyamický, tz. bude průběžě doplňová, opravová a vylepšová. Autor Vám bude vděče, pokud jej jakýmkoliv možým způsobem upozoríte a případé chyby, možá doplěí a vylepšeí. Zároveň se autor omlouvá, že text eí zatím vybave obrázky. Bude apraveo! V Ostravě Michael Kubesa iii

4 Obsah Předmluva iii 1 Úvod Možiy, podmožiy a operace s imi Poslouposti, sumy a produkty Horí a dolí celá část reálého čísla Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Základí kombiatorické výběry Permutace bez opakováí Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Kombiace bez opakováí Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Variace bez opakováí Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Permutace s opakováím Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Kombiace s opakováím Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Variace s opakováím Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Složeé výběry Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí iv

5 3 Diskrétí pravděpodobost Náhodé jevy a pravděpodobostí prostor Závislé a ezávislé áhodé jevy Náhodá proměá a středí hodota áhodé proměé Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Důkazy v diskrétí matematice Dirichletův pricip Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Relace a zobrazeí Biárí a -árí relace a možiě A Relace ekvivalece Relace částečé uspořádáí Zobrazeí Bijekce koečé možiy A a sebe ebo-li permutace Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí Pricip ikluze a exkluze 119 Příklady k procvičeí Literatura 128 Rejstřík 129 v

6 1 Kapitola 1 Úvod Pojem diskrétí matematika eozačuje jakousi taktí, ohleduplou či šetrou matematiku, ale matematiku espojitou. Již od pradáva lidé při zkoumáí okolí reality používali dva zcela odlišé filozofické přístupy. Oba shodě pracovaly s představou, že Svět se skládá z ějakých základích (dále edělitelých) částic, přičemž prví přístup říkal, že v jakémkoliv okolí (sebemeším) libovolé základí částice je vždy ějaká jiá základí částice (spojitá ebo-li kotiuálí představa Světa) a druhý, že ke každé základí částici umíme ajít takové okolí, že v ěm žádá další základí částice eí (espojitá představa Světa). Je třeba dodat, že tyto dva přístupy si při zkoumáí objektiví reality (pokud existuje) eodporují, ale aopak se doplňují. Pohled spojitý je v deší techické praxi uplatňová při tvorbě tzv. aalogových přístrojů, zatímco espojitý v případě digitálích. Protože žijeme v době bouřlivě se rozvíjející digitalizace, je přirozeé, že espojitá představa Světa abývá vrchu. Nejdramatičtější rozvoj diskrétí matematiky je proto eoddělitelě spoje s rozvojem digitálí počítačové techiky, jež probíhá od poloviy 20. století do deších dů. Uvědomme si, že matematika při zkoumáí Světa ahrazuje jedotlivé objekty čísly a k tomu si vytvořila růzé číselé možiy. Zopakujme si je. Možiu přirozeých čísel budeme začit N a N = {1, 2, 3,... }. Na tomto místě si ihed řekěme, že v diskrétí matematice často přidáváme do možiy přirozeých čísel ulu, takovou možiu budeme začit N 0. Dále záme možiu celých čísel Z, kde Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }, možiu racioálích čísel Q, kde Q = { p : p Z, q N} a možiu reálých čísel q R, kde R = Q I, přičemž I je možia iracioálích čísel, to jsou ta, která elze vyjádřit číslem racioálím (apř. 2, 3, π, e = 2, ). Zmiňme ještě možiu komplexích čísel C, kde C = {a + bi : a, b R, i 2 = 1}. Jistě jste si všimli, že číselé možiy N a Z vlastě charakterizují Svět espojitý a proto jsou téměř všecha zkoumáí v diskrétí matematice popsatelá právě těmito čísly. Zatímco apříklad matematická aalýza (kotiuálí matematika) se při svých výzkumech eobejde bez čísel reálých.

7 2 Úvod 1.1 Možiy, podmožiy a operace s imi Již v úvodu jsme používali pojem možia, aiž by byl, byť ituitivě, defiová. Možiou rozumíme ějaký souhr vzájemě rozlišitelých objektů, přičemž objektům, které možia obsahuje, říkáme prvky možiy. Možiy obvykle ozačujeme velkými písmey A, B, M, V, U, X, Y... a prvky možiy malými a, b, e, u, v, x, y.... Skutečost, že prvek x do možiy M áleží, zapíšeme x M, zatímco pokud prvek x do možiy M epatří, zapíšeme x / M. Prázdou možiu (možia bez prvků) ozačíme symbolem. Možiy zadáváme: výčtem prvků ebo-li taxativě, apř. M = {5, 7, 9, 11}, charakteristickou vlastostí apř. M = {x N : 5 x 11, x je liché } ebo M = {2k + 1 : k = 2, 3, 4, 5}. Zápis čteme M je možia všech přirozeých čísel x, pro která platí, že jsou lichá a větší ebo rova 5 a meší ebo rova 11 a druhý čteme M je možia všech čísel 2k + 1, kde k projde všechy celočíselé hodoty od 2 do 5. Vidíme, že logická spojka a současě se při zápisu možiy charakteristickou vlastostí může zaměit čárkou. Zak : čteme většiou platí, že a můžeme jej ahradit zakem. Pořadí prvků v možiě ehraje roli, platí tedy {5, 7, 9, 11} = {7, 11, 9, 5}. V předchozí větě jsme použili rovost dvou moži, je přirozeé, že dvě možiy se rovají právě tehdy, když obsahují tytéž prvky. Z výše uvedeého také plye, že každý prvek možiy se v možiě vyskytuje přesě jedou (rozlišitelost), proto apříklad souhr prvků {b, a, d, c}, zatímco souhr {b, a, d, a} bychom museli přepsat apříklad do tvaru {a, b, d}, aby se stal možiou. Protože v matematice občas potřebujeme euspořádaý souhr prvků, kde se ěkteré prvky opakují, zavedeme pojem multimožiy. Multimožia je tudíž euspořádaý souhr prvků, přičemž se prvky mohou opakovat, erozlišitelým prvkům říkáme kopie. Multimožiy budeme v tomto textu začit velkými písmey s hvězdičkou apř. X *. Možiy i multimožiy mohou být koečé i ekoečé, v diskrétí matematice převážě pracujeme s možiami koečými. Obecou koečou eprázdou možiu X zpravidla zapisujeme X = {x 1, x 2,..., x }, kde je libovolé přirozeé číslo. V sezamu prvků tedy vypíšeme prví dva prvky, pak horizotálí trojtečku a prvek posledí. Dodejme, že uvedeý zápis zameá pro = 1, že X = {x 1 } a pro = 2, že X = {x 1, x 2 }. Obecou ekoečou eprázdou možiu zapíšeme X = {x 1, x 2,..., x,... } ebo X = {x 1, x 2,... }, pokud eí obecý -tý prvek jedoduše vyjadřitelý. Počet prvků možiy X zapisujeme X. V případě ekoečé možiy používáme obvykle místo pojmu počet prvků možiy pojem mohutost možiy (začeí zůstává stejé). Vidíme, že pro X = {x 1, x 2,..., x } je X = a = 0. Pokud máme obecou koečou multimožiu X *, která obsahuje 1 kopií prvku x 1, 2 kopií prvku x 2 atd. až kopií prvku x, pak X * =

