Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle zýváme obecý ebo tké -tý čle řdy. Sčítcí idex může bývt hodot,,,. b) Posloupost { s } { s s s s } s =, s = + s = + +, M, s = + + + L+, = L L součtů tvru,,,,, zýváme posloupost částečých součtů řdy c) Existuje-li koečá limit lim s = s. = s, zýváme řdu. kovergetí píšeme Číslo s zýváme součet řdy. Pokud uvedeá limit eexistuje ebo je evlstí, zývá se řd divergetí. Příkld. Rozhoděte, zd kovergují řdy: ), b) Postup řešeí:, c) ( ). ) Pro předstvu píšeme ěkolik čleů řdy: = + + + L+ + L. Určíme posloupost částečých součtů řdy: Jrmil Doležlová
s s s M s =, = +, = + +, 4 = + + + L+ = = = ( ). 4 Pozámk: K určeí s jsme použili vzth pro -tý částečý součet ekoečé geometrické řdy s prmetry =, q = (viz dále): s q =. q Vypočítáme lim s = lim ( ) = ( ) =. Protože číslo je koečé, je řd kovergetí pltí =. b) = + + + L+ + L. Určíme posloupost částečých součtů řdy: s =, s = +, s = + +, M s = + + + L+ = ( + + + L+ ) = ( + ) = ( + ). 4 Pozámk: K určeí s jsme použili vzth pro součet prvích čleů ritmetické poslouposti s = ( + ). Vypočítáme lim s = lim ( + ) = +. 4 Protože limit je evlstí, je řd divergetí. Jrmil Doležlová
c) ( ) = + + L+ ( ) + L. Je zřejmé, že součet sudého počtu čleů řdy s =, kdežto součet lichého počtu čleů řdy s + =. Limit lim s proto eexistuje (kždá posloupost může mít ejvýš jedu limitu). Řd ( ) je divergetí. Pozámk: Tto řd má speciálí ázev oscilující (mezi - )... Nutá podmík kovergece řd Vět: Jestliže řd koverguje, potom lim Pozámk: Jde o podmíku utou, ikoliv postčující. Zmeá to ásledující: Pokud lim =, pk řd (ve vylučovcím slov smyslu). =. může kovergovt ebo divergovt Pokud lim, pk řd diverguje... Hrmoická řd je defiová vzthem = + + + L+ + L. = Přestože tto řd splňuje utou podmíku kovergece ( lim = ), dá se dokázt, že je divergetí..4. Zobecěá hrmoická řd je defiová vzthem = + + + L+ + L. p p p p = Dá se dokázt ásledující: Jrmil Doležlová
p diverguje p p> koverguje p Tb. Pozámk: Pro p= jde o hrmoickou řdu. Příkld. Rozhoděte, zd kovergují řdy: ), b) Postup řešeí:, c) ) Pro předstvu píšeme ěkolik čleů řdy: = + + + L+ + L Je zřejmé, že jde o zobecěou hrmoickou řdu, v íž p=>. Podle předchozí tbulky tedy řd koverguje. = b) = + + + L+ + L Protože pltí = = jde o zobecěou hrmoickou řdu, v íž p= <. Podle předchozí tbulky tedy řd c) diverguje. = + + + L+ + L= ( + + + L+ + L ) Protože pltí = jde o dvojásobek zobecěé hrmoické řdy, v íž p= <. Podle předchozí tbulky tedy řd diverguje..5. Nekoečá geometrická řd (NGŘ) je defiová vzthem q = + q+ q + q L+ q + L, Jrmil Doležlová 4
přičemž je prví čle řdy q L 4 = = = = =, q, je kvociet řdy. Lze sdo dokázt (důkz jste prováděli středí škole), že ekoečá geometrická řd koverguje q <. Pk pro její součet pltí s =. q Pro q ekoečá geometrická řd diverguje emá součet. q < q koverguje má součet s = q q q diverguje emá součet Tb. Příkld. Rozhoděte, zd kovergují řdy: ), b) Postup řešeí:, c) ( ). ) Pro předstvu píšeme ěkolik čleů řdy: = + + + L+ + L Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí =, q =. Protože q = = <, řd koverguje pro její součet pltí s = = = =. q Výsledek souhlsí s výsledkem příkldu ). b) = + + + L+ + L Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí =, q =. Protože q = = >, řd diverguje emá součet. ( ) ( ) c) = + L+ + L Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí =, q =. Jrmil Doležlová 5
