MECHANIKA 1
KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve vakuu c 8 1 310 m s Mechanický pohyb změna vzájemné polohy těles v prostoru a čase. Pohyb je relativní nutno udat vztažné těleso (vztažnou soustavu). 2
Kartézský souřadný systém osa z základní vektor k základní vektor j osa x základní vektor i počátek [0,0,0] osa y 3
Vztažné soustavy pravoúhlá (kartézská) souřadnice x, y, z polární: poloměr r, úhel ϕ cylindrická (válcová): poloměr r, úhel ϕ, souřadnice z sférická (kulová): poloměr r, úhel ϕ, úhel ϑ Nejčastěji se používá tzv. laboratorní soustava tj. pravotočivá kartézská soustava pevně spojená se Zemí). 4
Popis pohybu v prostoru a čase bez uvažování příčin pohybu KINEMATIKA Studium příčin pohybu a jeho změn MECHANIKA DYNAMIKA Zvláštní část mechaniky: STATIKA (pohyb nenastává) 5
KINEMATIKA Idealizace Hmotný bod (HB fiktivní objekt) rozměry tělesa jsou v daných souvislostech zanedbatelně malé (lze je zanedbat vzhledem např. k uražené dráze) rotační pohyb lze zanedbat těleso nepodléhá deformaci Abychom mohli jednoznačně určit polohu tělesa a změnu této polohy, musíme znát v každém okamžiku základní kinematické veličiny, tj. jeho polohu (polohový vektor r ) rychlost v, zrychlení a 6
Základní kinematické veličiny (okamžitý) polohový vektor r okamžitá rychlost v a okamžité zrychlení Vedlejší kinematické veličiny vektor elementárního úhlového otočení vektor úhlové rychlosti vektor úhlového zrychlení 7
Polohový vektor Definice r x i +y j + zk osa x α k i γ y β Δ j z x osa y Velikost polohového vektoru r r x + y + z 2 2 2 Směrové kosiny polohového vektoru cosα, cosβ, cosγ 8
Pro směrové kosiny platí cos α x, cos β y, cosγ z r r r přičemž 2 2 2 cos α cos β cos γ 1 + +. Základní vektory i j k ( 1, 0, 0) ( 010,, ) ( 0, 0, 1) i Vektor : cosα 1, cosβ 0, cosγ 0 Vektor k j : cosα 0, cosβ 1, cosγ 0 Vektor : cosα 0, cosβ 0, cosγ 1 i k j 9
Trajektorie množina koncových bodů polohového vektoru znázorněna červeně. Délka trajektorie dráha s s(t). r r 0 r (t 0 ) 0,0,0 t Polohový vektor r r t trajektorie ( ) rt () xti () + yt () j+ ztk () r (t 0 +Δt) r : počátek vždy v počátku soustavy souřadnic, konec na trajektorii ve sledovaném bodě. Může se natáhnout na neomezenou délku. Jednotkou dráhy i velikosti polohového vektoru je metr (m). 10
Parametrické rovnice trajektorie x x() t x 2t y z y() t zt () například: y z 3t 4t 2 Vyloučením času (tj. parametru) obdržíme tvar křivky y f( x, z), po které se HB pohybuje. Okamžitou polohu HB můžeme tedy popsat třemi skalárními rovnicemi, nebo jednou vektorovou rt () xti () + yt () j+ ztk () rt () 2ti+ 3t j+ 4tk 2 například: 11
Příklad 1 Polohový vektor tělesa v pohybu je dán vztahem Určete tvar trajektorie. y 0 2 4 6 rt () (3,6 t + 4,2) i+ (5,4 t) j Řešení: Pohyb se děje v rovině xy. Složky polohového vektoru jsou (1) x 3,6t + 4, 2 y t (2) 5,4 2 4 x Z rovnice (1) vyjádříme čas: a dosadíme do rovnice (2). t [SI]. x 4,2 3,6 Po úpravě obdržíme: y 1, 5x 6,3. To je rovnice přímky, jejíž směrnice je 1,5. Úsek na ose y je - 6,3 m. 12
Okamžitá rychlost Definice v dr dt Okamžitá rychlost je derivace polohového vektoru podle času r trajektorie A Δs B v B v r + Δr A r Δ r Δs délka oblouku 0 Střední rychlost v AB mezi body A, B Δs Δr v AB Δt Δt Limitní přechod: B A, potom Δt 0, střední rychlost v AB okamžitá rychlost v 13
r dr v lim v lim AB Δ t 0 Δ t 0 Δ Δt dt r Okamžitá rychlost je derivace polohového vektoru podle času v v v v x y z (, ) (,, ) x y, z v trajektorie rt ( ) 0,0,0 Vektor rychlosti má směr tečny ke trajektorii a jeho orientace odpovídá rostoucím hodnotám času t. 14