8 1.1 Možiy, podmožiy a operace s imi 3 Možia X je podmožiou možiy Y, jestliže pro každé x X platí x Y, což zapisujeme X Y. Pokud X Y a existuje prvek y Y, který epatří do X, pak říkáme, že X je vlastí podmožiou Y a zapíšeme X Y. Sado lze vypozorovat, že X = Y právě tehdy, když X Y a Y X. Připomeňme ještě, že pokud X Y, pak tomuto vztahu říkáme ikluze moži X, Y. Podobě lze také defiovat podmultimožiu daé multimožiy. Jsou-li prvky daé možiy také možiy, pak hovoříme raději o systému moži a e o možiě moži. Systém všech podmoži možiy X budeme začit 2 X a budeme mu říkat potečí možia možiy X. Pokud je X =, pak 2 X = { }. Všiměte si, že { } =. Pro koečé možiy X obecě platí, 2 X = 2 X. Teto vztah dokážeme v Kapitole 4. Příklad 1.1. Mějme možiu M = {x Z : 2x 3 + 3x 2 3x 2 = 0}. Určete taxativě možiu 2 M. Řešeí. Možiu M máme zadáu charakteristickou vlastostí, pokusíme se ji vyjádřit výčtem prvků. Musíme tedy ajít všecha celočíselá řešeí rovice 2x 3 +3x 2 3x 2 = 0. Protože jde o rovici třetího řádu, bude uté jede z kořeů odhadout. Neí těžké si uvědomit, že jede z ich je číslo 1. Proto x 1 = 1. Pak ovšem musí platit, že polyom 2x 3 +3x 2 3x 2 jsme schopi zapsat ve tvaru (x 1) P (x). Řešeím rovice 2x 3 + 3x 2 3x 2 = (x 1) P (x) = 0, jsou kromě jedičky také řešeí rovice P (x) = 0, přičemž P (x) = (2x 3 +3x 2 3x 2)/(x 1) = 2x 2 +5x+2. Diskrimiat rovice P (x) = 0 je D = = 9, pak ovšem x 2 = 5+3 = a x 3 = 5 3 = 2. Proto M = { 2, 1}, eboť ás zajímají pouze celočíselá 4 řešeí. Nyí je již jasé, že 2 M = {, { 2}, {1}, { 2, 1}}. Pozor, esmíme psát 2 M = {, 2, 1, { 2, 1}}, protože podmožiou M je jedoprvková možia s prvkem 2 resp. 1, e prvek 2 resp. 1! Sado také ověříme, že 2 M = 4 = 2 2 = 2 M. Při práci s možiami, je dobré zavést pojem uiversa či uiverzálí možiy U. Potom platí, že každá možia, která přichází v úvahu (s kterou pracujeme) je podmožiou U, přičemž možia U charakterizuje ějaký přirozeý celek. Pojem uiversa je tudíž relativí. V matematické aalýze jím je často možia reálých čísel R, zatímco v diskrétí matematice to bývá obvykle N, N 0 ebo Z. S možiami můžeme provádět růzé operace, což zameá, že jedé či více možiám jedozačě přiřadíme ějakou další možiu. Nejjedodušší operací je doplěk (komplemet) možiy v možiě U. Doplěk možiy A začíme A ebo A U a platí A = {x U : x / A} (v A jsou všechy prvky uiversa, které epatří do možiy A). Doplěk možiy je zázorě a obrázku 1.1 tzv. Veovým diagramem. Příklad 1.2. Nalezěte doplňky A Z a A N možiy A = {x N : 1 x 1 2, 1 5 }. Řešeí. Protože 1 1, 1, musí platit, že Teto zápis charakterizuje x x 5 dvě erovice, a to 1 1 a 1 1. Protože je x přirozeé, tedy kladé, sado 2 x x 5 dostaeme výsledek x 2 a x 5. Vidíme, že A = {2, 3, 4, 5}.

9 4 Úvod U A Obr. 1.1 Doplěk ebo-li komplemet možiy A (vyšrafovaá část) Odtud A Z = {... 2, 1, 0, 1, 6, 7, 8,... } a A N = {1, 6, 7, 8,... }. Takové ekoečé možiy umíme ovšem přesěji zapsat charakteristickou vlastostí, proto zvolíme jiý zápis, apříklad A Z = {x Z : x 1 x 6} a A N = {x N : x = = 1 x 6}. Již ze středí školy záme průik A B, sjedoceí A B a rozdíl A B moži A, B. Víme, že platí A B = {x U : x A x B} (v A B jsou všechy společé prvky moži A, B), A B = {x U : x A x B} (viz obr 1.2) (v A B jsou všechy prvky z prví ebo druhé možiy) a A B = {x A : x / B} (v A B jsou všechy prvky možiy A, které epatří do B)(viz obr 1.2). U U A B A B Obr. 1.2 Sjedoceí moži A B a možiový rozdíl A B (vyšrafovaé části) Pro zájemce: Následující příklad je prví ukázkou, jak vést v matematice obecý důkaz. Všiměte si, že probíhá v jedotlivých krocích, přičemž správost každého kroku musí být obhájea ějakým již zámým (tudíž už dokázaým) pravidlem. Matematickým důkazům se budeme pečlivě věovat v Kapitole 4. Příklad 1.3. Dokažte, De Morgaova pravidla A B = A B a A B = A B.

10 1.1 Možiy, podmožiy a operace s imi 5 Řešeí. Pokud X Y a současě Y X, pak X = Y. Této myšleky využijeme v ásledujícím důkazu. Nechť x je libovolý prvek z možiy A B. Potom platí, že x U a x / A B. Výrok x / A B lze přepsat (x A B), kde symbol zameá egaci výroku (opak výroku) v závorce. Víme, že pokud x A B, pak x A x B. Dostáváme tudíž výrok (x A x B). Z výrokové logiky je zámo, že výrok (x A x B) je ekvivaletí s výrokem (x A) (x B), což je výrok x / A x / B. Protože x U, můžeme předešlý výrok přepsat x A x B, z čehož plye x A B. Dokázali jsme, že každý prvek možiy A B je prvkem možiy A B, proto A B A B. Nyí předpokládejme, že x A B. Potom x A x B a odtud (x A) (x B). Předešlý výrok je ekvivavaletí s výrokem (x A x B), což lze přepsat (x A B). Čili prvek x patří do U, ale epatří do A B, proto x A B. V tuto chvíli máme prokázáo, že každý prvek z A B je prvkem A B. Tudíž A B A B. Ověřili jsme platost obou možiových ikluzí A B A B a A B A B, proto musí platit A B = A B. Důkaz druhého De Morgaova pravidla poecháme jako cvičeí. Průik resp. sjedoceí většího počtu moži A 1, A 2,..., A budeme zapisovat A i resp. A i. Tudíž i=1 i=1 A i = A 1 A 2... A i=1 i=1 a A i = A 1 A 2... A. Pokud chceme z moži vybrat je ějakých k, k, pak dolí idexy vybraých moži obecě ozačíme i 1, i 2,..., i k, kde i 1, i 2,..., i k {1, 2,..., }. Průik a sjedoceí těchto vybraých moži pak můžeme zapsat j {i 1,i 2,...,i k } A j = A i1 A i2... A ik a j {i 1,i 2,...,i k } A j = A i1 A i2... A ik. Předešlé možiové operace přiřazovaly jedé či více možiám možiu, jež byla podmožiou téhož uiversa jako možiy původí. Následující operace tuto vlastost emají. Kartézský souči moži A 1, A 2,..., A budeme začit A 1 A 2... A a platí A 1 A 2... A = {(a 1, a 2,..., a ) : a i A i, i = 1, 2,..., }. Kartézský souči moži A 1, A 2,..., A v tomto pořadí je tedy možia všech uspořádaých -tic, kdy prví prvek (také můžeme říci prvek a prví pozici) je z prví možiy, druhý z druhé a tak dále, až -tý z -té možiy. Navíc platí, že A = A =. Dodejme, že zápis i = 1, 2,..., zameá, že idex i projde všecha čísla 1, 2,......,, zatímco zápis i {1, 2,..., } říká, že idex i je ěkteré z čísel 1, 2,...,.

