Veličiny jednoky mechnice
Vekory Dokže že úhlopříčky kosočerce jsou n sebe kolmé Řešení Pokládejme srny kosočerce b i jeho úhlopříčky c d z ekory Pro elikosi srn plí b Pro úhlopříčky plí c + b d b Sklární součin c d ( + b ( b b Proože b pk ké c d neboli úhlopříčky jsou n sebe kolmé Vypočěe ýslednici d ekorů i j + k b i + j k c i j + k jednokoý ekor e směru ýslednice Oěře že elikos jednokoého ekoru je ron d 6i j + k d 6 i j k 7 7 7 + Jsou dány ekory i + j b i + j k Vypočíeje elikos průměu ekoru do směru ekoru b ( b ekor ohoo průměu ( b b b i + j k rojúhelník je určen děm ekory i j + 5k b i + j k Složky ekorů jsou dány merech Určee elikos ekoru c jež oří řeí srnu rojúhelník Jsou možná dě řešení: c b c 7 m b c + b c 5 m 5 Plec ple přes řeku kolmo n její proud rychlosí m/s Rychlos proudu řece je 5 m/s Jkou rychlosí ple plec zhledem k břehu řeky? O kolik merů unese proud řeky plce je-li šířk řeky m? m/s m 6 Jká je ploch ronoběžník jehož srny oří ekory i + j k b i j + k jesliže jsou složky ekorů udány merech? b 97 m 7 Pod jkým úhlem α musí plou člun by se dosl n proějším břehu přesně nproi mísu z něhož yplul? Rychlos člunu je zhledem k proudu řece m/s rychlos proudu řece je m/s Jkou rychlosí zhledem k břehu řeky se člun zdluje? α 97 8 m/s
8 Jsou dány d rojúhelníky Jeden má rcholy bodech P (5 - P (6 - P ( - druhý bodech P ( P 5 (- P 6 (- Souřdnice bodů jsou udány merech Kerý z rojúhelníků má ěší plochu? S 8 < S 6 ploch druhého rojúhelník je ěší 9 Ronoběžnosěn je určen řemi ekory -i + j - k b -i + j + k c i + j k Složky ekorů jsou udány merech Jký je objem ronoběžnosěnu jehož hrny jsou ekory b c? V m Vekor r má elikos r 7 eno ekor zčíná bodě A(- jeho složky jsou r r y Určee jeho chybějící souřdnici r z souřdnice bodu B kerý je jeho koncoým bodem B (-5 nebo B (--7 ři ekory oří ronoběžnosěn Určee jeho plochu když yo ekory jsou i + j b i + j k c i + j + k když složky ekoru jsou udány merech Ploch ronoběžnosěnu je 77 m Vypočíeje elikos momenu síly i + j + 9k působící bodě B( - zhledem k počáku souřdného sysému Momen síly M r (Nm M 65 Nm Loďk je žen děm odními skúry n lnech podle obrázku Výsledný směr kerým je loďk žen je shodný s její podélnou osou Velikos ýsledné žné síly kerou působí skúry n loďku je kn Vypočěe o npěí lnech (síly kerými jsou ln npínán když je znám úhel α b elikos úhlu α při kerém je npěí ln minimální o 7 kn 99 kn b α 65
5 Kinemik Polohoý ekor r hmoného bodu záisí n čse podle ronice r c + c kde c c jsou konsnní ekory Jká je jeho rychlos její elikos zrychlení hmoného bodu? Řešení dr d c + c c + cc + c c d d cons Známe-li záislos r( můžeme urči rychlos zrychlení liboolném čse A obrácená úloh? Lze urči záislos r( ( když známe pouze záislos (? Pro jednoznčné řešení koé úlohy je zdání nedosečné Pořebujeme zná počáeční podmínky j r r ( ( proože plí ( ( d + r( ( d + + r 5 Pohyb hmoného bodu je dán ronicí s + 8 75 6 do níž dosdíme-li čs sekundách yjde dráh s merech Určee polohu hmoného bodu z čs s b Njděe ronici rychlosi c Jká je počáeční rychlos? d Jká je ronice zrychlení? e Jké je počáeční zrychlení? f Ve kerém okmžiku je zrychlení nuloé? s m b + 8 c 8ms d e f s ms 6 Pro rychlos hmoného bodu plí ronice 9 8 + do níž dosdíme-li čs sekundách yjde rychlos m/s Jkou dráhu urzí hmoný bod čsoém inerlu od s do 5 s? b Kdy je zrychlení ohoo bodu nuloé? c Ve kerém okmžiku je hmoný bod nehybný? s 76 m b s 9 c nikdy 7 Pohyb u je znázorněn grfem záislosi rychlosi n uržené dráze s n obrázku křikou s Vypočěe elikos zrychlení u sesroje grf záislosi jeho zrychlení n dráze s ( s
