7. Použií Z a L rasformace v. - - 7. Použií -rasformace a Laplaceovy rasformace přeosová fukce aalogového a diskréího obvodu Návod a použií ohoo dokumeu Chcee vědě poue ebyé miimum aby a vás ebyli u sáic příliš lí? o Nauče se uo prví sráku. Chcee působi dojmem že máe přehled a ěco o om víe? o Nauče se i vahy pro dopředé rasformace (pěé rasformace věšiou učielé evyžadují umě a když jo ak je mimo souěž :-. o Dále si přečěe vysvělující odsavce keré ejsou oačey dvojčárou abyse ískali přehled rohodě se je ale ějak moc euče byečé. Chcee působi dojmem že vás ao oáka opravdu hodě baví? o Nauče se i příklady. Odsavce oačeé dvojčárou jsou speciálě pro vás :- U koušky si eeche skáka do řeči a rveje a om že o musíe říc celé proože je o hroě důležié. K čemu jsou yo rasformace dobré? Vycháejí Fourierovy rasformace ale podsaě rošiřují obor fukcí keré le rasformova (apříklad jedokový skok a periodické fukce. Obě rasformace jsou lieárí udíž se ám s imi dobře pracuje. Laplaceova rasformace je pro spojié sysémy -rasformace pro diskréí sysémy jiak jsou oožé. Jedoduchý popis sysému přeosová fukce (poměr obrau výsupu ku vsupu. Sačí vyásobi vsup přeosovou fukcí a máme výsup *. Řešeí přechodých jevů v obvodech řešeí jejich odevy a ejrůější sigály (přeosové charakerisiky odeva a jedokový impuls a a jedokový skok apř. připojeí apájecího apěí. Sousavy iegro-difereciálích rovic převádějí a sousavy algebraických rovic jedodušší rešeí obvodových rovic s kodeáory a idukory. Vyšeřováí sabiliy sysému (póly musí leže v levé poloroviě p-roviy či uviř jedokové kružic -roviy apř. aby se ám esilovač erokmial. Sadý přechod a Fourierovu rasformaci (áhrada p a jω určeí frekvečích charakerisik. Nevýhody Ne vše je možo rasformova. Zpěá rasformace bývá komplikovaá pokud požadujeme exakí maemaické řešeí. * V časové oblasi bychom museli počía kovolučí iegrál či kovolučí sumu (vi příloha A mei vsupím sigálem a impulsí odevou sysému.
Defiice 7. Použií Z a L rasformace v. - 2 - Laplaceova rasformace F(p = = p L f( f( e d p = σ jω (v. komplexí kmioče f ( ejvýš polyomiálí růs pro <: f( = jω komplexí rovia p σ oblas kovergece Při výpoču časo evycháíme defiice ale používáme převodí slovík ejčasějších výraů (vi příloha A. F(p říkáme Laplaceův obra. Jedá se o komplexí fukci komplexí proměé p. To ameá že vsupem je komplexí číslo a výsupem je aké komplexí číslo. Zaměříme-li se v komplexí roviě vsupího parameru p poue a oblas σ = ískáme ím hodoy Fourierovy rasformace (o je komplexí fukce reálé proměé ω - úhlové frekvece. Laplaceova rasformace edy v sobě ukrývá Fourierovu rasformaci (FT. Zaměříme-li se poue a σ = a ω ískáme běžou frekvečí charakerisiku. Uděláme-li ěcho hodo absoluí hodou ískáme ím reálou fukci reálé proměé ω modulovou frekvečí charakerisiku. Posup výpoču pěé LT: je-li F(p racioálí lomeá fukce roložíme ji a parciálí lomky. Parciálí lomky rasformujeme pomocí slovíku LT a výsledek posčíáme (LT je lieárí rasformace. Mohdy se jedá o komplikovaou čios a je jedodušší přeecha ji počíači. -rasformace X ( = Z x [ ] = x [ ] = pt = e S T S je vorkovací perioda pro <: x [ ] = oblas kovergece Ω Im ( komplexí rovia r Re ( ( σ ω S σ ω S S = e = e e = r e r Ω j T T j T jω Z-rasformace je diskréím ekvivaleem Laplaceovy rasformace. x[] je avorkovaý sigál viklý e spojiého sigálu ako: x[ ] = x'( T S. Levá polorovia p se rasformuje do jedokové kružice pravá polorovia kružici obklopuje. Výpoče -rasformace je jedoduchý máme-li avorkovaý sigál x[] ak jedeme vorek po vorku a ásobíme výraem -. Nebo můžeme použí slovíku -rasformace. Posup výpoču pěé -rasformace: racioálí lomeou fukci X( roložíme a parciálí lomky a y jedolivě pěě rasformujeme pomocí slovíku.