11 6 Úvod Platí-li A 1 = A 2 = = A = A, pak kartézský souči A A... A = A azýváme -tou kartézskou mociou možiy A. Dodejme, že A 1 = A a A 0 = { }. V Kapitole 4 dokážeme platost vztahu A B = A B. Dá se také dokázat zobecěý vztah A 1 A 2... A = A 1 A 2 A. Příklad 1.4. Nechť A = {, }, B = {1, 3, 5} a C = { }. Určete možiy A B, C B, B C, B C A, B 2 a A 3. Řešeí. A B je možia všech uspořádaých dvojic, kde a prví pozici je prvek z A a a druhé prvek z B. Abychom a žádou dvojici ezapoměli, je dobré postupovat systematicky. Nejdříve vezmeme prví prvek z A a a druhou pozici k ěmu budeme postupě přidávat všechy prvky možiy B. Dostaeme dvojice (, 1), (, 3), (, 5). Pak totéž provedeme pro druhý prvek z A a dostaeme dvojice (, 1), (, 3), (, 5). (Pokud by v A existovaly další prvky, budeme takto pokračovat dál.) Tudíž A B = {(, 1), (, 3), (, 5), (, 1), (, 3), (, 5)}. Podobě, C B = {(, 1), (, 3), (, 5)} a B C = {(1, ), (3, ), (5, )}. Všiměte si, že C B B C, tedy kartézský souči eí komutativí. V ašem případě dokoce platí (C B) (B C) = (možiy emají ai jede společý prvek). Připomeňme, že jestliže pro dvě možiy X, Y platí X Y =, pak X, Y azýváme disjuktí možiy. B C A je možia všech uspořádaých trojic, kde 1. prvek je z možiy B, druhý z C a třetí z A. Budeme opět systematičtí. Na prví pozici dáme 1. prvek z B, a druhou prví prvek z C a a třetí postupě všechy prvky z A. Dostaeme (1,, ), (1,, ). Na prví pozici poecháme 1. prvek z B a a druhou bychom dali druhý z C. Te ovšem eexistuje, proto dáme a prví pozici druhý prvek z B, a druhou jediý prvek z C a a třetí postupě všechy prvky z A. Dostaeme uspořádaé trojice (3,, ), (3,, ). Nakoec dáme a prví pozici posledí prvek z B a celou proceduru opakujeme. Dostaeme (5,, ), (5,, ). Proto B C A = {(1,, ), (1,, ), (3,, ), (3,, ), (5,, ), (5,, )} Protože kartézské mociy jsou speciálími případy kartézských součiů, můžeme být stručější a ihed psát B 2 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} A 3 = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )}. Všiměme si, že platí A B = 6 = 2 3 = A B, C B = 3 = 1 3 = C B = = B C = B C, B C A = 6 = = B C A, B 2 = 9 = 3 2 = B 2 a A 3 = 8 = 2 3 = A 3.

12 1.2 Poslouposti, sumy a produkty 7 Příklad 1.5. Určete taxativě možiu 2 X, pokud X = (A B) B 2 a A = = {x N : x 3 3x 2 + 2x = 0} a B = {x R : x = 1 x }. Řešeí. Začěme tím, že si možiy A i B vyjádříme taxativě. V případě možiy A hledáme přirozeá čísla, která splňují rovici x 3 3x 2 +2x = 0. Nalezeme všechy kořey této rovice a vybereme pouze ty, které jsou přirozeými čísly. Protože x 3 3x 2 + 2x = x(x 2 3x + 2) = 0, tak jede z kořeů, řekěme x 1, je 0 a zbývající dvě řešeí x 2, x 3 jsou kořey kvadratické rovice x 2 3x + 2 = 0. Pro hledáí celočíselých kořeů ormovaé kvadratické rovice (před x 2 je jedička) x 2 + px + q = 0 můžeme s úspěchem použít Vietovu větu, která říká, že pro kořey x 1, x 2 musí platit x 1 + x 2 = p a x 1 x 2 = q. V ašem případě tudíž hledáme dvě celá čísla, která v součtu dávají trojku a v součiu dvojku. Ale taková čísla jsou 1 a 2. Proto A = {1, 2}, eboť 0 eí přirozeé číslo. Dodejme ještě, že Vietova věta v obecém zěí hovoří o vztahu kořeů a koeficietů obecé algebraické rovice -tého řádu, tj. rovice a x + a 1 x a 1 x + a 0 = 0, přičemž a i jsou reálá čísla pro všecha i = 1, 2,...,. V případě možiy B hledáme reálá čísla, která se rovají své převráceé hodotě. Taková čísla jsou pouze dvě, a to 1, 1. Proto B = { 1, 1}, A B = {(1, 1), (1, 1), (2, 1), (2, 1)} a B 2 = {( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1), (1, 1)}. Chceme-li určit možiu X = (A B) B 2, pak hledáme prvky možiy A B, které ejsou obsažey v B 2 (Pozor, prvky jsou tetokrát uspořádaé dvojice!). Tudíž X = (A B) B 2 = {(2, 1), (2, 1)}. Ještě zbývá alézt možiu 2 X, což je systém všech podmoži možiy X (prvky jsou podmožiy možiy X). Proto 2 X = {, {(2, 1)}, {(2, 1)}, {(2, 1), (2, 1)}}. Uvědomte si, že zápisy {(2, 1)} a {2, 1} ezameají totéž! Prví ozačuje jedoprvkovou možiu, kde prvkem je uspořádaá dvojice (2, 1), zatímco druhý ozačuje dvouprvkovou možiu, kde prvky jsou čísla 2 a 1. V závěru podkapitoly ještě zavedeme pojem celočíselého itervalu. Symbolem [x, y], kde x, y Z, x y, budeme ozačovat možiu všech celých čísel, která jsou meší ebo rova y a větší ebo rova x. Takové možiě budeme říkat celočíselý iterval od x do y. Platí tedy [x, y] = {a Z : x a y x, y Z x y}. 1.2 Poslouposti, sumy a produkty Každou koečou možiu či multimožiu můžeme úplě (lieárě) uspořádat, tz. určíme jedozačě, který prvek je prví, který druhý... atd. Určíme tudíž jedozačě pořadí každého prvku v možiě. V takto pevě uspořádaé možiě ozačíme prví prvek a 1, druhý prvek a 2 až obecý -tý prvek a. Dostaeme tedy

13 8 Úvod uspořádaou -tici (a 1, a 2,..., a ), kde a i pro i = 1, 2,..., jsou všechy prvky zadaé možiy. Takovou uspořádaou -tici (a 1, a 2,..., a ) budeme azývat koečá posloupost a můžeme ji také zapsat (a i ) i=1. Prvek a i, i {1, 2,..., }, azýváme i-tý čle poslouposti, popřípadě čle poslouposti. Podobě můžeme také uspořádat ekoečé možiy a multimožiy, čímž dostaeme ekoečé poslouposti. Nekoečé poslouposti zapisujeme buď (a 1, a 2,..., a,... ) ebo (a 1, a 2,... ) ebo (a i ) i=1. Dodejme ještě, že připouštíme existeci prázdé poslouposti, tj. poslouposti bez jakéhokoliv čleu. Kokrétí poslouposti můžeme zadávat růzými způsoby. Například tak, že vypíšeme všechy její prvky v daém pořadí, apříklad (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21) (máme-li a mysli koečou posloupost) ebo (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... ) (máme-li a mysli ekoečou posloupost). V obou případech říkáme, že jsme zadali posloupost taxativě ebo-li výčtem prvků. Takové zadáí je v případě poslouposti s moha čley velmi obtížé a v případě ekoečé poslouposti dokoce emožé (Co ásleduje za číslem 21?). Další možost, jak zadat posloupost, je rekuretě. Což zameá, že zadáme předpis pro výpočet -tého čleu a z čleů předchozích, přičemž musíme zát dostatečý počet prvích čleů poslouposti. Jako příklad ám poslouží Fiboacciho posloupost, která bývá zadáváa ásledově: a 1 = a 2 = 1 a a = a 1 + a 2 pro 3. Jistě jste si všimli, že výše uvedeá posloupost (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... ) by mohla být Fiboacciho posloupost. Také můžeme určit posloupost vzorcem pro -tý čle (předpis, jak vypočítat a, pokud záme ). Jako příklad uveďme a = 1 5 (( 1+ 5) ( 1 5) ). Je velmi 2 2 zajímavé, že pokud by jste použili teto vzorec pro = 1, 2,... dostali by jste posloupost (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... ). Jde tudíž opět o Fiboacciho posloupost! Výpočty jedotlivých čleů ze zadaého vzorce jsou docela zdlouhavé, proto zkusme ověřit (pro zájemce) alespoň, že apříklad a 6 je rovo 8. Pro zájemce: Výpočet provedeme bez použití biomické věty, eboť v jejím zápise jsou použita kombiačí čísla s kterými se sezámíme až v ásledující kapitole. Víme, že a 6 = 1 5 (( ) 6 ( ) 6 ). Proveďme substituci a = 5 a uvědomme si, že (1 + a) 6 = (1 + a) 3 (1 + a) 3 a (1 a) 6 = (1 a) 3 (1 a) 3, přičemž (1+a) 3 = 1+a+a 2 +a 3 a (1 a) 3 = 1 a+a 2 a 3. Po rozásobeí vidíme, že a 6 je (1 + 6a + 15a a a 4 + 6a 5 + a 6 ) (1 6a + 15a 2 20a a 4 6a 5 + a 6 ) 2 6. a Z čehož po úpravách dostaeme