6 8 Pilo ledl je od sého cíle zdálen o s km n zápd přiom ne seerozápdní ír o rychlosi u km/h Určee ekor rychlosi ledl keré chce dosáhnou sého cíle z čs min ( 78 8; km/h 9 Pohyb čásice je dán ronicemi Acos ω y Bcosω Určee ronici r její rjekorie B y B A A což je ronice prboly A Určee ronici rjekorie rychlos hmoného bodu jehož pohyb je popsán ronicemi: y b z b kons b y 9 + b * Čásice se pohybuje roině y z počáku souřdného sysému rychlosí c i + c j kde c c jsou konsny i j jsou jednokoé ekory n osách y Jká je ronice rjekorie čásice y(? y c c kže rjekorií je prbol * Čásice se pohybuje přímočře z bodu A do bodu B se zrychlením keré je určeno zhem c c kde c c jsou kldné konsny je její zdálenos od bodu A Určee zdálenos mezi body A B mimální rychlos čásice c c c m c Čsoý inerl mezi přijeím signálu k zsení uomobilu sešlápnuím brzdoého pedálu je u průměrného řidiče si 6 s Může-li uomobil brzdi se zpožděním 5 ms ypočěe celkoou dráhu kerou urzí od okmžiku kdy řidič zpozorol signál do okmžiku kdy zsí byl-li počáeční rychlos uomobilu5 km h s 766 m 6 Dě ěles se pohybují po přímce proi sobě s konsnním zrychlením ms ms Jejich počáeční rychlosi jsou ms 5 ms Počáeční zdálenos je s 75 m Z jký čs se obě ěles sřenou? ěles se sřenou z s
7 5 ěleso pohybující se přímočře s konsnním zrychlením urzí zdálenos s 8 m mezi děm body z čs 6 s Jeho rychlos okmžiku kdy prochází druhým bodem je 5 ms Jké je jeho zrychlení? Jkou rychlos mělo okmžiku když procházelo prním bodem? 5 ms 5 ms 6 ěleso se pohybuje konsnní rychlosí 6 ms V čse s zčne působi konsnní zpoždění k že se ěleso zsí z čs s b n dráze s m Jké je jeho zpoždění obou přípdech? ms b 5 ms 7 Z určié ýšky pdá ěleso A Po čse 5 s zčne pd z ýšky menší o h 9 m ěleso B Jk dlouho pdlo ěleso A jesliže obě dopdl součsně? Pro dobu pádu ěles A plí s 8 Vlk se rozjíždí z klidu s konsnním zrychlením ms po dobu s Po nějkou dobu se pohybuje sálou rychlosí pk bržděním se jeho rychlos zmenšuje se sálým zpožděním ms ž se lk zsí Vypočíeje dobu r po kerou se lk pohybol ronoměrně dobu rání c celé cesy urzil-li lk celkem dráhu s km 8 s c 75 s r 9 Polohoý ekor r hmoného bodu se mění s čsem podle ronice ( c ω c cosω r sin + kde c c jsou konsnní n sebe kolmé ekory ω je kldná konsn Jké je zrychlení hmoného bodu ronice jeho rjekorie y( jesliže směr ekoru c odpoídá orienci osy směr ekoru c orienci osy y? ω r c + y c což je ronice elipsy s poloosmi c c Z pušky se sřílí po uě délky b keré se dá při pozoroání úplně zkrý užkou o průměru c jež je e sislé poloze e zdálenosi d před okem O kolik délek u n se musí míři před uo keré se pohybuje ronoměrně po přímé silnici rychlosí by se zsáhl cíl je-li průměrná rychlos sřely u (u >>? b Jká je zdálenos r u od pušky okmžiku kdy je zsženo sřelou? c Jkou dobu rá pohyb sřely než po opušění hlně zsáhne cíl? d n b cu db r c c db še s ohledem n u >> cu Vodák plul proi proudu řeky práě pod sředem mosu mu ypdl z loďky nfouknuý míč Vodák zpozorol zráu ž z dobu 5 hod Ihned se pk po řece ráil dosihl míč e
8 zdálenosi d 5 km od sředu mosu Vypočěe rychlos ody proudící řece z předpokldu že rychlos loďky u zhledem k odě byl sále sejná 5 km/h Úhloé eličiny Vlk se pohybuje po kruhoé dráze o poloměru 8 m mezi děm body V počáečním bodě dráhy měl lk rychlos 5 km/h koncoém bodě 8 km/h Mezi počáečním koncoým bodem lk urzil 8 m Určee dobu pořebnou k uržení éo dráhy elikos zrychlení počáečním koncoém bodě Řešení Nejdříe budeme užo (posuný pohyb po kolejnicích pk r dráhy Proože nebylo o brždění nic uedeno budeme předpoklád že ykonáný pohyb je ronoměrně zpožděný Pro ronoměrně zpožděný pohyb plí zhy + cons < + s s + kde je zrychlení je rychlos počáeční rychlos s s poloh počáeční poloh oznčuje čs Volíme-li počáeční čsoý okmžik počáeční polohu s koncoý okmžik jko dosneme ronice + + s kde je koncoá rychlos s uržená dráh Získli jsme k dě ronice o dou neznámých jejichž řešením je s s + Po přeodu jednoek doszení dosneme 5 m/s 8 s Vypočené zrychlení odpoídá změně rychlosi je edy s ohledem ykonáný křiočrý (kruhoý pohyb zrychlením ečným Normáloé zrychlení n kde R je poloměr dráhy Velikos ýsledného zrychlení oznčíme R ho c yplýá z Pyhgoroy ěy c ( n + + R s Po doszení číselných hodno dosneme pro celkoé zrychlení n počáku n konci dráhy c ( 8 m/s c ( 8 9 m/s