7. Použií Z a L rasformace v. - 3 - Přeosová fukce spojiého sysému póly uly sabilia Přeosová fukce sysému je poměr Laplaceových obraů výsupu ku vsupu: Y( p P( p =. X ( p Nuly jsou akové hodoy proměé p keré ulují čiael Y(p přeosové fukce. Póly jsou akové hodoy proměé p keré ulují jmeovael X(p přeosové fukce. Odeva a ějaké bueí bueí vyásobíme přeosovou fukcí odlaplaceujeme: Y( p = X( p P( p y ( = L Y( p. Odeva a jedokový impuls dosadíme jedokový impuls výsledek je odeva. Jiými slovy chceme-li jisi impulsí odevu sysému sesavíme jeho přeos P(p a odlaplaceujeme: Y( p = P( p = P( p y ( = L Y( p. Odeva a jedokový skok dosadíme jedokový skok. Jiými slovy chceme-li jisi přechodovou charakerisiku sysému (apř. odeva obvodu a apuí DC apájeí sesavíme jeho přeos P(p vydělíme péčkem a odlaplaceujeme: Y( p = P( p p y ( = L Y( p. Frekvečí charakerisika v přeosu P(p áhradíme p a jω. Sabilia sabilí sysém a koečé bueí x( dává koečou odevu y(: : x( < y( <. Proo odeva a jedokový impuls (impulsí charakerisika musí bý absoluě iegrovaelá (když se iegruje plocha pod absoluí hodoou éo odevy ak musí vyjí koečé číslo. Sabilí sysém všechy póly přeosové fukce musí leže v levé poloroviě roviy p (reálá čás pólů musí bý áporá. Když se oiž udělá pěá LT přeosové fukce vyjde ám impulsí charakerisika (odeva a jedokový impuls edy L - {. P(p = P(p}. Póly se áporou reálou hodoou se ám převedou a expoeciálu s expoeem áporé číslo krá čas směrem k ekoeču se odeva lumí. V opačém případě by se odeva eusále věšovala a sysém by sabilí ebyl. Póly přesě a hraici (reálá čás ulová působí že se odeva ebude ai lumi ai esilova je o hraice sabiliy (apř. esilovač ače míso esilováí oscilova. Přeosová fukce diskréího sysému póly uly sabilia Je o aalogické k Laplaceově rasformaci přeosová fukce sysému je poměr -obraů výsupu ku vsupu: Y( P ( =. X ( Nuly jsou hodoy keré ulují čiael póly ulují jmeovael. Odevy a bueí se počíají aké obdobě apříklad impulsí odevu jisíme pěou -rasformací přeosu P(. Sabilí sysém všechy póly přeosové fukce musejí bý uviř jedokové kružice.
7. Použií Z a L rasformace v. - 4 - Příklady (je pro pochopeí problému u sáic vás ich určiě kouše ebudou Vypočěe průběh apěí u2(. R Důležié vahy Kapacior Z(p = /(pc Idukor Z(p = pl u( C u2( = u C ( = R = kω C = μf u2( U Překreslíme a ačeme počía. u( Operáorová impedace Z(p = U(p/I(p R U(p /pc U2(p u ( = U ( U ( U U p U p U( p = e = ( e p p p U2( p pc P( p = = = = = U ( p R prc RC p p pc RC Póly: p = - Re{p} < => sysém je sabilí (póly leží v levé poloroviě p-roviy. U p U2( p = P( p U( p = ( e p p Začeme odlaplaceováva. Je vidě že u 2 ( je rodílem dvou sejých fukcí druhá je posuuá v čase (vi věa o posuu v čase v příloe A. u ( = f( f( 2 U A B U U U U F( p = = = A= = U B= =U ( p p p p p p ( f( = U e ( ( ( ( u ( = U e ( U e ( [V] 2 U u( u2( Určee impulsí odevu sousavy podle obráku. - - x -2 x 3 Blok - předsavuje požďovací čle požďující o jede vorek. x[] - y[] Sesavíme diferečí rovici: y [ ] = x [ ] x [ ] 2 y [ 2] 3 y [ ]. Impulsí odevu h[] ískáme dosaeím jedokového impulsu δ [ ] a vsup x[]: h [ ] = δ[ ] δ[ ] 2 h [ 2] 3 h [ ]. Problém jedá se o rekureí vah. Proo rasformujeme (dosaeme přeosovou fukci H( upravíme a podle slovíku v příloe A odrasformujeme: 2 H( = 2 H( 3 H( ( 3 2 ( ( ( ( ( 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 H( = = = = = Póly: = 2 = 2. Proože 2 > ak sousava evideě eí sabilí. h [ ] = 2 3 2 [ ]. Pro rosoucí rose impulsí odeva sousava opravdu eí sabilí. (