14 1.2 Poslouposti, sumy a produkty 9 a 6 = 4a(3 + 10a2 + 3a 4 ) 4a 2 4. Po vykráceí a zpěté substituci máme a 6 = 3+10( 5) 2 +3( 5) 4 = = 128 = = 27 = 2 3 = Na závěr pozameejme, že určit vzorec pro -tý čle Fiboacciho poslouposti eí jedoduché, a tato problematika přesahuje možosti tohoto textu. Celé odvozeí můžete ajít v [MaNe]. Poměrě často se stává, že chceme všechy čley poslouposti (a i ) i=1 sečíst ebo vyásobit. Součet budeme ozačovat symbolem suma a souči symbolem produkt. Pro ozačeí je použito velké řecké sigma a velké řecké pí podle počátečích písme obou slov. Součet a souči všech čleů poslouposti lze tedy zapsat takto a 1 + a a = a i a a 1 a 2 a = i=1 a i. Pokud chceme sečíst ebo vyásobit pouze vybraé čley poslouposti a i1, a i2,..., a ik, kde i j {1, 2,..., } pro každé j = 1, 2,..., k a k, pak píšeme i=1 k a ij j=1 Je však možý i jiý zápis, apříklad J {1,2,...,},j J a j ebo ebo k a ij. j=1 a j. J {1,2,...,},j J Příklad 1.6. Vypočítejte i=1 (i + 2). Řešeí. Nejdříve rozepíšeme sumu i=1 (i+2) = (1+2)+(2+2)+(3+2)+ +(+2). Součet (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + + ( + 2) je součet prvích čleů aritmetické poslouposti, kde a 1 = = 3, a = + 2 a diferece d = 1. Připomeňme, že vzorec pro součet s prvích čleů aritmetické poslouposti je s = (a a ). Odtud i=1 (i + 2) = (+5) ( ) =. 2 2 Jié řešeí. Protože koečý součet je asociativí a komutativí, můžeme psát i=1 (i + 2) = ( ) + ( ) = Příklad 1.7. Vypočítejte i=1 (2 i). (1 + ) = (+5) 2. Řešeí. Opět si produkt ejdříve rozepíšeme i=1 (2 i) = (2 1) (2 2) (2 ). Protože je ásobeí asociativí a komutativí můžeme psát (2 1) (2 2) (2 ) = = (2 2 2)(1 2 ). Víme, že = 2 a 1 2 =!, kde symbol!

15 10 Úvod čteme faktoriál. O faktoriálu budeme podrobě hovořit v Kapitole 2. Proto i=1 (2 i) = 2!. Příklad 1.8. Vypočítejte i {x R x 2 +x 2=0} (2 + i) a i {x R x 2 +x 2=0} (2 i). Řešeí. Vidíme, že možia hodot idexu i je dáa charakteristickou vlastostí. Bude lepší, pokud ji vyjádříme taxativě. Sado zjistíme, že rovici x 2 + x 2 = = 0 splňují pouze čísla 1 a 2, proto {x R x 2 + x 2 = 0} = { 2, 1}. Odtud i {x R x 2 +x 2=0} (2 + i) = i { 2,1} (2 + i) = (2 + ( 2)) + (2 + 1) = 3 a i { 2,1} (2 i) = (2 ( 2)) (2 1) = 8. Zůstaňme ještě u příkladů 1.6 a 1.7. Zřejmě platí i=1 (i + 2) = ( i=1 i) + + ( i=1 2) a i=1 (2 i) = ( i=1 2) ( i=1 i) (Suma součtů je součet sum a produkt součiů je souči produktů). Víme, že i=1 + 2 (příklad 1.6), přičemž i=1 (i+2) = (+5) 2 = 2+ 2 i = (+1) 2. Proto (+1) (1+) = i=1 2 = 2 = Obdobě i=1 (2 i) = 2! (příklad 1.7) a i=1 i =!. Proto. = i=1 2 = 2 = Pokud tedy sčítáme ebo ásobíme výrazy, které ejsou fukcí idexu i (i prochází růzých hodot), jsou vůči proměé i kostatí, pak takový součet resp. souči chápeme jako součet ebo souči sčítaců resp. čiitelů, přičemž každý z ich je oa kostata. Obecě platí k = k + k + + k i=1 Ještě zmiňme, že apříklad = k a i=1 k = k k k = k. i {1,2,43,51,103} k = k + k + k + k + k = 5k a i {1,2,43,51,103} k = k k k k k = k 5, eboť o počtu sčítaců (čiitelů) rozhoduje pouze počet hodot, kterými idex i prochází. V obecých výpočtech může astat ásledující situace. Máme vypočítat sumu k i=5 a i či produkt k i=5 a i apříklad pro k = 2, 3,...,. Pak ovšem po dosazeí k = 2 dostáváme tzv. prázdou sumu 2 i=5 a i či prázdý produkt 2 i=5 a i (možia hodot idexu i je prázdá). Budeme si pamatovat, že prázdá suma je rova ule a prázdý produkt jedé. Proto 2 a i = 0 i=5 a 2 a i = 1. i=5

16 1.2 Poslouposti, sumy a produkty 11 Příklad 1.9. Na spořící účet jsme uložili 1000 Kč. Víme, že každý rok přičtou tolik stokoruu, kolik roků je účet vede, a každý rok odečtou 200 Kč za bakoví poplatky. Kolik koru bude a spořícím účtu po dvou letech? pěti letech? letech? Řešeí. Nejrozumější asi bude, pokud úlohu vyřešíme pro obecé a ostatí řešeí dostaeme pouhým dosazeím. Je zřejmé, že po jedom roce přičtou k tisícikoruě stokoruu, po druhém roce k Kč přičtou koru, po třetím roce k Kč přičtou koru a tak dále. Takže obecě po letech přičtou k tisícikoruě ( ) 100 = k=1 k 100 koru. Avšak každý rok odečtou 200 koru, tudíž celkově 200 koru. Po letech bude a účtu k=1 k Kč. Víme, že k=1 k = k=1 ( + 1) = (+1) 2. Odtud k = (+1) = = = ( 3). Tudíž po dvou letech bude a účtu (2 3) = 900 Kč, ale po pěti letech (5 3) = 1500 Kč. Příklad Vypočítejte j {2,4,9,11} (a + b)2 a j {2,4,9,11} (a + b)2. Řešeí. Protože se výraz (a + b) 2 eí fukcí idexu j, tak platí = 4(a + b) 2 a j {2,4,9,11} (a + b)2 = ((a + b) 2 ) 4 = (a + b) 8. j {2,4,9,11} Příklad Vypočítejte j {x R:(x+1) 2 <0} j2 a j {x R:(x+1) 2 <0} j2. (a + b) 2 = Řešeí. Tetokrát je výraz j 2 závislý a idexu j, ale {x R : (x + 1) 2 < 0} =, eboť žádé reálé x eumí split podmíku (x + 1) 2 < 0. Jde tudíž o prázdou sumu a produkt. Odtud j {x R:(x+1) 2 <0} j2 = 0 a j {x R:(x+1) 2 <0} j2 = 1. Příklad Vypočítejte 2 i=1 ( 1)i 3i. Řešeí. Jestliže sumu rozepíšeme, pak absolutí hodoty jedotlivých sčítaců tvoří aritmetickou posloupost (a 1 = 3, d = 3), avšak každý lichý sčítaec je obdaře zamékem mius a každý sudý zamékem plus. Proto můžeme psát 2 i=1 ( 1) i 3i = 2 i=1 isudé 3i 2 i=1 iliché 3i.