9 Vyšeřee pohyb hmoného bodu jehož polohoý ekor r záisí n čse dle ronice π - r i A cosb + j A sinb kde A 6 m b s Určee ekor rychlosi jeho elikos směr pomocí jednokoého ekoru b ekor zrychlení jeho elikos dále ečné normáloé zrychlení c r rjekorie pohybu poloměr křiosi rjekorie R d dokže že ekor rychlosi polohoý ekor r jsou zájemně kolmé e ekor úhloé rychlosi ω dokže že ω je kolmé n roinu e keré se pohyb děje edy ω ω r π π i sin + j cos π π π ms τ isin + jcos d r b π π π i cos j sin π ms n π ms d 8 8 8 c rjekorií je kružnice jedná se edy o kruhoý pohyb R 6 m d r e ω ω r * Hmoný bod se pohybuje zpomleně po kružnici o poloměru R k že liboolném čse pro normáloé zrychlení n ečné zrychlení plí Počáeční rychlos hmoného bodu byl Jká je rychlos elikos zrychlení hmoného bodu záislosi n dráze s? s / R s / R e e R 5 Hmoný bod se pohybuje po kruhoém oblouku o poloměru R Jeho rychlos záisí n uržené dráze l podle zhu c l němž c je kldná konsn Určee úhel α sírný ekorem rychlosi zrychlení hmoného bodu Pro hledný úhel α plí g α l R 6 Hmoný bod se pohybuje po kružnici o poloměru R m k že jeho úhloá souřdnice je dán zhem ϑ + Jké jsou elikosi normáloého ečného zrychlení čse s edy n ( s ( s? Při jké hodnoě ϑ bude jeho celkoé zrychlení sír s poloměrem kružnice úhel α 5? n ϑ 6 n ms 8ms rd 7 Dokže že jesliže se ěleso rozočí z klidu s konsnním úhloým zrychlením ε kolem pené osy pk dosředié zrychlení n liboolného bodu ěles je přímo úměrné úhlu ϕ o kerý se ěleso oočilo O jký úhel ϑ se ěleso oočilo jesliže celkoé zrychlení liboolného bodu sírá s dosřediým zrychlením n úhel α 6? Pro funkční záislos (ϕ plí εrϕ Pro úhel plí ϑ 887 rd n n
8 Roor o průměru cm zýšil sé oáčky ze oáček/min n 9 oáček/min z 5 s Určee úhloé zrychlení rooru poče oáček N ykonný po dobu zrychloání konečnou obodoou rychlos obodoé zrychlení určiého bodu n obodu rooru ε 6 rd/s N 75 oáček 9 m/s 88 8 m/s 9 Kruhoá oáčiá plošin průměru d m se oočil o 8 Prních byl pohyb ronoměrně zrychlený konečná obodoá rychlos okrjoých bodů byl m s S ouo rychlosí se pk plošin ronoměrně oočil o 6 Posledních se plošin oáčel ronoměrně zpožděně zsil se Jk dlouho rly jednolié ři čásečné pohyby? b Jk elké bylo úhloé zrychlení (zpoždění n zčáku (konci pohybu? c Jk elké bylo normáloé zrychlení okrjoých bodů při ronoměrném pohybu? d Jk elké bylo ečné zrychlení (zpoždění okrjoých bodů n zčáku (konci pohybu? Čsy podle úseků: 7 s 95 s 7 s b Úhloé zrychlení (zpoždění prním (řeím úseku ε ε 5 c Normáloé zrychlení e druhém úseku n m s s d ečné zrychlení (zpoždění prním (řeím úseku 5 m s Jkou rychlosí se pohybuje sřed koule o poloměru R lí-li se koule ronoměrně bez klouzání úhloou rychlosí ω po dou ronoběžných kolejnicích mezi nimiž je zdálenos d < R jesliže pro d plí d R / b d R 97Rω b 87Rω Jkou rychlosí je nuno hodi ěleso sisle dolů z ýšky h by dopdlo o čs τ dříe než při olném pádu? 8gh gτ gτ 8gh gτ Po bsoluně hldkém shu klouže ěleso bez ření dolů Úhel sklonu shu je α délk shu je l m Z jký čs urzí ěleso celou dráhu jesliže jeho počáeční rychlos byl? ms s ěleso olně pdá e kuu z ýšky h Rozděle uo ýšku n n čásí k by čs pádu kždé čási byl sejný Vypočěe délku jednoliých čásí pro h 5 m n 5 n n h Z rekurenního zhu pk ypočeme pro h 5 n 5: n m 9 m 9 m 68 6m 88 m 9 5
