P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě. Přednášky jsou každý pátek, cvičení tedy vždy předcházejí přednášky.

Transkript

1 ýde ozám: Odpředášeá ém obrvuji žluě ředášy jsou ždý páe, cvičeí edy vždy předcházejí předášy ) ojmy: Difereciálí rovice, obyčejá dif rovice, řád rovice, řešeí rovice ( eprázdé možiě, iervlu), iegrálí řiv iegrál dif rovice, počáečí podmíy, Cuchyov úloh Uázy rovic m fyz jejich řešeí ojmy: Cuchyov úloh řešielá, jedozčě řešielá, mimálí řešeí iervlu Vě o eiseci jedozčosi řešeí rovice y f (, y) Vě o pevém bodě, iccrdovy ierce pohádovou formou ) Seprovelé dif rovice p( ) q( y) y Vě o eiseci řešeí uiciě pro eo yp rovice očáečí úloh p( ) q( y) y, y( ) y, Formule p ( ) q ( y) p ( ) q ( y) y p( ) d q( ) d Rovice vru y y Úlohy ypu: Uže, že dá fuce řeší dif rovici, řešeí rovic ypu: y f, y,,, Řešeí rovic ypu: p( ) q( y) y, přípdě p ( ) q ( y) p ( ) q ( y) y ( ) y f, ýde ozám: Odpředášeá ém obrvuji žluě Doočeí z miulého ýde Úvod do obecé eorie lieárích dif rovic -ého řádu ojmy, symboly ozčeí: Lieárí zobrceí ( ) ( ) L[ y] y p ( ) y p ( ) y prosoru -rá spojiě diferecovelých fucí iervlu I C ( ) I, zopováy sručě pojmy lieárí zobrzeí, lieárí závislos, báze, dimeze, jádro očáečí ( ) (Cuchyov) úloh L[ y] q( ), y ( ) b,,, Sruur řešeí y yˆ er( L) s odzem J je zámo z UA, y er( L) L[ y ], priulárí řešeí Uvede vě o eiseci uiciě, vě dim Ker( L) řád( L) ricip superpozice jo důslede lieriy Defiová Wrosého mice y( ) y( ) wrosiá, [ y,, y]( ), W[ y,, y]( ) de [ y,, y]( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) souvislosi s li ezávislosí Uvedey příldy li ezávislých fucí, { e, e }, ; { e, e }; {, }, ( jsou LZ) Techi řešeí rovic řádu, y p( ) y q( ), y( ) y iervlu J,vrice osy Obecé p() d řešeí y( ) yˆ ( ) cy( ), de y e y, yˆ y d, uvede formule q( ) y ( ) p( ) d y( ) U (, ) q( ) d U(, ) y, de U(, ) e

2 Úlohy seprovelé dif rovice řádu včeě počáečí podmíy, li Dif rovice řádu včeě poč podm Vrice osy říldy vybírám ze srip J Tdlece, //ewo/home/mh/commo/veroi/m/drltps 3 ýde ozám: Odpředášeá ém obrvuji žluě Lieárí difereciálí rovice vyšších řádů s osími reálými oeficiey rvidl pro sesvováí fudmeálího ompleího reálého sysému Meod vrice os ojem vzipolyom, určeí pr řešeí dif rov s vzipolyomiálí prvou srou využiím rslčího prvidl operáorových polyomů, odhdem Řešeí lieárích dif rovic s osími oeficiey () Soveí báze řešeí homog rovice, () určeí pr řešeí vricí os, meodou odhdu, (3) zpsáí formule pro obecé řešeí rovice, (4) soveí volých prmerů, řeší-li se počáečí úloh 4 ýde Sousvy li dif rovic s osími oeficiey, q() Zápis rovice ( ) ( ) p p q ( ) ( ) ( ) ve vru sousvy ojmy symboly: mice sousvy q (), i, prvá sr q (), Chrerisicý polyom q () ( ) de( ) de( ),, chr veor u příslušející chr číslu, u, u Uvede osruce fud sys, jsou-li zámy ořey chr polyomu ( ) ( ) l ( ) l jejich ásobos Zmí o elimici pro sousvy očáečí úloh q( ), ( ), vrice os Zmí o osruci fud sys vořeého reálými ve fucemi Řešeí rovic s vzipolyomiálí prvou srou odhdem ebo užiím prvidl rslce, L[ D] Q( ) e e L[ D ] Q( ) Hledáí priulárích řešeí meodou odhdu 5 ýde Lplceov rsformce Zdůrzňuji, že p je ompleí číslo (v plicích se o ji edělá, le derivuji iegruji, joby p bylo reálé Zčeí: L[ f ] L [ f ( )] F, L [ f ]( p) F( p) Zmíil jsem se o ompleích fucích reálé i ompleí proměé, lyicém prodloužeí ředměy sdrdího