17 12 Úvod Rozepíšeme-li sumu 2 i=1 isudé 3i, pak sčítace tvoří aritmetickou posloupost, kde prví čle je 6 a posledí 3 2 = 6. Pozor, sčítaců je pouze. Odtud = 2 (6 + 6) = 3( + 1). Suma 2 i=1 iliché 2 i=1 isudé 3i = 3i obsahuje sčítaců, které tvoří aritmetickou posloupost, přičemž prví čle je 3 a posledí 3(2 1) = 6 3. Odtud = ( ) = Tudíž 2 ( 1) i 3i = i=1 2 i=1 isudé 3i 2 i=1 iliché 2 i=1 iliché 3i = 3i = 3( + 1) 3 2 = = = 3. Proveďme jiou úvahu, která povede k řešeí. Každé dva po sobě jdoucí sčítace v sumě jsou po sobě jdoucí ásobky tří, přičemž meší má zaméko mius a větší zaméko plus. Tudíž, sečteme-li je, dostaeme číslo 3. Spárujme po sobě jdoucí sčítace a dostaeme součet párů, kde každý pár dává výsledek 3. Proto 2 ( 1) i 3i = ( 3 + 6) + ( ) + + ( 3(2 1) + 3 2) = Příklad Vypočítejte i=1 j=1 i j. Řešeí. Nejdříve aplikujeme pravou sumu a dostáváme + i ) = i( ) = = i i=1 j = j=1 i=1 ( (+1) 2 ) ( 2 2 = i). i=1 i=1 i=1 j=1 i (+1) 2 = (+1) 2 i=1 = 3. i j = (i 1 + i 2+ i=1 i=1 i = (+1) 2 (+1) 2 = 1.3 Horí a dolí celá část reálého čísla Defiice Horí celá část reálého čísla a je celé číslo z takové, že platí z 1 < a z. Horí celou část reálého čísla a budeme začit a. Necháme-li si předešlou defiici projít hlavou, pak zjistíme, že při hledáí a mohou astat a číselé ose dvě možosti. Buď je a celé číslo, pak je jeho horí celá část přímo a, ebo a R Z, a pak je a ejbližší celé číslo apravo od a.

18 1.3 Horí a dolí celá část reálého čísla 13 Defiice Dolí celá část reálého čísla a je celé číslo z takové, že platí z a < z + 1. Dolí celou část reálého čísla a budeme začit a. Opět, při hledáí a mohou astat a číselé ose dvě možosti. Buď je a celé číslo, pak je jeho dolí celá část přímo a, ebo a R Z, a pak je a ejbližší celé číslo alevo od a. Příklad Určete horí a dolí celé části reálých čísel 7; 7; 2, 34; 2, 34; 14; 3 14 ; e; e. 3 Řešeí. Protože 7 a 7 jsou celá čísla, tak platí 7 = 7 = 7 a 7 = 7 = 7. Číslo 2, 34 leží mezi dvojkou a trojkou, zatímco číslo 2, 34 mezi mius trojkou a mius dvojkou, proto 2, 34 = 3, 2, 34 = 2 a 2, 34 = 2, 2, 34 = 3. Číslo 14 je mezi čtyřkou a pětkou, proto 14 = 5, 14 = 4 a 14 = 4, = 5. Eulerovo číslo e je iracioálí s přibližou hodotou 2, , proto 3 e = 3, e = 2 a e = 2, e = 3. Příklad Určete horí a dolí celou část reálého čísla 6, 9. Řešeí. Teto příklad se zdá vyložeě triviálí a moho z ás by zřejmě tvrdilo, že 6, 9 = 7 a 6, 9 = 6. Neí tomu tak! Dá se totiž ukázat, že 6, 9 = 7. Potom ovšem 6, 9 = 6, 9 = 7. Rovost 6, 9 = 7 prokážeme jedoduchou a krásou úvahou. Staovme x = 6, 9, potom ovšem 10x = 69, 9. Odtud plye 10x x = 69, 9 6, 9 a dostáváme 9x = 63. Což je splitelé pouze pro x = 7. Příklad Ověřte, zda platí (+1)2 = 2 + pro každé sudé celé. 2 2 Řešeí. Ozačme = 2q, kde q Z. Na pravé straě dostaeme (2q)2 + 2q = 2q 2 + 2q. Protože je 2q 2 celé číslo, 2 platí 2q 2 = 2q 2. Po úpravě tudíž obdržíme 2q 2 + 2q. Levá straa je (2q+1)2 = (4q2 +4q+1) = 2q 2 + 2q + 1. Číslo q2 + 2q + 1 je 2 o jedu poloviu větší ež celé číslo 2q 2 + 2q, proto 2q 2 + 2q + 1 = 2 2q2 + 2q. Důkaz rovosti je ukoče, eboť jsme ověřili, že levá straa se rová pravé pro libovolé sudé. Příklad Dokažte ebo vyvraťte rovost +k = + k pro libovolé sudé a liché k,, k Z. Řešeí. Nechť = 2p a k = 2q + 1, přičemž p, q Z. Na pravé straě máme 2p+2q+1 = p + q + 1 = p + q. Levá straa je 2p + 2q+1 = p + q + 1 = p + q

19 14 Úvod Příklady k procvičeí! 1. Dokažte, že platí A B = A B (pro zájemce). 2. Mějme možiy A = {x R : l x = 1 l x = 0} a B = {x Z : 2x 3 x 2 2x = 0}. Zapište možiy A, B taxativě a určete A B, A B, A B, B A, A B a 2 B A. 3. Vypočítejte i { 2,0,1,2} i(i + 1) a i { 2,0,1,2} i(i + 1). 4. Vypočítejte a { 2,0,1,2} i(i + 1) a a { 2,0,1,2} i(i + 1). 5. Vypočítejte j {x R:si(x)= π} j3 a j {x R:si(x)= π} j3. 6. Vypočítejte 2 i=1 ( 1)i a 2 i=1 ( 1)i. 7. Vypočítejte 2 1 i=1 ( 1)i a 2 1 i=1 ( 1)i. 8. Vypočítejte i=1 3i a i=1 3i. 9. Vypočítejte 2 i=1 ( 2)i a 2 i=1 ( 2)i. 10. Vypočítejte 2 1 i=1 ( 2)i a 2 1 i=1 ( 2)i. 11. Vypočítejte k=1 k+1 k. 12. Ověřte, zda platí (+1)2 2 = pro každé N. 13. Ověřte, zda platí +k 2 = 2 + k 2 pro každé, k N. 14. Ověřte, zda platí ( x + y ) = x + y pro každé x, y R. Klíč k příkladům k procvičeí 1. Využijte příkladu A = { e, 1, 1, e}, B = { 1, 1}, A B = B, A B = A, A B = { e, e}, B A = =, A B = {( e, 1), ( e, 1), ( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1), (1, 1), (e, 1), (e, 1)}, 2 B A = = {, { 1}, {1}, { 1, 1}} a i(i + 1) a (i(i + 1)) a , 1 pro sudé a 1 pro liché. 7. 1, 1 pro sudé a 1 pro liché.

20 Příklady k procvičeí (3 1) a 3 (+1) (4 1) a ( 2) (2+1) (4 + 2) a ( 2) (2 1) Ne, protože (3+1)2 2 = 8 7 = = Ne, protože = 1 0 = = Ao.

21 16 Kapitola 2 Základí kombiatorické výběry Mějme koečou možiu či multimožiu a z í áhodě vyberme předem určeý počet prvků. Takovému procesu budeme říkat kombiatorický výběr (stručěji výběr). Obdobé výběry provádíme často jak při výzkumu (statistický výzkum), tak v běžém životě (sázkové hry). Pokud vybíráme z možiy (ve výběru se prvky emohou opakovat), pak jde o výběry bez opakováí, pokud z multimožiy (prvky se ve výběru mohou opakovat), pak jde o výběry s opakováím. (Dodejme, že uspořádaé výběry s opakováím se dají formulovat i pomocí moži.) Počet všech možých růzých výběrů ovlivňují dva parametry, a to počet prvků původí možiy či multimožiy a počet vybíraých prvků, dále skutečost, zda záleží či e a pořadí vybraých prvků. V případě, že ás pořadí vybraých prvků ezajímá, chápeme provedeý výběr jako podmožiu zadaé možiy. V případě, že ás aopak pořadí zajímá, tak provedeý výběr chápeme jako posloupost vybraých prvků. V této kapitole se budeme zabývat zjišťováím počtu všech možých výběrů se zadaými vlastostmi. 2.1 Permutace bez opakováí Příklad 2.1. Sedím v jídelě a obědvám. Ve frotě u výdeje obědů stojí pět mých studetů z právě skočeého cvičeí, jmeují se Zbyslav, Matylda, Petr, Jaa a Zikmud. Jsou poměrě pestrobarevě oblečei. Dívám se a ě a přemýšlím, jak by se oa pestrobarevost měila, pokud bych měil jejich pořadí ve frotě. A tu me apade. Kolik mám možostí, jak studety do froty seřadit? Bude těch možostí hodě? Řešeí. Studety si pro jedoduchost ahradíme čísly 1, 2, 3, 4, 5. Všiměme si. Vybíráme z 5-prvkové možiy všech 5 prvků, a pořadí záleží a žádý prvek se eopakuje! Pro začátek si poechme je čísla 1, 2. Ty ovšem umíme uspořádat dvěma způsoby ((1, 2), (2, 1)). Přidáme číslo 3, to můžeme umístit buď a prví, druhou ebo