* Hmoný bod ržený počáeční rychlosí pod úhlem α opíše e kuu prbolu Určee elikos rychlosi ečné normáloé zrychlení hmoného bodu obecném bodě dráhy ( g g g gy n sinα cosα Dynmik Hybnos síl impuls síly 5 Pohyb hmoného bodu o hmonosi m 5 kg je dán ronicemi + y + z [ms] Určee elikos směr působící síly čse s Řešení cos cos cos N 9 N ms 6 ( 6 ( ( ( N ms ( ( ( ( N ms ( ( ( ( z y + + + + γ β α m d z d m d y d m d d m z z z z z z y y y y y 6 Dráh ěles o hmonosi m kg keré se pohybuje po ose je dán zhem 5 [ms] Jká je síl působící n ěleso liboolném okmžiku? 7 ěleso o hmonosi m kg se pohybuje účinkem proměnlié síly p(q kde p N/s q s Z jk dlouho se ěleso zsí jkou dráhu přiom urzí jesliže čse mělo rychlos m/s síl má směr rychlosi ěles? s + m s 77 8 N ěleso o hmonosi m kg keré je klidu počáku souřdného sysému zčne působi proměnliá síl [Ns] Njděe ýrz pro polohu rychlos ěles liboolném čse c proože pro c s s proože pro 5
9 N ěleso o hmonosi m ležící n podlze působí síl pod úhlem α zhledem k podlze Jk dlouho musí síl působi by ěleso nbylo rychlosi? ření neužuje m cosα 5 ěleso se pohybuje působením íhy po nkloněné roině o sklonu α o z bodu A do bodu B Určee rychlos ěles bodě B je-li zdálenos mezi body m koeficien smykoého ření µ rychlos ěles bodě A je nuloá B 9 m/s 5 Dřeěný hrnol o hmonosi m kg leží n odoroné podložce Je zsžen sřelou o hmonosi m 5 g Sřel něm zůsne hrnol se posune po podložce po dráze délky s 5 cm Koeficien smykoého ření mezi hrnolem podložkou je µ Vypočíeje rychlos sřely - 6 m s 5 Přes penou kldku oáčející se kolem odoroné osy je edeno lákno n jehož koncích jsou zěšen záží o hmonosech m kg m kg Hmonos kldky lákn lze znedb Jk elké je zrychlení pohybu záží? Jkou lkoou silou působí čep kldky n sá ložisk při pohybu záží? 8 ms - N 5 Síl působí n ěleso o hmonosi m 6 kg růsá podle zhu + [Ns] Jký impuls I udělí síl ělesu prních dou sekundách sého působení? b Jk dlouho musí síl působi by její impuls byl roen 9 Ns? c Jká bude rychlos ěles n konci čsoého inerlu ypočeného dle předchozího bodu byl-li jeho počáeční rychlos m/s? I Ns b 7 s c 6 m/s 5 Sřel o hmonosi m g opusí úsí hlně rychlosí m/s Síl hlni je dán zhem [ Ns] Jk dlouho rá pohyb sřely hlni? ms 55 Sálá síl působí n ěleso íhy G V okmžiku kdy zčne síl n ěleso působi pohybuje se ěleso rychlosí Z jkou dobu se rychlos ěles zýší n n násobek počáeční rychlosi? ( n G g
56 * Kádr o íze G leží fioán klidu n nkloněné roině je spojen lnem přes kldku umísěnou n rcholu nkloněné roiny se zážím íhy G keré isí kolmo dolů Po uolnění se o kádr působením íhoé síly dá do pohybu po nkloněné roině s úhlem sklonu α Jk elký je poměr G G jesliže kádr ykoná z dobu 8 s dráhu s m směrem dolů? b Jkou elkou hodnou musí mí poměr G G má-li kádr kon po nkloněné roině pohyb ronoměrný? ření oáčiý pohyb kldky znedbeje G G b G G 5 57 Míč o hmonosi m 5 g je ržen odoroně proi sislé sěně Jeho rychlos před nárzem je m/s po odrzu 5 m/s Dob po kerou se míč doýkl sěny je 5 s Vypočěe hybnos míče před nárzem po něm sřední hodnou síly kerou sěn n míč působil p pred 5 kgm/s p 875 kgm/s 875 N po 58 Grná o hmonosi m kg leící rychlosí m/s ybuchne rozrhne se n dě sřepiny Prní sřepin o hmonosi m kg pokrčuje e směru pohybu kerý je shodný se směrem pohybu grnáu rychlosí m/s Určee elikos směr rychlosi druhé sřepiny 5 m/s 59 * ěleso o hmonosi m je rženo po nkloněné roině (úhel sklonu α směrem zhůru s počáeční rychlosí čse Vypočíeje délku rjekorie s po jejímž proběhnuí se ěleso zsí příslušnou dobu je-li pohyb ěles oliňoán pouze íhou ěles G smykoým řením jehož koeficien je µ s g( sinα + µ cosα g( sinα + µ cosα 6 Záží připeněné ke sislé ose oáčení nií délky l 5 m se oáčí e odoroné roině n odsřediém sroji Při frekenci f 7/ Hz se ni přerhne S jkým zrychlením je nuno zed oéž záží zěšené n nii sejného druhu zhůru by se ni přerhl? 6ms 6 Cyklis projíždí odoronou záčkou o poloměru R m rychlosí 5 m/s Hmonos cyklisy kol je 8 kg Jkou nejmenší hodnou musí mí koeficien smykoého ření µ mezi gumou porchem silnice by cyklis nedosl smyk? O jký úhel α se musí cyklis s kolem nkloni od sislé roiny? Jký je ýsledný lk n porch silnice? µ 55 g α µ m + R g R
