Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Úvod Tento dokument slouží k přípravě studentů na cvičení z přemětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) na FIT Každá sekce, která odpovídá jedné hodině cvičení, je uvedena stručnou anotací následovanou seznamem úloh Úlohy označené jako Příklad budou řešeny na cvičeních, studenti mají možnost si je dopředu prostudovat a připravit jejich řešení na nadcházející cvičení, za což mohou získat tzv bonusové body Úlohy značené jako Domácí cvičení slouží výhradně k samostudiu Zejména v úvodu semestru může nastat situace, že cvičení tématicky předchází přednášku V takovém případě jsou potřebné pojmy uvedeny před samotnými úlohami v odstavcích značených symbolem V první sekci jsou dokonce některé příklady výjimečně doplněny i řešením Cvičení č Sumační zápis, manipulace se sumami a produkty, důkaz matematickou indukcí, aritmetická a geometrická posloupnost, Pascalův trojúhelník, kombinační čísla Značení N přirozená čísla Z celá čísla R reálná čísla x horní celá část reálného čísla x, tj x Z : x < x x x dolní celá část reálného čísla x, tj x Z : x x < x + Mějme n, n N, čísel, označme je a, a, a 3,, a n Součet (neboli sumu) a + a + a 3 + + a n zkráceně zapisujeme jako a + a + a 3 + + a n =: a i, kde i je tzv sčítací index, který není pevný, ale narůstá po jedničce od dolní meze (v našem případě ) až po horní mez (v našem případě n) Podobně lze zkráceně zapsat součin n a a a 3 a n =: a i Meze lze posouvat o konstantu, odpovídajícím způsobem se potom musí posunout i sčítací index, např n+ a i = a i i=3

Příklad Zapište zkráceně součet a) 8 7 6 5 4 3 0 + + + 3 b) 6 + 9 + + 5 + 8 + + 7 c) + 4 + 9 + 6 + 5 + 36 + 49 + 64 d) 4 + 9 6 + 5 36 + 49 64 e) + + + 4 + 8 + 6 Řešení a) 3 i, b) i= 8 4 3i = 3 4 i= i= i, c) 8 i, d) 8 ( ) i+ i, e) 4 i = i= 6 i Příklad Zapište součet c) příkladu ve tvaru? i=5? Příklad 3 Pomocí sumy tvaru? zapište součet + + + + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 Příklad 4 Sečtěte sumu k ( ) k k= Pravidla pro sumy se stejnými mezemi: (a i + b i ) = a i + b i α a i = α a + α a + + α a n = α(a + a + + a n ) = α a = a } + a + {{ + a } = n a n-krát a i Posloupnost čísel a, a, a 3,, a n, kde druhý a každý další člen se získá přičtením konstanty (označme ji d) ke členu předchozímu, se nazývá aritmetická posloupnost Platí tedy a i+ = a i + d, i =,, n Máme-li např a = 3, d =, potom a = 3, a =, a 3 =, a 4 = 3, a 5 = 5 a a n = 3 + (n ) Obecně platí a n = a + (n )d 3

Příklad 5 Sečtěte prvních n členů aritmetické posloupnosti,, 3, (tj a =, d = ) Řešení Stejně tak zjevně platí S n := + + 3 + + n = i S n = n + (n ) + (n ) + + = (n + i) a tedy z čehož plyne S n = i + (n + i) = S n = (n + ) = n(n + ), n(n + ) () Příklad 6 S pomocí výsledku předchozího příkladu sečtěte prvních n členů aritmetické posloupnosti s koeficienty a a d Řešení s n := a + (a + d) + (a + d) + + (a + (n )d) = = a + d (i ) = n a + d n(n ) (a + (i )d) = = n a + (a + (n )d) = n a + a n Součet aritmetické posloupnosti je tedy dán násobkem počtu členů s průměrnou hodnotou prvního a posledního členu Vzoreček najde uplatnění v karbanu, chceme-li rychle sečíst hodnotu postupky! Domácí cvičení Sečtěte n i Nápověda: rozlište n liché a sudé Posloupnost čísel a, a, a 3,, a n, kde druhý a každý další člen se získá násobením předchozího členu konstantou (tzv kvocientem, označme jej q), se nazývá geometrická posloupnost Platí tedy a i+ = a i q, i =,, n Máme-li např a =, q =, potom a =, a =, a 3 =, a 4 = 4, a 5 = 8 a a n = ( ) n Obecně platí an = a q n Příklad 7 Sečtěte prvních n členů geometrické posloupnosti 4