Protože q = = <, řd koverguje pro její součet pltí s = = = =. q ( ) Pozámk: Všiměte si, že dv sousedí čley řdy ( ) mjí vždy opčá zmék. Tkové řdy se zývjí řdy se střídvými zméky ebo tké lterující.. Nekoečé fukčí řdy.. Defiice Nekoečou fukčí řdou zýváme součet fukcí tvru f( x) = f( x) + f( x) + f( x) + L+ f( x) + L, x D, kde D je defiičí obor součtu fukcí prvé strě. Pozámk: Dosdíme-li do fukčí řdy z proměou x ějké číslo x ekoečou číselou řdu f( x) = f( x) + f( x) + f( x) + L+ f( x) + L. D, dosteme Příkld 4. Je dá řd b) x =, c) x =, d) x =, e) x 4 =. 5 Postup řešeí: x. Rozhoděte, zd koverguje v bodech: ) x = + x+ x + L+ x + L (uvědomte si, že sčítcí idex je e x!!!) x =, Fukce,,, x, x x L L jsou defiováy pro všech reálá čísl, tedy D=R. ) Dosdíme-li z x číslo x =, dosteme ekoečou číselou řdu = + + + L+ + L= + + + L+ + L. Jrmil Doležlová 6
Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí =, q =. Protože q = =, podle tbulky řd diverguje. b) Dosdíme-li z x číslo x =, dosteme ekoečou číselou řdu ( ) = + L+ ( ) + L. Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí =, q =. Protože q = =, podle tbulky řd ( ) diverguje. c) Dosdíme-li z x číslo x =, dosteme ekoečou číselou řdu = = + + + + + L L. Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí Protože q = = <, podle tbulky řd s = = = =. q =, q =. koverguje má součet d) Dosdíme-li z x číslo x =, dosteme ekoečou číselou řdu 5 = + + L+ + L. 5 5 5 5 5 Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí Protože =, q =. 5 q = = <, podle tbulky řd 5 5 5 s = = = =. q 6 6 ( ) 5 5 5 koverguje má součet e) Dosdíme-li z x číslo x 4 =, dosteme ekoečou číselou řdu Jrmil Doležlová 7
( ) = + 9 7 + L+ ( ) + L. Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí =, q =. Protože q = = >, podle tbulky řd ( ) diverguje emá součet. Pozámk: Z příkldu 4 je vidět, že pro ěkterá čísl z defiičího oboru přejde fukčí řd v kovergetí číselou řdu, pro jiá čísl přejde v divergetí číselou řdu... Obor kovergece O fukčí řdy je moži těch čísel x D, pro která tto fukčí řd přejde v kovergetí číselou řdu. Je zřejmé, že pltí O D. Určeí oboru kovergece Obor kovergece určíme sdo v přípdě, že řd je ekoečá geometrická. Příkld 5. Určete obor kovergece součet řd: ) ( x ), x, b) (x + ) c). Postup řešeí: Fukce ) x = + x+ x + L+ x + L x x L,,, x, L jsou defiováy pro všech reálá čísl, tedy D=R. Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí =, q = x. Podle tbulky řd koverguje pro q <, tedy po doszeí x <. K řešeí erovice s bsolutí hodotou použijeme geometrický výzm bsolutí hodoty: V erovici x x < R zveme x střed R poloměr. Řešeím erovice pk jsou všech reálá čísl x, která jsou od středu x vzdále méě ež poloměr R, tedy O = ( x R, x + R). V šem přípdě pltí x <, proto střed x = poloměr R = Jrmil Doležlová 8