6 Hmoný bod o hmonosi m je přiázný n nii délky R je nucen obíh po kružnici e sislé roině kolem odoroné osy s frekencí f Určee npěí niě bodech A B C D n obrázku! D C R ϕ B A mrπ f + mgcosϕ m( π f R + gcosϕ A B m( f R g f Rm m( + f R g π π π C 6 Hmoný bod o hmonosi m zěšený n nii opisuje e odoroné roině kruhoou dráhu Délk záěsu je l hmonos záěsu můžeme znedb Záěs sírá s ěžnicí úhel β Určee rychlos oběžnou dobu ohoo bodu sílu kerá npíná záěs D g l sinβ gβ π lsinβ mg cosβ 6 * N porchu bsoluně hldké koule je hmoný bod mesbilní poloze Když ho ychýlíme bude se pohybo nejpre po porchu koule Jk elká je zdálenos h průměu mís němž bod opusí porch koule do sislého průměru koule rcholu koule? V jké zdálenosi d od sislého průměru koule dopdne n odoronou podložku? Poloměr koule R 5 m h 5 m d m Práce ýkon 65 Jk elkou práci ykoná proměnliá síl i + 5 j + k [ Ns] po křice r i j + 5 k [ ms] jejíž působišě se posouá době mezi okmžiky s 5 s? Jký je průměrný ýkon udném čsoém inerlu jký je okmžiý ýkon koncem čré sekundy? Řešení ( i + 5 j + k ( i j + 5 k d ( + d da dr da 6 A da ( + 6 d A Průměrný ýkon činí A P P W Výkon dr P d [ + 6] J 5
5 Pro ýkon koncem čré sekundy máme ( 6 i + 5 j + k dr i j + 5 k ( i 6 j + 5 k d P 8 8 + 6 8 ( W Mohli jsme ké yuží již ypočený zh P( + 6 66 ěleso o hmonosi m kg je ženo po odoroné roině silou kerá s ouo roinou sírá úhel α Během pohybu síl zrůsá podle zhu 6 kde je měřeno N m Úhel α roněž zrůsá o k že plí cos α 7 Jk elkou práci ykoná síl jesliže přesune ěleso z mís o souřdnici m do mís o souřdnici m? A 5 J 67 Jk elké práce je zpořebí k odžení bedny íhy G do zdálenosi s po odoroné podlze je-li bedn žen z proz kerý sírá s odoroným směrem úhel α? Koeficien smykoého ření mezi bednou podlhou je µ µ mgs A + µ gα 68 Síl 8 N působí odoroně n ěleso o hmonosi m kg keré leželo půodně klidu n odoroné dokonle hldké podložce Njděe (okmžiý ýkon kerý yíjí síl n konci pré páé sekundy ké průměrný ýkon yíjený silou během pré sekundy prých pěi sekund 6 P( W P( 5 W 6 P( W P( 5 W 69 Jkou práci musíme ykon bychom posunuli ěleso o hmonosi m kg po dráze s 6 m zhůru po nkloněné roině jejíž soupání je α o koeficien smykoého ření µ? A 6 J 7 Auo jede do elmi mírného kopce sálou rychlosí 5 m/s u čás skuečného ýkonu P mooru u kerá se yužije n udržoání ozidl pohybu oznčme P Jede-li uo při sejné hodnoě P z kopce dolů nbude rychlosi m/s Jké rychlosi nbude při sejném ýkonu P pojede-li po odoroné roině? 8 m/s 7 Homogenní krychli o hrně přemísíme do zdálenosi s jednou k že ji áhneme po podložce podruhé k že ji překlápíme přes hrnu Koeficien smykoého ření krychle
6 podložky je µ ření při překlápění krychle můžeme znedb Při jkém koeficienu smykoého ření µ jsou práce při obou způsobech přemísění sejné? ( µ Zákony zchoání 7 Hmoný bod o hmonosi m se pohybuje bez ření po nkloněné roině kerá n konci přechází e álcoou plochu o poloměru R Z jké ýšky h se musí bod pohybo by uděll celou obráku nespdl když jeho počáeční rychlos je? Řešení A h B R Podle obrázku musí bodě B pro hmoný bod by nespdl pli podmínk ( mezním ru G S mg m gr R bodech A B zákon zchoání mechnické energie j ronos mgh + + m mgr m z níž po doszení z z prní ronice po úprě obdržíme hledné řešení 5gR h g 7 Jkou nejmenší rychlosí musí je cyklis do sislé kruhoé smyčky poloměru R 5 m by smyčkou bez nehody projel? ěžišě kol cyklisy je e ýšce m ření znedbeje 65 m/s 7 Dě loďky plují proi sobě ronoběžným směrem Když se sekjí ymění si cesující nzájem pyle o sejných hmonosech m 5 kg Následkem oho se prní loďk zsí druhá pluje dál rychlosí 85 m/s Určee rychlosi loděk před ýměnou pylů jsou-li hmonosi loděk s nákldem m 5 kg m kg m/s 9 m/s
