1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1) krát umocnění n 0 0... 0 x x x n násobení koeficienty a n sčítání. Budeme se snažit počet operací snížit. Způsob řešení ukážeme nejdříve na příkladu. Řešené úlohy Příklad Pro px ( ) = x + 4x + x + určete p(). Řešení: a) Dosazením: p () = + 4. +. + = 8 + 16 + 4 + = 1. b) Metodou kterou budeme nazývat Hornerovým algoritmem (schématem): ( ) ( ) px ( ) = ( x + 4x+ ) x+ = ( x+ 4) x+ x+ p() = ( + 4) + + = ( 6. + ) + = 14. + = 1. Zapišme nyní do prvního řádku tabulky koeficienty daného polynomu do druhého řádku nejprve opišme hodnotu a = 1 a pak zvýrazněné součty z předchozího výpočtu: x 0 a a a1 a0 1 4 1 6 14 1 188
Lze se přesvědčit že čísla 6 14 1 dostaneme tak že číslem x 0 = násobíme číslo 1 z druhého řádku a přičteme k němu číslo 4 z prvního řádku. Pak číslo 6 násobíme opět číslem a přičteme další číslo z prvního řádku tj. číslo a dostaneme 14. Poslední krok už je zřejmý.14 + = 1. Dostali jsme hodnotu p () = 1. Výklad Zobecnění algoritmu: n k K polynomu p( x) = ak x stupně n a číslu 0 k = 0 bn 1 = an bk 1 = x0bk + a k pro k = n n a r = x 0 b 0 + a 0 px ( ). 0 Tabulku pak můžeme zapsat ve tvaru: an n 1 x0 bn 1 n 1 x C přiřadíme postupně čísla 1...1 a 1 b b 0 kde r je hodnota a a 0 r Poznámka Koeficienty bn 1... b 0 jsou koeficienty polynomu p 1 ( x ) stupně n 1 pro který platí: p( x) = ( x x ) p ( x) + r. 0 1 Řešené úlohy Příklad Určete hodnoty polynomu px ( ) = x + 4x + x + pro 1. Řešení: 1 4-1 1-1 4 1 6 14 1 1 7 7 189
Výklad Pro určení kořenů některých polynomů uvedeme bez důkazu větu: Věta 1..1. Jestliže v polynomu n k px ( ) = ax k ak Z je a n = 1 a má-li p( x ) kořeny k = 0 patřící do Z pak jsou tyto kořeny děliteli čísla a 0. Řešené úlohy Příklad Užitím Hornerova schématu určete kořeny polynomu 4 px ( ) = x x 7x + x+ 6. Řešení: Pokud existují celočíselné kořeny pak podle věty 1..1 to mohou být čísla ± 1 ± ± a ± 6. Sestavíme tabulku a uvědomíme si že jsou-li x0 x1 polynomu 0 1 kořeny p( x)a p( x) = ( x x ) p ( x) pak x musí být kořenem polynomu p ( x ). 1 To znamená že v tabulce můžeme při výpočtu použít nově vzniklý řádek. 1-1 -7 1 6 1 1 0-7 -6 0-1 1-1 -6 0 1 1-4 x0 = není kořen 1 x 1 = 1 je kořen p( x) = ( x 1)( x 7x 6) x = 1 je kořen px ( ) = ( x 1)( x+ 1)( x x 6) - 1-0 x = je kořen px ( ) = ( x 1)( x+ 1)( x+ )( x ) 1 0 x4 = je kořen. Rozklad polynomu p( x ) na součin kořenových činitelů lze napsat ve tvaru 4 x x 7x + x+ 6 = ( x 1)( x+ 1)( x+ )( x ). 190