Řešení V rámci řešení procvičíme i manipulaci se sumami a tedy S n := a + a q + a q + + a q n = a q i = a = a + a q + a q + + a q n + a q n a q n = n q i = a q i = = a + q(a + a q + a q + + a q n ) a q n = a + q S n a q n čili pro q a q n a = q S n S n S n = a q n q Pro příklad z úvodu, tj a =, q =, máme ) n S n = ( i=0 Příklad 8 Sečtěte n i=0 3i+ Příklad 9 Tenisového turnaje hraného obvyklým způsobem se zúčastnilo n, n N, hráčů Kolik utkání se odehrálo? Důkaz matematickou indukcí Chceme ukázat platnost výroku A(n) pro všechna n N To lze provést ve dvou krocích V prvním dokážeme platnost A() a v druhém ukážeme, že pravdivost A(n) implikuje pravdivost A(n + ) Příklad 0 Dokažte () matematickou indukcí Řešení Chceme dokázat, že k = k= n(n + ) krok Pro n = zjevně platí k = k= krok Předpokládejme platnost formule pro n Potom ( n+ ) n(n + ) k = k + n + = + n + = k= k= (n + )(n + ) 5

Připomeňte si vzorce : a b = (a b)(a + b) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 4 b 4 = (a b )(a + b ) = (a b)(a 3 + a b + ab + b 3 ) Příklad Dokažte n a n b n = (a b) a i b n i i=0 Následující schéma se nazývá Pascalův trojúhelník n = 0: n = : n = : n = 3: 3 3 n = 4: 4 6 4 Každý nehraniční prvek je součtem dvou nad ním stojících prvků, hraniční prvky jsou jedničky Označme k-tý prvek (počítáno od 0) v n-tém řádku (počítáno rovněž od 0) symbolem ( n k), k {0,,,, n} Z definice Pascalova trojúhelníku potom platí pro k {,,, n } ( n k ) = ( n k atd ) ( ) n + k Příklad Dokažte, že ( ) n = k n! k!(n k)!, tj prvky Pascalova trojúhelníku jsou kombinační čísla 6

Cvičení č Pojem zobrazení, definiční obor, obor hodnot, vzor a obraz množiny, prosté zobrazení, složené zobrazení, inverzní zobrazení, elementární funkce Značení f zobrazení inverzní k f f(a) obraz množiny A při zobrazení f f (A) vzor množiny A při zobrazení f f g složené zobrazení, (f g)(x) := f(g(x)) definiční obor funkce f D f H f obor hodnot funkce f f M zúžení funkce f na množinu M, tj funkce h : M D f =: D h H f taková, že h(x) = f(x), x D h Příklad Necht zobrazení f : N N je definováno předpisem n + f(n) := Je zobrazení f prosté? Je f zobrazení na celé N? Je to bijekce? Co je vzorem množiny M := {, 3, 4}? Jaký je obraz množiny M? Příklad Mějme zobrazení f : R R dané předpisem f(x) := x + x Je f prosté? Je na? Nalezněte vzor množiny, ) a obraz množiny (, ) Načrtněte graf funkce f Nalezněte inverzní funkci f Příklad 3 Mějme zobrazení f : R R dané předpisem f(x) := x + x Je f prosté? Jaký je obor hodnot H f? Co je vzorem množiny 0,? Příklad 4 Necht zobrazení f : R R je dano předpisem f(x) := 3x Určete definiční obor D f a obor hodnot H f Ověřte prostost Příklad 5 Řešte úlohu 4 pro funkci f(x) = 3 3x 7

Příklad 6 Necht zobrazení f : R R je dano předpisem f(x) = x + 4x + 5 Určete f ({0, }) a f({0, }) Rozhodněte zda jde o zobrazení prosté Příklad 7 Určete definiční obor funkce f(x) := ln (x + 4x + 5) Příklad 8 Nalezněte nějaké dvě funkce f a g, f g, tak, aby i f g = g f ii f g g f 8