Příloha A slovíky 7. Použií Z a L rasformace v. - 5 - Sad eí pořeba umě paměi spíš vědě je pár příkladů áklad je umě alespoň obra jedokového impulsu a jedokového skoku. ( jedokový skok (oačová aké H( ebo η( δ ( Diracův jedokový impuls Laplaceova rasformace f( F(p a f( b f2( a F( p b F2( p liearia d f( 2 ( pf( p p f( p f'( p f ( d derivace τ F( p f ( τ dτ p iegrál f( f2( = = f ( τ f ( τ dτ F( p G( p kovoluce 2 f ( F( p e p posu v čase a f ( e F( p a posu obrau f( a a> p F a a δ ( ( / p a e ( p a ( 2 / p si( ω ( ω 2 2 p ω cos( ω ( p 2 2 p ω -rasformace měa měříka ákladí obray x[] X( a x[ ] b x2[ ] a X( b X2( liearia x[ ] x[ ] ( X( x[] diferece [ ] 2[ ] = [ ] 2[ ] 2 k = x[ ] X ( x x x k x k δ [ ] [] [ ] a a X ( X ( kovoluce posu v čase ákladí obray
Příloha B pro chyré hlavy 7. Použií Z a L rasformace v. - 6 - Laplace Podmíkou f( u Fourierovy rasformace (FT bylo že musí bý absoluě iegrovaelá: Defiičí vah LT se dá roepsa f( d < p jω σ F(p = f ( e d = f ( e e d Jedá se edy o FT kerá je přeásobea lumicí expoeciálou. Čím věší σ ím rychleji je f( pro > lumea. Čím dále v čase ím více je průběh alume. Pro áporé časy by o aopak esilovalo. Sahou je rošíři obor fukcí f( keré půjdou rasformova. Proo se dohodlo že f( pro < bude. To je pro moho případů v pohodě splielý předpoklad proože ás věšia dějů ačíá ajíma od ějakého okamžiku = a co se dělo předím o ás eajímá. Upraveí fukce f( je jedoduché sačí ji vyásobi jedokovým skokem. Tlumicí expoeciála ám ajisí že moho fukcí keré původě absoluě iegrovaelé ebyly yí budou. Týká se o apříklad periodických fukcí keré pomocí FT rasformova ebylo možé dále apříklad jedokový skok (kerý se ám přiom vyskyuje velmi časo apříklad v přechodých jevech. Pro každou f( s maximálě polyomiálím růsem le ají akovou hraičí hodou σ že pro i a věší σ už bude možo iegrál spočía bude ajišěa kovergece. Pokud budeme chí uděla pěou rasformaci sačí si ví oo dosaečě velké σ a vypočía pro ěj ásledující iegrál jedá se opě vlasě o pěou FT kde akorá fukci přeásobíme eokrá esilující expoeciálou abychom ískali původí fukci f(. Pro oo voleé σ projedeme hodoy ω od - do. Výsledek esmíme apomeou přeásobi jedokovým skokem proože pro <: f( =. e σ p f ( = L F(p = F(p e dp ( 2π j σ j σ j Zpěá Laplaceova rasformace Můžeme se seka s jiým ápisem Zpěé LT vycháejícím reiduové věy mee mohou bý kladě orieovaá uavřeá křivka C kerá obepíá všechy póly fukce v komplexí roviě p. Neiegrujeme pak po přímce rovoběžé s imagiárí osou ale po uavřeé křivce. Maemaicky le ukáe že pokud mají všechy póly reálou souřadici σ meší ež ámi voleá σ pak jsou oba posupy ekvivaleí. Zpěá -rasformace Je defiováa vahem vycháejícím reiduové věy: x[ ] = Z { X( } = X( d [ ] 2π j C kde C je jedoduchá uavřeá a kladě orieovaá křivka ležící v oblasi kovergece a obklopující počáek. Výsledek je ásobe jedokovým skokem aby pro <: x [ ] =. Lieraura [] Mikulec M. Havlíček V.: Základy eorie elekrických obvodů 2 998. [2] Hrdia Z. Vejražka F.: Sigály a sousavy. [3] X3EO2B Zemáek I.: Zápisky předášek a cvičeí. Za případé chyby se omlouvám věcé připomíky mi apiše budu rád a pokusím se dokume vylepši. Tomáš Bořil boril@gmail.com ICQ 55987793.