22 2.1 Permutace bez opakováí 17 třetí pozici ((3,, ), (, 3, ), (,, 3)). Na zbývajících dvou pozicích lze čísla 1, 2 uspořádat vždy dvěma způsoby. Ke každému pevému umístěí čísla 3 tedy existují dvě uspořádaé trojice. Proto máme celkově 3 2 uspořádaé trojice (možosti). Přidáme čtyřku. Tu můžeme umístit a jedu ze čtyř pozic ((4,,, ), (, 4,, ), (,, 4, ), (,,, 4)). Čísla 1, 2, 3 a zbývajících třech volých pozicích uspořádáme 3 2 způsoby. Ke každému pevému umístěí čísla 4 tudíž existují 3 2 uspořádaé čtveřice. Proto celkově obdržíme uspořádaé čtveřice (možosti). Obdobou úvahou dostaeme pro pět studetů výsledek = 120 možostí. Předešlou úvahu lze sado zobecit pro libovolý koečý počet studetů. Mějme studetů, N. Ozačíme je čísly 1, 2,...,. Nechť a je počet všech možých uspořádáí čísel 1, 2,..., a a +1 je počet všech možých uspořádáí čísel 1, 2,...,, + 1. Číslo + 1 můžeme v uspořádaé + 1-tici umístit vždy a právě jedu z + 1 pozic. Pro každé pevé umístěí čísla + 1 a jediou pozici můžeme zbývajících čísel uspořádat a zbývajících pozicích a způsoby. Z čehož dostáváme, že a +1 = ( + 1) a, přičemž a 1 je 1. Našli jsme rekuretí vztah, který ám dovoluje z počtu uspořádáí pro prvků odvodit počet uspořádáí pro + 1 prvků. Předešlá pozorováí ás jedozačě vedou k vysloveí ásledující doměky ebo-li hypotézy. (Hypotéza je zatím edokázaé a evyvráceé tvrzeí.) Počet všech možých uspořádaí -prvkové možiy je ( 1) ( 2) 2 1. Nadešel čas, abychom výše uvedeá pozorováí zformalizovali pomocí defiic a vět. Defiice 2.2. Mějme libovolé přirozeé číslo. Pak permutace bez opakováí a -prvkové možiě X je libovolé uspořádáí všech prvků možiy X do ějaké poslouposti. Defiice 2.3. Počet všech permutací bez opakováí a -prvkové možiě X budeme začit P () a souči ( 1) ( 2) 2 1 ozačíme!. Výraz! budeme číst faktoriál. Věta 2.4. P () = ( 1) ( 2) 2 1 =! pro každé N. Důkaz. Důkaz provedeme matematickou idukcí, které se budeme detailě věovat až v Kapitole 4, proto dovolte poěkud obšírější kometář. Nejdříve chceme ověřit, zda áš vztah platí pro ejmeší uvažovaé, tedy pro = 1. Zjistíme, že ao, eboť P (1) = 1 = 1!. Nyí předpokládejme, že aše věta platí pro ějaké libovolé přirozeé. Pak budeme chtít ukázat, že musí platit i pro jeho ásledovíka, tj. číslo + 1. Pokud se to povede, máme jistotu, že věta platí pro každé přirozeé a důkaz je ukoče.

23 18 Základí kombiatorické výběry Nechť P () = ( 1) ( 2) 2 1 =!. Víme, že P ( + 1) = ( + 1) P () (využili jsme rekuretí vztah a +1 = (+1) a ). V této chvíli použijeme předpoklad (P () = ( 1) ( 2) 2 1) a dostáváme P ( + 1) = ( + 1) P () = ( + + 1) ( 1) ( 2) 2 1 = ( + 1)!. Ukázali jsme, že P (1) = 1! a pokud P () =!, pak P (+1) = (+1)!. Z pricipu matematické idukce tudíž plye, že vztah P () =! platí pro každé přirozeé. Pozámka 2.5. Vidíme, že souči ve větě 2.4 defiuje faktoriál pouze pro 1. Čemu je ale rove 0 faktoriál? Vzhledem k tomu, že prázdou možiu umíme uspořádat do jedié poslouposti, a to do prázdé (viz Kapitola 1), platí 0! = 1. Příklad 2.6. Máme 7 bílých kuliček do ichž jsou vyražea čísla od 1 do 7. Chceme je obarvit 7 barvami tak, že každá kulička je obarvea přesě jedou barvou a všech sedm barev je použito (Čísla vyražeá a kuličkách jsou i po abarveí vidět!). Kolik máme růzých možostí? Řešeí. Všecha možá obarveí kuliček můžeme provést takto: Kuličky seřadíme do řady a jedozačě určíme pořadí použitých barev (M-modrá, O-oražová, Z- -zeleá, R-růžová, Č-červeá, Ž-žlutá, B-bílá). Pak prví kuličku zleva obarvíme barvou číslo 1, druhou zleva barvou číslo 2 až sedmou zleva barvou číslo 7 (viz obr 2.1). Změíme pořadí kuliček (pořadí barev zůstává stejé) a postup barveí opakujeme (tz. prví kuličku zleva barvou č.1, druhou zleva barvou č.2 atd.). Určitě dostaeme jié obarveí ež v případě prvím. Vidíme, že počet všech růzých obarveí je stejý jako počet všech růzých seřazeí kuliček. Tudíž jde o počet všech permutací bez opakováí a sedmiprvkové možiě, tedy P (7) = 7! = M O Z R Č Ž B M O Z R Č Ž B Obr. 2.1 Realizace dvou růzých obarveí sedmi růzých kuliček Příklad 2.7. Kolik existuje vzájemě jedozačých (bijektivích) zobrazeí 5- -prvkové možiy X a 5-prvkovou možiu Y? Řešeí. O zobrazeích bude podrobě pojedáo v Kapitole 5. Bijektiví zobrazeí je zobrazeí, kdy každému prvku jedé možiy je přiřaze přesě jede prvek druhé možiy a aopak, každému prvku druhé možiy je přiřaze přesě jede prvek

24 2.1 Permutace bez opakováí 19 možiy prví. Ukázka bijektivího zobrazeí 5-prvkové možiy a 5-prvkovou možiu je a obrázku 2.2. Nechť X = [1, 5] a Y = {a, b, c, d, e}. Při kostrukci jedotlivých bijekcí použijeme podobý postup jako při barveí kuliček v příkladu 2.6, tz. pevě uspořádáme prvky z možiy X, pořadí prvků v Y aopak budeme měit a v každém kroku budeme přiřazovat prvímu prvku z X prví prvek z Y, druhému prvku z X druhý prvek z Y, až pátému prvku z X pátý prvek z Y (viz obr 2.3). Tímto způsobem jistě vytvoříme všechy požadovaé bijekce, a avíc vidíme, že jich je P (5) = 5! = a 2 b X 3 c Y 4 d 5 e Obr. 2.2 Bijekce možiy X a možiu Y c a b d e d a c e b Obr. 2.3 Realizace dvou z 5! bijekcí možiy X a možiu Y Příklad 2.8. Ve výtečé kize Murphy (1938) držitele Nobelovy cey za literaturu (1969) Samuela Becketta hlaví postava (Murphy) vždy sídá balíček sušeek. V tomto balíčku je 10 růzých sušeek, přičemž Murphy chce sídai začít pomeračovou sušekou (chutá mu ejméě) a ukočit sušekou s čokoládovou polevou (je jeho ejoblíbeější). Kolik má možostí, jak posídat?