Kontrolní otázky 1. Kterou z funkcí nazýváme polynomem? a) Komplexní funkci komplexní proměnné b) komplexní funkci reálné proměnné reálnou funkci reálné proměnné.. Je součinem polynomů polynom? a) ano b) ne nemusí být.. Je podílem polynomů polynom? a) ano b) ne nemusí být. 4. Hornerovým algoritmem lze pro polynom p(x) určit a) jen kořen polynomu b) jen hodnotu polynomu v daném bodě oboje. 5. Řešení které z uvedených rovnic vede k určení kořenů polynomu. stupně? a) Lineární rovnice b) kvadratické rovnice kubické rovnice. Odpovědi na kontrolní otázky 1. a);. a);. ; 4. ; 5. b). Úlohy k samostatnému řešení 1. Vypočtěte hodnoty následujících polynomů v bodech 0 1-1 - přímým dosazením a pomocí Hornerova algoritmu: 4 a) p( x) = x + x x+ b) qx ( ) = x x + x 4 5 rx ( ) = x x + x.. Nalezněte kořeny polynomu a proveďte rozklad na kořenové činitele: a) x x x+ b) x + x x x + x 4x 1 d) x x+ e) x + 5x + 8x+ 4 f) x x + 4 4 g) x + x 4x 4x h) 4 4 x x + 4x i) x x x + 7x+ 6 j) x x + x 1 k) x 4x + 6x 4 l) 4 x x x x. 191
. Pomocí Hornerova algoritmu vydělte polynomy: 5 4 a) (x 7x + 1x 9x 14x+ 8) : ( x ) 5 4 b) (x 7x + 1x 9x 14x+ 8) : ( x+ ) 5 4 (x x 5x + 6x x+ 7) : ( x+ 1) 5 4 d) (x x 5x + 6x x+ 7) : ( x 1) 6 5 4 e) ( x 6x + x + 19x + x x+ 1) : ( x ). 4. Nalezněte všechny kořeny polynomu p( x ) znáte-li jeden kořen polynomu: a) px ( ) = x 7x+ 6 x 1 = b) px ( ) = x x x+ x 1 = e) p( x) = 4x 8x x+ 5 x 1 = d) 4 p( x) = x x 17x 15x x 1 = 5 f) p( x) = x x + x+ 5 x 1 = 1 4 p( x) = x x 4x 16x x 1 = 4. 5. Která z čísel - - 0 1 4 jsou kořeny polynomu 5 4 px ( ) = x x 10x 5x 1x+ 6? Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. a) 5 5 5 45 ; b) -4-4 -6 6 ; - - - -14 166.. a) 1-1 ; ( x 1)( x+ 1)( x ) ; b) 1-1 - ; ( x 1)( x+ 1)( x+ ) ; - - ; ( x )( x+ )( x + ) ; d) 1 1 - ; ( x 1 ) ( x+ ) e) -1 - - ; ( x+ 1)( x+ ) f) -1 ; ( x+ 1 )( x ) ; g) 0-1 - ; xx ( + 1)( x )( x+ ) h) 0-1 ; xx ( + 1)( x ) ; i) -1-1 ; ( x+ 1) ( x )( x ) j) 1 +i -i ; ( x 1)( x i)( x+ i ) k) 1+i 1-i ; ( x )( x 1 i)( x 1+ i) l) -1 +i -i ; 4 ( x+ 1)( x )( x i)( x+ i).. a) x x + 7x + 5x 4 ; b) 4 80 4 + + ; x 6x + x + 5x 7 ; + x 11x 5x 79x 144 4 8 d) x 5x + x 1 ; e) x 1 x 5 4 x x 6x + x + 5x 7. 4. a) - 1 ; b) -1 1 ; 1 1 ; d) -1 1+i 1-i ; e) 5 0-1 - ; f) 4 0 1+ i 1 i. 5. 1-4. 19
Kontrolní test 5 4 1. Určete koeficienty u x a x součinu f(x) g(x) polynomů 6 4 f(x) = 7x + x + x 5x + x 5 g(x) = x x + 5. a) 67 15 ; b) 67 5 ;. Rozložte polynom f( x) na součin kořenových činitelů: f(x) = 7x 7x + 9x 1. a) (9x + 1) ; b) (x 1) ; 67 5.. Určete celé kořeny polynomu f( x) (užijte ): f (x) = x + x 10x 4. (9x 1). a) ; ; 4; b) ; ; 4; ; ; 4. 4. Určete další kořeny polynomu f(x) a jeho rozklad na součin kořenových činitelů znáte-li jeden jeho kořen x 1 : 4 f(x) = 7x + 50x 50x 7 x1 = 7. a) 1 1; 1; ; b) 1; 7; 7; 7 5. Řešte rovnici: 4 x 4x 10x + 8x 15= 0. 1 1 1; ;. 7 7 a) 0; 1; ; 5; b) 1; 1; ; 5; 1; ; 5; 5. 6. Řešte nerovnici: 4 x x x < 0. a) x < 1 >; b) x ( 1) ; x (1). Výsledky testu 1. a);. b);. a); 4. a); 5. b); 6. b). 19
Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 5 případech pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitoly 1.1. a 1.. znovu. 194