Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá. Je tedy souměrná podle počátku. 3. Dále si spočítáme průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík s osou y je v bodě [0;0]. Průsečík s osou x získáme řešením rovnice. Dále je. Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když. Rovnice x²+2=0 se nikdy nerovná 0. Rovnice má tedy jedno řešení x=0. Průsečík s osou x je v bodě [0;0]. 4. V dalším kroku budeme danou funkci derivovat. Tedy. Stacionární body neexistují. 5. daná funkce je tedy rostoucí. 6. Dále provedeme druhou derivaci funkce. Nyní druhou derivaci funkce položíme rovnu nule 6x=0 x=0. Bod x=0 je nulový bod druhé derivace. 7. Nyní hledáme inflexi funkce. Bod x=0 určuje intervaly (-,0),(0,+ ). Sestrojíme si tedy tabulku: f ''(x) (-,0) (0,+ ) - + Konkávní Konvexní 8. 9. Nyní budeme hledat asymptoty funkce tedy a. Graf funkce nemá asymptoty se směrnicí ani asymptoty bez směrnice. 10. Dále určíme obor hodnot: H(f)=R
11. Nakonec sestrojíme graf funkce:
Mocninná funkce: Příklad 2 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Za prvé si určíme definiční obor funkce: D(f)=R. 2. Hned jako další krok zjistíme, zda je daná funkce sudá nebo lichá: Funkce je sudá. Je tedy souměrná podle osy y. 3. Dále budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík s osou y je v bodě [0;0]. Průsečík s osou x vypočítáme vyřešením rovnice. Rovnici budeme řešit substitucí tedy x²=a. Získáme rovnici a²-6a+5=0 dále je. Kořeny rovnice získáme tak, že dosadíme do rovnice x²=a a1 a a2. Dosadíme a 1 =5 do rovnice x²=a a dostáváme rovnici x²=5 tedy. Dále dosadíme a 2 =1 do rovnice x²=a a dostáváme rovnici x²=1 tedy x=±1. Průsečíky s osou x jsou v bodech 4. Dále budeme funkci derivovat tedy. Dále položíme derivaci funkce rovnu 0 a dostaneme rovnici: rovnici upravíme do součinového tvaru:. Kořeny rovnice jsou body. 5. V dalším kroku si určíme monotónnost funkce. Body určují intervaly f '(x).. Sestrojíme si tabulku: - + - + Klesající Rostoucí Klesající Rostoucí budeme funkci podruhé derivovat 6. 7. Dále. Nyní druhou derivaci funkce položíme rovnu nule rovnici upravíme do tvaru. Kořeny rovnice jsou body a. 8. Nyní budeme řešit inflexi funkce. Body a určují intervaly. Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku: (-,-1) (-1,1) (1,+ )
f ''(x) + - + Konvexní Konkávní Konvexní 9. 10. Dále budeme hledat asymptoty funkce: a asymptoty bez směrnice. 11. Nyní si určíme obor hodnot: 12. Nakonec sestrojíme graf funkce:. Graf funkce nemá asymptoty se směrnicí ani
Zadání: Vyšetřete průběh exponenciální funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy. 2. 2) Dále určíme paritu funkce: Daná funkce není ani sudá ani lichá. 3. Nyní určíme průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík s osou y graf funkce nemá, protože z definičního oboru funkce je zřejmé, že za x nelze dosadit 0. Průsečík garfu funkce s osou x dostaneme tak, že za y dosadíme 0. Po dosazení 0 za y dostaneme rovnici. Po úpravě nám vyjde. Průsečík s osou x je tedy v bodě. 4. Dále budeme počítat první derivaci funkce. První derivace funkce je rovna. Dále vypočítáme nulové body první derivace funkce. Nulové body vypočítáme tak, že položíme první derivaci funkce rovnu nule, Dostaneme tedy rovnici. Po úpravě nám vyjde kvadratická rovnice. Kořeny této kvadratické rovnice jsou body a. 5. V dalším kroku určíme monotónnost funkce, vyšetříme tedy znaménka první derivace na definičním oboru funkce f. Body a a bod nespojitosti z definičního oboru určují intervaly,, a. Pro zjištění monotónnosti si sestrojíme tabulku: f '(x) + - - + Rostoucí Klesající Klesající Rostoucí budeme počítat druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je 6. 7. Dále. Dále položíme druhou derivaci funkce rovnu nule. Dostaneme