25 20 Základí kombiatorické výběry Dále, Murphy opouje své přítelkyi, která jej peskuje ohledě fádí stravy, že jeho balíček sušeek mu umožňuje sídat tak, že žádé dva dy ve svém životě ebude mít tutéž sídai. Má pravdu? Řešeí. Ozačme si sušeky čísly 1 až 10, přičemž pomeračová sušeka je ozačea číslem 1 a sušeka s čokoládovou polevou (dále jí budeme říkat čokoládová) číslem 10. Ptáme se, kolika způsoby umíme seřadit čísla 1 10, s tím, že 1 je a prví pozici a 10 a desáté pozici. Čili čísla 1 a 10 jsou pevě fixováa a daé pozice, a čísla 2 až 9 mohou být seřazea zcela libovolě a zbývajících osmi pozicích. Jde o permutace bez opakováí a osmiprvkové možiě, a proto P (8) = 8! = Murphy si umí připravit růzých sídaí (jí-li sušeky po jedé a v růzých pořadích), což mu vyjde přibližě a : 365. = 110 let. Příklad 2.9. Vraťme se ještě k příkladu 2.8. Murphy jakž takž překoal svůj odpor k pomeračové sušece a ákloost k sušece s čokoládovou polevou, což vyjádřil ásledově: Neí možé, aby zároveň prví ebyla pomeračová a posledí ebyla čokoládová. Kolikrát se zvýší počet sídaí, které si je schope Murphy připravit, při tomto méě přísém omezeí? Řešeí. Zde si musíme dobře promyslet Murphyho slova. Z jeho tvrzeí se dovídáme, jakou situaci zakazuje. Bude dobré, když si odvodíme opak, tz. jaké situace připouští. Říká vlastě, alespoň jede ze dvou případů, a to prví je pomeračová, posledí je čokoládová, musí být splě. Murphyho sídaě můžeme tudíž rozdělit do tří moži S 1, S 2, S 3, přičemž, v možiě S 1 budou sídaě, které začíají pomeračovou sušekou, ale ekočí čokoládovou, v možiě S 2 budou sídaě, které ezačíají pomeračovou sušekou, ale kočí čokoládovou, v možiě S 3 jsou sídaě, které začíají pomeračovou sušekou a kočí čokoládovou. Všiměme si, že platí S i S j = pro každé i j, i, j {1, 2, 3} a S = S 1 S 2 S 3, kde S je možia všech Murphyho sídaí. Tedy možiy S 1, S 2, S 3 jsou po dvojicích disjuktí a jejich sjedoceí dává celou možiu S. Proto S = S 1 + S 2 + S 3, kde číslo S je výsledek ašeho řešeí, eboť jde o počet všech Murphyho sídaí. Takový způsob řešeí úlohy je v kombiatorice často využívá a říkáme mu rozklad a jedotlivé disjuktí případy. Nevýhodou takového řešeí je jeho zdálivá pracost, ale výhody jsou převažující. Máme jistotu, že žádý případ ezapočítáme vícekrát, a že a žádý ezapomeeme. Ozačme sušeky čísly z možiy [1, 10], přičemž pomeračová sušeka je 1 a čokoládová 10. S 1 je počet permutací, kde a prví pozici je 1 a a posledí eí 10. Prví pozice je pevě dáa, a posledí pozici můžeme dát libovolé číslo kromě 1 a 10 (8 možostí), zatímco a zbylých osmi pozicích 2 až 9 můžeme zbylá čísla libovolě seřadit (8! možostí). Proto S 1 = 8 8!. Všiměte si, že jsme použili souči, eboť ke každému pevě zvoleému číslu z možiy [2, 9], které je umístěo a posledí

26 2.1 Permutace bez opakováí 21 pozici, existuje 8! možostí jak uspořádat čísla a zbývajících osmi pozicích. Tomuto postupu se říká pravidlo součiu o ěmž je hovor v pozámce Podobou úvahou zjistíme, že S 2 = 8 8! a z příkladu 2.8 víme, že S 3 = P (8) = = 8!. Dostáváme S = S 1 + S 2 + S 3 = 8! + 8 8! + 8 8! = 17 8!. Protože 17 8!/8! = 17, počet Murphyho sídaí se zvýší 17 krát. Jié řešeí. Nevyužijeme rozkladu a disjuktí případy. Určíme počet všech možých sídaí a počet všech sídaí, které Murphy odmítá. Koečý výsledek pak bude rozdíl těchto čísel. Všech možých sídaí je P (10) = 10!. Sídaě, které Murphy odmítá, jsou ty, kde prví sušeka eí pomeračová a posledí eí čokoládová. Na prví pozici můžeme dát jakoukoliv sušeku je e pomeračovou (9 možostí). Na posledí pozici můžeme dát opět jakoukoliv je e čokoládovou a tu kterou jsme dali a prví pozici (8 možostí). Na zbývajících pozicích 2 až 9 seřadíme zbývající sušeky libovolě (8! možostí). Proto sídaí, které Murphy odmítá, je 9 8 8! a dostáváme výsledek S = 10! 9 8 8! = 10 9! 8 9! = 2 9! = 18 8!. Výsledek ovšem vychází jiý ež v předešlém řešeí!!! Kde se stala chyba? Zřejmě si po jisté chvíli všimeme, že problém astává, když a prví pozici dáme čokoládovou sušeku, což je jeda z 9 přípustých možostí. Potom totiž existuje 9 možostí (a ikoliv 8), co dát a pozici posledí. Proto si možiu epřípustých sídaí rozdělíme do dvou disjuktích případů. A to a sídaě, kde je jako prví zařazea čokoládová sušeka (typ A) a a ty, kde čokoládová sušeka jako prví eí (typ B). Sídaí typu A je 9 8! a sídaí typu B je 8 8 8!. Tudíž epřípustých sídaí je 9 8! ! = 73 8!. Odtud S = 10! 73 8! = ! 73 8! = 90 8! 73 8! = 17 8!. Vážeí čteáři, a tomto příkladu Vám demostrujeme dvě základí skutečosti. Kombiatorické příklady bývají občas docela zákeřé, vždy si své myšlekové pochody při jejich řešeí ěkolikrát zkotrolujte, popřípadě hledejte alterativí řešeí a výsledky porovejte. Dále, metoda řešeí pomocí rozkladu a disjuktí případy je sice a pohled pracá, avšak díky jí se vyvarujeme mohých zbytečých chyb. Příklad Karlík si rová do řady autíčka. Má jich 11 v růzých barvách, přičemž jedo z ich je zeleé (Williams-Cosworth) a jedo červeé (Ferrari). Karlík chce autíčka seřadit tak, aby zeleé ikdy estálo vedle červeého. Kolik má možostí? Řešeí. Autíčka ozačíme čísly 1 až 11, přičemž zeleé je 1 a červeé je 2. Spočítáme všechy permutace a možiě [1, 11] a potom spočítáme ty, které mají čísla 1 a 2 vedle sebe. Výsledek dostaeme jako rozdíl těchto čísel. Celkem máme 11! permutací. Vytvořme z čísel 1 a 2 dvojici a považujme jí za jede z prvků možiy. Máme tedy desetiprvkovou možiu {{1, 2}, 3, 4,..., 10}. Její prvky umíme uspořádat 10! způsoby. Avšak euspořádaou dvojici čísel 1,2 lze