Cvičení č 3 Podmnožiny reálných čísel-omezenost, horní a dolní závora, minimum a maximum, infimum a supremum Limita reálné číselné posloupnosti-definice a výpočet Značení A množina všech dolních závor množiny A A množina všech horních závor množiny A H a (v souvislosti s číselnými posloupnostmi) okolí bodu a čili interval tvaru (a ɛ, a + ɛ), kde ɛ > 0 Příklad 3 Rozhodněte o omezenosti zdola a shora následujících množin Najděte jejich infimum a supremum (v rozšířené množině reálných čísel vždy jednoznačně existují) Určete jejich minimum a maximum, existují-li Určete množinu horních a dolních závor i A = 0, ) ii A = (, 3) {4, 7} iii A = {( x) + 5 x (0, } Příklad 3 Necht A = { n, n N} Určete inf A a sup A Své tvrzení dokažte z definice Příklad 33 Rozhodněte o omezenosti množiny A = { n + n n N } Příklad 34 Necht A, B R jsou omezené Jaké vztahy (rovnost, nerovnosti) platí mezi čísly sup(a B), sup(a B), sup A, a sup B? Svá tvrzení dokažte Příklad 35 Rozhodněte o platnosti implikace sup A = sup B inf A = inf B A = B Příklad 36 Bud Určete sup A a inf A A = { x R sin(5x) 6 sin 5 x } Příklad 37 Vypočtěte následující ity: i ii n (5n3 7n + ) 5n 3 7n + n n 3 9

iii iv 5n 3 7n + n n 3 3 5n 3 7n + n n 4 3 Příklad 38 Vypočtěte následující itu: n Příklad 39 Spočtěte následující itu: n Příklad 30 Určete čemu se rovná: n n n+4 n+ n+ ( n + n + 3 n + n n ) ( n n + 3 n n ( )n n Příklad 3 Pomocí kvantifikátorů zapište, že n a n a Příklad 3 Které z následujících výroků jsou ekvivalentní s tím, že n a n a? i Existuje takové okolí H a bodu a, že nekonečně mnoho členů posloupnosti (a n ) v něm neleží ) ii Existuje takové okolí H a posloupnosti (a n ) bodu a, že v něm leží nejvýše konečně mnoho členů iii V žádném okolí H a bodu a neleží nekonečně mnoho členů posloupnosti (a n ) 0

Cvičení č 4 Limita reálné číselné posloupnosti-definice a výpočet, vybraná posloupnost Příklad 4 Určete čemu se rovná: n(n+) n ( ) n n + Příklad 4 Vypočtěte následující itu: n + n n Příklad 43 Vypočtěte následující itu: ( ) n n + n n Příklad 44 Čemu se rovná: Příklad 45 Spočtěte následující itu: n n n n n + n? ( ) n ( n 3) ( ) n + ( n 3) + Příklad 46 Bud a > 0 Vypočtěte následující ity: i n n+ a ii n n+ a Příklad 47 Spočtěte následující itu: n 4n 3 + 5 n Nápověda: Odhadněte každý člen posloupnosti shora i zdola a použijte na přednášce odvozený vztah: n n n = Příklad 48 Spočtěte následující itu: Příklad 49 Vypočtěte následující itu: n n n n ( + n) 3n+

Příklad 40 Vypočtěte následující itu: n ( + 3 n) n Příklad 4 Čemu se rovná ln (n + 4n + ) n ln (3n 4 + 5) Příklad 4 Vypočtěte následující itu: ln (3 n + 5) n ln (4 n ) Příklad 43 Nalezněte pár posloupností (a n ) a (b n ) tak, aby a přitom i n (a n b n ) = 3 ii n (a n b n ) = iii n (a n b n ) = a n = b n = n n Příklad 44 Nalezněte pár posloupností (a n ) a (b n ) tak, aby? a přitom a n = 0, n b n = n i n a n b n = ii n a n b n = iii n a n b n = 0 iv n a n b n =

Cvičení č 5 Limita reálné funkce Značení R rozšířená množina reálných čísel Příklad 5 Vypočtěte následující itu: x 0 Příklad 5 Vypočtěte následující itu: Příklad 53 Vypočtěte následující itu: ( + x)( + x)( + 3x) x x 3 x x x 5 x x 0 Příklad 54 Vypočtěte následující itu: Příklad 55 Vypočtěte následující itu: Příklad 56 Vypočtěte následující itu: Příklad 57 Vypočtěte následující ity: Příklad 58 Vypočtěte následující ity: sin (5x) x sin (x) x 0 sin (3x) sin x x x cos x x 0 x x ± Příklad 59 Vypočtěte následující itu: x ± ex ln ( + e x ) x ln ( + e x ) x e x 3

