7.5.9 Obecná rovnice elipsy Předpoklady: 7508 Př. : Najdi střed, vrcholy a ohniska elipsy dané rovnicí Rovnici upravíme do správného tvaru: ( x ( y + Z rovnice víme: S [ ; ], a =, Excentricita: Hlavní vrcholy: [ ; ] + =. b = ležatá elipsa e = a b = =. B ;. Vedlejší vrcholy: [ ; 0,5] Ohniska: A, [ ] C, [ ;,5] + ;, D. F ;. + + =. Stejně jako u kružnice můžeme ve středové rovnici roznásobit závorky (a odstranit zlomky: ( x m ( y n + = / a b. a b ( ( b x m + a y n = a b ( ( b x mx + m + a y ny + n = a b b x b mx + m b + a y a ny + n a = a b b x + a y b mx a ny + m b + n a a b Tento tvar se většinou používá s jiným označením koeficientů: px + qy + rx + sy + t - obecná rovnice elipsy (ne každá takováto rovnice je rovnicí elipsy, podobně jako u kružnice Bez zpětné úpravy nikdo nepozná, o jakou elipsu jde, ani zda je to vůbec elipsa. Př. : U elipsy dané rovnicí x y 8x y 0 + + + = najdi střed a urči velikosti poloos. Rovnici musíme upravit do středového tvaru: x + y 8x + y + = x 8x + y + y + ( x x y y ( x x ( y + + + + + + + + + + + + + =
( y + ( x + = můžeme psát i jako: ( x ( y + Elipsa má střed v bodě [ ] + =. S ;, hlavní poloosa je b =, vedlejší poloosa je a =. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je nutné dělat napůl u tabule (jde o vytýkání před závorky a hlavně o jejich roznásobování, zbytek hodiny je určen samostatné práci. Př. : Úpravou na středový tvar rozhodni, které z uvedených rovnic jsou rovnicí elipsy. U všech nalezených elips urči poloosy, střed (v případě dostatku času i souřadnice vrcholů a ohnisek. a x + 9y + 6x 8y b x + y + 6x 6y + 6 c e 9x y 8x 8y 0 + + = d x + x + y 5x + 6y 00x + y + 5 a x + 9y + 6x 8y ( x + x + ( y y = ( x x ( y y 9 0 + + + 9 + ( x + + ( y = ( x + ( y + + 9 9 9 6 / :6 + = ležatá elipsa. 9 S [ ;], a =, b =, e a b = = = 5 Hlavní vrcholy (posunuté od středu o a ve vodorovném směru: A [ ;], B[ 5;]. Vedlejší vrcholy (posunuté od středu o b ve svislém směru: C [ ;] ; [ ; ] D. Ohniska (posunutá od středu o e ve vodorovném směru: F + 5;, 5; b x y x y + + 6 6 + 6 x x ( y y ( x ( y y + + + + 6 + + + + 6 ( x + + ( y = ( x + ( y + + + 6 9 / : 9 + = Ještě musíme před druhým zlomkem přesunout do jmenovatele. 9 9 ( x + ( y 9 + 9 = ležatá elipsa. S [ ;], a =, b =, 7 e = a b = = =.
Hlavní vrcholy (posunuté od středu o a ve vodorovném směru: A [ 0;], [ 6;] B. 7 Vedlejší vrcholy (posunuté od středu o b ve svislém směru: C ; ; ; Ohniska (posunutá od středu o e ve vodorovném směru: F + ;, + ; c 9x + y 8x 8y + ( x x ( y y 9 + + + + 9 9 + + 9 + = Nejde o rovnici elipsy, této rovnici nevyhovuje žádný bod roviny (pro všechny body roviny je levá strana nezáporná. d 5x + 6y 00x + y + 5 ( x x + ( y + y + = ( x x ( y y 5 6 5 0 5 + + 6 + + + 5 5( x 6( y ( x ( y + 5 5 + 6 + 6 + 5 + + = Nemůžeme dělit (musíme čísla převést do jmenovatelů. + = stojatá elipsa. 5 6 9 S [ ; ], a =, b =, e = b a = = =. 5 5 00 0 Hlavní vrcholy (posunuté od středu o b ve svislém směru: C ; ; 5 ; Vedlejší vrcholy (posunuté od středu o a ve vodorovném směru: A ; 5, B 9 ; 5 7 Ohniska (posunutá od středu o e ve svislém směru: F ; 0, ; 0 e x + x + y x + x + + y 9 9 x + + y = / : x + y + = ležatá elipsa. 9
S ;0, a =, b =, 6 6 e = a b = = =. Hlavní vrcholy (posunuté od středu o a ve vodorovném směru: [ ;0] A, [ 0;0] Vedlejší vrcholy (posunuté od středu o b ve svislém směru: C ; ; Ohniska (posunutá od středu o e ve vodorovném směru: 6 F + ;0, B. ;. 6 ;0. Pedagogická poznámka: Největším problémem jsou body b a d, kde studenti končí s rovnicí ( ( x + y + = ( 9 9 5 + 6 + = a neupravují ji dál. Př. : Petáková: strana 8/cvičení 75 b d e f Shrnutí: Středová i obecná rovnice elipsy je podobná odpovídající rovnici kružnice. Analogicky také převádíme jednu na druhou.