Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek při měřeí. Záleží a okolostech měřeí, jak se ke skutečé hodotě veličiy přiblížíme. Výsledkem měřeí je hodota, která se od skutečé hodoty s liší a jejich rozdíl je chyba měřeí, (1) s kterou emůžeme ikdy přesě určit (vzhledem k ezalosti hodoty s ), pouze odhadout. Chyba charakterizuje odchylku aměřeé hodoty veličiy od skutečé hodoty a proto se azývá absolutí chyba a je vyjádřea v jedotkách měřeé veličiy. Přesost aměřeé hodoty ěkdy však ázorěji vyjadřuje relativí chyba defiováa vztahem, r () a je možo ji vyjádřit v procetech. pozámka pod čarou Chyba má dvě složky systematickou a áhodou, které se liší svým původem. Vzhledem k tomu, že skutečá (pravá) hodota měřeé veličiy je eperimetálě edosažitelá, je uté provádět potřebé výpočty a odhady pomocí kovečě skutečé hodoty, což je hodota, která je velice blízká skutečé hodotě a jejíž přesost určeí je vyhovující pro daý účel. Je možé ji získat použitím tabulkové hodoty staoveé jiým měřicím zařízeím, jehož chyba měřeí je výrazě meší ebo hodoty, která přísluší veličiě realizovaé referečím etaloem. Při odhadu relativí chyby podle () lze jako hodotu s, použít právě měřeou hodotu. s 1.1. Chyby systematické Systematické chyby zkreslují při opakovaém měřeí koaém za stejých podmíek správou hodotu měřeé veličiy stále stejým způsobem. Teoreticky by bylo možé je vyloučit, prakticky by to zamealo je alespoň částečě ohodotit pomocí přesějších přístrojů ebo zavést korekci a zpřesěí měřicí metody. V prai a zvláště v laboratorím cvičeí je teto požadavek těžko uskutečitelý a proto často provádíme odhad systematických chyb tak, že určujeme maimálí chybu m. Její výzam je takový, že chyba, které se při měřeí skutečě dopouštíme je vždy meší ebo aejvýš rova chybě m. Podle původu těchto chyb je třeba odlišit chyby způsobeé epřesostí měřidel, chyby metody a chyby pozorovatele. Systematické chyby způsobeé omezeou přesostí měřidel Určeí maimálí chyby můžeme provést ásledujícím dvojím způsobem. Buď budeme vycházet z dokumetace výrobce a ejsou-li žádé podklady, rozhodeme podle možosti odečítáí hodot a stupici přístroje. To se týká zvláště jedoduchých měřidel. Pro ěkteré sériově vyráběé přístroje výrobce udává ejvětší přípustou (maimálí) chybu m. Tím je zaručeo, že hodota veličiy aměřeá přístrojem bude mít v celém jeho rozsahu chybu aejvýš rovou maimálí chybě. 1
Maimálí chyba je pro elektrické aalogové (ručkové) měřicí přístroje výrobcem udáváa pomocí třídy přesosti T p. Údaj o třídě přesosti je obvykle uvede v pravém dolím rohu pod stupicí přístroje. Podle platé ormy je třída přesosti číslo z řady 0,1; 0,; 0.5; 1; 1.5;,5; 5. Třída přesosti vyjadřuje v procetech použitého rozsahu maimálí chybu měřeé hodoty. Největší přípustou chybu m lze pak staovit podle vztahu Tp, (3) m 100 m kde m je ejvětší možá aměřeá hodota určeá rozsahem. V případě, že počátek stupice představuje ulovou měřeou hodotu, pak se údaj m azývá jmeovitý rozsah přístroje. Největší přípustá chyba je stejá, ať měříme v kterékoli části rozsahu, zatímco poměr maimálí chyby k aměřeé hodotě, tedy relativí chyba měřeé hodoty (vyjadřovaá v procetech) m m r, je tím meší, čím větší je měřeá hodota vzhledem k maimálí hodotě použitého rozsahu. Proto při těchto měřeích docilujeme tím větší relativí přesosti čím blíže je údaj přístroje ke koci stupice. Příklad. Měřicím přístrojem METRA PU 500 s jmeovitým rozsahem I m = 10 ma byl změře proud I = 8,3 ma. Podle techických údajů výrobce je třída přesosti T p =,5% a ejvětší přípustá chyba měřeého proudu je podle vztahu (3) m I = (,5/100). 10 ma = 0,5mA. Relativí chyba aměřeé hodoty proudu je pak m r, I = 0,5/ 8,3 = 0,030 = 3 %. U digitálích (číslicových) měřicích přístrojů se skládá maimálí chyba m výrobcem staoveá ze dvou složek : m 1, závislé a velikosti měřeé hodoty a vyjadřovaé v procetech měřeé hodoty a m, závislé buď a použitém rozsahu (v tom případě vyjádřeé v procetech použitého rozsahu) ebo vyjádřeé počtem jedotek (digitů) ejižšího místa číslicového displeje a zvoleém rozsahu. Příklad. Měřicím přístrojem METEX M4650 bylo aměřeo apětí U = 1,5136 V a jmeovitém rozsahu U m = V. V tomto rozsahu je mezí údaj číslicového displeje 1,9999V. Největší přípustá chyba je podle údaje výrobce dáa hodotou 0,05% z měřeé hodoty a dále 3-mi jedotkami (digity) ejižšího místa číslicového displeje. Údaj 0,05% z měřeé hodoty přestavuje chybu m 1,U = (0,05/100).1,5136 V = 7,568.10-4 V a údaj 3 jedotky ejižšího místa číslicového displeje zameá chybu m,u = 0,0003 V = 3.10-4 V. Celková ejvětší přípustá chyba je m U = (7,568 + 3).10-4 V = 10,568.10-4 V a po zaokrouhleí a dvě platé číslice m U = (1,1).10-3 V. Relativí chyba aměřeé hodoty je pak m r,u = (1,1).10-3 V /1,5136 V = 0,00077 = 0,07 %. Jestliže výrobce eudává iformace o přesosti měřidla, musíme sami odhadout maimálí chybu m aměřeé hodoty. Obvykle lze chybu m odhadout tak, že ji položíme rovu části ejmešího dílku a stupici přístroje, kterou jsme schopi ještě rozlišit. Zpravidla to bývá 1/ ejmešího dílku ebo celý dílek. Teto způsob určeí chyby souvisí s tím, že optimálí hodota ejmešího dílku by měla být výrobcem staovea tak, abychom mohli a stupici odečítat hodoty aměřeé veličiy v souladu s přesostí daého přístroje ebo měřidla. V ásledující tabulce (tab.1) jsou uvedey hodoty maimálích chyb pro ejčastěji používaá měřidla
Měřidlo Měřítko pásové Měřítko posuvé Mikrometrické měřítko Váhy aalytické, Váhy laboratorí (podle typu) 7Stopky mechaické Stopky elektroické Teploměry Tab.1 Maimálí chyba (0,5 - ) mm (0,05 0,1) mm (0,005-0,01) mm (0,001-0,03) g (0,01 0,3) g (0,1-0,3) s (0,001-0,1) s Závisí a děleí stupice a velikosti jedoho dílku, až (1 - ) ásobek ejmešího dílku Je třeba si také uvědomit, že ěkdy použitá metoda způsobuje, že eí využita uvedeá přesost měřicích přístrojů. Např. jestliže přesé elektroické stopky ovládá pozorovatel pomocí páčkového spíače, v tom případě eí chyba měřeého času dáa maimálí chybou stopek, ale reakčí dobou pozorovatele (cca 0,3 s). Systematické chyby použité metody Vzikají edokoalostí použitého způsobu měřeí, zjedodušujícími podmíkami měřicí metody, přibližostí vztahů použitých pro popis měřeého objektu za daých podmíek ebo evhodostí použitého způsobu měřeí. Při vážeí to může být apř. erespektováí růzého vztlaku vzduchu a závaží a vážeý předmět, když mají růzé objemy. Opravu těchto chyb je možé provést zavedeím korekce, která zpřesí výsledek měřeí, apř. provedeím přesějšího výpočtu výsledku při zahrutí vztlaku vzduchu atd. Pokud se oprava eprovede je uto provést odhad a tuto chybu. Systematické chyby pozorovatele Tyto chyby vyplývají z edokoalých pozorovacích možostí člověka, vzikají špatou smyslovou koordiací pozorovatele apř. reakčí dobou při měřeí časových údajů, omezeou rozlišovací schopostí oka, úkosem (paralaou) při čteí a stupici, epřesým odhadem částí dílků stupice atd. Tyto chyby lze vyloučit tím, že subjektiví měřeí ahradíme objektivím pomocí přesého čidla spojeého s měřicím přístrojem. 1.. Chyby áhodé Předpokládejme, že vliv systematických chyb byl korigová. Budeme-li provádět opakovaá měřeí téže veličiy za stejých podmíek, zjistíme, že výsledky jedotlivých měřeí se poěkud liší. To je způsobeo velkou řadou vlivů jedotlivě epostižitelých. Jsou to prostorové fluktuace veliči, které měřeí provázejí jako je tlak, teplota, vlhkost, magetické pole ebo apř. malé variace mechaických částí eperimetálího zařízeí (apř. třeí ) apod. Náhodou chybu si můžeme obecě představit složeou z velkého počtu velmi malých, ojediěle epozorovatelých, elemetárích chyb. Zdroje těchto elemetárích chyb ejsou pod aší kotrolou (vlivy ekotrolovatelé) a mají za ásledek vzik chyb, které sice elze vyloučit, které však při velkém počtu opakovaých měřeí vykazují statistické zákoitosti a tyto zákoitosti můžeme použít k odhadu vlivu áhodých chyb a přesost měřeí. 3
Základí zákoitosti áhodých chyb u takovýchto souborů si přiblížíme ásledujícím příkladem. V laboratoři bylo provedeo 1000 měřeí délky tyčky z tvrdé gumy. Všecha měřeí byla provedea stejým mikrometrem v místosti, ve které teplota epravidelě kolísala v rozmezí (0 ) o C. Na mikrometrickém měřítku se daly spolehlivě odečítat hodoty po 0,01mm. V souboru aměřeých hodot i ( i =1,..1000) bylo celkem deset růzých hodot a to od 19,95 mm po 0,01 mm až do 0,04 mm. Číslo i vyjadřující počet, kolikrát se ěkterá z těchto hodot vyskytuje se azývá absolutí četost této hodoty. Získaé četosti spolu s odpovídajícími aměřeými hodotami jsou uvedey v tabulce (tab.) a také jsou graficky vyjádřey a obr. 1 jako svislé úsečky v závislosti a hodotě i. Tab. Kocovými body úseček v grafu se dá proložit křivka. Při počtu měřeí aměřeá hodota Abs.čet. relativ. (základí soubor) by rozděleí aměřeých i / mm i četost hodot bylo dokoale symetrické a 19,95 17 0,017 zázorňovala by jej symetrická křivka 19,96 48 0,048 zvoového tvaru (křivka v obr.1 - Gaussova 19,97 95 0,095 křivka) vyjadřující ormálí Gaussovo 19,98 150 0,150 rozděleí veličiy. Skutečá hodota měřeé 19,99 190 0,190 veličiy by odpovídala maimu křivky. 0,00 198 0,198 U souboru koečého počtu měřeí 0,01 154 0,154 (výběrový soubor) můžeme mluvit pouze 0,0 87 0,087 o ejpravděpodobější hodotě měřeé 0,03 43 0,043 veličiy, která se skutečé hodotě ejvíce 0,04 18 0,018 blíží, a tou je aritmetický průměr Obr.1 Normálí Gaussovo rozděleí výběrového souboru (často pouze Kocovými Kocovými body úseček v grafu se dá proložit křivka. Při počtu měřeí (základí soubor) by rozděleí aměřeých hodot bylo dokoale symetrické a zázorňovala by jej symetrická křivka zvoového tvaru (křivka v obr.1 - Gaussova křivka) vyjadřující ormálí Gaussovo rozděleí veličiy. Sklutečá hodota měřeé veličiy by odpovídala maimu křivky. U souboru koečého počtu měřeí (výběrový soubor) můžeme mluvit pouze o ejpravděpodobější hodotě měřeé veličiy, která se skutečé hodotě ejvíce blíží, a tou je aritmetický průměr výběrového souboru (často pouze aritmetický průměr) i 1, (4) i kde i jsou aměřeé hodoty a počet měřeí. Jestliže zvětšujeme počet měřeí, hodota aritmetického průměru se více blíží skutečé hodotě veličiy. Z tvaru křivky v grafu lze soudit a rozptyl aměřeých Obr. Normálí rozděleí s růzým rozptylem 4
hodot i a tedy a přesost měřeí. V obr. jsou zázorěy křivky k, jejichž vrcholy odpovídají sice stejé hodotě (u výběrového souboru stejému aritmetickému průměru), ale růzé přesosti měřeí (ejštíhlejší křivce k přísluší ejvětší přesost měřeí, křivce k 1 ejmeší přesost). Mírou rozptylu je směrodatá odchylka základího souboru, odpovídající poloze ifleího bodu a Gaussově křivce. Rozptyl hodot výběrového souboru charakterizuje směrodatá odchylka výběrového souboru s daá vztahem s ( ) 1 i i 1 (5) Protože opakovaá měřeí se vyhodocují pomocí aritmetického průměru, používá se častěji směrodatá odchylka aritmetického průměru výběrového souboru s (často pouze azývaá směrodatá odchylka aritmetického průměru), pro kterou platí s s ( i ) i 1 ( 1) (6) Ke zpracováí opakovaých měřeí můžeme s výhodou použít statistického režimu odchylku podle vztahu (5), jejíž ozačeí závisí a typu kalkulátoru. Tlačítko může být ozačeo symboly s ebo 1 (příp. s 1), zatímco symboly ebo (příp s ) ozačují tlačítko dávající směrodatou odchylku základího souboru podle vztahu i 1 ( i ). (7) Δ vymezující kolem Na základě směrodaté odchylky je možo spočítat chybu aritmetického průměru iterval spolehlivosti. Skutečá středí hodota měřeé veličiy leží s pravděpodobostí P = 1 - v itervalu Δ ; Δ, kde Δ t f s t f s ( ) ( ). (8) t (f) je koeficiet Studetova rozděleí (Studetův koeficiet - viz. tab. 3), je zvoleá hladia výzamosti (riziko), f = - 1 je počet stupňů volosti, je počet měřeí. Volíme-li α = 0,05, tedy P = 0,95, pak s pravděpodobostí P = 1- = 95% leží skutečá hodota měřeé veličiy v itervalu ( Δ). Pro biologické systémy je vhodé používat α = 0,05. Je-li počet měřeí = 10, pak odečteme v tabulce koeficiet t α (f) =,6. Výběr ěkterých hodot Studetových koeficietů je uvede v Tab.3. 5
Tab.3 Vybraé hodoty Studetových koeficietů 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 5 10 0 31 41 61 f 4 9 19 30 40 60 t α (f),776,6,093,04,01,000 Postup při zpracováí opakovaých měřeí a kalkulačce ebo a počítači: 1) astaveí statistického programu a kalkulačce či počítači a vložeí aměřeých dat, ) odečteí aritmetického průměru, 3) odečteí směrodaté odchylky s a výpočet směrodaté odchylky aritmetického průměru s s, 4) volba hladiy výzamosti, zjištěí hodoty Studetova koeficietu pro daé f = 1 (viz tab.3) a výpočet absolutí chyby Δ t ( f) s, 5) vyjádřeí výsledku ve formě = ( ) s jedotkou měřeé veličiy. Absolutí chybu zaokrouhlíme a jedo ebo dvě platá místa a výsledek zaokrouhlíme a stejý řád jako absolutí chybu, 4) příp. výpočet relativí chyby () = / jako poměrého čísla ebo po vyásobeí 100 vyjádřeé v procetech.. Staoveí chyb při epřímých metodách měřeí Cílem přímé metody bylo zjistit hodotu jedié veličiy, měřeí se provádělo buď jedou ebo opakovaě. V případě epřímých metod, kdy se staovuje veličia y a základě vztahu, ve kterém vystupuje jeda ebo více přímo měřeých veliči 1 a kostat C 1...C tj. y f(... 1,C1...C ), platí pro výpočet chyby (y) záko hromaděí chyb (ěkdy též záko šířeí chyb). Jestliže pro zjedodušeí budeme předpokládat, že chyby kostat jsou zaedbatelé vzhledem ke zámým chybám ( 1 )...( ) měřeých veliči 1..., má záko hromaděí chyb tvar y y y Δ( y) Δ 1 Δ... Δ 1 (9) Pro účely laboratorího cvičeí používáme jedodušší formu tohoto zákoa ve tvaru Δ( y) Δ( 1 ) Δ( )... Δ( ) (10) y y y 1 Obecý vzorec (0.9) lze ve speciálích případech fukčích závislostí ahradit jedodušším výrazem pro výpočet chyby epřímo měřeé veličiy. 1. V případě fukce vyjádřeé jako k-ásobek (k je číselá kostata) měřeé veličiy y k je chyba výsledé veličiy y = k (11) 6
tedy k-ásobek chyby měřeé veličiy.v případě fukce vyjádřeé jako součet ebo rozdíl měřeých veliči 1 a y 1, je chyba y výsledé veličiy Δy Δ 1 Δ (1). V případě fukce vyjádřeé jako -tá mocia měřeé veličiy y k ( k je číselá kostata) je ejvhodější vyjádřit relativí chybu ( y ) Δ( y y ) výsledé veličiy a platí vztah ( y). (13) 3. V případě fukce vyjádřeé jako souči moci měřeých veliči y k 1.. 3..., kde k,,, jsou reálé kostaty, je relativí chyba (y) výsledé veličiy určea relativími chybami jedotlivých měřeých veliči 1, podle vztahu ( y) α 1β γ 3.... (14) 1 4. Podle (14) lze vyjádřit apř. relativí chybu (y) fukce y k 1 (k je číselá kostata) vztahem ( y) 1. (15) 5. Pro relativí chybu (y) fukce y 1, uvedeé výše pod bodem 1 platí podle (1) ( y) Δ( 1 ) Δ 1 Δ 1 (16) 1 7