7 75 Nehybný grná se při eplozi rozdělil n dě čási o hmonosech m m m Určee celkoou uolněnou kineickou energii E íe-li že čás m odleěl s kineickou energií E J E 5 J 76 * Jká je žná síl rkey kerá spálí z sekundu kg pli produky hoření ryskjí z rkey rychlosí u m s -? Jké je počáeční zrychlení rkey jké je její zrychlení f ěsně před shořením eškerého pli je-li lsní hmonos rkey m 5 kg rkeě je před zpálením moorů M kg pli? Jkou rychlos m dosáhne rke ěsně po shoření eškerého pli je-li její počáeční rychlos nuloá? Předpokládeje že n rkeu kromě žné síly moorů nepůsobí jiná síl N 66 7 m s m s m s f m - Srážky 77 Dokže že po dokonle pružném necenrálním rázu čásice s nehybnou čásicí éže hmonosi se čásice rozleí prém úhlu Řešení Oznčme hmonos obou čásic m rychlos nléájící čásice rychlos éo čásice po srážce rychlos půodně sojící čásice po srážce Zákon zchoání hybnosi má r zákon zchoání energie (pružná srážk r m m + m resp + m m + m resp + kde jsme yužili skuečnosi že pro kždý ekor je kdrá jeho elikosi roen sklárnímu součinu oho ekoru se sebou smým Do ýrzu yplýjícího ze zákon zchoání energie dosdíme záislos pro ( + + + + Důsledkem éo ronice je zh Buď je edy někerý z ekorů nuloý nebo ekory jsou n sebe kolmé poždoný důkz je proeden Zjisíme co by znmenl nuloos někerého z ekorů
8 Je-li pk se prní čásice zsil druhá je ueden do pohybu rychlosí ronou rychlosi nléájící čásice o je zřejmě přípd cenrálního rázu Podle podmínek úlohy je ráz necenrální eno přípd je edy yloučen Jeli znmená o že druhá čásice zůsl klidu prní se prosě pohybuje dále kže k žádnému rázu nedošlo I eno přípd neodpoídá zdání úlohy rzení je edy dokázáno 78 N kouli hmonosi m pohybující se rychlosí u nrzí jiná sejně elká koule hmonosi m kerá se pohybuje rychlosí u e sejném směru Koule jsou homogenní jejich hmoné sředy se pohybují po éže přímce Spočíeje rychlosi koulí po srážce m m m m m m u + u u u m + m m + m m + m m + m Jedná se o přímou cenrální srážku Rychlosi před po srážce budou leže jedné přímce Při ronosi hmonosí koulí si koule pouze ymění rychlosi: u u 79 D hmoné body o hmonosech m g m 5 g mjí před srážkou během keré se rle spojí rychlosi ( cm s - ( 5 cm s - Jká je rychlos hmoného sředu sousy? Jká je hybnos spojených hmoných bodů p? Jká je hybnos spojených hmoných bodů S ěžišťoé souřdné sousě p? Jký je poměr energii před srážkou? 5 - - E k S ( 5 cm s p (5 5 g cm s p 7 7 E E E k k kineické energie po srážce ke kineické 8 * Dě koule o hmonosech m m se pohybují proi sobě srzí se Srážk je dokonle nepružná Před srážkou byly kineické energie koulí poměru E / E Z jké podmínky se budou koule po srážce pohybo e směru půodního pohybu druhé koule? m / m > 8 Dě koule o hmonosech m 5 kg m kg pohybující se proi sobě rychlosmi 5 m/s 8 m/s se nepružně srzí Určee jká čás kineické energie éo sousy přejde n energii jiného druhu npř epelnou k E 5 J
9 Memické kydlo 8 Jká je period kmiu memického kydl n obrázku pro délku záěsu l 5 m ýšku elmi enké překážky d 5 m? Sislá překážk míří přesně do ronoážné polohy kydl d l s 8 Délk záěsu memického kydl je l Je-li hmonému bodu kydl ronoážné poloze udělen rychlos jk dleko se kydlo ychýlí od ronoážné polohy než se zsí? Odpor prosředí smozřejmě neužuje l g g 8 * Vyjádřee záislos rychlosi memického kydl n poloze j (ϕ při jeho pohybu liem íhoé síly z předpokldu že délk záěsu je l Určee ké sílu npínjící lákno m n ( + glcosϕ glcosϕ + l Grice 85 Kuličk o hmonosi m leží e zdálenosi od bližšího konce enké přímé homogenní yče hmonosi m délky l Sřed kuličky leží n podélné ose yče Vypočíeje sílu kerou se obě ěles přihují Řešení m m d l d m m mm d χ l χ kde m d je hmonos elemenu yče délky d je zdálenos ohoo elemenu od sředu l kuličky Inegrcí podél celé délky yče dosneme sílu l+ d m m d mm l mm d χ l χ l χ l ( l + ( l +