v rt () Vektor okamžité rychlosti má tedy směr tečny a jeho velikost má význam dráhy uražené za jednotku času. 0 Složky vektoru rychlosti: d dx dy dz v ( xi + yj + zk ) i + j + k vxi + vy j + vk z dt dt dt dt velikost rychlosti v v v + v + v 2 2 2 x y z., Jednotkou rychlosti je metr za sekundu (m.s -1 ) 15
Pozn. Sledujme pouze velikosti okamžité rychlosti : ds dr dr ds v v s dt dt dt tedy : v dr r v ds s ale dt dt 16
Příklad 2 2 Poloha elektronu je dána vztahem r 3,0ti 4,0t j + 2,0k. a) Určete časovou závislost rychlosti elektronu vt (). b) Jakou rychlost má elektron v okamžiku t 2,0 s? Výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů. c) Určete velikost rychlosti v tomto okamžiku. Řešení: a) Časovou závislost rychlosti elektronu vt () získáme derivací polohového vektoru d v() t (3,0 ti 4,0 t j + 2,0 k ) m.s (3,0 i 8,0 t j ) m.s dt b) V čase t 2 s má elektron rychlost 2 1 1 v( t 2) 3,0 i (8,0 2,0) j (3,0 i 16,0 j) m.s 1 r c) Velikost rychlosti elektronu v čase t 2 s v v v + v + 2 2 2 2 1 x y 3,0 16,0 16 m.s 17
Typické hodnoty některých rychlostí v Šíření elektromagnetických vln ve vakuu Orbitální rotace Země kolem Slunce Zvuk ve vzduchu Automobil na dálnici Lidská chůze (průměrná hodnota) Vodivostní elektron v kovu (v drift ) 3 10 8 m/s 29,8 10 3 m/s 332 m/s 45 m/s 1,2 m/s 0,001 m/s 18
Okamžité zrychlení Mění-li vektor rychlosti buď velikost nebo směr (případně obojí najednou), pak říkáme, že se těleso pohybuje se zrychlením. Změna vektoru rychlosti v čase okamžité zrychlení dv a v dt a a i+ a j+ a k, x y z ( ) nebo jinak x y z 2 dv d dr d r a v r 2 dt dt dt dt kde a v, a v, a v. x x y y z z dv d dv dv x y dv z a v i + v j + v k i + j + k dt dt dt dt dt Jednotkou zrychlení je (m.s -2 ). 19
Vektor zrychlení nemá při pohybu částice po své trajektorii žádný význačný nebo specifický směr. Obecně a a i + a j + a k x y z Obr.: Rozklad okamžitého zrychlení při pohybu částice v rovině xy a a i + a j Uděláme rozklad vektoru zrychlení a do dvou jiných, také navzájem kolmých ale mnohem názornějších směrů. Zvolíme směr tečny k trajektorii a směr kolmice (normály) k této tečně. Tato normála směřuje do středu oblouku, který trajektorie v bodě P tvoří. x y 20
0 dφ R A ds Vektor dv nemá žádný specifický směr ve vztahu k polohovému vektoru R v B v v + + dv dv v dv dv n dv t Jestliže se mění : pouze velikost rychlosti v pouze směr rychlosti v, pak vektor dv má směr : tečny k trajektorii tečné zrychlení a t normály k trajektorii normálové zrychlení a n 21
Změna jen velikosti rychlosti tečné zrychlení a t Zrychlení Změna jen směru rychlosti normálové zrychlení a n Obě změny současně a an + at 22
Obecný (křivočarý) pohyb a t a n a a t tečné zrychlení, a n normálové zrychlení Celkové zrychlení je dáno vztahem a a + a t n velikost zrychlení je a a + a 2 2 t n velikosti složek a t dv dt a n 2 v R kde R je poloměr oskulační kružnice. Shrnutí 23
rychlost má směr tečny k trajektorii tečná složka zrychlení a t určuje změnu velikosti rychlosti za jednotku času a a 0 normálová složka zrychlení n ( n ) závisí na poloměru křivosti dráhy souvisí se změnou směru pohybu. Směřuje do středu křivosti dráhy, takže i celkové zrychlení a 0 Je-li zrychlení a mění se jen velikost rychlosti, pak mění se jen směr rychlosti, pak a směřuje dovnitř zakřivení. a at a an a a + a mění se velikost i směr rychlosti, pak t n 24
Kruhový pohyb pohyb v rovině 2D problém y r v ϕ x y x Pro popis tohoto pohybu jsou vhodné polární souřadnice: r ( konst.) a ϕ() t Vztah k souřadnicím kartézským x r cosϕ y rsinϕ r xi + yj rcosϕ i + rsinϕ j Polohový vektor ( ) ( ) Rovnoměrný pohyb kruhový úhlová dráha ϕ narůstá rovnoměrně s časem ϕ ω t (ω je velikost úhlové rychlosti otáčení) rt r ti r t j Polohový vektor: () ( cosω ) + ( sinω ) 25