Příklad 50 Vypočtěte následující itu: x 0 Příklad 5 Vypočtěte následující itu: x 0 e 3x x e 3x e 4x x Příklad 5 Vypočtěte následující jednostranné ity: Příklad 53 Vypočtěte následující itu: arctg x ± x arcsin x x + x 4

Cvičení č 6 Spojitost a derivace reálné funkce, tečna ke grafu funkce pro x > 0 Značení sgn funkce signum, sgn x = 0 pro x = 0 pro x < 0 Příklad 6 Načrtněte graf funkce f(x) = x Rozhodněte, kde je f spojitá, případně spojitá zleva nebo zprava Příklad 6 Načrtněte graf funkce f(x) = sgn (sin x) Rozhodněte, kde je f spojitá, případně spojitá zleva nebo zprava Příklad 63 Zderivujte následující funkce a určete jejich definiční obory, stejně tak určete definiční obory zderivovaných funkcí a) f(x) = x + x + 3 x, b) f(x) = x + x, c) (5 + x)0 (3 4x) 0 Příklad 64 Zderivujte následující funkce a) f(x) = e x, b) f(x) = x x, c) f(x) = x + x Domácí cvičení Zderivujte následující funkce a) f(x) = e ex, b) f(x) = 3 x Příklad 65 Zderivujte následující funkce a určete jejich definiční obory, stejně tak určete definiční obory zderivovaných funkcí a) f(x) = ln (sin x), b) f(x) = ln (ln (sin x)), c) arctg x 3, d) arcsin x Domácí cvičení Zderivujte funkci f(x) = sin (ln x) Příklad 66 Dokažte, že platí: x = { sgn x pro x 0 neexistuje pro x = 0 Příklad 67 Nalezněte body, ve kterých je tečna funkce rovnoběžná s osou x nebo y f(x) = x x + 3 x 5

Příklad 68 Určete plochu trojúhelníku, který je ohraničen tečnou ke grafu funkce f(x) = x v bodě a, a > 0, osou x a osou y Pro jakou hodnotu parametru a je tato plocha největší? Příklad 69 Spočtěte,, a 3 derivaci funkce f(x) a určete f (n) (x) pro a) f(x) = e x, b) x 3, c) x α, α N 0, d) x α, α / N 0, f) f(x) = sin x, g) f(x) = cos x 6

Cvičení č 7 Extrémy reálných funkcí, vyšetřování průběhů reálných funkcí Příklad 7 Určete extrémy následujících funkcí na zadaných intervalech i f(x) = x x na 0, 4 ii f(x) = x x+ na 0, 4 iii f(x) = xe x na 0, ) Příklad 7 Určete největší člen posloupnosti ( n n) n= Příklad 73 Určete, kolik kořenů má rovnice x x ln x = 0 a následně je separujte Potom diskutujte, kolik kořenů má rovnice v závislosti na parametru a x x ln x a = 0 Příklad 74 Vyšetřete průběh (tj nalezněte extrémy, určete ity v krajních bodech definičního oboru a bodech nespojitosti, vyšetřete konvexnost) funkce a načrtněte její graf f(x) = 3x x 3 Příklad 75 Vyšetřete průběh funkce (včetně asymptot) a načrtněte její graf f(x) = x + x 7

Cvičení č 8 L Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta a její využití k přibližným výpočtům Příklad 8 Pomocí l Hospitalova pravidla spočítejte následující ity e x e x x a), b) sin (x ) tg πx x 0 x sin x x Příklad 8 Pro funkci f(x) = x+ x+, c) x ( ln x x nalezněte 5-tý Taylorův polynom v bodě 0 Příklad 83 Pro funkci f(x) = tg x nalezněte 3-tí Taylorův polynom v bodě 0 Domácí cvičení Pro funkci f(x) = arcsin x nalezněte 3-tí Taylorův polynom v bodě 0 Domácí cvičení Pro funkci f(x) = x nalezněte 5-tý Taylorův polynom v bodě 0 ) Příklad 84 Odhadněte chybu ve výpočtu sin x = x x3 6 pro x Nápověda: Ukažte, že x x3 6 jsou první dva nenulové členy Taylorova polynomu pro funkci sin x, a rozdíl odhadněte pomocí Lagrangeova tvaru zbytku Příklad 85 Pro jaká x je absolutní hodnota chyby přibližného vyjádření cos x x menší než 0 4? Nápověda: Viz nápověda pro úlohu 84 8