86 N 5 zeměpisné šířky dopdá n zemský porch ěleso o hmonosi m kg rychlosí m/s Jká je hodno odsředié Coriolisoy síly keré n ěleso působí při jeho dopdu? 8 N N od cor 87 Jkou odoronou rychlos je řeb uděli ělesu e ýšce h 5 km nd zemským porchem by se pohybolo jko umělá družice Země po kruhoé dráze když zemský poloměr má hodnou R 678 km? 7 6 km s 88 ěleso hmonosi m je rženo sisle zhůru z porchu Země rychlosí ýšky ysoupí nepřihlížíme-li k odporu prosředí? ms Do jké ěleso ysoupí do ýšky 5 km 89 Vypočěe hmonos M Slunce jesliže sřední zdálenos Země Slunce je r 95 m 7 dob oběhu Země kolem Slunce je 557 s M kg 9 enká homogenní yč hmonosi m délky l leží ose Njděe ýrz pro griční poenciál inenziu gričního pole bodě P kerý leží ose má -oou souřdnici přičemž > l/ V l + m ln χ E χ m l l l 9 Určee sílu kerou n sebe působí homogenní yč hmonosi m délky l hmoný bod hmonosi m Hmoný bod leží n ose symerie yče e zdálenosi od yče χ m m l + 9 * Určee inenziu gričního pole bodě P n ose enkého prsence o hmonosi m poloměru R e zdálenosi od sředu prsence Ve keré zdálenosi od sředu prsence doshuje inenzi pole mim? m R E χ m ± ( + R 9 Nechť je směrem do sředu Země dále k proinožcům yrán knál z něhož je yčerpán zduch předpokládejme že do ohoo knálu pusíme kuličku Určee jký pohyb bude kuličk
ykoná dále z jkou dobu se dosne do sředu Země jkou m bude mí rychlos Zdůodněe jk souisí zkoumný pohyb kuličky s kruhoým pohybem družice kolem Země znedbelné ýšce nd jejím porchem Husou Země požuje z konsnní Poloměr Země nechť je R 6 km íhoé zrychlení n jejím porchu je 98 m/s Náod Sese yřeše pohyboou ronici kuličky Kuličk bude ykoná hrmonický kmiý pohyb R π gr Číselně 8 min 79 km/s g Rychlos kerou jsme ko obdrželi je ron I kosmické rychlosi Pohyb knálem edoucím sředem Země je oiž průměem kruhoého pohybu kolem Země což lze sndno prokáz zpíšeme-li -oou složku pohyboé ronice pro družici Roce Momeny serčnosi 9 Určee momen serčnosi enkého koouče zhledem k ose jdoucí jeho sředem kolmo n roinu koouče Hmonos koouče je m jeho poloměr R Řešení dr J r m ρπr dm dm ρdv πrρ dr r R J πρ R r dr πρ r R R ρπr R m 95 Určee momen serčnosi obdélník o rozměrech b hmonosi m zhledem k ose kerá je ronoběžná se srnou b leží roině obdélník prochází jeho ěžišěm b zhledem k ose kerá prochází hrnou b m J m J b 96 Určee momen serčnosi enké yče o hmonosi m délce l kolem osy jdoucí koncem yče yč sírá s osou oáčení úhel ϕ J ml sin ϕ
97 Určee momen serčnosi přímého ročního kužele o ýšce h poloměru zákldny R hmonosi m kolem jeho geomerické osy J mr 98 Vypočěe momen serčnosi álce o nějším poloměru r niřním poloměru r o hmonosi m zhledem k ose kerá prochází sředem jeho pods m J ( r + r 99 * Určee momen serčnosi koule o hmonosi m poloměru R zhledem k ose jdoucí ěžišěm koule J mr 5 Roční pohyb Serčník jehož momen serčnosi je serčník působí brzdící momen dný zhem M 8 π [ Nms ] J kgm koná n 8 oáček/min N Z jk dlouhý čs se serčník zsí? b Kolik oáček N ykoná serčník z eno čs? Řešení M J ε dω ε d ω πf ω π 6π s ε ω εd M J f + 6π 8 π ε 8 s 6 ω 6s 9 6π π 9π d π Hz + ω b ϕ ωd ϕ ϕ π ( π + 6π ϕ 5π N π π + 6π d π 5 5π + 6π + c c
Serčník má momen serčnosi J kg m oáčí se s frekencí f 5 Hz Jký řecí momen jej ronoměrně zsí z 9 s? M 6978 Nm * N roor mooru jehož počáeční úhloou rychlos známe působí brzdný momen úměrný úhloé rychlosi Určee koeficien úměrnosi mezi brzdícím momenem úhloou rychlosí je-li udán celkoý poče oáček do zsení Náod Vyjděe z pohyboé ronice Je-li celkoý úhel oočení ϑ roen π násobku poču oáček do zsení pk neznámý koeficien úměrnosi k je dán zhem k ω ϑ Poznmenejme že prkicky nemusíme ček do nekonečn Npříkld z dobu 7 k 7 klesne úhloá rychlos n méně než jedno promile půodní rychlosi úhel oočení se od liminího ké liší méně než o jedno promile N kolo oáčié kolem pené osy působí očiý momen M Nm po dobu s Z uo dobu zrose úhloá rychlos kol z nuly n ω π s Vnější oáčiý momen pk přesne působi kolo se zsí řením z čs s Určee momen serčnosi kol J momen síly ření M celkoý poče oáček N ykonných kolem J 9 kg m Nm M 55 N 6 Přes kldku o momenu serčnosi J o poloměru R je edeno lnko se znedbelnou hmonosí n jehož koncích jsou záží o hmonosech m m m > m S jkým zrychlením bude kles ěžší záží? Lnko po kldce neklouže! d d m m J m + m + R g Zrychlení je