3 ypu ( f ( ) ), Hevisidov fuce H(), obrzy fucí: H, vě lim F( p), derivce obrzu Re( p) ( ) F ( p) ( ) L [ f ( )]( p) e, si, cos,, sih, cosh Limií Hledáí priulárích řešeí meodou odhdu, eí-li co děl, je možo řeši homogeí sousvy dif rov s os oef včeě počáečí podmíy 6 ýde ředáš odpdá ==TEST == Lplceov rsformce: Keré z fucí jsou eré ejsou předměy s ypu, jý mjí ide růsu, výpoče obrzů podle defiice, ilusrce vě o posuuí, obrzy podle prvidel 7 ýde p Lieri rsformce, vě o posuuí ve vzoru v obrze L[ f ( )]( p) e L [ f ( )]( p), p [ f ( ) H ( )]( p) e L L [ f ( )]( p), L[ e f ( )]( p) L [ f ( )]( p ), vě o změě měří, derivováí iegrováí obrzu [ ( )]( ) d f () L f p dp L [ f ( )]( p), L[ ]( p) [ f ( )]( q) dq L, obrz derivce iegrálu L[ f ]( p) pl [ f ]( p) f ( ), L[ f ( ) d]( p) L [ f ]( p) p p Výpoče obrzů s pomocí prvidel elemeárího slovíu orespodecí, řešeí dif rovic s impulsem prvé srě (možo dovyloži elemey L - [ rc _ Fuce( p)] ) 8 ýde Lplceův obrz periodicé fuce, ovoluce její L obrz, iverzí L rsformce rc fucí, zčeí: L - [ F( p)]( ) f ( ), L - [ F( p)] f, L - [ F] f Řešeí lieárích difereciálích rovic s espojiou prvou srou, iegrodifereciálí rovice Číselé poslouposi řdy Opováí ze zimy Defiice poslouposi, limiy, overgece, záldí vlsosi limiy (limi souču, součiu ) Kovergece po složách Úlohy s Lplceovou rsformcí, řešeí dif rovic s impulsem prvé srě

4 9 ýde Defiová eoečá řd, souče řdy, pojem overgece řdy, BC-podmí, BC-es overgece, prozoumá geomericá řd, divergece hrmoicé řdy Odvoze uá podmí overgece ěeré elemeárí vlsosi: (Vě 95, Důslede 94, Vě 96, 97 viz FuSeqSerpdf, hp://mhfeldcvucz/herdl/techighm) Defiová bsoluí overgece, uvedeo srovávcí riérium overgece Úlohy sčíáí řd ypu ( ), q, vyšeřováí overgece pomocí dosupých riérií ýde Kriéri overgece: srovávcí, limií podílové - d Alemberovo, iegrálí, limií odmociové Cuchyovo, Leibizovo ojem přerováí eoečé řdy, přerováí bsoluě ov řdy (důz), uáz přerováí ebsoluě overgeí řdy Defiová posloupos řd fucí, bodová overgece, sejoměrá overgece (suprémová orm fuce) Uvedey věy o iegrci derivci poslouposi řdy fucí Mocié řdy, Tylorovy řdy Vyšeřováí overgece číselých řd, vyhledáváí oborů overgece fučích řd ýde Doočeí mociých řd Trigoomericé řdy, rigo polyom, Fourierovy řdy v reálém i ompleím vru (vyládám jedou), cos( ) b si( ) j ce j lim ce, c jb ( ), ( ) c jb, c, iegrováí derivováí rig řd, sdrdí periodicé prodloužeí, Vyšeřováí overgece číselých řd, vyhledáváí oborů overgece fučích řd ýde Kovergece Fourierovy řdy podle sředu, rsevlov rovos, Besselov erovos,

5 Vyhledáváí poloměru oboru overgece mocié řdy, v včeě hrice, vpouze viře Tylorovy rozvoje eleme fucí, rcioálích fucí Tylorovy řdy hledeje prosředicvím zámých rozvojů fucí e, si(), cos(), pomocí derivováí iegrováí, př l( ) d d 3 ýde Rezerv ===TEST === Výpoče oef Fourierovy řdy (reálý i ompleí vr) Výpoče oef Fourierovy řdy sudé liché fuce (reálý i ompleí vr), periodicá prodlužováí, siový (osiový) vr řdy, disuse d overgecí lezeé řdy ===zápoče===