Cvičení č 9 Primitivní funkce, věta o substituci Nápověda: V úlohách 94 až 90 použijte vhodnou substituci Příklad 9 Nalezněte primitivní funkci (tj zintegrujte) ( + x 3 ) dx Příklad 9 Nalezněte primitivní funkci ( x ) x x dx Příklad 93 Nalezněte primitivní funkci x + x dx Příklad 94 Nalezněte primitivní funkci x + 3 dx Příklad 95 Nalezněte primitivní funkci (x 3) 0 dx Příklad 96 Nalezněte primitivní funkci 5 + 4x dx Příklad 97 Nalezněte primitivní funkci cotg x dx Příklad 98 Nalezněte primitivní funkci e x dx + e x Příklad 99 Nalezněte primitivní funkci x x 4 + dx Příklad 90 Nalezněte primitivní funkci x ln x dx 9

Cvičení č 0 Metoda per partes, primitivní funkce k racionálním lomeným funkcím Příklad 0 Zintegrujte Nápověda: Integrujte per partes Příklad 0 Zintegrujte Nápověda: Integrujte per partes arctg x dx cos x dx Domácí cvičení Zintegrujte ln x dx Domácí cvičení Zintegrujte ln x x dx Domácí cvičení Zintegrujte e x cos x dx Příklad 03 Zintegrujte x 4 x + x dx Příklad 04 Nalezněte primitivní funkci x 5 x 4 + dx Příklad 05 Nalezněte primitivní funkci x 4 dx Příklad 06 Zintegrujte 3x + dx 0

Příklad 07 Zintegrujte x + x + dx Příklad 08 Nalezněte primitivní funkci x x + x + dx Příklad 09 Zintegrujte + x dx Nápověda: Vhodnou substitucí převed te na integrál z racionální lomené funkce Příklad 00 Zintegrujte + tg x dx Nápověda: Vhodnou substitucí převed te na integrál z racionální lomené funkce Domácí cvičení Zintegrujte x x + dx Domácí cvičení Nalezněte primitivní funkci 5x + 3 dx Domácí cvičení Nalezněte primitivní funkci x + x + dx Domácí cvičení Nalezněte primitivní funkci x x x dx Domácí cvičení Nalezněte primitivní funkci x 3 x x x dx

Cvičení č Určitý integrál, výpočet ploch Příklad Vypočtěte integrál π 0 sin x dx Příklad Vypočtěte integrál 0 arccos x dx Příklad 3 Vypočtěte integrál ln 5 0 e x dx Příklad 4 Vypočtěte itu n n k= sin πk n Nápověda: Na výraz nahlížejte jako na itu integrálního součtu Příklad 5 Vypočtěte itu p + p + 3 p + + n p n n p+, p > Nápověda: Na výraz nahlížejte jako na itu integrálního součtu Příklad 6 Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y = x, y = x Příklad 7 Určete plochu kruhové výseče příslušnou středovému úhlu α

Cvičení č Výpočet ploch Výpočet povrchů a objemů rotačních těles Příklad V jakém poměru dělí parabola y = x plochu kruhu x + y 8? Domácí cvičení Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y = x + 3, y = Domácí cvičení Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y = ln x, y = ln x, x = 5 Příklad Spotěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy ohraničené křivkami kolem osy x y = x, y = x x 3 Příklad 3 Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací kruhu x + (y 3) kolem osy x Pozn: Jedná se o objem pneumatiky Příklad 4 Spočtěte povrch tělesa z úlohy 3 Domácí cvičení Odvod te vzorec pro výpočet povrchu a objemu rotačního kužele o poloměru R a výšce h 3

Cvičení č 3 Výpočet délky grafu funkce Zobecněný Riemannův integrál Příklad 3 Spočtěte délku části grafu funkce y = x x pro 0 x 4 Příklad 3 Vypočtěte integrál 0 ln x dx Příklad 33 Vypočtěte integrál 0 x + 3 dx Příklad 34 Vypočtěte integrál dx, α R xα Diskutujte výsledek v závislosti na volbě parametru α Příklad 35 Vypočtěte integrál dx, α R xα Diskutujte výsledek v závislosti na volbě parametru α 0 4