edy konsnní 5 Dě záží o hmonosech m m jsou zěšen n dou dokonle ohebných nehmoných láknech kerá jsou ninu n dou zájemně spojených kooučích o celkoém momenu serčnosi J zhledem k ose oáčení různých poloměrech r r Určee zrychlení kždého ze záží mr mr mr mr r g r g m r + m r + J m r + m r + J 6 * Po nkloněné roině se sklonem α klouže bez ření ěleso o hmonosi m pohání přiom přes kldku upeněnou n rcholu nkloněné roiny homogenní álec hmonosi m poloměru R k že je s ním spojeno lnem Určee úhloé zrychlení álce ε h ln z pohybu Hmonos kldky ln neužuje Lno kldce neprokluzuje mg sinα ε ( m + m R mmg sinα m + m
7 * Vypočěe zrychlení álce lícího se po nkloněné roině s úhlem sklonu α je-li jeho momen serčnosi mr J g 8 * yč délky l je zěšen koncoém bodě může se oáče kolem odoroné osy kolmé n yč Jkou rychlos musíme uděli dolnímu konci yče by se pooočil do odoroné polohy? Pro momen serčnosi yče zhledem k její ose symerie plí J ml gl 9 * Vodoroný koouč o poloměru R s momenem serčnosi J se olně oáčí kolem sislé osy procházející jeho sředem s konsnní úhloou rychlosí ω N jeho okrji sojí čloěk hmonosi m Určee úhloou rychlos kooučeω přejde-li čloěk z jeho okrje do sředu Jk se při om změní kineická energie celé sousy? mr + mr ω E E mr ω k k ω + J J Kmiy lnění Vypočíeje mpliudu A fázoou konsnu α nelumeného hrmonického pohybu po přímce je-li dob kmiu 5 s čse byl okmžiá ýchylk cm rychlos m/s Řešení Pro okmžiou ýchylku plí Acos( ω +α pro rychlos Aω ( ω + α Pro uedené počáeční podmínky plí sin Acosα Aω sinα Dosdíme-li do posledních dou ronic ω π / pk z nich mpliudu fázoou konsnu yjádříme A + π gα Po doszení A m α 6 ' π
5 * Nezížená pružin má délku l Když se n ní zěsí záží o hmonosi m je po usálení její délk l + h N záží keré je klidu dopdne z ýše h druhé záží sejné o hmonosi zůsne n něm Určee dobu kmiu mpliudu A ohoo sysému Hmonos pružiny znedbeje h A h π g δ y sin yo Zeďe do obecného ýrzu pro lumený kmi kerý má r Y e ( ω + ϕ počáeční podmínky pro je y y ω δ y y e sin( ω + ϕ ω Ve ruťoém U mnomeru je g rui Ploch niřního průřezu U rubice je S cm Je-li ruť ychýlen z ronoážného su zčnou hldiny kpliny obou rmenech ykoná hrmonický pohyb Vypočíeje dobu kmiu ohoo pohybu Kpilární síly ření znedbeje Huso rui je ρ 6 g/cm 77 s Husoměru álcoého ru o průměru d plooucímu kplině husoy ρ byl udělen mlý sislý impuls Určee dobu kmiu husoměru o hmonosi m Pohyb kpliny ření znedbeje π m d ρ g 5 Dě čásice ykonájí hrmonický pohyb po éže přímce se sejnou mpliudou - - A cm Kruhoé frekence ěcho kmiů jsou ω s ω s V čse obě čásice procházejí bodem e směru kldné osy ; jsou e fázi Určee jké zdálenosi se budou ncháze čásice čse 5 s 8 cm 6 Sislá pružná spirál o uhosi k 5 N/m je n jednom konci upeněn Ke druhému konci je připeněn ni n níž isí záží o hmonosi m kg Jkou nejěší počáeční ýchylku Y směrem dolů můžeme uděli záží by při ko zniklých kmiech byl ni sále npjá? Y 96 cm
6 7 * Jký pohyb znikne superpozicí dou ronoběžných hrmonických kmiů se sejnými kruhoými frekencemi ω mpliudmi cm cm fázoými konsnmi α o α 6 o? + + cos( α α 8 cm ázoá konsn ohoo kmiu α je dán zhem sinα + sinα gα gα 5 α 57 cosα + cosα 8 * Jký ýsledný pohyb znikne složením dou hrmonických kmiů sejného směru? Ampliudy kmiů jsou mm kruhoé frekence jsou ω 99 s - ω s - α α cos cos 99 5 + cm Jde o přípd rázu s kruhoou frekencí kmiůω 99 5s s frekencí rázů f r s ázoá konsn α záisí π n fázoém posunu čse kerý nebyl udán 9 Dě roinné sinusoé lny posupují sejným směrem rychlosmi ěmo lnám přísluší lnoé délky λ λ Určee zdálenos d mezi sousedními roinmi e kerých kmiy zbuzené oběm lnmi jsou e fázi Vyjádřee zh pro rychlos u pohybu ěcho roin λ λ λ λ d u λ λ λ λ Určee rychlos šíření ln znikjících n odní hldině z lodí pluje-li loď rychlosí přímé okrje brázdy z ouo lodí sírjí úhel ϕ sin ϕ * Dokže že ýrz y i Ae ( ω k kde k je lnoé číslo yhouje lnoé ronici y y