27 22 Základí kombiatorické výběry uspořádat dvěma způsoby (buď je 1 alevo ebo apravo od 2). Tudíž permutací, kde 1 a 2 jsou vedle sebe, je 2 10!. A máme výsledek 11! 2 10! = 10!(11 2) = 9 10!. Jié řešeí. Vezměme ejdříve devět čísel od 3 do 11. Ty umíme uspořádat 9! způsoby. Mezi imi je 8 mezer, ale před a za imi je ještě po jedé mezeře, tudíž celkově 10 mezer (viz obr.??). Aby čísla 1, 2 ebyla vedle sebe musíme je umístit do dvou libovolě vybraých mezer. Kolik máme možostí, jak oy dvě mezery vybrat? (Teto úkol bude sadý, až budeme zát kombiace bez opakováí (Kapitola 2.2).) K prví mezeře zleva máme 9 možostí, jak vybrat druhou, k druhé zleva máme 8 možostí jak vybrat druhou, až k deváté zleva máme jediou možost jak vybrat druhou. Proto existuje celkově = 9 (1 + 9) = 45 možostí, jak 2 vybrat ou dvojici mezer. Zrekapitulujme. Ke každému pevému uspořádáí čísel 3 až 11 (těch je 9!) jsme schopi 45 způsoby vybrat 2 mezery pro umístěí čísel 1 a 2. V pevě vybraých mezerách jsme schopi čísla 1 a 2 uspořádat vždy dvěma způsoby. Proto celkový počet permutací a možiě [1, 11], kde čísla 1 a 2 ejsou vedle sebe je 9! 45 2 = 9! = ! = 9 10!. Příklad Do kia přišlo 9 mladíků a zakoupili si devět lístku vedle sebe. Čtyři z ich měli admíru prokrveé, lesklé bělmo a ejasě artikulovali. Podezřívavá uvaděčka se rozhodla, že je rozesadí tak, aby žádí dva ze zmíěých čtyř chlapců eseděli vedle sebe. Kolik měla možostí? Řešeí. Mladíky ozačíme čísly 1 až 9, přičemž oy zmiňovaé mladíky ozačíme čísly 1 až 4. Chceme zjistit, kolik existuje permutací a možiě [1, 9], kde žádá dvě čísla z možiy [1, 4] ejsou a pozicích vedle sebe. Začěme tím, že si ejdříve uspořádáme pět čísel z možiy [5, 9] (5! možostí). Před, za a mezi těmito pěti čísly máme 6 mezer. Na čtyři z ich musíme umístit čísla 1, 2, 3, 4. Tedy a dvě z ich žádé číslo z [1, 4] eumístíme. Kolika způsoby umíme vybrat 2 ze šesti mezer, a které ic eumístíme? Použijeme-li postup z řešeí příkladu 2.10, dostaeme číslo = 5 (1 + 5) = 15. Výběrem dvou mezer, do kterých ic eumístíme, 2 jsou jedozačě určey 4 mezery, do kterých umístíme čísla 1, 2, 3, 4. V jedozačě určeých čtyřech mezerách pak můžeme čísla uspořádat vždy 4! způsoby. Proto všech permutací a možiě [1, 9], kde žádé dvě čísla z možiy [1, 4] ejsou a pozicích vedle sebe, je 5! 15 4! = = Příklad Aleka má 5 růzých korálků, které chce avléci a it a vytvořit z ich áramek. Kolik má možostí? Řešeí. Představme si, že korálky a áramku tvoří vrcholy pravidelého pětiúhelíka. Jeho horí vrchol ozačíme 1 a ostatí vrcholy ve směru hodiových ručiček ozačíme apříklad čísly 4, 2, 5, 3 v tomto pořadí (viz obr 2.4). Pokud bychom áhrdelík rozstřihli mezi korálky 4, 2 a korálky vyrovali do přímky, pak dostaeme dvě růzé permutace z 5! možých, a to (2, 5, 3, 1, 4) a (4, 1, 3, 5, 2). Po rozstřižeí áramku mezi korálky 1, 3 dostáváme jié dvě permutace, a to (1, 4, 2, 5, 3)

28 2.1 Permutace bez opakováí 23 a (3, 5, 2, 4, 1) (viz obr 2.4). Těchto míst k rozstřižeí je a áhrdelíku 5 a po každém rozstřižeí dostáváme dvě jié permutace z 5! možých. Čili z jedoho áhrdelíku vzike 2 5 růzých permutací z 5! možých. Pokud bychom vzali jiý ež-li výše zmíěý áhrdelík, opět z ěj vzike 2 5 permutací z 5! možých, ale všechy se budou lišit od těch předešlých. Navíc, pokud postupě použijeme všechy možé avzájem růzé áramky, pak jejich rozstřiháváím dostaeme všech 5! permutací. Proto, ozačíme-li x počet áhrdelíků, tak platí 2 5 x = 5! a dostáváme x = 5! = 4 3 = 12. Zde používáme metodu dvojího 2.5 počítáí, o které se detailěji zmííme v Jié řešeí. Představme si, že jsme maličcí a putujeme po Alečiě áhrdelíku (viz předešlé řešeí) tak, že vždy začeme pouť a jedom korálku a dále pokračujeme buď ve směru ebo proti směru hodiových ručiček tak dlouho, dokud edojdeme a výchozí korálek, přičemž si zapíšeme čísla korálků v pořadí, jak jsme je procházeli. Vyjděme z korálku 3 (viz obr 2.4) ve směru hodiových ručiček, a koci pouti máme zapsáu permutaci (3, 1, 4, 2, 5) (výchozí a kocový korálek zapíšeme je a začátku). Pokud vyjdeme proti směru hodiových ručiček, máme zapsáu permutaci (3, 5, 2, 4, 1). Změíme-li výchozí korálek dostaeme během pouti dvě jié permutace atd. Vidíme opět, že jede áhrdelík s pěti korálky opravdu reprezetuje 2 5 růzých permutací z 5! možých. Nakoec proveďme zobecěí. Z růzých korálků lze vytvořit! = ( 1)! áhrdelíků Obr. 2.4 Vzik 4 růzých permutací z jedoho áramku

29 24 Základí kombiatorické výběry Příklad Na kofereci bylo účastíků a ti byli posazei zcela áhodě a židlí kolem kulatého stolu. Kolika způsoby to lze provést, pokud dvě rozesazeí, kdy jedo vzike z druhého pouhým pootočeím, považujeme za shodá (tz. v obou rozesazeích má každý účastík téhož pravého i levého souseda)? Řešeí. Mozí z ás by zřejmě tvrdili, že jde o zobecěý příklad 2.12 a výsledek proto musí být x =! = ( 1)!. 2 2 Ukažme si protipříklad pro = 5. Představme si, že rozesazeí osob kolem kulatého stolu je stejé jako umístěí korálků a áramku viz obr 2.4. V případě korálků jsme si ukázali, že pokud použiji dvě opačě seřazeé permutace (korálky jsou srováy a přímé iti (přímce)) apř. (2, 5, 3, 1, 4) a (4, 1, 3, 5, 2), pak spojeím mezi prvím a posledím korálkem dostaeme tetýž áramek. Všiměme si však, že pokud bychom obdobě uvažovali o rozesazeí osob kolem kulatého stolu (ejdříve si je posadíme a židle vyrovaé v řadě, a pak je obalíme kolem stolu), tak se mýlíme, eboť epůjde o totéž rozesazeí! Z permutace (2, 5, 3, 1, 4) by vziklo rozesazeí, kde apříklad levým sousedem trojky je 5 a pravým 1. Zatímco z permutace (4, 1, 3, 5, 2) by vziklo rozesazeí, kde se sousedé trojky prohodí. Čili ejde o totéž rozesazeí. Rozpojeím každého rozesazeí u kulatého stolu mezi dvěma sousedy tudíž edostaeme dvě růzé permutace z! možých, ale pouze jediou! Proto z jedoho rozesazeí kolem kulatého stolu vzike pouze růzých permutací z! možých. Ozačíme-li x počet všech rozesazeí kolem kulatého stolu, pak musí platit x =! a x =! = ( 1)!. Pojmy k zapamatováí P () je počet všech permutací a -prvkové možiě. Jde o uspořádaé výběry VŠECH prvků možiy. Platí P () =! = ( 1) ( 2) 2 1. Počet všech bijekcí -prvkové možiy a -prvkovou možiu je P () =!. Počet všech áhrdelíků vytvořeých z růzých korálků je ( 1)! 2. Počet všech možých rozesazeí lidí kolem kulatého stolu je ( 1)!. Příklady k procvičeí! 1. Víte, že šestimísté číslo obsahuje číslice 0, 1, 3, 4, 5, 6, přičemž číslice 1 je a místě desítek a 3 a místě desetitisíců. Kolik takových čísel existuje? 2. Kolik existuje pětimístých čísel dělitelých 5, které obsahují číslice 4, 6, 7, 9? 3. Aička si ve výtvaré výchově rozdělila čtvrtku papíru a 11 růzých oblastí (viz obr 2.5). Má 11 pastelek (mezi imi je modrá a žlutá) a chce oblasti vybarvit tak, že žádé

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více