rovnici. Po úpravě nám vyjde rovnice ve tvaru. Nulový bod druhé derivace je tedy v bodě. 8. Nyní můžeme určit inflexi funkce. Nulový bod druhé derivace a bod nespojitosti z definičního oboru nám určují intervaly, a. Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku: 9. f ''(x) - - + Konkávní Konkávní Konvexní 10. Dále počítáme asymptoty se směrnicí.. Po úpravě vyjde k=1. Dále počítáme q, tedy. Po úpravě vyjde q=-3. Asymptota má tedy tvar y=x-3. Zbývá vyšetřit chování funkce v bodě x=0, ve kterém není funkce definována, tedy,. 11. Dále si určíme obor hodnot funkce, tedy 12. Nakonec sestrojíme graf funkce:
Zadání: Vyšetřete průběh exponenciální funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy D(f)=R. 2. 2) Dále určíme paritu funkce: Daná funkce není ani sudá ani lichá. 3. Nyní budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík grafu funkce s osou y dostaneme tak, že za x dosadíme 0. Po dosazení nám vyjde, že průsečík s osou y je v bodě [0,0]. Průsečík grafu funkce s osou x vypočítáme dosazením 0 za y. Po dosazení a úpravě rovnice nám vyjde průsečík s osou x v bodě [0,0]. 4. Dále budeme počítat první derivaci funkce. První derivace funkce je dostaneme rovnici. Nyní položíme první derivaci funkce rovnu nule,. Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když se. Nulové body první derivace jsou tedy body a. 5. V dalším kroku si určíme monotónnost funkce. Nulové body první derivace nám určují intervaly (-,0), (0,2) a (2, ). Pro určení monotónnosti si sestrojíme tabulku: f '(x) (-,0) (0,2) (2, ) - + - Klesající Rostoucí Klesající 7. Dále si vypočítáme druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je funkce rovnu nule. Dostaneme tedy rovnici ve tvaru je vždy kladný stačí nám vyřešit rovnici 6.. Nyní položíme druhou derivaci. Protože výraz. Kořeny této kvadratické rovnice jsou body a. 8. Nyní můžeme určit inflexi funkce. Nulové body druhé derivace určují intervaly, a. Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku: 9. f ''(x) + - + Konvexní Konkávní Konvexní 10. Dále
budeme určovat asymptoty funkce. Asymptoty bez směrnice daná funkce vzhledem k definičnímu oboru nemá, proto budeme počítat asymptoty se směrnicí, tedy a. Asymptota tedy vyšla y=0, je to tedy osa x. 11. Dále určíme obor hodnot funkce, tedy 12. Nakonec sestrojíme graf funkce:
Vyšetřete průběh logaritmické funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy D(f)=(0,1) (1, ). 2. Dále určíme paritu funkce: Daná funkce není ani sudá ani lichá. 3. Nyní budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík s osou y spočítáme tak že za x dosadíme 0. Z definičního oboru funkce vyplívá, že za x nelze 0 dosadit, graf funkce nemá průsečík s osou y. Průsečík s osou x dostaneme dosazením 0 za y průsečík je tedy v bodě [0,0]. 4. Dále budeme funkce derivovat. První derivace funkce je. Dále položíme první derivaci funkce rovnu nule. Dostáváme rovnici ve tvaru. Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když se její čitatel rovná nule, řešíme tedy rovnici ln x-1=0. Nulový bod první derivace je x=e. 5. V dalším kroku budeme počítat monotónnost funkce. Nulový bod definičního oboru funkce a nulový bod první derivace funkce nám určují intervaly (0,1), (1,e) a (e, ). Pro určení monotónnosti funkce si sestrojíme tabulku: f '(x) (0,1) (1,e) (e, ) - - + Klesající Klesající Rostoucí 7. Dále budeme počítat druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je 6.. Dále položíme druhou derivaci funkce rovnu nule, dostaneme tedy rovnici ve tvaru. Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když se její čitatel rovná nule a čitatel rovnice se rovná nule právě tehdy když se 2-ln x=0. Nulový bod druhé derivace je tedy bod x=e 2. 8. V dalším kroku zjistíme inflexi funkce. Bod z definičního oboru a nulový bod druhé derivace nám určují intervaly (0,1), (1,e 2 ) a (e 2, ). Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku: (0,1) (1,e 2 ) (e 2, )
f ''(x) - + - Konkávní Konvexní Konkávní 9. 10. Dále počítáme asymptoty funkce. Nejprve budeme počítat asymptoty bez směrnice. Z definičního oboru je zřejmé, že asymptota bez směrnice je x=1. Asymptota se směrnicí neexistuje. 11. Dále si určíme obor hodnot, tedy:. 12. Nakonec sestrojíme graf funkce: