Stavový popis, linearizace Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 4 Reference 5 Úvod Stavové rovnice nelineárního systému ẋ(t) f x(t), u(t), t () y(t) g x(t), u(t), t, kde první rovnice se nazývá stavová rovnice a druhá výstupní rovnice. Vektoru rozměru r je vstupní vektor, x rozměru n je stavový vektor a y rozměru m je výstupní vektor. Pokud, předpokládáme stacionární nebo též časově neproměnný (t-invariantní) systém, zapíšeme rovnice () vetvaru ẋ(t) f x(t), u(t) y(t) g x(t), u(t). Stavové rovnice lineárního systému ẋ(t) Ax(t)+Bu(t) (2) y(t) Cx(t)+Du(t), kde matice A rozměru (n n) je matice systému, matice B rozměru (n r) je matice řízení a matice C rozměru (m n), D rozměru (m r) jsou výstupní matice. Pokud je model časově proměnný, jsou některé z těchto matic funkcí času A A(t), B B(t), C C(t), D D(t).
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 2 Linearizace systému V okolí nějaké nominální trajektorie (x, u ) můžeme pravé strany nelineárních rovnic () zapsat v Taylorově rozvoji f x(t), u(t),t f x (t), u (t),t + f x(t), u(t),t δx(t)+ f x(t), u(t),t δu(t)+ x(t) u(t) + 2 f x(t), u(t),t x 2 (t) 2+ 2 f x(t), u(t),t 2+... δx(t) δu(t). (3) u 2 (t) g x(t), u(t),t g x (t), u (t),t + g x(t), u(t),t δx(t)+ g x(t), u(t),t δu(t)+ x(t) u(t) + 2 g x(t), u(t),t x 2 (t) 2+ 2 g x(t), u(t),t 2+... δx(t) δu(t). (4) u 2 (t) Zanedbáme-li kvadratiké a vyšší členy v tomto rozvoji, získáme v okolí nominální trajektorie (x, u ) linearizovaný odchylkový model (2). 2 Příklady 2. Stavový popis lineárních systémů Příklad 2.: Uvažujte elektrický obvod podle obr. se dvěma vstupními (nezávislými) veličinami napětí u (t), u 2 (t) a dvěma výstupními veličinami proudy i (t), i 2 (t). Odpor rezistoru je R Ω, indukčnost cívky je L, 2H a kapacita kondenzátoru je C µf. L C ~ ~ R + - Obrázek : Elektrický obvod Určete stavový popis tohoto elektrického systému a nalezněte řešení těchto rovnic pro počáteční podmínku u C () u, i L () i. Určete přenos tohoto systému za předpokladu nulových počátečních podmínek.
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 3 Řešení: Metodou uzlových napětí můžeme pro napětí u(t) v uzlu mezi cívkou a kondenzátorem psát L di L(t) u(t) u (t), dt u(t) R i L (t) C du C(t), dt u(t) u 2 (t)+u C (t). Po dosazení třetí rovnice do první a druhé, dostaneme soustavu dvou diferenciálních rovnic di L (t) dt du C (t) dt L u C(t)+ L u (t) L u 2(t), C i L(t) RC u C(t) RC u 2(t). Nyní zvolme například za stavové proměnné proud cívkou x i L a napětí na kondenzátoru x 2 u C. Stavová rovnice pak vypadá takto ẋ (t) x (t) L ẋ 2 (t) x 2 (t) C RC + L L RC Protože se proud i rovná proudu cívkou i L a pro proud i 2 platí i 2 (t) i L (t) u C(t)+u 2 (t) R, u (t) u 2 (t). (5) můžeme zapsat výstupní rovnici systému takto y (t) x (t) + y 2 (t) x R 2 (t) R u (t) u 2 (t). (6) Rovnice (5), (6) jsou ve standardním tvaru stavových rovnic popisujících lineární systémy (2). Jejich řešení můžeme nalézt tak, že provedeme Laplaceovu transformaci těchto dvou rovnic, poté vyeliminujeme stavový vektor a provedemem zpětnou Laplaceovu transformaci. Obdržíme tak vektor výstupních proudů jako funkci počáteční podmínky stavových proměnných a vektoru vstupních napětí. Také můžeme k řešení využít prostředí Simulink programu Matlab. My zde však ukážeme numerické řešení pomocí programu Matlab pro vstupní signál u (t) pro t<s pro t s, u 2(t) pro t<2s pro t 2s a pro počáteční podmínky u C () V a i L (),5A. Kód pro toto řešení by mohl v Matlabu vypadat následovně.
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 4 clc; clear; close all; %----- Parametry elektrickeho obvodu R ; L.2; C E-6; %----- Matice spojiteho systemu A [, -/L; /C, -/(R*C)]; B [/L, -/L;, -/(R*C)]; C [, ; -/R]; D [, ;, -/R]; %----- Diskretizace s periodou vzorkovani Ts pro numericke reseni Ts.; [Ad, Bd, Cd, Dd] ssdata(c2d(ss(a,b,c,d),ts)); %----- Pocatecni podminka x il.5; uc ; x [il; uc]; %----- Vstupni signal u [zeros(,), ones(,2); zeros(,2), ones(,)]; %----- Reseni stavovych rovnic N size(u,2); yh zeros(size(c,),n); xh zeros(size(a,),n); for k : : N y Cd*x + Dd*u(:,k); %--- ulozani dat pro vykresleni yh(:,k) y; xh(:,k) x; x Ad*x + Bd*u(:,k); end %----- Vykresleni vysledku CasovaOsa (::size(u,2)-)*ts; figure(); subplot(2,,); stairs(casovaosa,u(,:), r ); axis([xlim, -..]); xlabel( Cas - t ); ylabel( u ); title( Vstupni napeti ); subplot(2,,2); stairs(casovaosa,u(2,:), r ); axis([xlim, -..]); xlabel( Cas - t ); ylabel( u 2 ); title( Vstupni napeti );
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 5 figure(2); subplot(2,,); stairs(casovaosa,yh(,:), r ); axis([xlim, -..]); xlabel( Cas - t ); ylabel( y ); title( Vystupni proud ); subplot(2,,2); stairs(casovaosa,yh(2,:), r ); axis([xlim, -..]); xlabel( Cas - t ); ylabel( y 2 ); title( Vystupni proud ); %----- Export figury do EPS print(, -depsc2, Vstup ); print(2, -depsc2, Vystup ); Na obrázcích 2, 3 a 4 jsou zobrazeny postupně průběhy vstupních, stavových a výstupních veličin. Porovnejte tyto výsledky s průběhy získanými pomocí spojité simulace v prostředí Simulink. u u 2 Vstupni napeti.8.6.4.2.5.5 2 2.5 3 Vstupni napeti.8.6.4.2.5.5 2 2.5 3 Obrázek 2: Průběh vstupních napětí u (t), u 2 (t)
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 6 x x 2 Proud civkou.8.6.4.2.5.5 2 2.5 3 Napeti kondenzatoru.8.6.4.2.5.5 2 2.5 3 Obrázek 3: Průběh stavových veličin x (t) i L (t), x 2 (t) u C (t) y 2 y Vystupni proud.8.6.4.2.5.5 2 2.5 3 Vystupni proud.2.4.6.8.5.5 2 2.5 3 Obrázek 4: Průběh výstupních proudů y (t) i (t), y 2 (t) i 2 (t)
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 7 vztahu Za předpokladu nulových počátečních podmínek určíme přenos našeho systému pomocí G(s) C si A B + D C adj si A B det si A + D. Spočítejme nejprve det si A det Dále určíme adj si A s adj s L C RC s L C s + RC s 2 + RC s + LC. s + C RC L s. Výsledný přenos G(s) tedy je s + G(s) R C RC L s s 2 + RC s + LC L L RC L s + RCL s L + R L s R s2 L s s 2 + RC s + LC. Příklad 2.2: Uvažujte stavový popis lineárního, časově neproměnného systému druhého řádu ve tvaru stavových rovnic (2) ẋ (t) x (t) A + B u(t) ẋ 2 (t) x 2 (t) x (t) y(t) C + D u(t). x 2 (t) Napište tyto rovnice pro nový stavový vektor z(t) [z (t), z 2 (t)] T, pro jehož složku platí z (t) k x (t), z 2 (t) k 2 x 2 (t), kde k a k 2 jsou libovolné nenulové reálné konstanty. Řešení: Nejprve přepíšeme transformaci stavů do maticového zápisu z (t) k x (t) x (t) k, z 2 (t) k 2 x 2 (t) x 2 (t) k2 z (t) z 2 (t).
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 8 Nyní dosadíme do původního stavového popisu k ż (t) A k2 ż 2 (t) y(t) C k k2 k k 2 z (t) z 2 (t) z (t) z 2 (t) + Bu(t) + Du(t). Nyní už jen stavovou rovnici vynásobíme zleva transformační maticí a získáme stavový popis pro transformovaný stavový vektor z(t) [z (t), z 2 (t)] T ż (t) k A ż 2 (t) k 2 k y(t) C k2 k z (t) k2 z 2 (t) z (t) + Du(t). z 2 (t) + Bu(t) Ověřte správnost transformace simulacemi v Matlabu. Příklad 2.3: Uvažujte stavový popis lineárního, časově neproměnného systému druhého řádu ve tvaru stavových rovnic (2). Předpokládejte, že chceme změnit časové měřítko podle vztahu (například z [s] na [ms]) τ k t, kde k je libovolná nenulová reálná konstanta. Nalezněte stavový popis po této transformaci. Řešení: Pro čas t platí t τ/k. Upravujeme tedy stavovou rovnici takto dˆx(τ) dτ dτ dt Aˆx(τ)+Bû(τ), dˆx(τ) dτ k Aˆx(τ)+Bû(τ), dˆx(τ) dτ k Aˆx(τ)+ k Bû(τ). Výstupní rovnice je Matice transformovaného systému tedy jsou ŷ(τ) C ˆx(τ)+Dû(τ). Â k A, ˆB k B, Ĉ C, ˆD D. Ověřte správnost transformace simulacemi v Matlabu.
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 9 2.2 Linearizace Příklad 2.4: Model kyvadla na vozíku znázorněný na obr. 5 je mechanický systém s jednou vstupní veličinou (napětí motoru u) a dvěma výstupními veličinami (poloha vozíku x, výchylka ramene kyvadla ϕ). y (t) Obrázek 5: Kyvadlo na vozíku Pohyb ramene kyvadla s pohyblivým závěsem můžeme popsat diferenciální rovnicí druhého řádu ϕ(t)+2δ ϕ(t)+ω 2 sin ϕ(t) 3 ẍ(t)cosϕ(t), (7) 2l kde ẍ [m s 2 ] je zrychlení závěsu kyvadla ve směru osy x, δ [s ] je koeficient útlumu kmitů a ω [s ] je vlastní úhlová frekvence kyvadla 3g ω 2l, kde g [m s 2 ] je gravitační zrychlení a l [m] je délka ramene kyvadla. Úhel natočení hřídele ϑ [s ] stejnosměrného cize buzeného motoru můžeme popsat diferenciální rovnicí třetího řádu... ϑ(t)+ R L ϑ(t)+ k2 J M L ϑ(t) k u(t), (8) J M L kde R [Ω] je elektrický odpor motoru, L [H] je indukčnost motoru, J M [kg m 2 ] je moment setrvačnosti rotoru a k je konstanta motoru. Uvažujme, že vozík s motorem se chovají jako tvrdý zdroj polohy (pohyb kyvadla zpětně neovlivňuje pohyb vozíku) a že hmotnost vozíku je zanedbatelná v porovnání se setrvačností rotoru. Pak můžeme použít vztah mezi zrychlením závěsu kyvadla a zrychlením motoru ẍ(t) r ϑ(t).
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace Odvod te stavový popis tohoto systému a proved te jeho linearizaci v dolní (ϕ ) a horní (ϕ π) poloze kyvadla. Porovnejte (například v simulinku) skutečný (nelineární) model s linearizovaným (odchylkovým) modelem v dolní i horní poloze. Tabulka : Parametry kyvadla na vozíku Parametr Hodnota Rozměr l m g 9,8 m s 2 δ,25 s R Ω L, H J M kg m 2 k r, m Řešení: Nejprve pro jednoduchost přeznačíme konstanty v rovnici motoru Nyní zavedeme 5 stavových proměnných: x x rϑ poloha vozíku, x 2 ẋ r ϑ rychlost vozíku, x 3 ẍ r ϑ zrychlení vozíku, a R L, a k2 J M L, b rk J M L. x 4 ϕ výchylka ramene kyvadla, x 5 ϕ úhlová rychlost ramene kyvadla. Stavové rovnice sestavíme tak, že spojíme model motoru a ramene kyvadla. ẋ (t) x 2 (t) ẋ 2 (t) x 3 (t) ẋ 3 (t) a x 2 (t) a x 3 (t)+b u(t) ẋ 4 (t) x 5 (t) ẋ 5 (t) ω 2 sin x 4 (t) 2δx 5 (t) 3 2l x 3(t)cosx 4 (t)
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace Zavedeme stavový vektor x [x,x 2,x 3,x 4,x 5 ] T a zapíšeme tyto stavové rovnice v maticovém zápisu ẋ a a x(t)+ b u(t)+. (9) 2δ ω 2 sin x 4 (t) 3 x 2l 3(t)cosx 4 (t) Výstupní rovnice je x(t) y(t) ϕ(t) x(t)+ u(t). () Tento stavový model je nelineární, respektive jeho poslední rovnice je nelineární. Provedeme tedy nyní linearizaci tohoto modelu ve stacionárních bodech. Ty nalezneme podle rovnice ẋ. Řešením této rovnice obdržíme dva stacionární body x [,,,, ] T, x 2 [,,, π,] T, které odpovídají dolní, respektive horní, poloze kyvadla. Zapíšeme-li pátou stavovou rovnici ve tvaru ẋ(t) f x(t),u(t), pak Taylorův rozvoj (3) této rovnice můžeme zapsat jako ẋ 5 (t) f x(t),u(t) xx + f x(t),u(t) x(t)+ 2 f x(t),u(t) x 2 (t)+.... x(t) x 2 (t) xx xx Zanedbáme-li v tomto rozvoji kvadratiké a vyšší členy, získáme ve stacionárních bodech linearizovaný odchylkový model ẋ 5 (t) Zbývá již jen dosadit za x i ϕ platí f x f x 2 f x 3 f x 4 f x 5 xx i x(t). a získáme dva stavové popisy pro dva stacionární body. Pro ẋ(t) a a x(t)+ 3 ω 2 2l 2δ b u(t). ()
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 2 Pro ϕ 2 π platí ẋ(t) a a 3 2l ω 2 2δ x(t)+ b u(t). (2) Tyto stavové rovnice jsou spolu s výstupní rovnicí () ve standardním tvaru (2). Nyní porovnáme nelineární model s linearizovaným v okolí dolní polohy ramene kyvadla. Pro simulaci byl zvolen obdélníkový signál (viz obr. 6), který postupně rozhoupává kyvadlo. Z obrázků 8 a 9 vidíme, že linearizovaný model je správný pouze v okolí pracovního bodu ϕ. Pro velké výchylky je tento model nesprávný, protože jsme v Taylorovu rozvoji zanedbali kvadratické a vyšší členy. Průběh polohy vozíku na obr. 7 je samozřejmě stejný pro oba modely, protože rovnice motoru je lineární. Porovnejte nelineární model s linearizovaným v okolí horní polohy ramene kyvadla. Zvolte vhodný průběh vstupního napětí (v horní poloze je systém nestabilní). Vstupni napeti 5 U 5 5 5 2 25 3 35 Obrázek 6: Vstupní napětí motoru u(t)
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 3.4 Poloha voziku.35.3.25 x.2.5..5 Linearizovany model Nelinearni model 5 5 2 25 3 35 Obrázek 7: Poloha vozíku x(t) 3 Vychylka ramene kyvadla 2 φ [ ] 2 Linearizovany model Nelinearni model 3 5 5 2 25 3 35 Obrázek 8: Výchylka ramene kyvadla ϕ(t)
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 4 2 Uhlova rychlost ramene kyvadla.5.5 ω.5.5 Linearizovany model Nelinearni model 2 5 5 2 25 3 35 Obrázek 9: Úhlová rychlost ramene kyvadla ω(t) 3 Domácí úlohy Příklad 3.: V elektrickém obvodu na obr. (příklad 2.) zaměňte cívku s kondenzátorem. Určete stavový popis tohoto elektrického systému a nalezněte řešení těchto rovnic pro počáteční podmínku u C () u, i L () i. Určete přenos tohoto systému za předpokladu nulových počátečních podmínek. Proved te simulace tohoto modelu. Příklad 3.2: Uvažujte elektrický obvod, kde je ke zdroji napětí u(t) (vstup systému) připojen v sérii rezistor s elektrickým odporem R a kondenzátor s kapacitou C. Určete stavový popis tohoto elektrického systému. Nalezněte řešení tohoto modelu pro počáteční podmínku u C () u. Určete přenos tohoto systému za předpokladu nulových počátečních podmínek. Příklad 3.3: Uvažujte elektrický obvod, kde je ke zdroji napětí u(t) (vstup systému) připojen v sérii rezistor s elektrickým odporem R a cívka s indukčností L. Zvolte za stavovou proměnnou elektrický proud i(t), který protéká rezistorem a určete stavový popis tohoto elektrického systému. Nalezněte řešení tohoto modelu pro počáteční podmínku i L () i. Určete přenos tohoto systému za předpokladu nulových počátečních podmínek.
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Stavový popis, linearizace 5 Příklad 3.4: Předpokládejte zjednodušený model popisující vývoj populace dravců a obětí v nějaké uzavřené oblasti ẋ (t) x (t)+, x (t) x 2 (t), ẋ 2 (t) x 2 (t), x (t) x 2 (t), kde x je množství dravců a x 2 je množství obětí. Vykreslete fázový portrét (využijte funkci stateportrait.m viz [2]) tohoto nelineárního modelu. Nalezněte rovnovážné stavy tohoto modelu. Proved te linearizaci v těchto rovnovážných stavech a rozhodněte o stabilitě. Porovnejte lineární a nelineární model. Reference [] Štecha, J. a Havlena, V.; Teorie dynamických systémů. Praha: Vydavatelstní ČVUT, 999. [2] Roubal, J., Hurák, Z. a Hromčík, M.; Teorie dynamických systémů [online]. Poslední revize 26-3- [cit. 26-3-], http://dce.felk.cvut.cz/tds/.