Délka oblouku s: s rϕ S r a ϕ a n s v a t B Obvodová rychlost v : dr v ( rωsinωt) i + ( rωcosωt) j dt [ ] A Její velikost: v v + v r ω sin ϕ+ r ω cos ϕ 2 2 2 2 2 2 2 2 x y v rω. 26
úhlové zrychlení ε! v ose otáčení! Vektorově ϕ ω r v ω d ϕ dt, v ω r Obvodová rychlost v je vektor, který má směr tečny k trajektorii. v ω r Poznámka: Při vektorovém popisu kruhového pohybu leží vektory veličin úhlová dráha ϕ, úhlová rychlost ω 27
Zrychlení y v r dv a ( rω 2 cosωt) i + ( rω 2 sinωt) j dt a x a 2 ω r Zrychlení a má směr do středu kružnice název dostředivé zrychlení Velikost zrychlení: an v r 2 2 rω (poněvadž v ωr ), a 0 (poněvadž velikost rychlosti konst.) t 28
Perioda doba jednoho oběhu Platí Pro t ϕ ω t. T je ϕ 2π. Po dosazení do předchozí rovnice obdržíme 2π ωt T 2π ω [ T ] s Frekvence (počet oběhů za sekundu) převrácená hodnota periody f 1 T Spojením těchto rovnic dostaneme [ f ] 1 s Hz ω 2π f [ ] -1 ω s. 29
Základní druhy pohybů přímočarý rovnoměrný a n 0, a t 0 přímočarý rovnoměrně zrychlený (zpomalený) 0 n a, a konst. 0 t přímočarý nerovnoměrný a n 0, křivočarý rovnoměrný an 0, at a t 0 0 kruhový rovnoměrný a konst. 0, a 0 křivočarý nerovnoměrný 0 n n a, a 0 t t 30
DVĚ ÚLOHY KINEMATIKY 1. úloha Máme dán polohový vektor rt (), odtud derivace derivace () r r t v v() t a a() t Úloha je triviální a jednoznačná. 2. úloha Známe vektor zrychlení at (), odtud integrace integrace at () v vt () r rt () Musíme znát počáteční (okrajové) podmínky. 31
Aplikace 2. úlohy 1) Pohyb s konstantním zrychlením (tj. přímočarý rovnoměrně zrychlený) a) Hledáme rychlost Z definice Po integraci obdržíme Pro t 0s pak a konst. dv a dv adt v adt dt (neurčitý integrál) v at+ C 1 vt ( 0) + C C v (1), kde C 1 je integrační konstanta (libovolná). at 1 1 0 0 Konstanta C 1 má význam rychlosti v čase t 0 s a vztah zapíšeme v at+ v 0 (2) 32
b) Hledáme polohový vektor r. dr v dr vdt r vdt dt v ( ) Po dosazení za z rovnice (2) a následné integraci dostaneme 2 (neurčitý integrál) at r vdt at+ v dt atdt+ v dt + v t+ C 2 kde C 2 je integrační konstanta (libovolná). Pro t 0s 0 0 0 2 1 at 2 rt ( 0) + vt 2 0 + C 2 C 2 r 0 0 Konstanta C 2 má význam polohového vektoru v čase t 0 s a vztah zapíšeme 1 2 2 r at + v0t + r0 (3) 0, 33
2) Pohyb s konstantní rychlostí (tj. přímočarý rovnoměrný) v konst. Zrychlení je v tomto případě a dv 0, konst protože a 0 dt Hledáme pouze polohový vektor r. dr v dr vdt r vdt dt (neurčitý integrál) Po integraci obdržíme r vt + C, kde C je integrační konstanta (libovolná). Pro t 0s pak rt ( 0) r0 vt + C C r0 0 Konstanta C má význam počáteční rychlosti tj.rychlosti v čase t 0 s. Pro polohový vektor dostáváme r vt+ r 0 34
Shrnutí Aplikace 2. úlohy 1) Pohyb s konstantním zrychlením (tj. přímočarý rovnoměrně zrychlený) a konst. 1 2 v at+ v 0 r at + v 0t+ r 0 2 a v r shodný směr Protože jde o pohyb po přímce (1D) mají vektory,, a navíc platí r s, můžeme použít jen velikosti veličin 1 2 a konst. v at+ v0 s at + v t + s 2 0 0 2) Pohyb s konstantní rychlostí (tj. přímočarý rovnoměrný) a 0 v konst. r vt+ r0 Analogicky pro velikosti veličin a 0 v konst. s vt + s0 35
Poznámky Pokud jsou vektory rovnoběžné r v a (ať už souhlasně nebo nesouhlasně), jedná se o pohyb přímočarý. Mají-li různý směr křivočaré pohyby. Každá z vektorových rovnic (1), (2) a (3) se dá nahradit třemi skalárními rovnicemi. Rozklad pohybů do zvolených směrů (např. do směrů os x, y, z). Princip nezávislosti pohybů. Pohyb tělesa (hmotného bodu) v tíhovém Zemském poli (v prvním počítačovém cvičení) 36