Řd x koverguje v itervlu (, ) (,) s = = q x. O = + = má v ěm součet b) x x x x ( ) ( ) ( ) = + + + L+ + L 4 Fukce jsou defiováy pro všech reálá čísl, tedy D=R. x Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí =, q =. x Podle tbulky řd koverguje pro q <, tedy po doszeí <, Po úprvách x 9 <, x < 9. V šem přípdě je proto střed x = poloměr R = 9. ( x ) Řd koverguje v itervlu O = ( 9, + 9) = ( 7,) má v ěm součet 9 s = = = =. q x 9 ( x ) x 9 9 c) (x+ ) x+ (x+ ) (x+ ) (x+ ) 6 9 = + + + L+ + L Fukce jsou defiováy pro všech reálá čísl, tedy D=R. x + x + Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro iž pltí =, q =. Podle tbulky řd koverguje pro q <, tedy po doszeí x + <, Po úprvách x + <, x + < 8, x + < 4, 8 x ( ) < 4. V tomto přípdě je proto střed x = poloměr R = 4. Jrmil Doležlová 9
(x + ) Řd koverguje v itervlu 9 7 O = ( 4, + 4) = (, ) má v ěm součet x + x+ 8 x+ s = = = =. q x + 8 8 (x+ ) 7 x Obecě lze obor kovergece určit pomocí kritérií kovergece, z ichž uvedu pouze kritérium podílové... Kritérium podílové v limitím tvru: Je dá fukčí řd f ( x). Ozčme f ( ) + x L = lim, f ( x). Pk pltí: f ( x) L> L< L= f ( x) diverguje f ( x) koverguje f ( x) koverguje ebo diverguje Tb. x ( x ) Příkld 6. Určete obor kovergece řd: ), b), c) ( + ). ( x).! Postup řešeí: ) x x x x x = + + + L+ + L Fukce jsou defiováy pro všech reálá čísl, tedy D=R. Nejprve určíme podíl + x + ( ) ( + ) = = = ( ) +. f x xx x f x x ( ) x + Jrmil Doležlová
Nyí vypočítáme f ( ) + x lim lim lim lim L = = x = x = x = x lim = x x f ( ) = x + + + + + Podle tbulky řd koverguje pro L<, po doszeí x <, tedy x <. Z geometrického výzmu bsolutí hodoty vyplývá: střed x = poloměr R =. x Řd koverguje v itervlu (, + ) = (,). Z tbulky je dále zřejmé, že pro L= řd může kovergovt ebo divergovt. Musíme proto krjí body itervlu (,), v ichž L=, vyšetřit zvlášť. Z x dosdíme do zdáí hodotu x = : ( ) ( ) = + + L+ + L Tto číselá řd koverguje bsolutě, proto číslo x = ptří do oboru kovergece O. Z x dosdíme do zdáí hodotu x = : = + + + L+ + L To je číselá zobecěá hrmoická řd, v íž p=>. Podle tbulky tedy řd koverguje, proto číslo x = ptří do oboru kovergece O. Závěr: O=<-,>. b) x x x x ( ) ( ) ( ) = + + + L+ + L 4 ( + )... ( + ). Fukce jsou defiováy pro všech reálá čísl, tedy D=R. Nejprve určíme podíl + ( x ) f x x x x ( + ) + ( ) ( + ). ( ) ( ) ( + ). + = = = f ( x) ( x ) ( + ). ( x ) 9 + ( + ).. Nyí vypočítáme + f+ ( x) x + x + x L = lim = lim = lim = lim, f ( ) 9 9 9 x + + + Jrmil Doležlová
+ x lim x + x L = = =. 9 9 +. 9 + Podle tbulky řd koverguje pro L<, po doszeí x 9 <, tedy x <9. Z geometrického výzmu bsolutí hodoty vyplývá: střed x = poloměr R = 9. Řd koverguje v itervlu ( 9, + 9) = ( 7,). Z tbulky je dále zřejmé, že pro L= řd může kovergovt ebo divergovt. Musíme proto krjí body itervlu ( 7,), v ichž L=, vyšetřit zvlášť. Z x dosdíme do zdáí hodotu x = 7 : ( 7 ) ( 9) ( ).9 ( ) ( ) = = = = + + + + ( + ). ( + ). ( + ).9 + 4 + L L = = = = Tto číselá řd se zývá Leibizov lze dokázt, že koverguje reltivě, proto číslo x = 7 ptří do oboru kovergece O. Z x dosdíme do zdáí hodotu x = : ( ) 9 = = = + + + + + + ( + ). ( + ).9 + 4 + L L = = = To je hrmoická řd, která diverguje, proto číslo x = eptří do oboru kovergece O. Závěr: O=<-7,). c) ( x) x x ( x) = x + + K+ + K! 6! Nejprve určíme podíl + ( x) f+ ( x) ( + )! ( x) ( x)! x = = =. f ( x) ( x) ( + ).! ( x) +! Nyí vypočítáme f ( ) + x x L = lim = lim = x lim = x. =. f ( x) + + Podle tbulky řd koverguje pro kždé x, protože L=< vždy. Závěr: O=D. Jrmil Doležlová