Nadpis Proč a jak čit lineární alger na technických školách Zdeněk Dostál Katedra aplikoané matematiky 470 FE VŠB-U Ostraa Projekt MLeden 00
Osnoa Náze prezentace Motiace a cíl přednášky Přehled základních pojmů lineární algery Da pohledy na lineární alger Vektory matematice a yzice Lineární zorazení enzor napětílineární zorazení enzor malých deormací a přiližný polární rozklad Variační principy ^n a C[a] Proč čit L na technikách
Motiace a cíle Náze prezentace Motiace: Význam partií matematiky se mění s časem a záisí na cíli. Co je cílem přednášky: Připomenot ýznam některých pojmů lineární algery Zhodnotit je s ohledem na aplikace Přiést k zamyšlení nad způsoem ýky Co není cílem přednášky: Předést hotoo metodik ýky Dáat recepty jak se má co dělat
Co je přemětem lineární algery Náze prezentace Lineární prostory podprostory áze sořadnice Lineární zorazení ilineární a kadratické ormyjejich zájemný ztah ariační principy a sořadnice matice Specielní lineární zorazení rotace Ortogonální sostay Strktra lineárních zorazení nloý prostor oor hodnot lastní čísla a ektory Maticoé rozklady Základní metody řešení sosta ronic a úloh na lastní čísla
Důraz na astraktní pojmy lgeraický přístp Náze prezentace Dodatečné strktry deinoané na ektoroých prostorech katerniony grpy transormací Determinanty permanenty a j. mltilineární nkce Upřednostňje se algeraická charakteristika př.: matice je reglární když má nenloý determinant lastní číslo je kořen charakteristické ronice Neažje zaokrohloací chyy a neěnje pozornost pracnosti ýpočtů např. Crameroy zorce Nemlí se o geometrických charakteristikách
Fnkcionálně-analyticko-nmerický přístp Náze prezentace Výklad se omezje na prostory aritmetických ektorů a podprostory prostorů nkcí Důraz na pojmy požíané analýze determinant jako míra změny ojem inarianty Zaýá se alternatiní ormlací prolémů Zaýá se pracností ýpočtů a jejich reálné řešitelnosti ozlišje co je důležité pro pochopení co pro ormlaci prolémů a co pro jejich řešení
Náze prezentace Deinice ektor e yzice: Vektor je eličina která má elikost a směr Př.: Volné a ázané ektory Deinice ektor matematice: Vektory jso eličiny které lze rozmně sčítat a násoit skalárem přesněji ektor je prek lineárního prostor Př.: aritmetické ektory Př.: nkce Vektory matematice a yzice : : g g g α α α α α α
Náze prezentace Deinice: Lineární zorazení je předpis který každém přiřazje tak že Př. : Jacoián deormační gradient Př. lineární nkcionály na spojitých nkcích: Lineární zorazení V U : U V a α α h h h F h : : g a D a C D g a a d d : δ ζ δ ζ δ
Matice a lineární zorazení Náze prezentace : V V lineární zorazení áze E e... e n V e e e...... n n n e n Sořadnice orazů áze tedy úplně popisjí lineární zorazení. Vhodným spořádáním do matice dostaneme matici lineárního zorazení. Charakteristiky lineárních zorazení jso inarianty matic: Vlastní čísla a jejich nkce např.: Determinantsočin lastních čísel Stopa sočet lastních číselsočet diagonálních prků matice
Užitečné inarianty a maticoé rozklady Náze prezentace Determinant sočin lastních čísel charakterizje změn ojem Stopa tenzor malých deormací sočet lastních čísel charakterizje také změn ojem při malých deormacích Vlastní čísla charakterizjí maimální napětí maimální smykoé napětí aplikace dynamice atd. BU Polární rozklad popis deormace oddělení thého pohy Spektrální rozklad U U analýza řešení symetrických sosta iteračními metodami Singlární rozklad U V řešení oecných sosta pochopení geometrie lineárního zorazení
enzor napětílineární zorazení Síla půsoící na plošk F je přímo úměrná elikosti plošky a splňje princip sperpozice. Odtd: Náze prezentace Cachyoa ěta: Sila F půsoící na plošk s normálo n n je rčena ztahem F n kde je lineární zorazení.
Náze prezentace enzor malých deormací rozklad : pro. pol. : rozklad Polární peně zolené U B F U y Uy U Uy U B B U U BU F F F F F << ε
Náze prezentace Variační princip princip minima energie: Metoda nejmenších čterců: Variační principy lineární algeře h h h h D n.: arg min V.: spd..: arg.: const D V
Proč čit lineární alger na technikách? Náze prezentace Řada základních yzikálních eličin je deinoaná prky lineární algery. Pomocí pojmů lineární algery lze popsat a maniploat s různými ojekty tety otograie soory talek Lineární algera možňje relatině jednodše ododit alternatiní ormlaci základních úloh Lineární algera je ezprostředně spojena s počítáním takže znalost jejích základů možňje pochopení moderních ýpočetních postpů Znalost astraktních pojmů snadňje pochopení strktry prolémů ez technických komplikací na rozdíl od zorců sořadnicích Výka lineární algery možňje oddělit potíže spojené s řešením spojitých prolémů od jednodchých oecných postpů.